Nhóm galois và trường con bất động luận văn thạc sĩ toán học

được của nhóm Galois này xác định tính giải được bằng căn thức củaphương trình.Trường con bất động của mở rộng F của trường K là khái niệm đốingẫu với khái niệm các nhóm K - tự đẳng cấu,

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Tr

ờng đại học Vinh

ĐÀO VĂN CHI

NHểM GALOIS VÀ TRƯỜNG CON BẤT

NHÓM GALOIS VÀ TRƯỜNG CON BẤT

thước kẻ và compa

40

đa thức Mặt khác, Lý thuyết Galois cho phép xác định đa giác đều n cạnh

dựng được bằng thước kẻ và compa Bên cạnh đó, chúng ta cũng nhậnđược Lý thuyết Galois lời giải cho bài toán dựng hình cổ điển

Lý thuyết Galois tạo ra một bước tiến quan trọng trong phương phápđược sử dụng, để một thế kỷ rưỡi sau đó, A Wiles đã chứng minh đượcĐịnh lý cuối cùng của Fermat

Nguồn gốc của Lý thuyết Galois là vấn đề giải phương trình đại sốbằng căn thức, mà thực chất là mở rộng trường bằng cách ghép thêm liêntiếp những căn thức Thành tựu của Galois (1811-1832) là đã chuyển vấn

đề giải phương trình thành một nội dung của lý thuyết nhóm Ý tưởng cơbản của Galois là cho tương ứng mỗi phương trình đại số với một nhómhữu hạn, sau này gọi là nhóm Galois của phương trình đó Tính chất giải

được của nhóm Galois này xác định tính giải được bằng căn thức củaphương trình.

Trường con bất động của mở rộng F của trường K là khái niệm đốingẫu với khái niệm các nhóm K - tự đẳng cấu, đóng vai trò rất quan trọngtrong lý thuyết Galois Với những lý do trình bày ở trên, luận văn này tậptrung tìm hiểu nhóm Galois và trường con bất động dưới tác động củanhóm Galois cùng với những ứng dụng về phương diện hình học

Nội dung luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Trình bày những kiến thức cơ sở của mở rộng trường: mở rộngđơn, mở rộng lặp, mở rộng đại số, mở rộng bậc hữu hạn, trường nghiệmcủa đa thức, mở rộng tách được, mở rộng chuẩn tắc, mở rộng xyclic, mởrộng căn Luận văn đã trình bày một biểu đồ liên hệ của các lớp mở rộngtrường cơ bản Đối với các mở rộng bậc hữu hạn, luận văn tìm hiểu một sốtiêu chuẩn sau:

1) Mở rộng chuẩn tắc  Trường nghiệm của đa thức

2) Mở rộng đại số  Mở rộng tách được

Chương 2 Giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ sở của Lý thuyết Galois:

Mở rộng Galois; Một số đặc trưng quan trọng của mở rộng Galois; Định lý

cơ bản của Lý thuyết Galois; Nhóm Galois và tính giải được của nhómGalois của đa thức; Trình bày chi tiết chứng minh trường nghiệm của một

đa thức tách được chính là trường bất động của nhóm Galois của đa thứcđó; Giới thiệu một số ứng dụng của Lý thuyết Galois trong một số bài toándựng hình

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS NguyễnThành Quang Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơnsâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn khoa học, người đã dành cho tác giả sự

hướng dẫn chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu vàviết luận văn.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại

số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh đãgiúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu và tập thểgiáo viên Trường THPT Mai Kính, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh đãđộng viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập

Mặc dù đã cố gắng hết sức, song luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạnđồng nghiệp

TÁC GIẢ

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ CỦA MỞ RỘNG TRƯỜNG

1.1 Trường mở rộng

1.1.1 Định nghĩa Nếu K là một trường con của trường E, thì ta gọi E là

một trường mở rộng (hay nói gọn hơn là một mở rộng) của trường K.

