Nửa vành eculid và nửa vành chính quy cộng tính luận văn thạc sĩ toán học

Vì R không có tương đẳng thật sự không tầm thường, nên R phải là nửa vành giản ước được đối với phép nhân.. Thế thì R\ 0  khép kín đối với phép cộng và phép nhân và do đó chúng ta có m

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Mục lục

Trang

Mục lục 1

Lời nói đầu 2

Chương 1 Nửa vành thương và cấu xạ nửa vành 1.1 Nửa vành thương 4

1.2 Cấu xạ nửa vành 9

1.3 Hạt nhân của cấu xạ nửa vành 14

Chương 2 Nửa vành các thương Nửa vành Euclid Nửa vành chính quy cộng tính 2.1 Nửa vành các thương 21

2.2 Nửa vành Euclid 26

2.3 Nửa vành chính quy cộng tính 37

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

LỜI NÓI ĐẦU

Vành Euclid và vành chính quy là các lớp vành có nhiều ứng dụngtrong lý thuyết vành nói riêng và Toán học hiện đại nói chung Do đó, với sựxuất hiện lý thuyết nửa vành vào giữa thế kỷ hai mươi, các lớp nửa vànhEuclid và nửa vành chính quy đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.Tuy nhiên, vì trong một nửa vành, nhiều phần tử khác không nói chung không

có phần tử khả nghịch cộng tính, nên việc chuyển các kết quả đã biết về vànhEuclid và vành chính quy sang các lớp nửa vành tương ứng gặp nhiều khókhăn cả về ý tưởng lẫn kỹ thuật Nhưng chính việc vượt qua những khó khănnày đã tạo ra những ý tưởng mới và những kết quả mới khác biệt về chất đãlàm phong phú cho lý thuyết nửa vành

Luận văn của chúng tôi dựa trên cuốn sách The Theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science của J.S.

Golan (1992) để tìm hiểu các lớp nửa vành Euclid và nửa vành chính quycộng tính cùng với những vấn đề liên quan như nửa vành thương, cấu xạ nửavành và nửa vành các thương

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 Nửa vành thương và cấu xạ nửa vành

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chấtcủa nửa vành thương, cấu xạ nửa vành và hạt nhân của cấu xạ nửa vành

Chương 2 Nửa vành các thương Nửa vành Euclid Nửa vành chính quy cộng tính.

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chấtcủa nửa vành các thương, nửa vành Euclid và nửa vành chính quy cộng tính

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê QuốcHán Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng

dẫn đã dành cho tác giả sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo trong suốt quá trìnhnghiên cứu.

Tác giả xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo Sau Đại học, các thầy côtrong Khoa Toán học và chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã tạo mọi điềukiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Đồng Tháp

Mặc dù rất cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót,chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo vàcác bạn học viên

Vinh, ngày 9 tháng 9 năm 2012

Tác giả Trần Thị Thúy Liễu

Chương 1 NỬA VÀNH THƯƠNG VÀ CẤU XẠ NỬA VÀNH

1.1 Nửa vành thương

1.1.1 Định nghĩa Một nửa vành là một tập hợp khác rỗng R mà trên nó đã

xác định hai phép toán cộng và nhân sao cho các điều kiện sau đây được thỏamãn:

(i) ( , )R  là một vị nhóm giao hoán với đơn vị là 0.

(ii) ( ,.)R là một nửa nhóm

(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, nghĩa là a(b+c)=ab+ac

và (a+b)c=ac+bc với mọi a,b,cR.

(iv) 0r=0=r0 với mọi rR.

đơn vị.

Để nửa vành R  0 , ta quy ước 1 0 

1.1.2 Định nghĩa Giả sử R là một nửa vành Khi đó quan hệ tương đương 

trên R được gọi là một tương đẳng trên R nếu thỏa mãn điều kiện: từ (r,r’) 

và (s,s’)  suy ra (r+s,r’+s’)  và (rs,r’s’) .

