chuyen de rut gon bieu thuc

Rót gän c¸c biÓu thøc chøa biÕn vµ c¸c bµi to¸n phô: 2.1/CÁC BƯỚC THỰC HIÊN: Tìm ĐKXĐ của biểu thức Nếu bài toán cha choPhân tích mẫu thành nhân tử, tìm điều kiện để c¨n cã nghÜa, c¸c n[r]

Chuyên đề: Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai và các bài toán

phụ thông qua hoạt động ngoại khóa

a Lý do chọn đề tài :

Trong công tác nâng cao chất lợng của nhà trờng nói chung và của môn toán nói riêng thì công tác dạy ngoaị khoá, phụ đạo là một nội dung mang tính thực tiễn và có hiệu quả cao nhất

Điều này đặc biệt quan trọng đối với học sinh lớp 9, kết quả tuyển sinh là một yếu tổ để đánh giá chất lợng giảng dạy cả một quá trình từ lớp 6 đến lớp 9 Điều này không chỉ đánh giá của cấp trên

mà nó còn gây đợc sự nhìn nhận của học sinh, phụ huynh học sinh, các cấp chính quyền đối với nhà trờng

Sau đây là những điều tra tổng hợp các đề tuyển sinh các năm trớc chúng tôi thấy những nội dung trong chơng trình lớp 9 gồm:

06 - 07 07 - 08 08- 09 09 - 10 10 - 11 11 - 12

Tự luận:

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng

trình

Cm liên quan đến các yếu tố trong đờng tròn (T.tuyến,

p.giác, góc nt)

Liên quan đến đồng dạng, hệ thức lợng(tích, tỉ số) x x x x x x

Bài toán nâng cao (BĐT, PT vô tỉ, Pt GTTĐ, cực trị ) x x x x x x Qua những điều tra trên chúng tôi thấy loại bài toán rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán phụ là một loại toán thờng gặp trong đề thi

Tuy nhiên loại bài toán này là loại bài toán khó không chỉ đối với học sinh trung bình mà ngay cả học sinh khá cũng hay mắc lỗi trong quá trình rút gọn

Trong những năm học vừa qua chúng tôi cũng đã thực hiện các chuyên đề nh giải bài toán bằng cách lập phơng trình, Bài toán cực trị trong hình học, chứng minh tứ giác nội tiếp Trong năm học này chúng tôi chọn đề tài này để nghiên cứu thực hiện nhằm bổ sung cho bộ đề ôn tập học sinh lớp 9 của nhà trờng

b Nội dung

I- Kiến thức lý thuyết liên quan đến đề tài

1, Kiến thức 6, 7, 8 quan trọng cần nhớ.

a, Tính chất về phân số (phân thức): A M

B M =

A

B(M ≠ 0 , B ≠ 0)

b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

+) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

+) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2

+) A2 - B2 = (A – B)(A + B)

+) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

+) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

+) A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2)

+) A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2)

2, Các kiến thức về căn bậc hai

+) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, √a = x  x2 = a

+) Để √A có nghĩa thì A ≥ 0

+) √A2

=|A|

2 2

AB A

B B

B C







2 2

B C

B C







Lu ý: * √B −√C Và √B+√C đợc gọi là liên hợp của nhau Do đó √B − M và

√B+M cũng đợc gọi là liên hợp của nhau

II CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:

1 Rút gọn các biểu thức không chứa biến

1.1/Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức √A2

=|A|

Ví dụ 1: Rút gọn:

a)

−3¿2

¿

−8¿2

¿

¿

√¿

; b) 3 −√5¿2

¿

√¿

c)

1−√2¿2

¿

1+√2¿2

¿

¿

√¿

d)

√5− 3¿2

¿

2 −√5¿2

¿

¿

√¿

Gi¶i:

a)

b)

2

(3 5)  3 5  3 5

c) (1 2)2  (1 2)2  1 2  1 2    1 2  1 2  1 2 1  2 2 d)