Mở rộng E của trường K được ký hiệu là E K/ Giả sử E là một mởrộng của trường K, ta có thể xem E là một không gian vectơ trên K Nếu

E là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K, thì ta nói E là mở rộng bậc hữu hạn của trường K Số chiều n của không gian vectơ E trên

K được gọi là bậc của mở rộng E trên K Ta ký hiệu E K:  là bậc của mởrộng E trên K

Như vậy, ta có E K:   dimK E n Mỗi hệ sinh hoặc cơ sở của khônggian vectơ E trên K được gọi là một hệ sinh hoặc cơ sở của mở rộng E

trên K

1.1.2 Định lí Với mọi đa thức f x( ) bất khả quy trên một trường K , tồn tại một trường mở rộng N của K trong đó f x( ) có ít nhất một nghiệm Chứng minh Xét vành thương N K x I  / của vành K x  trên iđêan I sinhbởi f x( ) Vì K x  là một vành giao hoán nên N cũng là một vành giao

hoán có đơn vị là 1 1 I  Rõ ràng ta có 1 0  , ta sẽ chứng minh rằng N là

một trường Thật vậy, giả sử

 

g x =g x   I

là một phần tử khác không của N. Vì g x   0 nên g x I, hay g x 

không chia hết cho f x( ). Do f x( ) bất khả quy trên K, nên f x( ) và g x( )nguyên tố cùng nhau trên K. Vì vậy, tồn tại các đa thức r x s x ,  K x 

sao cho ta có:

f x r x g x s x  Chuyển sang các lớp chúng ta được:

f x r x g x s x 

Do f x   0, nên g x s x     1 Điều này chứng tỏ rằng g x  khả nghịch

trong vành N, hay N là trường

Thiết lập ánh xạ  :K N a,  a I a  Rõ ràng,  là một đơn cấutrường Vậy tập hợp các phần tử a của N, với a K lập thành một trườngcon đẳng cấu với K Nếu đồng nhất K với  ( )K , bằng cách đồng nhất

a a a K   thì ta có thể xem K như là một trường con của trường N

Ngoài ra, nếu   0 1 n,

Vậy phần tử x x I  N là một nghiệm của đa thức f x( ) ▄

1.1.3 Định nghĩa Giả sử K là một trường con của trường E u E,  Ta kýhiệu K u( ) là trường con bé nhất của E chứa K và u Ta gọi K u( ) là mở

rộng đơn của trường K sinh bởi u hay ghép thêm phần tử u

1.1.4 Định lý (xem [4]) Giả sử K là trường, E là mở rộng của trường K,

u E , khi đó:

i) Nếu u là phần tử siêu việt trên K thì mở rộng đơn K u( ) đẳng cấu

với trường các phân thức hữu tỉ K x( ) qua đẳng cấu trường:

: ( )K x K u( )

  sao cho  ( )x u, ( )  a a;  a K ii) Nếu u là phần tử đại số trên trường K thì mở rộng đơn K u( )

đẳng cấu với trường K x  / ( )q qua đẳng cấu trường:

1.1.5 Định nghĩa Giả sử E là một mở rộng của K và u u1 , , , 2 u sE Ta kýhiệu K u u( , , , ) 1 2 u s là trường con nhỏ nhất của E chứa K và chứa các phần

tử u u1 , , , 2 u s Mở rộng K u u( , , , ) 1 2 u s của trường K được gọi là mở rộng lặp hay mở rộng bội của trường K ghép thêm (hoặc sinh bởi) các phần tử

1.2 Trường nghiệm của một đa thức

1.2.1 Định nghĩa Cho đa thức f x( ) K x[ ] với bậc n 1 trên trường K.Trường mở rộng F của trường K được gọi là trường nghiệm (hay còn gọi

là trường phân rã) của đa thức f x( ) K x[ ] trên K nếu f x( ) có thể phân rãthành tích các nhân tử tuyến tính trên F:

Nhận xét FK u u( , , , ) 1 2 u n là mở rộng lặp của trường K ghép thêm tất cả các nghiệm u i của đa thức f x( ).

1.2.2 Mệnh đề Mọi đa thức trên một trường tùy ý đều có trường nghiệm.

Chứng minh Giả sử f x( ) K x[ ] là một đa thức có bậc n 1 Ta chứng minh

sự tồn tại trường nghiệm của f x( ) bằng quy nạp theo bậc của f x( ).

