ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TOÁN VD VDC

Sử dụng định nghĩa xác định công thức diện tích.. Dựa vào các điểm đồ thị đi qua xác định hàm số đi đến công thức tính.. Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị xác định hàm số đi

Dạng 1 Sử dụng định nghĩa xác định công thức diện tích

Dạng 2 Dựa vào các điểm đồ thị đi qua xác định hàm số đi đến công thức tính

Dạng 3 Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị xác định hàm số đi đến công thức tính

Dạng 4 Dựa vào tiếp tuyến của đồ thị xác định hàm số đi đến công thức tính

Dạng 5 Biến đổi đồ thị đưa về tính toán đơn giản

Dạng 6 Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình

Dạng 7 Toán thực tế với giả thiết có đồ thị hàm liên quan

II BÀI TẬP MINH HỌA

1) Dạng 1 Sử dụng định nghĩa xác định công thức diện tích

Câu 1: (Đề THPT QG 2019)Cho hàm số y f x  liên tục trên  Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x y , 0,x   và 1 x  (như hình vẽ bên) 5

y=f(x) y

( )

f x dx

5 0

( )

f x dx

8 0

( )

f x dx

Lời giảiChọn D

Từ hình vẽ ta thấy phần diện tích hình phẳng cần tính là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số:y  f x  32x ; 32   1 4 2 5

Chọn A

Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng

Câu 6: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên đoạn 3;3 và có đồ thị như hình vẽ Biết rằng diện tích hình phẳng S S giới hạn bởi đồ thị hàm số 1; 2 y  f x  và đường thẳng d lần lượt là ;a b Tính tích phân 1  

2

-4-2-3

y

xO

xO

( )d

S  f x x Lời giải

Câu 9: Cho hàm số y  f x  liên tục trên  và hàm số y g x  x f x 2

có đồ thị trên đoạn     như hình vẽ bên Biết diện tích miền được tô màu là 0;2

Quan sát đồ thị ta thấy g x     0, x    1;2

Sy=g(x)

21

y

xO

y

xO

y

xO

y=f'(x)

A a b c  B a b c  C    a b c D    a b c

Lời giảiChọn A

t x  dt dx

x O

y=f'(x)

Lời giảiChọn A

2 2

xO

A 0 1

2m

2   m C 1  m 32 D 23   m 2

Lời giải Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm 8x27x3 m Giả sử như hình vẽ, hoành độ các giao điểm là

-2y=g(x)

y=f(x)

y

xO

2) Dạng 2 Dựa vào các điểm đồ thị đi qua xác định hàm số đi đến công thức tính

Câu 1: Cho các hàm số f x ax2  và bx c g x mx n có đồ thị lần lượt là đường cong  C và đường thẳng d (như hình vẽ) Biết AB  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 5  C và đường thẳng d (phần tô màu) là S p

d

(C)y

xO

A p q 20 B p11q C pq 69 D p q 35

Lời giải Chọn D

S1

y

x O

Lời giải Chọn A

Ta có phương trình hoành độ giao điểm f x    g x a x 1x2x  3 0

y

x O

Lời giải Chọn A

Ta có đường thẳng đi qua hai điểm    2;0 ; 0;2 là y x  2

Giao điểm của hai đồ thị là x  2;x 0;x  2

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn với hai đồ thị trên như hình vẽ là: 2  3

0

S   x x dx Chọn đáp án A

Câu 4: (Đề THPT QG 2018) Cho hai hàm số   3 2 1

-1 -3

Lời giải Chọn D

Từ giao điểm hai đồ thị ta có f x    g x a x 3x 1 x 1

2

a x  x  x ax  b d x  c d x Xét hệ số tự do suy ra 3 3 1

x O

Lời giảiChọn A

của hàm số y f x  và y g x   cắt nhau tại ba điểm A B C có , ,

hoành độ lần lượt là 1; 1; 2 (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới

hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

-1

-3

1

21-1

 nên phương trình f x   g x có ba nghiệm là 1; 1; 2

Kết hợp với điều kiện giả thiết suy ra f x    g x a x1 x1 x 2

Đồng nhất hệ số tự do hai dạng biểu thức f x   g x ta được 2a   2 a 1

5-32-3

2-1

Tại điểm có hoành độ x   hai đồ thị hàm số này tiếp xúc với nhau 3

-1 y=g(x)

y=f(x)

y

x O

2

S  Lời giải

Câu 9: Cho hàm số y  f x( ) xác định và liên tục trên đoạn 5;3 Biết rằng diện tích hình phẳng S S S 1, ,2 3giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x( ) và đường thẳng y g x  ax2   lần lượt là , ,bx c m n p Tích phân

