ứng dụng phép biến đổi Laplace ĐH BK

Lê Xuân Đại BK TPHCM ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TP... Phép biến đổi Laplace là một trong cácphép bi

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TP HCM — 2016 1 / 21

N ỘI DUNG

1 Đ ẶT VẤN ĐỀ

2 G IẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

3 G IẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

4 G IẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Phép biến đổi Laplace là một trong các

phép biến đổi tích phân mà mục tiêu là

biến các phép tính giải tích như đạo hàm,

tích phân thành phép tính đại số Như vậy,

qua phép biến đổi Laplace ta có thể chuyển

phương trình vi phân, phương trình đạo

hàm riêng, phương trình tích phân thành

một phương trình đại số

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TP HCM — 2016 3 / 21

Xét phương trình vi phân với hàm phải tìm

là y(t) cùng với các điều kiện ban đầu Lấy

phép biến đổi Laplace cả 2 vế của phương

trình đã cho.

Phương trình mới chứa hàm cần tìm là

L {y(t)} = Y (s) không phải là phương trình vi

phân Giải phương trình này tìm Y (s), sau

đó dùng phép biến đổi Laplace ngược tìm

lại hàm y(t).

V Í DỤ 2.1

Giải phương trình y 0 (t) + 2y(t) = 1 với điều

kiện ban đầu y(0) = 4

Dùng phép biến đổi Laplace lên 2 vế của

Dùng phép biến đổi Laplace ngược tìm lại

V Í DỤ 2.2

Giải phương trình y 00 (t) + 4y(t) = 9t với điều

kiện ban đầu y(0) = 0,y 0 (0) = 7

Dùng phép biến đổi Laplace lên 2 vế của

Dùng phép biến đổi Laplace ngược tìm lại

GHW #6

Giải phương trình vi phân sau bằng phép

biến đổi Laplace

y 00 (t) + 4y(t) = 0,y(0) = 2,y 0 (0) = 2

Đáp số. Y (s) = 2s + 2

s 2 + 4 ⇒ y(t) = sin(2t) + 2 cos(2t)

Giải phương trình vi phân sau bằng phép

biến đổi Laplace

Dùng phép biến đổi Laplace lên 2 vế của

phương trình, ta được

(

L {x 0 (t) − 2x(t) + 3y(t)} = L {0}

L{y 0 (t) + 2x(t) − y(t)} =L{0}

Cho L {u(x, t)} = U(x,s), L {f (t)} = F(s). Dùng

phép biến đổi Laplace 2 vế của phương

trình đã cho và sử dụng điều kiện đầu, ta có

U xx − s

2

c 2 U = − F(s)

c 2

´ 2 ¸ , khi t Ê x/c,

f 0

2 .t

2 , khi t É x/c

F(s) =

Z ∞ 0

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TP HCM — 2016 21 / 21