Với mỗi nửa vành R bao giờ cũng xác định được hai tương đẳng: tương đẳng đồng nhất id R cho bởi (a,b)id R khi và chỉ khi a=b; tương đẳng phổ dụng cho bởi (a,b)  với mọi a,bR Các tương đẳng khác trên R được gọi

2 Giả sử R là một nửa vành đơn với đơn vị là 1 (nghĩa là r+1=1 với mọi r

R) Với mỗi aR, kí hiệu: S(a)= 0 r R r a |   1 Thế thì quan hệ  trên

R cho bởi (a,b)  nếu và chỉ nếu S(a)=S(b) là một tương đẳng trên R Thật

vậy, giả sử a,b,c,dR và (a,c) , (b,d)  Nếu rR, r0 thì rS(a+b)

r+a+b=1 r+aS(b) r+aS(d) (vì(b,d) ) r+a+d=1  r+dS(a)

r+dS(c) (vì (a,c) ) r+c+d=1 rS(c+d) và do đó S(a+b)=S(c+d).

Mặt khác, S(ab)=S(a)S(b)=S(c)S(d)=S(cd) nên (ab,cd)  Dễ thấy  là

một quan hệ tương đương trên R nên  là một tương đẳng trên R

1.1.4 Chú ý Giả sử  là một tương đẳng trên nửa vành R Với mỗi rR, kí

hiệu r r' R r r| ( ', )   và R r |r R  Nếu  là một tương đẳng thực

sự thì ta có thể xây dựng được nửa vành thương R bằng cách đặt

r r   r r  và (r )( ' ) ( ')r   rr 

Trong Ví dụ 1.1.3 (1), ta thấy rằng một iđêan I trên nửa vành R xác

định một tương đẳng Bourne I Khi đó nửa vành thương R1được kí hiệubởi R I và  1-lớp chứa r được kí hiệu bởi r I Nửa vành R I được gọi là nửa vành thương Bourne của R bởi I

1.1.5 Ví dụ 1 Giả sử R là một nửa vành giao hoán và P là một họ khác rỗng

các iđêan nguyên tố mạnh của R Trên R xác định quan hệ  cho bởi (a,b) 

nếu và chỉ nếu đối với mỗi P P , hoặc a,bP hoặc a,bP Thế thì  là một

tương đẳng trên R Thật vậy, theo định nghĩa,  là một quan hệ tương đẳng

trên R Nếu (a,a’)  và (b,b’)  thì đối với mỗi P P , có a+bP a,bP

 a’,b’P a’+b’P và tương tự abP aP hoặc bP a’P hoặc b’

P a’b’P và do đó (a+b,a’+b’) , (ab,a’b’)  nên  là một tương

đẳng trên R.

2 Giả sử 1<n<m là các số tự nhiên Trên xác định quan hệ  cho bởi :

(i) Nếu i < n và j  thì (i, j)  nếu và chỉ nếu i = j

(ii) Nếu in và j  thì (i, j)  nếu và chỉ nếu ij (mod m – n + 1).

Thế thì  là một tương đẳng trên  và nửa vành thương  khônggiản ước được

1.1.6 Chú ý Vành Bun B là vành có hai phần tử B 0,1 với các phép cộng

và nhân cho bởi 0+0=0, 0+1=1+0=1, 1+1=1, 0.0=0.1=1.0=0, 1.1=1 Vành

Bun B khác vành  2 0, 1 vì 1 1 0  

1.1.7 Định lý Giả sử R là một nửa vành giao hoán không có quan hệ tương

đẳng thật sự không tầm thường Thế thì hoặc R là vành Bun B hoặc là một trường.

Chứng minh Nếu R chỉ có hai phần tử thì R hoặc là nửa vành Bun B hoặc làtrường  2 Như vậy chúng ta có thể giả thiết rằng R có nhiều hơn hai phần tử Trước hết ta chú ý rằng R giản ước được đối với phép nhân Thật vậy, với mỗi phần tử aR xác định một quan hệ a cho bởi (r,r’) a nếu và chỉ nếu

ra=r’a Thế thì a là một tương đẳng trên R Như vậy, a là tương đẳng tầm

thường (đồng nhất) khi a là giản ước được đối với phép nhân và là tương đẳng thật sự nếu a0 Vì R không có tương đẳng thật sự không tầm thường, nên R phải là nửa vành giản ước được đối với phép nhân Điều này kéo theo

 

