Một số phép biến đổi trên tam giác

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS.. TRỊNH ĐÀO CHIẾN Phản biện 1: TS.. CAO VĂN NUÔI Tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI

TRÊN TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN

Phản biện 1: TS CAO VĂN NUÔI

Tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

- C¡c ph²p bi¸n êi b£o to n y¸u tè gâc cõa tam gi¡c.

- C¡c ph²p bi¸n êi b£o to n y¸u tè c¤nh cõa tam gi¡c

- p döng mët sè ph²p bi¸n êi tr¶n tam gi¡c º t¤o ra c¡c b i to¡n mîi.Luªn v«n s³ · cªp ¸n ba v§n · tr¶n, gióp ta câ thº gi£i ÷ñc mët sè lîpc¡c b i to¡n li¶n quan ¸n tam gi¡c ho°c s¡ng t¡c ÷ñc nhi·u ¯ng thùc, b§t

¯ng thùc kh¡c nhau tø mët ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc ¢ bi¸t

Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c ph²p bi¸n êi tr¶n tam gi¡c l  c¦n thi¸t, câ þngh¾a khoa håc, mang t½nh thüc ti¹n v  phò hñp vîi chuy¶n ng nh Ph÷ìngph¡p To¡n sì c§p

2 Möc ti¶u nghi¶n cùu

Luªn v«n s³ · cªp ¸n mët sè ph²p bi¸n êi tr¶n tam gi¡c v  ¡p döng chóng

º gi£i mët sè d¤ng to¡n li¶n quan ¸n tam gi¡c, mët sè d¤ng to¡n têng hñp,

l  · thi trong c¡c ký thi chån håc sinh giäi c¡c n÷îc, khu vüc, Olympic to¡nquèc t¸

Luªn v«n công s³ · xu§t mët sè b i tªp tü s¡ng t¡c, nh¬m phöc vö chocæng t¡c gi£ng d¤y v  bçi d÷ïng håc sinh giäi ð phê thæng, °c bi»t èi vîi h»chuy¶n To¡n

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

- èi t÷ñng nghi¶n cùu: Mët sè ph²p bi¸n êi tr¶n tam gi¡c

- Ph¤m vi nghi¶n cùu: Thuëc chuy¶n ng nh Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Tø c¡c t i li»u s÷u t¦m ÷ñc, d÷îi sü ành h÷îng cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoahåc, luªn v«n s³ · cªp ¸n mët sè ph²p bi¸n êi tr¶n tam gi¡c v  c¡c ¡p döngcõa chóng.

5 Þ ngh¾a khoa håc v  thüc ti¹n cõa · t i

Vîi möc ½ch nghi¶n cùu n¶u tr¶n, nëi dung cõa luªn v«n l  câ þ ngh¾a khoahåc, mang t½nh thüc ti¹n v  phò hñp vîi chuy¶n ng nh Ph÷ìng ph¡p To¡n sìc§p

Câ thº sû döng luªn v«n nh÷ l  t i li»u tham kh£o cho gi¡o vi¶n, håc sinh

v  b¤n åc quan t¥m ¸n cæng t¡c bçi d÷ïng håc sinh giäi

Ch÷ìng 2 Ph²p bi¸n êi b£o to n gâc, c¤nh tr¶n tam gi¡c v  ¡pdöng

Ch÷ìng n y · cªp ¸n mët sè ph²p bi¸n êi b£o to n y¸u tè gâc, c¤nh tr¶ntam gi¡c v  ¡p döng chóng º tø mët ¯ng thùc ho°c b§t ¯ng thùc ¢ bi¸tli¶n quan ¸n c¡c gâc, c¡c c¤nh cõa mët tam gi¡c, ta câ thº ¡p döng k¸t qu£

â ¢ n¶u º s¡ng t¡c ra nhi·u b i to¡n kh¡ phong phó B i to¡n â câ thº cânhi·u c¡ch gi£i, nh÷ng ½t nh§t mët c¡ch gi£i ¢ ÷ñc t¼m ra tø ph÷ìng ph¡ps¡ng t¡c b i to¡n n y

