Part 3 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG PHỨC

Tích phân đường phức1.. Tích phân đường phức 2.. Tích phân đường phức... Định lý Cauchy Đường cong kín: là đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, có thể đơn hoặc không đơn:  G

I Hàm biến phức

II Chuỗi phức

IV Điểm bất thường, zeros và thặng dư

V Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

s

Part 3:

Hàm biến phức

Tích phân đường phức

1 Tích phân đường phức

2 Định lý Cauchy

1 Tích phân đường phức

 Cho f(z) là một hàm phức liên tục tại mọi điểm trên một đường cong đơn C trong mặt phẳng z và hai điểm đầu a và b:

 Nếu z = x + jy và f(z) = u(x,y) + jv(x,y):

0 1

k

n

k k

k

f z dz f z z



C f z dz  C u x y  jv x y  dx jdy

Ví dụ 4.01: Tính tích phân phức dọc theo đường

C, nối hai điểm -1 + j và 5 + 3j theo đường gấp khúc

ABD như hình:

Nếu C là đường thẳng nối A và D thì kết quả có gì

thay đổi không?

Đáp án: -4 + j.196/3

1 Tích phân đường phức

2

C z dz



Ví dụ 4.02: Tính tích phân đường phức

với C là đường tròn |z – z0| = r (r là hằng số)

Đáp án:





0

1 ( )n

z z





0

1

( )n

C

j n dz

n

z z

1 Tích phân đường phức

2 Định lý Cauchy

 Đường cong kín: là đường cong có điểm đầu và

điểm cuối trùng nhau, có thể đơn hoặc không đơn:

 Goursat sau này chứng minh được rằng định lý

Cauchy đúng cho cả trường hợp f’(z) không liên tục

trên C

 Định lý Cauchy: Nếu f(z) là hàm giải tích với đạo hàm f’(z) liên tục tại mọi điểm bên trong và trên đường cong kín đơn C, khi đó:



C f z dz

 Miền giới hạn: là miền được giới hạn bởi các đường

cong kín, có thể đơn liên hoặc đa liên:

 Tích phân không phụ thuộc

trong một miền đơn liên

D, khi đó tích phân của

f(z) không phụ thuộc vào

đường lấy tích phân

trong D

f z dz  f z dz

2 Định lý Cauchy

 Nguyên lý biến dạng chu tuyến: Nếu f(z) là một hàm giải tích trong miền đơn liên D, và C1 là một đường cong

kín trong D Nếu C1 có thể biến dạng (co – giãn) trở

thành đường cong kín C2 và quá trình biến dạng

không vượt ra khỏi miền D, khi đó:



 1 ( )  2 ( )

C f z dz C f z dz

C1

C2

2 Định lý Cauchy

 Nếu f(z) có hữu hạn các điểm bất thường z = z i (i = 1,2,…,n) bên trong một đường cong kín đơn C, và có n

đường con kín i bao quanh các điểm bất thường này

(mỗi đường i chỉ bao quanh duy nhất một điểm bất

thường z i), khi đó:

 1 ( )  1 ( )  2 ( )  ( )

n

C f z dz f z dz f z dz f z dz

2 Định lý Cauchy

Ví dụ 4.03: Tính tích phân

với C là:

a bất kỳ đường cong kín nào bao quanh z0

b bất kỳ đường cong kín nào không bao quanh z0

Ví dụ 4.04: Tính tích phân

với C là

a bất kỳ đường cong kín nào bao quanh hai điểm z =

1 và z = -2j

b bất kỳ đường cong kín nào bao quanh z = -2j nhưng

không bao quanh z = 1.





0

1 ( )n

z z

z

dz

z z j

2 Định lý Cauchy

Ví dụ 4.05: Tính tích phân đường:

với C là đường cong bao cả ba điểm z = 1, - 2 and –j.

 Công thức tích phân Cauchy: Cho f(z) là một hàm giải

tích bên trong và trên biên một đường cong kín đơn

C Nếu z0 là một điểm bất kỳ bên trong C, thì khi đó:



















0 0

( )

0 1

0

( )

2 ( )

( )

!

C

n n

C

f z

dz j f z

z z

dz f z

n

z z



C

z

f z dz with f z

z z z j

2 Định lý Cauchy

Đáp án ví dụ 4.05:

trong đó 1, 2 và 3 là các đường cong kín chỉ bao

quanh lần lượt z = 1, - 2 và –j Dùng công thức tích

phân Cauchy ta có kết quả:

3

( )

2

( )

( 1)( 2)

C

z

f z

f z f z

z z



C f z dz j f f f j

2 Định lý Cauchy

Ví dụ 4.06: Tính tích phân đường

với C là đường cong kín bao quanh z = 1.

Đáp án: I = 12πj





( 1)

C

z

z

2 Định lý Cauchy