Với n 1 trường nghiệm của f x( ) chính là trường K

Với n 1 ta phân tích f(x) thành tích các nhân tử bất khả quy trên K.

Nếu mọi nhân tử đều có bậc 1 thì trường nghiệm K F. Ngược lại giả sử( )

f x có nhân tử p x( ) bất khả quy trên K có bậc  1 Khi đó, theo Định lý1.1.2 tồn tại trường mở rộng E của K, chứa một nghiệm u của p x( ) Hơn

nữa E K u ( ). Trên trường K u[ ] ta có sự phân tích f x( ) (  x u g x ) ( ) với

 

( )

g x E x Đa thức g x( ) có bậc n 1 nên theo giả thiết quy nạp có mộttrường F mở rộng của K u( ) và chứa mọi nghiệm của g x( ) Hiển nhiên F

là trường nghiệm của f x( ) ▄

Về tính chất duy nhất của trường nghiệm ta có định lý sau

1.2.3 Định lý Hai trường nghiệm bất kỳ F và F' của một đa thức đã cho

( ) [ ]

p x K x là đẳng cấu với nhau Hơn nữa, có thể chọn một đẳng cấu sao cho mọi phần tử của K là cố định.

Để chứng minh Định lý 1.2.3 ta cần tới hai bổ đề sau

1.2.4 Bổ đề Nếu đẳng cấu trường  :K  K' chuyển các hệ tử của đa thức bất khả quy p x( ) K x[ ] thành các hệ tử tương ứng của đa thức

'( ) '[ ]

p x K x và u u, ' là các nghiệm tương ứng của p x p x( ), '( ) thì  :K  K'

có thể mở rộng thành đẳng cấu * : ( )K u  K u'( '), trong đó   ( )u u'

 Chứng minh Mỗi phần tử  của K u( ) có dạng g u( ), trong đó g x( ) là một

đa thức trên K, có bậc nhỏ hơn bậc của p x( ) Xét ánh xạ

: ( )K u  K u( ')

g u( )  g u'( ')

trong đó g x'( )có các hệ tử tương ứng với các hệ tử của g x( ) qua  :K  K' Rõ ràng  là một toàn ánh, có ảnh của tổng bằng tổng các ảnh Đối vớitích của hai phần tử g u( ) và h u( ) ta có g u h u( ) ( ) r u( ), trong đó r x( ) là đathức có bậc nhỏ hơn bậc của p x( ) và thỏa mãn g x h x( ) ( ) p x q x( ) ( ) r x( ).

Khi đó, rõ ràng ta có g x h x'( ) '( ) p x q x'( ) '( ) r x'( ) với các đa thức ảnh qua  Từ đó g u h u'( ) '( ) r u'( ), do p u '( ') 0 Vậy  là đồng cấu Hơn nữa , đẳng cấu suy ra   đẳng cấu ▄

1.2.5 Bổ đề Nếu đẳng cấu trường  :K  K' chuyển đa thức f x( ) thành

đa thức f x'( ) và nếu F, F'tương ứng là trường nghiệm của các đa thức

( ), '( )

f x f x thì  có thể mở rộng thành đẳng cấu từ F đến F'.

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo bậc mF K:  .

Với m 1 mệnh đề đúng một cách hiển nhiên, do đó xét m 1 với giả thiếtmệnh đề đúng cho mọi trường nghiệm F có bậc nhỏ hơn m trên trường K

f x , tương ứng với p x'( ) theo đẳng cấu  Khi đó, trường nghiệm F'

chứa một nghiệm u' của p x'( ) Theo Bổ đề 1.2.4 đẳng cấu  có thể kéo dàithành đẳng cấu

* : ( )K u K u'( ')

sao cho  * ( )u u'.

Ta có thể coi F là trường nghiệm của f x( ) trên K u( ) với bậc mở

rộng m

d , còn F' là trường nghiệm của f x'( ) trên K u'( ) Bởi vì m m

d  theogiả thiết quy nạp *

 có thể kéo dài đẳng cấu F đến F' ▄ Bây giờ ta chứng minh Định lý 1.2.3 như sau:

Áp dụng Bổ đề 1.2.5 cho trường hợp đặc biệt K K' và  id K ta

có điều phải chứng minh ▄

1.2.6 Mệnh đề Giả sử K là trường con của  và 3

( )

f x x  px q là đa thức bất khả quy trên K Giả sử a b c, , là các nghiệm của f x( ) trong  và

d  a b b c c a   Khi đó, trường nghiệm của f x( ) trên K là K a d( , ) Mở rộng này có bậc 3 hay bậc 6 trên K tùy thuộc vào biệt thức

( ) 4 27

D f  p  q của f có là số chính phương của K hay không.