\ 0

R là một vị nhóm con của ( ,.)R

Bây giờ giả thiết rằng R là nửa vành bất khả đối (nghĩa là r+r’=0 nếu

và chỉ nếu r=r’=0) Thế thì R\ 0  khép kín đối với phép cộng và phép nhân

và do đó chúng ta có một quan hệ tương đẳng  thực sự không tầm thường

trên R được định nghĩa bởi (a,b)  nếu và chỉ nếu a=b hoặc cả hai a và b khác không Thế thì tập hợp V(R) tất cả các phần tử khả nghịch cộng tính của vành R chứa 0 và ít nhất một phần tử khác không Hơn nữa, V(R) là một iđêan của R Đặt I=V( R) thì I xác định trên R không tầm thường và từ đó theo giả

thiết nó không thực sự Nói riêng, (1,0)  I và do đó tồn tại bI=V(R) sao cho 1+b=0 Đối với rR tùy ý, điều đó nghĩa là r+br=(1+b)r=0 và do đó mỗi phần tử thuộc R có nghịch đảo cộng tính, do đó R là một vành.

Nếu 0 a R  và I  a là iđêan chính của R sinh bởi a thế thì quan hệ

tương đẳng I không tầm thường do đó không thực sự Nói riêng, (1,0)  I và

do đó 1I, chứng tỏ rằng a là ước của đơn vị Từ đó R là một trường.€

1.1.8 Chú ý 1 Một nửa vành giao hoán R được gọi là nửa trường nếu R

chứa đơn vị và mọi phần tử khác không của R đều khả nghịch đối với phép

nhân Từ Mệnh đề 1.1.6 thấy rằng một nửa vành chia được, thậm chí một nửatrường có thể có các tương đẳng không tầm thường thực sự Nếu  là một

tương đẳng thực sự trên nửa vành chia được R thì R cũng là một nửa vành

chia được (chú ý rằng nửa vành R được gọi là chia được nếu R chứa đơn vị và mọi phần tử khác không của R đều khả nghịch nhân tính).

2 Một tập con A khác rỗng của nửa vành R được gọi là trừ được nếu aA và a+bA kéo theo bA.

Iđêan I của nửa vành R được gọi là iđêan tối đại nếu I R và R là iđêan duy nhất của R chứa I.

1.1.9 Mệnh đề Nếu I là một iđêan tối đại trừ được của nửa vành với đơn vị

R thì vành thương Bourne R I là một nửa trường.

Chứng minh Giả thiết rằng 0I a I R I Nếu a2 I thì do tính chất giaohoán, a2 I và do đó aI, mâu thuẫn với cách chọn a Vì a2  a nên

I  I a và do đó, bởi tính tối đại của I, ta có R I  a Từ đó tồn tại bI sao cho 1=b+ra và do đó 1I ra I  (r I)(a I) Như vậy a I khả nghịch trong

R

I nên R I là một nửa trường.€

1.1.10 Định nghĩa và ký hiệu Giả sử R là một nửa vành và S=RR Xác định các phép toán cộng và nhân trên S bởi (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), (a,b) (c,d)=(ac+bd,ad+bc) Khi đó S là một nửa vành với đơn vị của phép cộng là

vành Kí hiệu Z R( ) r R a R r a a |   :    Thế thì R được gọi là zeroic nếu Z(R)=R Trong trường hợp ngược lại ta nói rằng R không zeroic Đặt

D a a a R Thế thì D là một iđêan của R Ta khẳng định rằng 0D  S

nếu và chỉ nếu R không zeroic Thật vậy, nếu R zeroic thế thì tồn tại rR sao cho 1+r=r và do đó (1,0)+(r,r)D Từ đó (1,0) 0D Vì (1,0) là đơn vị nhân

tính của S, nên điều đó kéo theo S=0D Đảo lại, giả thiết rằng S=0D Thế

thì tồn tại phần tử rR sao cho (1,0) +(r,r)=(r,r) và như vậy 1+r=r, kéo theo

1Z(R) và từ đó Z(R)=R Chúng ta cũng chú ý rằng D là iđêan trừ được của S nếu và chỉ nếu nửa vành R giản ước được và ( , )a b D( , )c d D nếu và chỉ nếu

tồn tại các phần tử rR, r’R sao cho (a,b)+(r,r)=(c,d)+(r’,r’) Điều đó nói

lên rằng ( , )a b D( , )c d D nếu và chỉ nếu tồn tại các phần tử r,r’R sao cho a+r=c+r’ và b+r = d+r’ Nói riêng, (0,0)D ( , ) |a b  r R a r b r:    

Nếu R Z R ( ) thì S R là một nửa vành Chúng ta khẳng định rằng trongtrường hợp này S D thực chất là một vành Thật vậy, nếu (a,b)S thì

a R | a( ,0) I

D

  là một iđêan (trái, phải) của R.