Ch÷ìng 3 Mët sè ph²p bi¸n êi kh¡c tr¶n tam gi¡c

Ch÷ìng n y · cªp ¸n vi»c ¡p döng mët sè ph²p bi¸n êi kh¡c tr¶n tamgi¡c, º tø B§t ¯ng thùc ¢ bi¸t (ch¯ng h¤n B§t ¯ng thùc Erdos-Mordell) tat¤o ra nhi·u b§t ¯ng thùc mîi thº hi»n c¡c y¸u tè cõa tam gi¡c

÷íng trung tuy¸n ùng vîi c¡c c¤nh: mai, mbi, mci.

B¡n k½nh ÷íng trán ngo¤i ti¸p v  ÷íng trán nëi ti¸p: Ri v  ri

ành l½ 1.1 Nghi»m li¶n töc cõa Ph÷ìng tr¼nh h m Pexider l :







f (x) = ax + c1 + c2g(x) = ax + c1 , x ∈ R.h(x) = ax + c2

1.2 CC NG THÙC V€ B‡T NG THÙC CÌ BƒN TRONGTAM GIC

1.2.1 C¡c ¯ng thùc cì b£n trong tam gi¡c

ành l½ 1.2 (ành l½ h m sè sin) Trong tam gi¡c ABC ta câ

asin A =

bsin B =

csin C = 2R.

ành l½ 1.3 (ành l½ h m sè cæsin) Trong tam gi¡c ABC ta câ

=

qp(p − a)(p − b)(p − c) (cæng thùc H¶-ræng)

ành l½ 1.5 (C¡c h» thùc l÷ñng gi¡c cì b£n) Vîi A, B, C l  ba gâccõa mët tam gi¡c, ta luæn câ c¡c h» thùc sau

sin A + sin B + sin C = 4 cos A

1.2.2 C¡c b§t ¯ng thùc cì b£n v· gâc v  ë d i c¡c c¤nh trongtam gi¡c

ành l½ 1.6 (C¡c b§t ¯ng thùc l÷ñng gi¡c cì b£n) Vîi A, B, C l 

ba gâc cõa mët tam gi¡c, ta luæn câ c¡c b§t ¯ng thùc sau

0 < sin A + sin B + sin C ≤ 3

√3

2 < sin A + sin B + sin C ≤ 3

√3

2 ,(tam gi¡c ABC nhån) (1.7)

0 < sin A + sin B + sin C ≤ 1 +√

2,(tam gi¡c ABC tò) (1.8)

2 < sin2A + sin2B + sin2C ≤ 9

4, (tam gi¡c ABC nhån) (1.9)sin A + sin B + sin C ≥ sin 2A + sin 2B + sin 2C (1.10)sin A sin B sin C ≤ 3

√3

0 < sin A sin B sin C ≤ 3

√3

0 < cos A cos B cos C ≤ 1

8,(tam gi¡c ABC nhån) (1.18)

tan A + tan B + tan C ≥ 3√

3,(tam gi¡c ABC nhån) (1.20)

sinA

2 + sin

B

2 + sin

C2

Bê · 1.2 Cho tam gi¡c ABC, M l  iºm n¬m trong tam gi¡c v  M0 l 

iºm èi xùng vîi M qua ph¥n gi¡c AK Khi â ta luæn câ b§t ¯ng thùc

ành l½ 1.8 (B§t ¯ng thùc Erdos-Mordell) Cho tam gi¡c ABC v  M

l  iºm n¬m trong tam gi¡c Khi â ta luæn câ b§t ¯ng thùc

Ra+ Rb + Rc ≥ 2 (da+ db + dc) (1.24)

¯ng thùc x£y ra khi 4ABC ·u v  M l  trüc t¥m tam gi¡c ABC

ành l½ 1.9 Cho tam gi¡c ABC v  M l  iºm n¬m trong tam gi¡c Khi â

ta luæn câ b§t ¯ng thùc

aRa+ bRb + cRc ≥ 2 (ada+ bdb + cdc) (1.25)