( 5 3)  (2 5)  5 3 2 5  5 3 2   5 1

VÝ dô 2: Rót gän :

a) A= √4 − 2√3 b) B = √14+8√3 (2√2 −√6) ;

c) C = √7− 4√3 + √7+4√3 d) D = √5− 2√7 −2√6

Gi¶i:

a) A =

√3 −1¿2

¿

¿

√3− 2√3+1=√¿

b) B = √14+8√3 (2√2 −√6) = √14+2√48(2√2−√6) = √8+2√8 √6+6 (√8 −√6)

=

√8+√6¿2

¿

¿

√¿

c) C = √7− 4√3 + √7+4√3 =

2−√3¿2

¿

2+√3¿2

¿

¿

√7− 2 2√3+√7 − 2 2√3=√¿

= 2- √3 + 2 + √3 = 4

d) D = √5− 2√7 −2√6

2

5 2 6 2 6 1 5 2 ( 6 1)

5 2( 6 1) 7 2 6

=

√6 −1¿2

¿

¿

√¿

VÝ dô 3: Rót gän A = √2−√3+√2+√3

Gi¶i:

C1: Ta cã: 2A = 4 2 3  4 2 3  3 2 3 1   3 2 3 1    3 1 2   3 1 2

 3 1  3 1  3 1  3 1 2 3 

Suy ra A = √6

C2: Ta cã: A2 = 2−√3+2√4 −3+2+√3=6

Do A > 0 nªn A = √6

3 Bµi tËp:

Bµi 1: TÝnh: a) 1 32  3 b) 2 32  1 32

Bµi 2: TÝnh: a¿√8 −2√7 b¿√4 −√7 −√4 +√7 c¿√3 −√5+√3+√5

Bai 3: Rót gän A = √ √3 −√1 −√21 −12√3

B i 4: à Rót gän A = √6+2√3+2√2+2√6

1.2/ Rót gän vËn dông c¸c quy t¾c khai ph ¬ng, nh©n chia c¸c c¨n bËc hai:

VÝ dô 1:TÝnh

a) √14 √56 b) √31

2.√33

7.√12 c) 4 7 4 7

Gi¶i:

a) √14 √56 = √14 56=√14 14 4=√142 4=√142.√4=14 2=28

b) √31

2.√33

7.√12=√7

2.√24

7 .√12=√7

2.

24

7 12=√122=12

c) 4 7 4 7  4 7 4   7  16 7  9 3

VÝ dô 2: Rót gän: a) 5 20 80 b) 3 12 3 2 24

Gi¶i:

) 5 20 80 5 2 5 4 5 (1 2 4) 5 5

) 3 12 3 2 24 3 2 3 3.2.2 3 (1 2 12) 3 15 3

a

b

Bµi tËp:

Bµi 1 : TÝnh: a) √12.√75 b) √27

9.√124

25 .√36

25 c) √0 , 04 25 ;d¿√90 6,4

e) 9 17 9 17

Bµi 2: Rót gän:

a) 125 3 48 b) 5 5 20 3 45

c) 2 324 8 5 18 d) 3 12 4 275 48

e) 12 75 27 f) 2 18 7 2 162

1.3/ Rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ë mÉu vËn dông trôc c¨n thøc ë mÉu b»ng ph ¬ng ph¸p nh©n liªn hîp.

VÝ dô 1: Trôc c¨n ë mÉu c¸c biÓu thøc sau

a) 1

√3 −√2 b)

1 2+√3 c)

1

1 −√2 d)

1

1 −√3−

1 1+√3

Gi¶i:

3 2

3 2 ( 3 2)( 3 2)

4 3

2 3

1 2

1 2

a

b

c















d) 1

1 −√3−

1 1+√3 =

1+√3 (1−√3)(1+√3)−

1−√3 (1+√3)(1 −√3)=

1+√3

1− 3 −

1 −√3

1 −3 =

1+√3−(1 −√3)

−2

= 1+√3 −1+√3

2√3

− 2=−√3

VÝ dô 2: Trôc c¨n ë mÉu: a)

)

Gi¶i:

a)

7 5 3 2 7 5 3 2 7

5 3 2

25 18

5 3 2 (5 3 2) 5 3 2



b)

11 2 3 1 11 2 3 1 11

2 3 1

12 1

2 3 1 (2 3 1) 2 3 1



VÝ dô 3: Rót gän:

