các phép biến đổi bảo toàn độ đo và độ đô ergodic

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy giáo cô giáo trong khoa toán,

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong

tổ Giải tích, các thầy giáo cô giáo trong khoa toán, các thầy giáo cô giáo trong trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc của mình tới T.S Tạ Ngọc Trí người đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận này

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa

do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù rất cố gắng nhưng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn và có nhiều ứng dụng trong thực tế

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà nội, ngày 11 tháng 5 năm 2011

Sinh viên Nguyễn Thị Hiền

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm và tạo điều kiện của các thầy giáo cô giáo trong khoa toán Trường đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của T.S Tạ Ngọc Trí

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một

số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan rằng khóa luận này là trung thực, tên đề tài không trùng lặp với bất cứ tên đề tài nào khác

Hà Nội, ngày11 tháng 5 năm 2011

Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Hiền

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI CAM ĐOAN 2

MỤC LỤC 3

LỜI MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 6

1.1 Giới thiệu 6

1.2 Không gian độ đo 7

1.2.1 Các định nghĩa 7

1.2.2 Đinh lý mở rộng Kolomogorov 8

1.2.3 Các ví dụ của không gian độ đo 9

1.3 Tích phân 9

1.3.1 Các định nghĩa 9

1.3.2 Các không gian LP 10

1.3.3 Các định lý hội tụ 11

1.3.4 Định lý biểu diễn Riesz 11

1.4 Độ đo xác suất 12

CHƯƠNG II: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN ĐỘ ĐO 14

2.1 Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục 14

2.1.1 Độ đo bất biến 14

2.1.2 Độ đo bất biến với các phép biến đổi liên tục 15

2.2 Không gian của các độ đo bất biến 16

2.2.1 Sự tồn tại của các độ đo bất biến 16

2.2.2 Các tính chất của M(X, T) 17

2.3 Các ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo 18

2.3.1 Sử dụng Định lý mở rộng Kolmogorov 18

2.3.2 Sử dụng chuỗi Fouries 22

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

CHƯƠNG 3: ERGODIC 25

3.1 Định nghĩa của Ergodic 25

3.2 Đặc trưng của Ergodic 26

3.3 Các ví dụ 27

3.4 Sự tồn tại của các độ đo Ergodic 30

3.5 Phép truy toán và Ergodic đơn trị 33

3.5.1 Định lý phép truy toán của Poincare 33

3.5.2 Ergodic đơn trị 34

3.5.3 Ví dụ 36

3.6 Định lý Ergodic của Birkhoff 37

3.6.1 Kì vọng có điều kiện 37

3.6.2 Định lý Ergodic của Birkhoff theo từng điểm 39

3.7 Các hệ quả của định lý Ergodic của Birkhoff 45

3.7.1 Các hệ quả 45

3.7.2 Ứng dụng 47

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng đầu thế kỉ XX và đến nay vẫn được xem như là một ngành toán học cổ điển Trong quá trình phát triển, giải tích hàm đã tích lũy được một số nội dung hết sức phong phú, những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và sử dụng đến công cụ giải tích và không gian vectơ Chính điều đó đã mở rộng phạm vi nghiên cứu cho các ngành toán học

Với mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu sắc về bộ môn này và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học cùng với sự giúp đỡ của T.S Tạ Ngọc Trí, em đã chọn đề tài : “Các phép biến đổi bảo toàn độ đo và độ

đo Ergodic”

2 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận này gồm 3 chương

Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Chương 2: Các phép biến đổi bảo toàn độ đo

Chương 3: Độ đo Ergodic

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Giới thiệu

Cho X là một không gian toán học Xét ánh xạ T : X X Lấy x X

và lặp lại ứng dụng của ánh xạ T đối với x ta được một dãy {x, T(x), T2

(x),

T3(x), } Đây gọi là quỹ đạo của x

Nếu Tn(x) = x thì điểm x được gọi là tuần hoàn với chu kì n

Ta xét bài toán như sau: Cho Cho T: [0, 1] [0, 1] và cố định một đoạn [a, b] [0, 1], cho x [0, 1] Tần số mà các quỹ đạo của x nằm trong [a,b] là gì? Trước hết, ta đã biết hàm đặc trưng A của tập A được xác định bởi