¯ng thùc x£y ra khi M l  trüc t¥m tam gi¡c ABC

ành l½ 1.10 Cho tam gi¡c ABC v  M l  iºm n¬m trong tam gi¡c Khi

â ta luæn câ b§t ¯ng thùc

¯ng thùc x£y ra khi 4ABC ·u v  M l  trüc t¥m tam gi¡c ABC

ành l½ 1.11 Vîi x, y > 0, ta luæn câ b§t ¯ng thùc sau

CH×ÌNG 2PH’P BI˜N ÊI BƒO TO€N Y˜U TÈ GÂC,C„NH TR–N TAM GIC V€ P DÖNG

Ch÷ìng n y · cªp ¸n mët sè ph²p bi¸n êi b£o to n y¸u tè gâc, c¤nh tr¶ntam gi¡c v  ¡p döng chóng º t¤o ra nhi·u b i to¡n mîi kh¡ phong phó C¡cki¸n thùc trong ch÷ìng ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [1] v  [3]

2.1 PH’P BI˜N ÊI BƒO TO€N Y˜U TÈ GÂC TR–N TAMGIC

2.1.1 Mët sè ph²p bi¸n êi b£o to n y¸u tè gâc tr¶n tam gi¡c

D÷îi ¥y l  mët sè v½ dö minh håa

A1 = −A + π

2; B1 = −B +

π

2; C1 = −C + π.

ành l½ 2.2 C¡c h m thüc li¶n töc

A → A1, B → B1, C → C1

l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

A1 + B1 + C1 = π; A1, B1, C1 ≥ 0, (2.11)vîi i·u ki»n

n¸u v  ch¿ n¸u chóng thäa m¢n c¡c i·u ki»n

A1 = kA + lπ, B1 = kB + mπ, C1 = kC + nπtrong â k + l + m + n = 1 v 

l, m, k + l, k + m ≥ 0; l + m, k + l + m ≤ 1 (2.13)hay

l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0; k + l ≥ 0, k + m ≥ 0, k + n ≥ 0 (2.14)D÷îi ¥y l  mët sè v½ dö minh håa

2, l = 0, m = 0, n =

1

2.Khi â

ta s³ mæ t£ c¡c lîp cõa tam gi¡c °c bi»t nh÷ sau

-) èi vîi lîp c¡c tam gi¡c

K = {(A, B, C) : A, B, C ≥ 0, A + B + C = π} (2.19)ho°c

K = {(A, B) : A, B ≥ 0, A + B ≤ π} (2.20)

K0 = (A, B, C) : 0 ≤ A, B, C ≤

2, A + B + C = π (2.21)ho°c

K0 = n(A, B) : 0 ≤ A, B ≤ π

2, A + B ≥

π2

o

-) èi vîi lîp c¡c tam gi¡c khæng nhån

+) Tam gi¡c khæng nhån t¤i A, k½ hi»u l  KA

KA =

n(A, B, C) : B ≥ 0, C ≥ 0, A ≥ π

2, A + B + C = π

o(2.19)ho°c

KA = n(A, B) : A ≥ π

2, B ≥ 0, A + B ≤ π

o (2.20)+) Tam gi¡c khæng nhån t¤i B, k½ hi»u l  KB

KB =

n(A, B, C) : A ≥ 0, C ≥ 0, B ≥ π

2, A + B + C = π

o(2.21)ho°c

KB = n(A, B) : A ≥ 0, B ≥ π

2, A + B ≤ π

o

(2.22)+) Tam gi¡c khæng nhån t¤i C, k½ hi»u l  KC

KC = n(A, B, C) : A ≥ 0, B ≥ 0, C ≥ π

2, A + B + C = π

o(2.23)ho°c

KC =

n(A, B) : A ≥ 0, B ≥ 0, A + B ≤ π

2

o (2.24)

l, m ≥ 0; 0 ≤ k + l, k + m ≤ 1

2;

1

2 ≤ l + m, k + l + m ≤ 1 (2.27)hay

l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0; 0 ≤ k + l, k + m, k + n ≤ 1

D÷îi ¥y l  mët sè v½ dö minh håa.