Chứng minh Trường nghiệm của f x( ) trên K là E K a b c ( , , ) và K (a,d)

K a d , trong đó K a K ( ) :  3 và K d K( ) :  bằng 1 hoặc 2 tùy thuộc vào

d K hay ta có dK Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh ▄

1.3 Mở rộng tách được và mở rộng chuẩn tắc

Trường nghiệm của đa thức không có nghiệm bội có những tính chấttốt tạo thành một lớp trường mở rộng quan trọng Tính chất không có

nghiệm bội của đa thức được gọi là tính tách được Bây giờ ta sẽ tìm hiểu

những trường mở rộng có liên quan tới tính chất này

1.3.1 Định nghĩa Đa thức f x( ) K x  có bậc n 1 gọi là đa thức tách được trên K nếu f x( ) có n nghiệm phân biệt trong trường nghiệm N của

đa thức đó trên K Trong trường hợp trái lại, f x( ) được gọi là đa thức không tách được.

Một phần tử u E đại số trên K được gọi là phần tử tách được trên

K nếu đa thức cực tiểu của u trên K là đa thức tách được trên K

Một mở rộng F của trường K được gọi là mở rộng tách được trên

K nếu mỗi phần tử u thuộc F đều là phần tử tách được trên K

Đối với các mở rộng tách được ta có tính chất sau:

1.3.2 Mệnh đề Cho dãy mở rộng trường

K EF Nếu F tách được trên K thì E tách được trên K và F tách được trên E Chứng minh Trước hết, E là tách được trên K theo định nghĩa Bây giờchúng ta giả sử u F E \ và p x( ) là đa thức cực tiểu của nó trên E Khi đónếu f x( ) là cực tiểu của u trên K thì f x( ) E x  , bởi vậy f x( ) chia hết cho

Từ định nghĩa đạo hàm hình thức ta có thể chứng minh được

(f g) ' f ' g'; ( ) 'fg f g g f'  'với mọi đa thức f g K x,   

1.3.3 Mệnh đề Giả sử f x( ) là đa thức trên trường K Khi đó, f x( ) là tách được trên K khi và chỉ khi f x( )và đạo hàm f x'( ) không có nghiệm chung.

Chứng minh Giả sử trong trường nghiệm F của K đa thức f x( ) cónghiệm u bội k k ( 1), nghĩa là:

Do đó, x u không là ước chung của f x( ) và f x'( ) khi và chỉ khi k 1.

Điều này có nghĩa là mọi nghiệm u đều là nghiệm đơn và do đó f x( ) làtách được ▄

1.3.4 Hệ quả Đa thức bất khả quy f x( ) K x  không tách được trên K

khi và chỉ khi f x '( ) 0.

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.3.3, đa thức f x( ) không tách được khi và chỉkhi ( ( ), '( )) 1f x f x  Vì f x( ) bất khả quy trên K, nên điều kiện này tươngđương với điều kiện ( ( ), '( ))f x f x f x( ) Vì f x'( ) có bậc nhỏ hơn f x( ) chonên điều này tương đương với f x'( )= 0 ▄

1.3.5 Hệ quả Cho đa thức f x( ) bất khả quy trên trường K

Từ kết quả trên ta còn suy ra các điều sau:

Nhận xét 1) Nếu trường K có đặc số 0 thì trường nghiệm của mọi đa thức bất khả quy bậc n chứa đủ n nghiệm khác nhau của f x( ).

2) Mọi mở rộng đại số của trường số K có đặc số 0 đều là mở rộng tách được.