0 nếu x A Thì số lần n điểm đầu tiên trong quỹ đạo của x nằm trong [a, b] là

n 1

j [a, b]

j 0

(T (x))

Do đó, tỷ lệ của n điểm đầu tiên trong quỹ đạo của x nằm trong [a, b] là

1n

n 1

j [a, b]

j 0

1

(T (x))

n = b - a với x X h.k.n

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Một cách tổng quát của định lý này là: nếu xét với hàm đo được f bất kì thì

tần số mà quỹ đạo của x nằm trong một tập con A X là:

n

1n1

0

n

j

f (Tjx) = f d

Trước khi nghiên cứu cụ thể định lý này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức:

1.2 Không gian độ đo

ii Nếu E B thì phần bù của nó X \ E ;

iii Nếu En , n=1,2,3… là dãy đếm được các tập hợp trong thì

n

n 1E

Định nghĩa: Cho X là một không gian metric compact Một tập hợp - đại

số Borel (X) được xác định là - đại số nhỏ nhất các tập con của X mà bao

hàm tất cả các tập con mở của X

Cho X là một tập và là một - đại số các tập con của X, ta có:

Định nghĩa: Một hàm số : ¡ { } được gọi là một độ đo nếu :

i ( ) = 0;

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

ii Nếu En là các tập hợp đếm đƣợc , đôi một phân biệt trong thì:

Ta gọi (X, , ) là không gian độ đo

Nếu (X) < thì là độ đo hữu hạn

Nếu (X) = 1 thì là độ đo xác suất

Định nghĩa: Ta nói một tính chất đúng hầu khắp nơi nếu tập hợp các điểm

và (Xn) < ;

iii Nếu En , n 1, đôi một phân biệt và nếu n

n 1E

Thì có một độ đo duy nhất : ( ) ¡ mà là mở rộng của : ¡

1.2.3 Các ví dụ của không gian độ đo

Độ đo Lebesgue trên [0,1] Lấy X=[0,1] và lấy là lớp của các hợp hữu

hạn tất cả các khoảng con của [0,1] Với mỗi đoạn con [a,b], định nghĩa: ([a,b])= b - a

là độ đo Lebesgue

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Độ đo Lebesgue trên ¡ ¢ Lấy X= // ¡ ¢ =[0,1) mod 1 và lấy là lớp

của các hợp hữu tất cả các khoảng con của [0,1) Với một đoạn con [a,b], định

nghĩa:

([a,b]) = b - a

là độ đo Lebesge trên đường tròn

Độ đo Dirac Cho X là không gian xác suất và là một - đại số bất kì

Cho x X Định nghĩa độ đo x bởi:

x (A) = 1 nếu x A

0 nếu x A Thì x là độ đo xác suất Nó được gọi là độ đo Dirac tại x

f (c, ) với c ¡

Định nghĩa : Một hàm số f : X ¡ là đơn giản nếu nó có thể viết như tổ

hợp tuyến tính các hàm đặc trưng của các tập trong , nghĩa là

với ai ¡ , Ai , Ai đôi một phân biệt

Với một hàm đơn giản f : X ¡ , ta định nghĩa

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

+ Nếu f 0 thì tồn tại một dãy hàmđơn giản tăng f n sao cho f n f

Hai hàm đo được f , g : X £ tương đương nếu f = g -h.k.n Ta viết

L1(X, , ) tập hợp các lớp tương đương của các hàm khả tích trên (X, , )

Ta định nghĩa

f 1= f d

Thì d( f ,g) = f g 1 là metric trên L1(X, , )

Với p 1 bất kì, ta định nghĩa không gian Lp(X, , ) chứa các hàm đo được

f : X £ sao cho | f p là khả tích Metric trên Lp(X, , ) là d( f ,g) =

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Định lý 1.3 : ( Định lý hội tụ đơn điệu )

Giả sử f n: X ¡ là một dãy tăng các hàm khả tích trên (X, , )

Nếu f n d là dãy bị chặn của các số thực thì lim

1.3.4 Định lý biểu diễn Riesz

Cho X là một không gian metric compact và cho

Ta thường viết ( f ) cho f d

Định lý 1.5 ( Định lý biểu diễn Riesz)