ành l½ 2.3 C¡c h m A1, B1, C1 ÷ñc x¡c ành bði (2.3) bi¸n êi t÷ìngùng 1 − 1 tø K0 v o K khi v  ch¿ khi k = −2, l = m = n = 1 ngh¾a l  khi v ch¿ khi A1 = π − 2A, B1 = π − 2B, C1 = π − 2C

l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 1

2; k + l ≥ 0, k + m ≥ 0, k + n ≥

1

2. (2.34)ii) C¡c h m A1, B1, C1 x¡c ành bði (2.3) bi¸n êi tø KC v o K, n¸u

D÷îi ¥y l  mët sè v½ dö minh håa.

2, m =

1

2, n = 1.Khi â

D÷îi §y l  v½ dö minh håa.

V½ dö 2.9 Chån k = 1

2, l = 0, m = 0, n =

1

2.Khi â

ành l½ 2.5 C¡c h m A1, B1, C1 ÷ñc x¡c ành bði (2.3) bi¸n êi t÷ìng ùng

1 − 1 tø K0 v o KC khi v  ch¿ khi l = m = 1

2, k = −1, ngh¾a l  khi v  ch¿ khi

Tø h» thùc l÷ñng gi¡c ¢ bi¸t, ta câ thº t¤o ra nhúng h» thùc kh¡c câ mèili¶n h» vîi h» thùc §y Tø â, ngo i c¡ch gi£i truy·n thèng (sû döng ph²p bi¸n

êi l÷ñng gi¡c) ta câ thº gi£i b i to¡n b¬ng c¡ch sû döng ph²p bi¸n êi b£o

to n gâc trong tam gi¡c

V½ dö 2.11 Gi£ sû (A, B, C) ∈ K0

Theo ành l½ 2.3, ta câ (π − 2A, π − 2B, π − 2C) ∈ K p döng k¸t qu£

n y v o c¡c B§t ¯ng thùc "gèc" nh÷ B§t ¯ng thùc (1.11), (1.15), (1.24) v (1.26), ta câ b i to¡n chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc mîi sau

B i to¡n 2.1 Chùng minh r¬ng vîi måi tam gi¡c ABC nhån ta câ:

a) 0 < sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ 3

√3

2 .

b) sin 2A + sin 2B + sin 2C + sin 4A + sin 4B + sin 4C ≥ 0.

c) 2 < sin A + sin B + sin C ≤ 3

√3

2 .d) (cos A + cos B + cos C)2 ≤ sin2A + sin2B + sin2C

V½ dö 2.12 Gi£ sû (A, B, C) ∈ K

Theo ành l½ 2.4, ta câ

A



∈ KC p döng k¸t qu£ n y v oc¡c B§t ¯ng thùc "gèc" nh÷ B§t ¯ng thùc (1.13), (1.15) v  (1.20), ta câ b ito¡n chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc mîi sau

B i to¡n 2.2 Chùng minh r¬ng vîi måi tam gi¡c ABC ta luæn câ:

câ b i to¡n chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc mîi sau

B i to¡n 2.3 Chùng minh r¬ng vîi måi tam gi¡c ABC tò ta luæn câ:a) 1 < sin A + sin B − cos C ≤ 3

2.b) 3

4 < sin

2A + sin2B − cos2C < 1

c) 2 < cos A + cos B + sin C <≤ 3

√3

2 .d) −1

8 ≤ cos 2A cos 2B cos 2C < 1

B i to¡n 2.4 Chùng minh r¬ng vîi måi tam gi¡c ABC tò ta luæn câ:a) 2 < cos A + cos B + sin C ≤ 3

√3

2 .b) 2 < cos2A + cos2B + sin2C ≤ 9

4.c) −1

8 ≤ sin A sin B cos C < 0

d) cot A + cot B − tan C ≥ 3√3

∈ K0 p döng k¸t qu£nay v o ¯ng thùc (1.7) v  B§t ¯ng thùc (1.21)