Thật vậy, mỗi phần tử đại số trên K đều là nghiệm của một đa thứcbất khả quy nào đó trên K Do đó, theo Hệ quả 1.2.5 mỗi đa thức bất khảquy này là tách được

1.3.6 Định nghĩa Mở rộng đại số F của trường K được gọi là chuẩn tắc

trên K nếu mỗi đa thức bất khả quy p x( ) K x  có một nghiệm trong F thì

nó có tất cả các nghiệm trong F Khi đó, ta nói p x( ) phân rã hoàn toàn

trong F

Hai phần tử đại số trên trường K được gọi là liên hợp với nhau trên

K nếu các đa thức cực tiểu của chúng trên K là trùng nhau Nói cách khác,hai phần tử đại số liên hợp nếu chúng là nghiệm của cùng một đa thức bấtkhả quy trên K

Như vậy, mở rộng F của K là chuẩn tắc nếu mọi phần tử liên hợpvới phần tử của F thì cũng thuộc F

Đối với các mở rộng bậc hữu hạn ta có một tiêu chuẩn sau để xemxét một mở rộng có là chuẩn tắc hay không

1.3.7 Định lý Mở rộng F bậc hữu hạn trên trường K là chuẩn tắc trên trường K khi và chỉ khi nó là một trường nghiệm của một đa thức nào đó trên K

Chứng minh Giả sử F là mở rộng chuẩn tắc, có bậc hữu hạn trên K

Trường hợp F K định lý hiển nhiên đúng do đa thức bất khả quy có

nghiệm trong F K là đa thức bậc nhất

Bây giờ giả sử F là một mở rộng chuẩn tắc trên K và có bậc n 1.Lấy phần tử bất kỳ u F K \ Do u là phần tử đại số trên K nên u lànghiêm của đa thức bất khả quy nào đó p x( ) K x  Theo giả thiết p x( )phân rã hoàn toàn trong F nên Fchứa trường nghiệm F0 của p x( )

Nếu F F0 ta có điều phải chứng minh Nếu F F0 ta tiếp tục lấyphần tử bất kỳ v F F \ 0 Gọi p x( ) là đa thức tối thiểu trên K của , theolập luận trên F chứa trường nghiệm F1 trên K của đa thức bất khả quy( )

p x và do đó trường nghiệm của tích p x q x( ) ( ).

Do F có bậc hữu hạn trên K nên sau một số bước ta có F F m nào

đó

Giả sử F là một trường nghiệm của một đa thức f x( ) K x  Ta cần

chứng minh F là chuẩn tắc trên K

Giả sử ngược lại đa thức bất khả quy p x( ) có u là một nghiệm trong

F và  là một nghiệm không thuộc F Khi đó, tồn tại một K - đẳng cấu

của trường nghiệm Do F có bậc hữu hạn trên K nên F và F' phải cócùng bậc trên K Điều này mâu thuẫn với sự kiện F' là một mở rộng thực

sự của F ▄

Nhận xét Nếu ta có dãy các mở rộng K EF, trong đó E là chuẩn tắc trên K và F là chuẩn tắc trên E , thì nói chung không suy ra được F

chuẩn tắc trên K

1.3.8 Hệ quả Mọi mở rộng có bậc hữu hạn, chuẩn tắc và tách được đều

là trường nghiệm của một đa thức tách được.

Chứng minh Giả sử F là một mở rộng có bậc hữu hạn chuẩn tắc trêntrường K Khi đó theo Định lý 1.3.7, F là trường nghiệm của một đa thức( )

f x trên K Thêm vào đó F là mở rộng tách được thì đa thức nói tớitrong phần đầu của chứng minh Định lý 1.3.7 đều là các đa thức tách được.Bởi vậy f x( ) là đa thức tách được ▄

CHƯƠNG 2 NHÓM GALOIS VÀ TRƯỜNG CON BẤT ĐỘNG

2.1 Nhóm Galois

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu nhóm các tự đẳng cấu củamột trường mở rộng, mang tên nhà toán học Pháp E Galois, có liên quantrực tiếp tới việc giải phương trình đại số bằng căn thức

Nhận thấy tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của một trường F lập thành

một nhóm với phép toán hợp thành ánh xạ, gọi là nhóm các tự đẳng cấu của trường F Đơn vị của nhóm này là ánh xạ đồng nhất id F