A = ( √5 −2√3−

2

√5+√3− 4):2+√3

√3− 2

Bµi t©p: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:

a)

1

3

2 3 b)

3 1  3 1 c)

3 1 1   3 1 1 

d)

1 2  2 3 3 4  4 5 5 6  6 7  7 8  8 9

1.4/ Rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ë mÉu nhê ph©n tÝch thµnh nh©n tö:

VÝ dô 1: Rót gän c¸c biÓu thøc:

a)

3 3

3 1



 b)



c)

    d)

5 7 5 11 11





Giải:

a)

 

3 3 1

3 3

3





b)

3 1 2 2 1 2

3 2

c)

2 3 2   3 4 3 1

d)

5 5 7 11 11 1

5 7 5 11 11

5 7 11

Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau:

a)

15 12

5 2



 b)

5 5 10

5 1 5







c)

    d)

2 3 2 5 5





2 Rút gọn các biểu thức chứa biến và các bài toán phụ:

2.1/CÁC BƯỚC THỰC HIấN:

Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán cha cho)(Phân tích mẫu th nh nhân tà ử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia khác 0)

Phân tích tử v mà ẫu th nh nhân tà ử (rồi rút gọn nếu đợc)

Quy đồng, gồm các bước:

+ Chọn mẫu chung : l tích củc nhân tà ử chung v riêng, mà ỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất

+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng

+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung

Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức

Thu gọn: l cà ộng trừ các hạng tử đồng dạng

Phân tích tử th nh nhân tà ử (mẫu giữ nguyên)

Rút gọn

Chú ý:

RÚT GON BIỂU THỨC

Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các bài toán phụ: tính giá trị biểu thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ hơn) một số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu

thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức do vậy ta phải áp dụng các ph

-ơng pháp giải t-ơng ứng, thích hợp cho từng loại toán.

2.2/ Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho biểu thức:

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A

Bài giải: ĐKXĐ:

0

1 0

a a







 

0 1

a a











Ta có:

(1):(1)aa

Vậy A =

1 1

a a





b) Tìm a để A = 5 (Dạng bài toán phụ thứ nhất).

Ph

ơng pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn đợc vào và giải phơng trình:

1

5 1

a

a





  a 1 5( a1) a 1 5 a 5 4 a 6

(TMĐK)

Vậy với a =

9

4 thì A = 5.

c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 2(Dạng bài toán phụ thứ hai).

Ph

ơng pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn đợc rồi thực hiện các phép tính (Lu ý:

Có thể tính giá trị a rồi thay vào).

Ta có:

2 2 2 1 ( 2) 2 2.1 1 ( 2 1)

Suy ra a  2 1  2 1

Do đó thay vào biểu thức A ta đợc:

A =

2 1 1 2 2

1 2

 

d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng bài toán phụ thứ ba).

Ph

ơng pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ớc của phần d (một số), chú ý điều kiện xác định.

Ta có: A =

1 1

a a



 = 1 +

2 1

a 

Để A nguyên thì

2 1

a  nguyên, suy ra a 1 là ớc của 2

1 1

0

1 1

4

1 2

a

a a

a

a

  

 

 



 

Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên

e) Tìm a để A < 1 (Dạng bài toán phụ thứ t).

Ph

ơng pháp: Chuyển vế và thu gọn đa về dạng

M

N < 0 (hoặc

M

N > 0) trong đó dựa vào điều kiện ban

đầu ta đã biết đợc M hoặc N dơng hay âm, từ đó dễ dàng tìm đợc điều kiện của biến

1

1

a

a



 < 1 

1 1

a a



 - 1 < 0 

1

a

  

 < 0 

2 1

a  < 0  a 1 < 0  a <1 Kết hợp

điều kiện ban đầu, suy ra 0  a < 1

Ví dụ 2: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x1.

Rút gọn

2

( x ) 2 x 1 (x 2)( x 1) x 2

1

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A (Dạng bài toán phụ thứ năm).

Ph

ơng pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức.

Ta có A=



(BĐT Côsi cho hai số dơng)

min

2

x

(TMĐK) Vậy Amin = 2 2  x 2  .