Ta phèi hñp k¸t qu£ tr¶n v  ¯ng thùc (1.6) º t¤o ra b i to¡n chùng minhb§t ¯ng thùc mîi

B i to¡n 2.5 Chùng minh r¬ng vîi måi tam gi¡c ABC ta luæn câ:

a) sin A sin B sin C ≤ cosA

Væ v n b i to¡n mîi s³ ÷ñc t¤o ra n¸u ta ti¸p töc ¡p döng k¸t qu£ cõa c¡c

ành l½ ¢ n¶u, m  c¡c v½ dö tr¶n ch¿ mîi l  mët sè ½t k¸t qu£ minh håa D÷îi

¥y l  mët sè b i to¡n t÷ìng tü

B i to¡n 2.6 Chùng minh r¬ng vîi måi tam gi¡c ABC câ ba gâc nhån tacâ:

sin A + sin B + sin Ccos A + cos B + cos C ≤ 1

3(tan A tan B tan C)

B i to¡n 2.7 Chùng minh r¬ng vîi måi tam gi¡c ABC ·u khi v  ch¿ khi

2 + sin

B

2 + sin

C2

= 13

cot A

2 cot

B

2 cot

C2



B i to¡n 2.8 Cho tam gi¡c ABC khæng vuæng, chùng minh r¬ng:

3 tan2A tan2B tan2C − 5 tan2A + tan2B + tan2C

≤ 9 + tan2A tan2B + tan2B tan2C + tan2C tan2A

B i to¡n 2.9 Chùng minh r¬ng vîi måi tam gi¡c ABC ta luæn câ:

2 + cot

2 B

2 + cot

2 C2

2 + tan

2 B

2 + cot

2 C2

B i to¡n 2.10 (Tuyºn tªp · thi Olimpic 30-4, n«m 2007) Chùngminh r¬ng tam gi¡c ABC câ ba gâc nhån, ta luæn câ:

tan5A + tan5B + tan5Ctan A + tan B + tan C ≥ 9

B i to¡n 2.11 Chùng minh r¬ng vîi måi tam gi¡c ABC ta luæn câ:

2 + cot

B

2 + cot

C2

≥ 9

B i to¡n 2.12 Câ nhªn x²t g¼ v· tam gi¡c ABC bi¸t:

tan A tan B tan C = 3(cot A + cot B + cot C)

B i to¡n 2.13 (Tuyºn tªp · thi Olimpic 30-4, n«m 2007) Cho tamgi¡c ABC câ p, R, r t÷îng ùng l  núa chu vi, b¡n k½nh ÷íng trán ngo¤i ti¸p

v  nëi ti¸p Chùng minh hai m»nh · sau t÷ìng ÷ìng:

2 + tan

B

2 + tan

C2

(1)

q3r(4R + r) = p (2)

V  câ nhªn x²t g¼ v· d¤ng cõa tam gi¡c ABC khi câ (1) ho°c (2)

B i to¡n 2.14 Chùng minh r¬ng tam gi¡c ABC c¥n n¸u ba gâc cõa nâthäa m¢n h» thùc:

sin A = 2 sin B cos C

B i to¡n 2.15 Chùng minh r¬ng tam gi¡c ABC c¥n n¸u ba gâc cõa nâthäa m¢n h» thùc:

sin 2A = −2 sin 2B cos 2C

2.2 PH’P BI˜N ÊI BƒO TO€N Y˜U TÈ C„NH TR–N TAMGIC

2.2.1 Mët sè ph²p bi¸n êi b£o to n y¸u tè c¤nh tr¶n tam gi¡c

ành l½ 2.6 N¸u a, b, c l  ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c, th¼ c¡c sèsau ¥y công l  ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c:

1) √a, √

b, √

c;2) √n

ành l½ 2.9 Tçn t¤i mët tam gi¡c vîi ba ÷íng cao ha, hb, hc khi v  ch¿

ha

hb − ha

hc

ii) 0 < x < y ⇒ f(x) < f(y);

iii) f(x + y) ≤ f(x) + f(y), ∀x, y > 0

K½ hi»u F l  tªp hñp t§t c£ c¡c h m f(x), thäa m¢n 3 t½nh ch§t n¶u tr¶n

Ta câ k¸t qu£ sau ¥y

ành l½ 2.11 Gi£ sû f(x) ∈ F N¸u a, b, c l  ba c¤nh cõa mët tam gi¡c th¼

f (a), f (b), f (c) công l  ba c¤nh cõa mët tam gi¡c

ành l½ 2.12 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c th¼ c¡c sè sau ¥ycông l  ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c:

1) sin A, sin B, sin C;

4) cos A, cos B, sin C, vîi c¡c gâc A, B nhån;

7) a cosA, b cosB, c cosC, vîi c¡c gâc A, B, C nhån

2.2.2 Mët sè v½ dö ¡p döng

Tø mët ¯ng thùc ho°c b§t ¯ng thùc ¢ bi¸t, li¶n quan ¸n c¡c c¤nh cõamët tam gi¡c, ta câ thº ¡p döng k¸t qu£ cõa c¡c ành l½ ¢ n¶u º s¡ng t¡c ranhi·u b i to¡n kh¡ phong phó B i to¡n â câ thº câ nhi·u c¡ch gi£i, nh÷ng ½tnh§t mët c¡ch gi£i ¢ ÷ñc t¼m ra tø ph÷ìng ph¡p s¡ng t¡c b i to¡n n y D÷îi

¥y l  mët sè v½ dö minh håa

V½ dö 2.16 Theo ành l½ 2.6, n¸u ta chån ha, hb, hc sao cho 1

hb +

1

hc ≤ 1

ha,th¼ s³ khæng tçn t¤i tam gi¡c câ 3 ÷íng cao ha, hb, hc Vªy, ta s¡ng t¡c ÷ñc

b i to¡n sau

B i to¡n 2.16 Chùng minh r¬ng khæng tçn t¤i tam gi¡c câ 3 ÷íng cao l 

ha = 1, hb = √

5, hc = 1 +√

5.V½ dö 2.17 Ta bi¸t r¬ng, n¸u a, b, c l  ba c¤nh cõa mët tam gi¡c th¼

a2+ b2+ c2 < 2 (ab + bc + ca) p döng ành l½ 2.6 v  ành l½ 2.12 v o b§t ¯ngthùc tr¶n, ta câ ÷ñc mët sè b i to¡n mîi sau:

B i to¡n 2.17 Chùng minh r¬ng n¸u ma, mb, mc l  ba ÷íng trung tuy¸ncõa mët tam gi¡c, th¼

B i to¡n 2.19 Chùng minh r¬ng n¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡cth¼

sin2A + sin2B + sin2C < 2(sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)

Tø c¡c ph÷ìng ph¡p phèi hñp tr¶n, ta câ ÷ñc b i to¡n mîi

B i to¡n 2.20 Chùng minh r¬ng n¸u ha, hb, hc l  ba ÷íng cao cõa mëttam gi¡c v  r l  b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c, th¼

1

B i to¡n 2.21 Chùng minh r¬ng n¸u ha, hb, hc l  ba ÷íng cao cõa mëttam gi¡c, th¼

ành l½ 2.11 l  k¸t qu£ têng qu¡t Vîi méi h m f ∈ F cö thº, ta câ

f (a), f (b), f (c) l  ba c¤nh cõa mët tam gi¡c Khi â, ta câ ÷ñc mët b ito¡n mîi D÷îi ¥y l  mët sè h m f ∈ F cö thº

V½ dö 2.18 X²t h m f(x) = x

x + 1, x > 0

p döng ành l½ 2.11, ta câ ÷ñc b i to¡n sau

B i to¡n 2.22 Chùng minh r¬ng n¸u a, b, c l  ba c¤nh cõa mët tam gi¡c,th¼

công l  ba c¤nh cõa tam gi¡c.