Giả sử K là trường con của F Các tự đẳng cấu  của trường F

được gọi là tự đẳng cấu trên K hay K - tự đẳng cấu, nếu nó giữ nguyên

mọi phần tử của K, tức là  ( )c c, c K

Hiển nhiên tập hợp tất cả các K- tự đẳng cấu của F là một nhómcon của nhóm các tự đẳng cấu của trường F và gọi là nhóm K - tự đẳng cấu của F

Việc xác định tính chất của ảnh của một phần tử đại số qua một tựđẳng cấu được cho bởi bổ đề sau

2.1.1 Bổ đề Cho F là một mở rộng đại số trên K ,  là một K - tự đẳng cấu của F Khi đó, mỗi cF liên hợp với ảnh (c)

Chứng minh Vì phần tử c F là đại số trên K nên là nghiệm của một đathức bất khả quy ( ) 0 1 n

0 1 ( ) [ ( )]n 0

n

a a c  a  c  Điều này chứng tỏ là  ( )c là nghiệm của p x( ) ▄

Bổ đề trên gợi ý cho chúng ta xét trường hợp mà F chứa mọi liênhợp của mỗi phần tử của nó, tức là trường hợp F là mở rộng chuẩn tắc trên

K

Do tính chất đặc biệt cuả nó ta goi nhóm các K- tự đẳng cấu của F

trong trường hợp này là nhóm Galois

2.1.2 Định nghĩa Cho F là một mở rộng chuẩn tắc của K Nhóm các K

-tự đẳng cấu của F (nghĩa là nhóm các tự đẳng cấu của F, giữ nguyên mọiphần tử của K ) được gọi là nhóm Galois của F trên K và được ký hiệu

bởi:

( / ) { : | ( ) , }

G F K   F F  a   a a K Nếu F là trường nghiệm của f x( ) trên K thì nhóm Galois( / )

G G F K được gọi là nhóm Galois của f x( ) trên K

Đối với nhóm Galois của trường nghiệm ta có kết quả sau

2.1.3 Định lý Nếu F là trường nghiệm của một đa thức tách được

Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo bậc của mở rộng mE K: 

Với m 1 mệnh đề hiển nhiên đúng

Với m 1 thì f x( ) có nhân tử bất khả quy p x( ) bậc d>1 Giả sử u là

một nghiệm của đa thức p x( ) Khi đó một kéo dài bất kỳ * của  biến u

thành một trong các nghiệm u' của đa thức p x'( ), trong đó p x'( )tương ứngvới p x( ) qua đẳng cấu 

Do f x( ) là đa thức tách được nên p x'( ) có đủ d nghiệm phân biệt, do

đó có đúng d mở rộng  *: ( )K u  K u'( ') trong đó u' chạy khắp các nghiệmcủa p x'( )

Nếu d m thì mệnh đề được chứng minh

cách kéo dài  tới 

Chứng minh định lý Áp dụng trực tiếp bổ đề cho trường hợp K' K ,  =

id k ta có điều cần phải chứng minh ▄

2.2 Trường con bất động

Bây giờ ta hãy xét một khái niệm mới đối ngẫu với khái niệm nhómcác K - tự đẳng cấu, đó là khái niệm trường bất động

2.2.1 Định nghĩa (Trường con bất động của nhóm K - tự đẳng cấu ) Giả

sử F là mở rộng của trường K và giả sử G là nhóm các K - tự đẳng cấucủa trường Fcòn H là một nhóm con của G Khi đó, tập hợp

H

F  x F  x   x  H tạo thành một trường con của F , gọi là trường con bất động của trường F

dưới tác động của nhóm H của G

2.2.2 Mệnh đề Giả sử F là mở rộng bậc hữu hạn trên trường K và H là nhóm con hữu hạn cấp n của nhóm các K - tự đẳng của trường F Khi đó,

: H

n F F  

với F H là trường con bất động của F dưới H

Mệnh đề suy ra trực tiếp từ các bổ đề sau:

2.2.3 Bổ đề Cho  1 , , n là những đẳng cấu khác nhau từ trường E vào trường E' thỏa mãn điều kiện

1 1 ( ) n n( ) 0

x a   x a  (*) với  a E , khi đó x1 x2   x n  0.