Cho : C X ¡( , ) ¡ là hàm số sao cho :

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Cho (X, , ) là không gian độ đo

Nếu (X) =1 thì được gọi là độ đo xác suất và (X, , ) tương ứng là

là không gian xác suất

Đặt M(X) = { | (X) = 1} là tập hợp tất cả độ đo xác suất trên (X, )

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

CHƯƠNG II: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN ĐỘ ĐO

2.1 Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục

2.1.1 Độ đo bất biến

Cho (X, , ) là một không gian xác suất Một phép biến đổi T: X X được gọi là đo được nếu 1

T B với B

Định nghĩa: Ta nói rằng T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo hay được

gọi là độ đo T-bất biến nếu ( 1

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

i T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo;

ii Với mỗi f L1(X, , ), ta có

f d = f oTd

Chứng minh: (ii) (i) Với B , χB L1(X, , ) và χB T = χ 1

T B , ta có (B) = χB d = Bo d T

= χ 1

T Bd = (T B) 1

Vậy là độ đo T-bất biến

(i) (ii) Ngƣợc lại, giả sử rằng T là một phép biến đổi bảo toàn độ

đo Với hàm đặc trƣng bất kì χB, B ,

χB d = (B) = (T B) = χ1 1

T Bd = B o d TSuy ra đẳng thức đúng cho hàm đơn giản bất kì Cho bất kì f L1(X, , ) với f 0, ta có thể tìm đƣợc một dãy tăng các của các hàm số đơn giản f n

với f n f khi n Với mỗi n ta có

f nd = f n oT d

Và, áp dụng định lý hội tụ đơn điệu cho cả hai vế, ta có

f d = f oT d Kết quả này có thể mở rộng cho hàm f có dấu bất kì bằng cách xét phần âm

2.1.2 Độ đo bất biến với các phép biến đổi liên tục

Cho X là một không gian metric compact, là -đại số Borel và T là một ánh xạ liên tục (T đo đƣợc) Thì T cảm sinh ra một ánh xạ trên M(X) nhƣ sau:

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Định nghĩa Định nghĩa độ đo cảm sinh T : M(X)* M(X) bởi:

Do đó, kết quả này đúng với các hàm đơn giản.Với f C X ¡( , ) sao cho f

0, ta có thể chọn một dãy tăng của các hàm đơn giản f n hội tụ đến f Ta có

f nd(T ) = * f noT d

và, áp dụng định lý hội tụ đơn điệu với mỗi vế, ta có

f d(T ) = * f oT d Kết quả này có thể mở rộng cho hàm f bất kì bằng cách xét cả phần âm và

Bổ đề 2.3

Cho T: X X là một ánh xạ liên tục của các không gian metric compact

Các mệnh đề sau đây tương đương:

i T = ; *

ii Với f C(X, )¡ , ta có: f d = f oT d

Chứng minh:

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

i ii Hiển nhiên theo bổ đề 1.1 và vì C(X) L1(X, , )

ii i Định nghĩa 2 hàm số tuyến tính 1, 2: C(X, )¡ ¡ nhƣ sau:

2.2 Không gian của các độ đo bất biến

2.2.1 Sự tồn tại của các độ đo bất biến

Định lý 2.4.Cho T: X X là một ánh xạ liên tục của một không gian metric

compact thì tồn tại ít nhất một độ đo xác suất T- bất biến

Chứng minh

Cho M(X) là một độ đo xác suất Định nghĩa dãy n M(X) bởi

n = 1n

n 1 j

j 0

T * Với B , ta có

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

f T f T d n

= lim

k

1( o n k )

2.2.2 Các tính chất của M(X, T)

Định lý 2.5

i M(X, T) là lồi, nghĩa là 1, 2 M(X,T) 1 + (1- ) 2 M(X,T) với 0 1

ii M(X, T) là đóng yếu (và do đó compact)

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Suy ra M(X,T) Điều này chỉ ra rằng M(X,T) là đóng Nó là compact vì

nó là tập con đóng của tập compact M(X)

2.3 Các ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo

Phần này chúng ta sẽ đƣa ra một số ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn

độ đo bằng cách sử dụng định lý mở rộng Kolmogorov và sử dụng chuỗi

iii Nếu En , n 1, đôi một phân biệt và nếu n

Để chỉ ra T bảo toàn một độ đo xác suất , ta phải chỉ ra rằng T = *

Bằng hệ quả trên, ta chỉ cần chỉ ra T = trên một đại số Tức để chỉ ra rằng *

T xác định trên X bảo toàn một đo đo trên một tập hữu hạn thì ta cần chỉ ra

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

T* (a,b)= T (a,b) = (a,b) 1

a) Phép quay của đường tròn

Đường tròn có dạng

X = ¡ ¢ = {x + / ¢ | x ¡ } = [0, 1) mod 1

Do đó T* = trên đại số của hợp hữu hạn các khoảng con Vì đại số này

tạo ra - đại số Borel, theo tính duy nhất trong định lý mở rộng Kolmogorov,

ta thấy rằng T* = , nghĩa là, độ đo Lebesgue là T - bất biến

b) Ánh xạ kép

Định nghĩa: Cho X = [0, 1] Định nghĩa ánh xạ T: X X bởi:

T(x) = 2x mod 1 Chúng ta sẽ chỉ ra rằng T bảo toàn độ đo Lebesgue

Thật vậy, ta có

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Do đó T* = trên đại số của hợp hữu hạn các khoảng con Khi nửa đại số này tạo ra ra -đại số, theo tính duy nhất trong định lý mở rộngKolmogorov,

ta thấy T* = , nghĩa là, độ đo Lebesgue là T - bất biến

c)Ánh xạ liên phân số

Ánh xạ liên phân T : [0, 1) [0, 1) đƣợc xác định bởi:

T(x) =

0 nếu x = 0 1

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Do đó T* = trên đại số của hợp hữu hạn các khoảng con Vì đại số này tạo

ra - đại số, theo tính duy nhất trong định lý mở rộng Kolmogorov, ta thấy rằng T* = , nghĩa là, độ đo Gauss là T - bất biến

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

n i

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Định nghĩa T : X X bởi T(x) = 2x mod 1

Ta sẽ chỉ ra rằng là T- bất biến bằng sử dụng chuỗi Fourier

Nếu f có chuỗi Fourier n

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

CHƯƠNG 3: ERGODIC

3.1 Định nghĩa của Ergodic

Định nghĩa: Cho (X, , ) là một không gian xác suất và cho T : X X là

một phép biến đổi bảo toàn độ đo Ta nói rằng T là một phép biến đổi Ergodic (hoặc là một độ đo Ergodic) nếu, với B , có

1

T B = B (B) = 0 hoặc 1

Chú ý: Nếu T A = A với 0 < (A) < 1 thì có thể cắt T : X 1 X thành

T: A A và T: (X \ A) (X \ A) với các độ đo xác suất bất biến tương ứng 1

(A) ( A) và

1

1 - (A) ( (X\ A)) Cách này đôi khi rất thuận lợi để

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

làm suy yếu điều kiện 1

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Thì (Y) = 1 và theo cách xây dựng thì f là hàm hằng trên Y, nghĩa là, f là hàm hằng - h k n

(ii) (i) Giả sử B với T B = B thì ta có 1 B L1(X, , ) và

Cố định ¡ và định nghĩa T: /¡ ¢ /¡ ¢ bởi T(x) = x + mod 1

Ta đã biết rằng T bảo toàn độ đo Lebesgue

Định lý 3.4

Cho T(x) = x + mod 1

i Nếu ¤ thì T không là Ergodic

ii Nếu ¤ thì T là Ergodic

Chứng minh

(i) Giả sử ¤ và viết = p

q với p, q ¢ và q 0 Định nghĩa

f (x) = e2 iqx L2(X, , ) Giả sử T là Ergodic Khi đó ta có

f (Tx) = e2 iq(x + p/q) = e2 i(qx+p) = e2 iqx = f (x)

Mà f không là hàm hằng Điều này mâu thuẫn với tính chất 3.3

Vậy T không là Ergodic

(ii) Giả sử rằng ¤ Giả sử f L2(X, , ) sao cho f oT = f h.k.n Giả sử f có chuỗi Fourier