B i to¡n 2.23 Chùng minh r¬ng n¸u a, b, c l  ba c¤nh cõa mët tam gi¡c

công l  ba c¤nh cõa tam gi¡c

V½ dö 2.19 Gi£ sû k l  sè cho tr÷îc, thäa m¢n 0 < k ≤ 1 X²t h m

f (x) = xk, x > 0

p döng ành l½ 2.11, ta câ b i to¡n sau:

B i to¡n 2.24 Chùng minh r¬ng n¸u a, b, c l  ba c¤nh cõa mët tam gi¡c,th¼ ak, bk, ck, vîi 0 < k ≤ 1, công l  ba c¤nh cõa tam gi¡c

Nhªn x²t Vîi k = 1

n, n nguy¶n d÷ìng, k¸t qu£ n y ch½nh l  ành l½ 2.6 ¢bi¸t

V½ dö 2.20 X²t tam gi¡c câ ë d i ba c¤nh l  a, b, c v  tam gi¡c ·u câ

ë d i c¤nh l  1 p döng ành l½ 2.8, ta câ b i to¡n sau

B i to¡n 2.25 Chùng minh r¬ng n¸u a, b, c l  ba c¤nh cõa mët tam gi¡c,th¼ √a2 + 1, √

b2 + 1, √

c2 + 1 công l  ba c¤nh cõa tam gi¡c Væ v n b i to¡nmîi s³ ÷ñc t¤o ra n¸u ta ti¸p töc ¡p döng k¸t qu£ cõa c¡c ành l½ ¢ n¶u, m c¡c v½ dö tr¶n ch¿ mîi l  mët sè ½t k¸t qu£ minh håa

cRc2R,trong â R l  b¡n k½nh ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC.

+) Tø (3.1), (3.3), (3.5), c¡c y¸u tè trong tam gi¡c ABC ÷ñc t½nh theoc¡c y¸u tè trong tam gi¡c A1B1C1 nh÷ sau:

trong â λ = 2R.

3.2 PH’P BI˜N ÊI THÙ HAI

Ph²p bi¸n êi n y ¡p döng t½nh ch§t cõa ph²p nghàch £o

K²o d i c¡c o¤n MA1, M B1, M C1 v  l§y tr¶n â c¡c iºm A2, B2, C2thäa m¢n

M A1.M A2 = M B1.M B2 = M C1.M C2 = k2 (3.6)trong â k khæng êi kh¡c 0 cho tr÷îc (câ thº iºm A2 thuëc o¤n MA1).C¡c ÷íng MA, MB, MC c­t c¡c c¤nh cõa tam gi¡c A2B2C2 l¦n l÷ñt t¤ic¡c iºm D1, E1, F1 D¹ th§y r¬ng D1, E1, F1 ch½nh l  ch¥n c¡c ÷íng vuænggâc h¤ tø M xuèng c¡c c¤nh B2C2, C2A2, A2B2 Hìn núa ta câ ¯ng thùc

M A.M D1 = M B.M E1 = M C.M F1 = k2 (3.7)Chån k = 1, ta câ sü li¶n h» giúa hai tam gi¡c ABC v  A2B2C2 nh÷ sau:+) C¡c y¸u tè trong tam gi¡c A2B2C2 ÷ñc t½nh theo c¡c y¸u tè trong tamgi¡c ABC nh÷ sau

f (a), f (b), f (c) cụng l ba cÔnh cừa mởt tam giĂc

nh lẵ 2.12 Náu A, B, C l ba gâc cõa mët tam gi¡c th¼ c¡c sè sau Ơycụng l ở di ba cÔnh cừa mởt tam giĂc:... mëttam gi¡c v  r l  b¡n kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc, thẳ

1

Bi toĂn 2.21 Chựng minh rơng náu ha, hb, hc l ba ữớng cao cừa mởttam... 2.20 Xt tam giĂc cõ ở di ba cÔnh l a, b, c v tam giĂc Ãu cõ

ở di cÔnh l p dửng nh lẵ 2.8, ta câ b i to¡n sau

B i to¡n 2.25 Chùng minh rơng náu a, b, c l ba cÔnh cừa mët tam gi¡c,th¼