Ví dụ 3: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2003-2004)

Cho biểu thức

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A

b)Tìm giá trị của x để A A 

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x  1.

  

=

A

x 1





b)

2

x 1



 

2

x 1





x 3 0

x 1 0



 

 

 (vì x > 1) x 9  Vậy x > 9 thì A A  .

Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2001-2002)

Cho biểu thức

A



a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của x thì A  A

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x  1

 

A

b)

x 1

x



(vì x 0  )

    Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A  A

Ví dụ 5: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2004-2005)

Cho biểu thức:

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

b) Tìm x để P 5 2 6   x 1  2   x 2005  2  3.

Bài giải:

a) ĐKXĐ: x > 0; x  1:

1 P

x 1



b) P 5 2 6   x 1  2   x 2005  2  3

2

1

x 1



       x 2005  (TMĐK)

Vậy x = 2005 thì P 5 2 6   x 1  2   x 2005  2  3

2.3/ Bài tập t ơng tự:

Bài 1 (Đề thi tốt nghiệp năm 2002-2003)

Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của x thì A >

1 3

c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất

Bài 2 ( Đề thi vào lớp 10 năm học 2008-2009)

Cho biểu thức

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P =

5 4

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M

x 12 1

P

x 1







Bài 3 Cho biểu thức:

x 9



a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức

b) Tìm x để D <

-1 2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D

Bài 4 Cho biểu thức:

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm a  Z để P nhận giá trị nguyên.

B

2 x 3 1 2 x 3 1

a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B

b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên

Bài 6 Cho biểu thức

P



a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

c) Tìm x để biểu thức

2 x Q

P



nhận giá trị nguyên

Bài 7 ( Đề thi vào lớp 10 năm học 2006-2007)



a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0

Bài 8 Cho biểu thức

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P

b) Tìm giá trị của a để P > 0

Bài 9 Cho biểu thức

 1 x 2

2

x 1 x 2 x 1

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm x để P <

1 2

Bài 10 Cho biểu thức:

P

x 1





a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm x để P <

1

2.

Bài 11 (Đề thi vào lớp 10 năm học 2007-2008)

Cho biểu thức

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

B i 12 à Cho biểu thức:

    với a > 0 và a1.

a) Rút gọn biểu thức P

b) Với những giá trị nào của a thì P >

1

2 .

(Trích Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 THPT tĩnh Hà Tĩnh - Năm học 2011 - 2012)

B i 13 à Cho biểu thức : A =

2 1





  với ( x > 0 v x à ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị của biểu thức khi x  3 2 2

B i 14 à Cho biểu thức : P =



  ( Với a  0 ; a  4 ) 1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1

B i 15 à Cho biểu thức : A =

1 2



1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A

2) Với giá trị nào của x thì A < -1

B i 16 à Cho biểu thức : A =

  (Với x0;x1) a) Rút gọn A

b) Tìm x để A = - 1

B i 17 à Cho biểu thức : B = x

x x

x  2 21

1 2

2 1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của B với x = 3

c) Tính giá trị của x để 2

1



A

B i 18 à Cho biểu thức : P = x

x x

x x

x















4

5 2 2

2 2 1

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn P

b) Tìm x để P = 2

B i 19 à Cho biểu thức : Q = (

) 1

2 2

1 (

: )

1 1

1













a a

a a

a

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q

b) Tìm a để Q dơng

c) Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4 5

B i 20 à Cho biểu thức : M =













































1 1

2

1

a a a

a a a a

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M

b) Tìm giá trị của a để M = - 4.

C Kết luận:

Trên đây là một trong những chuyên đề dạy ngoại khóa cho học sinh lớp 9 mà trong những năm gần đây, tổ toán trờng THCS Kỳ phơng thực hiện Khi đa chuyên đề này vào thực tiễn, chúng tôi thấy rất có hiệu quả Chính vì vậy chúng tôi mạnh dạn đa chuyên đề này báo cáo trớc tập thể giáo viên cụm vùng trong

Tuy nhiên trong chuyên đề không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót, rất mong nhận đợc sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp

Xin chân thành cảm ơn!