Chọn B

Đồ thị hàm y g x  đi qua các điểm O     0;0 ,A 2;0 , 3;2B nên

xO

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f x y( ); f x'( )có diện tích gần bằng số nào sau đây?

Lời giải

f  f  nên các giá trị a 1,b  2,c thỏa mãn yêu cầu bài toán 1

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y  f x y( );  f x'( ):

diện tích hình phẳng S S S giới hạn bởi đồ thị hàm số 1, ,2 3 y  f x( )

và đường cong y g x   lần lượt là m n p Tính , ,

Đồ thị hàm y g x  đi qua các điểm O  0;0 ,A   nên 2; 4

ab

y

xO

-4

y

Đồ thị hàm số (*) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt  b 0

32

5

S   x  x  dx  suy ra Chọn A

4) Dạng 4 Dựa vào tiếp tuyến của đồ thị xác định hàm số đi đến công thức tính

Câu 1: (Đề HSG Bắc Ninh 2019)Cho hàm số y  f x  là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y f x y  ;  f x  có diện tích bằng

A 127

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết đi đến      2 2

y

x O

Lời giảiChọn A

Đường thẳng d y mx n:   cắt đồ thị hàm số f x( )x3ax2   tại điểm có hoành độ bx c

Câu 3: Cho hàm số y x 3ax2   có đồ thị bx c  C Biết rằng tiếp

tuyến  d của  C tại điểm A có hoành độ bằng 1 cắt  C tại B có

hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  d

Phương trình tiếp tuyến d của  C tại A : y   3 2a b x      1 a b c 1

Phương trình hoành độ giao điểm của  C và  d là :

xO

1

1-1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C và trục hoành bằng:

A 4

Lời giải Chọn A



Câu 5: Cho hàm số y ax 4 bx2  có đồ thị c  C , biết rằng  C đi qua điểm A  1;0 Tiếp tuyến  tại A của đồ thị  C cắt  C tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị  C và hai đường thẳng x  ; 0 x  có diện tích bằng 562

5 (đồ thị như hình vẽ).

xO

3

2

1-1Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị  C và hai đường thẳng x   ; 1 x  0

A 2

Lời giải Chọn A

Cách 1:

Hàm số y ax 4 bx2  TXĐ: c D  

Ta có: y' 4 ax32bx

Phương trình tiếp tuyến  của đồ thị  C tại A  1;0 có dạng y    4a 2b x  1

Do tiếp tuyến  tại A của đồ thị  C cắt  C tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 nên phương trình ax4 bx2    c  4a 2b x  nhận ba nghiệm là: 1 x   ; 1 x  ; 0 x  2Suy ra:

Bài cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị  C và hai đường thẳng x  ; 0 x  có diện 2tích bằng 56

0

56

(do phương trình trên có 3 nghiệm như bài toán đã cho)

Theo bài ta có phương trình 2   2 

Câu 6: Cho hàm số y ax 4 bx2  có đồ thị c  C , biết rằng  C đi qua điểm A  1;0 , tiếp tuyến d tại

A của  C cắt  C tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ thị  C và hai đường thẳng x 0; x  có diện tích bằng 282

5

2

2

1-1

y

xO

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C và hai đường thẳng x   ; 1 x 0 có diện tích bằng

