Part 2 2 PHÉP BIẾN đổi LAPLACE

Ứng dụng của phép biến đổi Laplace s Part 2: Phép biến đổi Laplace... Ứng dụng của phép biến đổi Laplace1.. Giải phương trình vi phân 2.. Ứng dụng trong kỹ thuật  Mạch điện  Hệ thống c

I Phép biến đổi Laplace

►II Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

s

Part 2:

Phép biến đổi Laplace

Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

1 Giải phương trình vi phân

2 Ứng dụng trong kỹ thuật

 Mạch điện

 Hệ thống cơ học

a Tính chất biến đổi Laplace của đạo hàm

Biến đổi Laplace của f (n) (t) = d n f/dt n:

L {f (3) (t)} = s 3 F(s) – s 2 f(0) – sf(1)(0) - f (2)(0)

L {f’’(t)} = s 2 F(s) – sf(0) –f’(0)

L {f’(t)} = sF(s) –f(0)

L{f (n) (t)} = s n F(s) – s n-1 f(0) – s n-2 f(1)(0) - … - f (n-1)(0)

b Phương trình vi phân cổ điển (ODE)

Chúng ta có thể ứng dụng phép biến đổi Laplace

để giải các phương trình vi phân cổ điển có hệ số hằng

Ví dụ, xét phương trình vi phân bậc 2:

ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = f(t)

Với các điều kiện đầu: y(0) = α, y’(0) = β.

Lấy biến đổi Laplace hai vế:

a[s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + b[sY(s) – y(0)] + cY(s) = F(s)

Cuối cùng, lấy biến đổi Laplace ngược, ta có y(t).

2

Y s

 

Một số nhận xét

 Ưu điểm lớn nhất của việc sử dụng phép biến đổi

Laplace đó là ta có thể thay thế các phép toán đạo hàm (tích phân) bằng các phép toán đại số thông thường

 Khi sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương

trình vi phân, thì các điều kiện đầu được sử dụng ngay ở bươc đầu tiên

 Phương pháp này bị hạn chế đối với các bài toán

không cho trước điều kiện đầu

 Đa thức ở mẫu số của Y(s) chính là đa thức đặc trưng

trong lời giải cổ điển

Ví dụ 2.01: Giải phương trình vi phân:

y’’(t) + 5y’(t) + 6y(t) = 2e -t

Với điều kiện đầu: y(0) = 1, y’(0) = 0

Giải:

Lấy biến đổi Laplace:

2

2 3

2 ( ) 1 0 5 ( ) 1 6 ( )

1

( )

( 1)( 2)( 3) ( 2)( 3)

s s

Y s

y t e e e



Ví dụ 2.02: Giải các phương trình vi phân sau:

a y’’(t) + 6y’(t) + 9y(t) = sint ; y(0) = 0, y’(0) = 0

b y’’(t) + 9y(t) = 18t ; y(0) = 0, y(π/2) = 0

Đáp án:

( ) 2 sin 3

t t

Ví dụ 2.03: Tìm nghiệm y(t) của phương trình vi phân:

y’’(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) ; y(0) = 0, y’(0) = 2

Đáp án:

3 [0,6) ( )

0 [0,6)

t

f t

t



6

6

( )

( )

s

s

s s

Y s





     

 



c Hệ phương trình vi phân

Ví dụ 2.04: Giải hệ phương trình vi phân bậc nhất sau:

Đáp án:

Sử dụng phép biến đổi Laplace ta được:

'( ) '( ) 5 ( ) 3 ( )

; (0) 2, (0) 1

2 '( ) '( ) ( ) ( ) 3

t

x t y t x t y t





2

2

2

22 39 15

( )

( )

( 1)( 2)( 1)

t t

t t t

Y s







a Mạch điện

Quan hệ giữa điện áp và dòng điện của các linh

kiện cơ bản trong miền t (miền thời gian) và miền s:

 Điện trở:

u R (t) = R.i R (t)  U R (s) = R.I R (s)

 Điện cảm (cuộn dây):

u L (t) = L.di L (t)/dt  U L (s) = sL.I L (s) – L.i L(0)

 Điện dung (tụ điện):

du t

Mạch điện trong miền s:

 Mô hình của các phần tử cơ bản trong miền s:

• Điện trở

• Điện cảm

• Điện dung

 Các điện áp và dòng điện trong miền s:

u(t)  U(s); i(t)  I(s)

 Mối liên hệ giữa các phần tử trong mạch được xác

định bởi định luật Kirchhoff và định luật Ohm

I R (s) R

+ U R (s)

-L.i L (0) sL

I L (s) + U L (s)

-u C (0)/s

I C (s) + U C (s)

-1/sC

Ví dụ 2.05: Tìm dòng điện i(t) trong mạch sau:

Lời giải: Trong trường hợp này, ta thấy các điều kiện đầu

đều bằng 0, do đó ta có mô hình mạch trong miền s như

sau:

0.5F

i(t) 10u(t)

2

2

10 ( )

3 2 ( ) 10 t t ( )

I s



2/s I(s)

10/s

Ví dụ 2.06: Tìm dòng i trong mạch biên sau:

Lời giải: Trong trường hợp này, ta phải xác định các điều

kiện đầu:

 t < 0: mạch xác lập

(0 ) 2 (0 ) 10

L C



0.5F

i(t)

t = 0:

open circuit

3W

i(t)

i L (0-)

u C (0-) +

-:

IMPORTANT NOTICE



Ví dụ 2.06 (tt):

 t > 0: mạch quá độ

Mạch trong miền s:

Đáp án:

2 2

2

3 2

s

2/s

I(s) 10/s

2

10/s

2







Ví dụ 2.07: Xác định u C (t)

Answer:

 t < 0  điều kiện đầu

 Kết quả:

(0) 2 (0) 12

L C



30H

0.2F

i L (t)

+

-1 1

3 2

t t

C C









Ví dụ 2.08: Xác định i 1 (t) và i2(t).

Answer:

 t < 0

 Kết quả

2

(0) (0) 4 (0) 16

L C



1

2

( )

( )

i t

t

i t

t













0.5H

1W

1F

i 1 (t)

0.2W

t = 0:

open circuit

i 2 (t) 20V

4V

u C (t) -+

b Các hệ cơ học

Basic elements of mechanical translational systems

are masses, spings and dampers:

The relationships between the forces and displacement at time t are:

2

2

d x

dt

Example 2.09: Determine the resulting displacement x(t)

of the mass, given that x(0) = x’(0) = 0, in the

mass-spring-damper system below:

Solution: by Newton’s law:

''( ) ( ) ( ) ( )

M = 1

w = 2

M

F 1 (t) = Kx(t) F 2 (t) = Bx (t)

Example 2.08 (cont):

We have the differential equation representing the motion of the system:

x’’(t) + 6x’(t) + 25x(t) = 4sin2t

Taking Laplace transform with the given initial conditions, lead to:

3

8 ( )

4 4 14 2 8( 3) 4

195 4 195 ( 3) 16

( ) 2 sin 2 4 cos 2 8 cos 4 sin 4

t

X s