1.1.11 Ví dụ Giả sử S là vành tất cả các hàm từ  vào  với các phép toán

cộng và nhân theo từng phần tử, và R là nửa vành của S chứa hàm zero và tất

cả các hàm f thỏa mãn điều kiện f(i) > 0 với mọi i  Thế thì S R

 (H E Stone, 1972).

1.2 Cấu xạ nửa vành

1.2.1 Định nghĩa Giả sử R và S là các nửa vành Khi đó ánh xạ : R S

được gọi là cấu xạ nửa vành nếu  (r r ')   ( )r   ( '), ( ')r  rr   ( ) ( '),r  r r r, ' R

và  (0 ) 0R  S

Nếu R, S là các nửa vành với đơn vị thì cần có thêm điều kiện  (1 ) 1R  S

1.2.2 Chú ý 1 Giả sử : R S là cấu xạ nửa vành Khi đó

im    r r R là nửa vành con của S.

2 Giả sử R là một nửa vành với đơn vị là End R0 ( ) là tập hợp tất cả các tựđồng cấu  của vị nhóm giao hoán (R,+) thỏa mãn  (0) 0  là một nửa vành

với đơn vị Đối với mỗi rR, giả sử r:R R là ánh xạ xác định bởi

  Thế thì  r End R0 ( ) đối với mỗi rR và ánh xạ r rlà một cấu

xạ nửa vành với đơn vị Thực tế, cấu xạ này là đơn ánh vì  r 0 kéo theo r=

(1)

r

Nếu R là một nửa vành con của nửa vành với đơn vị S thì chúng ta có

một cấu xạ nửa vành với đơn vị  từ mở rộng Dorroh R  đến S được xác

định bởi  ( , )r n =r+n.1 S (Phép toán trên R  cho bởi (r,n)+(r’,n’)= (r+r’,n+n’) và (r,n)(r’,n’) = (nr’+n’r + rr’,nn’))

3 Giả sử R là một nửa vành với đơn vị và M là một vị nhóm với đơn vị là .Thế thì có một cấu xạ toàn ánh các nửa vành với đơn vị : R R M  đượccho bởi  ( )( )r m r nếu m=e và  ( )( ) 0r m  R nếu m e , trong đó R(M) là tập hợp các ánh xạ từ M vào R với giá hữu hạn và các phép cộng và phép nhân

cho bởi:

(f + g)(m) = f(m) + g(m),  m M

(f.g)(m) =   f m g m( ') ( '') | ( ', '') sup ( ) sup ( ), ' ''m m  p f  p g m m m .

4 Giả sử A và B là các tập hợp khác rỗng và  : A B là một ánh xạ chotrước Thế thì một cấu xạ tùy ý của các nửa vành với đơn vị : R S xác địnhmột cấu xạ của các nửa vành với đơn vị : B A

  Nói riêng, nếu AB là các tập hợp khác rỗng và R là một nửa

vành với đơn vị thì ta có một cấu xạ chính tắc của các nửa vành với đơn vị

R  R được cho bởi cái thu hẹp của các ánh xạ

5 Giả sử R là một nửa vành con của một nửa vành chứa đơn vị S và I là một

iđêan của R, và giả sử H là một iđêan của S thỏa mãn I RH Thế thì ta cócấu xạ chính tắc  :R I  S H xác định bởi  (r I) r H Ánh xạ này hoàn toànxác định vì nếu ( , ')r r  I trong R thì ( , ')r r  H trong S Như một hệ quả của nhận xét này, thấy rằng nếu H là iđêan của nửa vành với đơn vị R thì có một cấu xạ toàn ánh nửa vành từ R lên R H được cho bởi r r H

1.2.3 Định nghĩa và kí hiệu Giả sử R i   i|  là một họ các nửa vành với

  gán mỗi phần tử của R với thành phần thứ h của nó, và có một đơn

cấu xạ (phép nhúng) j R h: n  R bằng cách gán mỗi phần tử a thuộc R n với

phần tử thuộc R có thành phần thứ h bằng a còn tất cả các thành phần còn lại đều bằng 0.

