Part 1 1 BIẾN đổi CHUỖI FOURIER

Khai triển chuỗi Fourier  Khái niệm hàm tuần hoàn  Dạng lượng giác của chuỗi Fourier  Hàm chẵn và hàm lẽ  Công thức lặp để tính các hệ số  Hàm xác định trong một thời gian giới hạn

►I Chuỗi Fourier

II Biến đổi Fourier

Phần 1:

Giải tích Fourier

s

Chuỗi Fourier:

1 Khai triển chuỗi Fourier

 Khái niệm hàm tuần hoàn

 Dạng lượng giác của chuỗi Fourier

 Hàm chẵn và hàm lẽ

 Công thức lặp để tính các hệ số

 Hàm xác định trong một thời gian giới hạn

2 Dạng phức của chuỗi Fourier

3 Phổ tần số rời rạc

a Hàm tuần hoàn:

Hàm f(t) gọi là hàm tuần hoàn nếu giá trị của nó

được lặp lại sau một khoảng thời gian xác định:

T: chu kỳ, 0

2 

T f(t) = f(t + T)

b Dạng lượng giác của chuỗi Fourier:

Nếu f(t) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ T, khi đó:

d: một hằng số bất kỳ, thông thường chọn d = 0 hoặc –T/2.

0

1 0

0

0

2 2

Ví dụ 1.01:

Dùng công thức Euler để tính a n , b n:

0 ( )

3 (0 1)

cos 1

3 (1 2) ( 2) ( )

Ví dụ 1.04:

2 0

0 0

2 4

n n

2

2 3

n n

1 2

d Công thức lặp để tính các hệ số khai triển chuỗi Fourier:

Trong đó:

t k : điểm gián đoạn của f(t) trong một chu kỳ [d; d + T)

J k = f(t k +) – f(t k -): bước nhảy tại t k

0 1

0

0 1

d Công thức lặp để tính các hệ số khai triển chuỗi Fourier:

a, t 1 , t 2 : các điểm gián đoạn của f(t) trong đoạn [a; b)

t

f t

t t

n b

e Hàm xác định trong một khoảng giới hạn

Nếu f(t) chỉ tồn tại (khác 0) trong khoảng 0 ≤ t < , thì

rõ ràng nó không phải là hàm tuần hoàn, nên không tồntại chuỗi Fourier

Trong trường hợp này, chúng ta lập hàm tuần hoàn

mở rộng của f(t) để từ đó tìm chuỗi Fourier của f(t)

nhưng chỉ trong khoảng [0,  ).

i Chuỗi toàn kỳ (chuỗi bao gồm cả thành phần cosin vàsin)

Chúng ta định nghĩa hàm tuần hòa mở rộng (t) của

Hàm tuần hoàn (t) với chu kỳ  sẽ có khai triển

chuỗi Fourier, và chuỗi này sẽ bằng f(t) trong khoảng [0,

) (nếu ngoài khoảng này, f(t) không xác định, hoặc xác

định bằng 0, nhưng chuỗi vẫn tồn tại và khác 0)

Ví dụ 1.10: Tìm khai triển chuỗi Fourier toàn kỳ của:

Định nghĩa hàm tuần hoàn (t) bởi:

ii Chuỗi Fourier bán kỳ cosin và sin

Ta xác định hàm tuần hoàn mở rộng chẵn F(t) và hàm tuần hoàn mở rộng lẽ G(t) của f(t) bởi:

( ) (0 ) ( )

( ) ( 0) ( 2 ) ( )

( ) ( 0) ( 2 ) ( )

 Với hàm tuần hoàn mở rộng chẵn, ta khai triển được

chuỗi Fourier bán kỳ cosin.

 Với hàm tuần hoàn mở rộng lẽ, ta khai triển được

chuỗi Fourier bán kỳ sin.

Ví dụ 1.11: Tìm khai triễn chuổi Fourier bán kỳ cosin

và chuỗi Fourier bán kỳ sin của hàm:

2 1

n n

Từ chuỗi Fourier dạng lượng giác:

Thay thế:

Khi đó (*) trở thàn chuỗi Fourier phức:

c n còn có thể tính theo cách khác (nếu đã biết a n , b n):

Ví dụ 1.12: Tìm chuỗi Fourier phức:

Giải:

2 0 2

0

1

;( 0) 2

1 2 ( )

jnt n

jnt

n n

Ví dụ 1.12 (tt):

Ở ví dụ 1.02 ta đã tìm được chuỗi Fourier lượng giác:

c n có thể tính được từ a 0 , a n và b n như sau:

0 1

jn t

n n

Dạng sóng hài của chuỗi Fourier:

2 n n n

a

A  A  a  b Biên độ của sóng hài bậc n

Pha của sóng hài

Chuỗi Fourier cosin

Chuỗi Fourier sin

Phổ tần số rời rạc thực:

Với chuỗi Fourier cosin, ta có phổ như sau:

Đối với chuỗi Fourier sin: α n được thay bởi β n

Phổ tần số rời rạc phức:

Phổ biên độ phức

Phổ pha phức

jn t

n n

Phổ biên độ phức

Phổ pha phức

Ví dụ 1.15 (tt):

Ví dụ 1.15 (tt):

Chuỗi Fourier lượng giác của f(t):

Biến đổi về dạng sóng hài sin:

Ví dụ 1.15 (tt):

Phổ tần số rời rạc thực (ứng với chuỗi

Fourier sóng hài sin)

Ví dụ 1.15 (cont):

Quay lại chuỗi Fourier lượng giác của f(t):

Biến đổi về dạng sóng hài cosin:

Ví dụ 1.15 (tt):

Phổ tần số rời rạc thực (ứng với chuỗi

Fourier sóng hài cosin)

François Marie Charles Fourier

Born: 7 April 1772

Besançon, France

Died: 10 October 1837 (aged 65)

Paris, France

Fourier was a French

philosopher Some of Fourier's

social and moral views, held to be

radical in his lifetime, have become

mainstream thinking in modern

society Fourier is, for instance,

credited with having originated the

word feminism in 1837