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

Do n 1 nên n j Do đó, ta có thể chọn c E sao cho n( )c  j( ).c

Khi đó, x  j 0 với 1   j n 1 Vậy x n x n n ( ) 0a  n và do đó x  n 0 ▄

Do số ẩn nhiều hơn số phương trình nên hệ có nghiệm không tầm thường

và ta vẫn ký hiệu nghiệm này là x x1 , , , 2 x n .

Bây giờ theo một lập luận khác ta sẽ chứng tỏ rằng

x x  x 

và điều vô lý này sẽ chứng minh cho kết luận của bổ đề

Nếu phần tử a F thì F biểu diễn được duy nhất dưới dạng

Do số ẩn nhiều hơn số phương trình nên hệ phương trình tuyến tính thuầnnhất này có nghiệm khác nghiệm tầm thường Goi m là số nguyên dương

bé nhất sao cho hệ phương trình

1

( ) 0

m

i i i

có nghiệm khác không (trong hệ này mỗi phương trình ứng với một  H)

Ta chứng tỏ rằng hai nghiệm khác không của hệ phương trình trên là

tỉ lệ

Thật vậy, giả sử u u1 , , , 2 u v v m; , , , 1 2 v m là hai nghiệm không tỷ lệ Khi đó nếu

u tv thì tồn tại k, 2  k m , sao cho u k tv k, và dễ thấy u2  tv2 , ,u m tv m là

một nghiệm khác không của hệ

2

( ) 0

m

i i i

Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử u1  1, , ,u2 u m là một nghiệmcủa hệ phương trình trên Tác động  Hvào hệ phương trình (*) ta được

1

( )( ) ( ) 0,

m

i i i

Vì H H nên hệ này đồng nhất với hệ (*) Vì vậy  ( )u i cũng là một

nghiệm của hệ (*) và do đó nó phải có dạng tu tu1 , 2 , ,tu t F m,  Bởi vì

F F n

Theo định nghĩa của nhóm các K - tự đẳng cấu của trường mở rộng

F ta có G

K F Một vấn đề được nảy sinh là với những điều kiện nào thì

G

F K? Mệnh đề sau cho ta một trong những điều kiện như vậy

2.2.6 Định lý Trong trường nghiệm F của một đa thức tách được

Mặt khác, theo Định lý 2.1.3 cấp của nhóm G, tức là số tự đẳng cấu

 đúng bằng F K:  Bởi vậy F K:   F F: 0 Do K F0 nên K F0 ▄

2.3 Mở rộng Galois

2.3.1 Định nghĩa Mở rộng bậc hữu hạn F của trường K được gọi là mở rộng Galois nếu nó là mở rộng chuẩn tắc và tách được trên K

Nói riêng, nếu trường K có đặc số 0 thì mọi mở rộng bậc hữu hạn F

là mở rộng Galois nếu nó là chuẩn tắc

Trước hết, mở rộng Galois có những đặc trưng quan trọng liên quantới nhóm Galois và trường bất động, thể hiện qua định lý sau

2.3.2 Định lý Cho F là bậc hữu hạn trên K với nhóm các K - tự đẳng cấu Khi đó các điều kiện sau tương đương:

(a) F là mở rộng Galois trên K

(b) K F G (nghĩa là tập hợp các phần tử của F bất biến dưới mọi tự đẳng cấu G đúng bằng K ).

(c) Cấp của nhóm các K - tự đẳng cấu G đúng bằng bậc của mở rộng

F K: .

Chứng minh (a)  (b) Nếu F là mở rộng Galois trên K thì F là trườngnghiệm của một đa thức tách được trên K Khi đó, ta có (b).

(b)  (c) Giả sử cấp của nhóm G bằng n Khi đó theo Mệnh đề 2.2.2,

F K:   F F: G  , do đó K F G(vì KF G)

(c)  (a): Do F là mở rộng bậc hữu hạn trên K nên F đại số trên K Giả

sử  là phần tử tùy ý thuộc F Ta sẽ xây dựng đa thức cực tiểu p x( ) của

 (b) ) Vậy p x( ) K x  Nếu g x( ) K x  là nhân tử bất khả quy của p x( )nhận    1 làm nghiệm thì g x( ) cũng nhận mọi phần tử liên hợp của nó