Kí hiệu C R( ) r R rr | ' r r r' ,   ' R là tâm và I X( )R r R r | 2 r là

tập hợp các lũy đẳng nhân tính của nửa vành R Khi đó ảnh của đơn vị của R n

không phải là 1R nhưng thuộc C R( ) I X( )R Một nửa vành của R là một tích trực tiếp con của R nếu và chỉ nếu cái thu hep j h xuống S đối với mỗi h vẫn còn là toàn ánh

Một tập hợp e e1 , , , 2 e n các phần tử khác không của C R( ) I X( )R được

gọi là tập hợp các lũy đẳng trung tâm trực giao đầy đủ của R nếu và chỉ nếu

1 2 n 1

e e  e  và e e  i j 0 đối với mọi ij Khi đó e U  e i U i|   và f U=

Reilà một nửa vành nên trực tiếp chứng minh được  là một đồng cấu nửavành.€

1.2.5 Chú ý Giả sử R là một nửa vành với đơn vị, R Z R ( ) và R S D

vành các sai phân của nó (xem Mệnh đề 1.1.9) Thế thì ta có một cấu xạ chínhtắc : R R cho bởi  ( )r ( ,0)r D Cấu xạ chính tắc này không nhất thiết làđơn ánh Thật vậy, nếu  ( )r   ( ')r thì ( ,0)r D( ',0)r D nên tồn tại a R sao

cho (r+a,a) = (r’+a,a) và từ đó r+a = r’+a Như vậy chúng ta thấy rằng một

điều kiện cần và đủ để  đơn ánh là R giản ước được Hơn nữa, chú ý rằng

phần tử tùy ý ( , )a b D của R là  ( )a   ( )b và do đó mỗi phần tử của R làhiệu giữa hai phần tử thuộc im ( ) Nói riêng, chúng ta kết luận rằng nếu R là một nửa vành giản ước được thì R đẳng cấu với một nửa vành con của vành

R sao cho mỗi phần tử của R là hiệu giữa hai phần tử trong ảnh của R.

Chú ý rằng nếu R là một nửa vành thì tập hợp tất cả các iđêan của R được kí hiệu bởi ideal(R) Theo Dedekind, ideal(R) cùng với phép cộng và

nhân các iđêan thông thường là một nửa vành

1.2.6 Mệnh đề Giả sử R là một nửa vành với đơn vị không zeroic và I là một

iđêan của R Thế thì I  ( )a   ( ) | ,b a b I  là một iđêan của R, trong đó

 , trong đó a a, ' I và

Kết quả sau đây đã được chứng minh trong  4 , trang 100-101.

1.2.9 Mệnh đề 1 Giả sử R là nửa vành giản ước được Khi đó tồn tại một

đồng cấu đơn ánh của các nửa vành : R S từ R vào vành nguyên nếu và chỉ nếu R thỏa mãn điều kiện: Nếu a,a’,b,b’R thỏa mãn ab a b ' ' ab a b'  '

thì a a ' hoặc b b '.

2 Giả sử R là nửa vành giản ước được với vành sai phân R Khi đó một tập con thực sự I của R là iđêan trái trừ được nếu và chỉ nếu RH đối với iđêan trái H nào đó của R

3 Nếu R là một nửa vành thì tồn tại một nửa vành giản ước được S và một toàn cấu từ S vào R.

1.2.10 Mệnh đề Một nửa vành bất khả đối R hoặc là lũy đẳng cộng tính

hoặc chứa một nửa vành con đẳng cấu với 

Chứng minh Giả sử  :   R xác định bởi  (m n) ( 1 )( 1 )m R n R  1

 Thế thì theo[4, Mệnh đề 3.41],  là một cấu xạ nửa vành Hơn nữa, nếu  (h k)   (m n) thì

1 ( 1 )R R 1 ( 1 )R R

 và do đó hn1R mk1R Nếu R không phải là nửa vành lũy

đẳng cộng tính thì theo [4, Mệnh đề 3.40] suy ra được hn mk và như vậy

k  n Do đó  là một đẳng cấu từ 

 vào một nửa vành con của R.€

1.3 Hạt nhân của cấu xạ nửa vành

Trước hết ta chứng minh kết quả sau

1.3.1 Mệnh đề Giả sử  :R  S là một cấu xạ nửa vành.

(i) Nếu H là một iđêan trái của S thì 1 ( )



  thì 1S  (1 )R H

  mà điều này không thể xảy ra Như vậy 1R   1 ( )H

 và  1 (H)

 là

một iđêan trái của R Bây giờ giả thiết rằng H trừ được, nếu a,a+b  1 (H)

thế thì (a) và  (a)   (b)= (ab) H và do đó  (b ) H Từ đó b  1 (H)

 nên 1 ( )

1.3.2 Định nghĩa Giả sử  :R  S là một cấu xạ nửa vành Khi đó 1   

0

 

được gọi là hạt nhân của  và được kí hiệu bởi ker()

Theo Mệnh đề 1.3.1, ker() là một iđêan của R Như đã biết, nếu R là một vành thì iđêan tùy ý của R có thể là hạt nhân của một đồng cấu từ R vào một vành S nào đó, nhưng điều này nói chung không đúng với các nửa vành

tùy ý Hơn nữa, nếu  :R  S là một cấu xạ nửa vành sao cho ker(  )  0 thì

 có thể không phải là một đơn ánh Chẳng hạn, nếu R 0 a, , 1 là một tập

sắp thứ tự toàn phần với phép cộng x+y=maxx, y và x.y=minx, y Thế thì

R là một nửa vành Giả sử B là nửa vành Bun và  :R B là ánh xạ xác địnhbởi  (a)   ( 1 )  1 và  ( 0 )  0 Khi đó  là đồng cấu nửa vành và ker(  )  0 ,nhưng  không phải là đơn ánh

1.3.3 Chú ý 1 Nếu I là một iđêan của nửa vành R và :R  R I là toàn cấu

j j

S R

3 Một cấu xạ từ nửa vành R đến nửa vành Bun B được gọi là một đặc trưng của R Tập hợp tất cả các đặc trưng của R được kí hiệu bởi Char( R).

1.3.4 Mệnh đề Nếu R là một nửa vành và  char (R) thì ker(  ) là một iđêan nguyên tố.

Chứng minh Giả sử a,bR sao cho arb ker( ) với mọi r  R Thế thì

(i) R là nửa vành nguyên nếu và chỉ nếu S là nửa vành nguyên ;

(ii) R là một vành nếu và chỉ nếu S là một vành.

Chứng minh (i) Trước hết ta nhắc lại rằng một nửa vành được gọi là nửa vành nguyên nếu nó không có ước của không Giả sử R là nửa vành nguyên

và s,s’S thỏa mãn ss’=0 Thế thì tồn tại r,r’R sao cho  (r) s,  (r' ) s'.Khi đó  (r)  (r' )   (rr' ) ss'  0 nên rr’ker( )= 0 Từ đó r=0 hoặc r’=0

vì R là nửa vành nguyên Khi đó s=  r( )  ( 0 )  0hoặc s’=  r( ' )  ( 0 )  0 Vậy S là nửa vành nguyên Đảo lại, giả thiết rằng S là nửa vành nguyên và r,r’R sao cho rr’=0 Khi đó  (r)  (r' )   (rr' )   ( 0 )  0 nên  (r)  0 hoặc

Vì  là toàn ánh nên tồn tại r’R sao cho  ( ')r   ( )r Nhưng khi đó

(r r') ( )r ( ')r

        ( ) (r    ( )) 0r  nên r+r’Ker( )  0 Do đó r+r’=0 nên rV(R) và do đó R=V(R) Vậy R là một vành.€

1.3.6 Mệnh đề Một iđêan I của nửa vành R là hạt nhân của một cấu xạ nửa

vành nếu và chỉ nếu I trừ được

Chứng minh Giả thiết rằng I là hạt nhân của đồng cấu nửa vành  :R  S Nếu

a,bR thỏa mãn a,a+bI thì 0= (ab)   (a)  (b)   (b), vì  (a)  0 Do đó

  là toàn cầu chính tắc cho bởi ( ) r r  I Thế thì I Ker( ) Mặt

khác, nếu rKer( ) thì tồn tại a,a’I sao cho r+a=0+a’I Vì I trừ được nên rI và do đó I=Ker().€

1.3.7 Mệnh đề Nếu S là một nửa vành con của một nửa vành R và I là một

iđêan của R thì

(i) S+I là một nửa vành con của R;

(ii) SI là một iđêan của S;

(ii) Tồn tại một cấu xạ toàn ánh của các nửa vành

 và nếu I trừ được thì Ker( )  0 .

Chứng minh (i) và (ii) là rõ ràng Định nghĩa tương ứng

) (

I H I

R

.

Chứng minh Định nghĩa tương ứng :R  I R H bởi (r I)r H Khi đó  làmột ánh xạ vì IH , hơn nữa là một cấu xạ toàn ánh của các nửa vành cóKer( )  r R |r 0 

    = r IR I |r H ' =H ' I Theo [4, Mệnh đề 9.15]

, cảm sinh một đồng cấu ’: ( )( ' )

R I H I

lên R H sao cho Ker ( ')= 0

Chú ý rằng nếu : R  S là một cấu xạ nửa vành thì   1 (1 )S



phải là iđêan của R Nếu r,r’ 1 ( 1 )

s r   ( ) ( )a  r   ( )ar Vậy a+b, ra,ar  1 (s)

  nên  1 (s)

 là iđêan của S.€

1.3.10 Định nghĩa Nếu  :R  S là một cấu xạ của các nửa vành và U R( )=

r R r |   ' R rr: ' r r'  1R là tập hợp tất cả các ước đơn vị của R thì tập con

1

(1 )S U R( ) a U R( ) | ( ) 1a S

      được gọi là hạt nhân nhân tính của  và

được ký hiệu bởi mker( ).

Vì 1 Rmker() và 0 mker( )  nên mker() là tập con thực sự của R.

1.3.11 Mệnh đề Nếu  :R  S là một cấu xạ của các nửa vành thì mker( )

là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm ( U R( ),.)

Chứng minh Nếu a,bmker( )  thì  (ab)   (a)  (b)  1S 1S  1S do đó ab

1.3.12 Định nghĩa Giả sử R là một nửa vành với phép chia, nghĩa là R\ 0  ( )

U R Khi đó theo Mệnh đề 1.3.11, mker( )  là nhóm con chuẩn tắc của nhóm

nhân R\ 0 đối với mỗi cấu xạ nửa vành  :R  S Theo tình huống như vậy,

một nhóm con chuẩn tắc của (R\ 0 ,.) được gọi là một ước chuẩn của R.

1.3.13 Mệnh đề Một ước chuẩn N của một nửa vành R có dạng mker( )  đối với cấu xạ nửa vành  :R  S nào đó nếu và chỉ nếu đối với mọi phần tử r,r’

R thỏa mãn r+r’=1 và đối với mọi a,bN ta có ar+ar’N.

Chứng minh Nếu N  mker( )  đối với cấu xạ  :R  S nào đó và nếu r,r’,a,b thỏa mãn r+r’=1 ; a,bN thì  (ar br ')   ( ) ( )a  r   ( ) ( ')b  r   ( )r   ( ')r  (r r') 1S

   nên ar+br’mker( )  N

Đảo lại, giả thiết rằng N thỏa mãn các điều kiện đòi hỏi Xác định quan

hệ N trên R cho bởi (r,r’) N nếu và chỉ nếu r=r’ hoặc r’r1N Thế thì

N

 là một quan hệ tương đương trên R Ta chứng minh N là một tương đẳng

Thật vậy, nếu (a,b) N , (c,d) N thì 1

= 1 1  1

acd b  ab b

 cd 1b1N vì ab1N,cd1N và bcd 1b  1 N theotính chuẩn tắc Như vậy ac bd,  N.€

Tương đẳng  N id R và N  R, do đó ta có thể định nghĩa nửa vànhthương S RN và đồng cấu nửa vành : R  S bởi  

N

r r

   Khi đómker  r N r | ,1  N N.

1.3.14 Mệnh đề Nếu R là nửa vành với phép chia thì một cấu xạ nửa vành

S

R 

:

 đơn ánh nếu và chỉ nếu mker     1 .

Chứng minh Nếu  là đơn ánh thì rõ ràng mker     1 Đảo lại, giả sử 

không phải là đơn ánh Khi đó tồn tại a,bR,ab sao cho  a   b Giả sử