A 2

Lời giảiChọn D

Ta có y 4ax3 2bx  d y:    4a 2b x 1

Phương trình hoành độ giao điểm của d và  C là:  4a 2b x  1 ax4 bx2c 1

Phương trình  1 phải cho 2 nghiệm là x 0, x  2

5) Dạng 5 Biến đổi đồ thị đưa về tính toán đơn giản

Câu 1: Cho parabol   2

P y x x cắt trục hoành tại hai điểm A , B và đường thẳng :d y a

0  Xét parabol a 4  P đi qua A , B và có đỉnh thuộc đường thẳng y a2  (đồ thị như hình vẽ) Gọi

1

S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và d 1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2  P và trục 2

hoành Biết S1  , tính S2 T a 3 8a248a

y = aBA

y

xO

Lời giải Chọn B

y = aB

A

NM

y

xO

Để việc tính toán trở nên đơn giản, ta tịnh tiến hai parabol sang trái một đơn vị Khi đó, phương trình các parabol mới là   2

P y   x  aGọi A, B là các giao điểm của  P và trục Ox1  A 2;0 , B 2;0 AB 4

Gọi M , N là giao điểm của  P và đường thẳng d1 M 4 a a; , N 4a a; 

0

212

Câu 2: Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x2 4x và trục hoành Hai đường thẳng

y m và y n chia ( )H thành 3 phần có diện tích bằng nhau Giá trị của biểu thức

x O

6) Dạng 6 Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình

Câu 1: (Đề tham khảo THPT QG 2018)Cho  H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  3x2, cung tròn

có phương trình y  4 (với x2 0  ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) Diện tích của x 2

Chọn B

3 2

1 -1

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong  3

y   nghịch biến trên  nên  1 có nghiệm duy nhất x  2

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong y 3x , 1 y 22  x là:

2

3x 1 2 x (1)

Dễ thấy x  là nghiệm của 1  2 đồng thời hàm số y 3x đồng biến trên 1  , hàm số y 22  x

nghịch biến trên  nên (1) có nghiệm duy nhất x  1

xO

y=3-xy=2x2

A 8

Lời giải Chọn A

S2

S1

2

31

y

xO

y=3-x

Gọi parabol  P y: 2x2 và đường thẳng  d y:   3 x

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của  P và  d là:

y  x và đường Elip có phương trình 2 2 1

4

x   y(phần tô đậm trong hình vẽ) Diện tích của ( )H bằng

Ta có x42   y2 1 1 2

4

xy

  3x4   x2 4 0

2 2

42

y=

x

Gọi I b là tậm của đường tròn  ;1  C b  ; 0 ;1 2

2 tiếp xúc với hai nhánh của  P (như hình vẽ) Diện tích

hình phẳng giới hạn bởi  P và  C (phần tô đậm trong hình) gần

nhất với giá trị nào sau đây?

Lời giải Chọn D

Gọi I b là tậm của đường tròn  0;  C b  ; 0 A a a là tiếp  ; 2

điểm nhánh bên phải của  P và  C a  0

Phương trình tiếp tuyến chung của  P và  C : :y 2ax a 2 2ax y a   2 0

Tiếp tuyến  có véctơ chỉ phương u  1;2a IA a a; 2b

y  )

4,54

2

AI

y

xO

Chọn D

Vì tính đối xứng, ta chỉ cần tính phần tô màu phía bên phải trục Oy x   0

2 1 -1

-4 -5

y

x O

Biếtf 0  giá trị của 0, 2f  5 3 2f  bằng

A 109

Lời giảiChọn C

7) Dạng 7 Toán thực tế với giả thiết có đồ thị hàm liên quan

Câu 1: (Đề tham khảo THPT QG 2019)Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A A B B 1, , ,2 1 2như hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 vn / m và phần còn lại đ 2 100.000 vn / m đ 2Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết AA 1 2 8m, B B 1 2 6m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ 3m?

A 5.526.000 đồng B 5.782.000 đồng C 7.322.000 đồng D 7.213.000 đồng

Lời giải Chọn C

NM

Gọi phương trình chính tắc của elip  E có dạng: x22 y22 1

2 1

y

x O

x

Câu 4: Một mặt bàn hình elip có chiều dài là 120cm , chiều rộng là là 60cm Anh Phượng muốn gắn đá hoa cương và dán gạch tranh trên mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương bên ngoài và điểm nhấn bên trong là bộ tranh gồm 2 miếng gạch với kích thước mỗi miếng là 25cm40cm) Biết rằng đá hoa cương có giá và bộ tranh gạch có giá 300.000 vnđ/bộ Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương và dán gạch tranh theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

Gọi phương trình chính tắc của elip  E có dạng: x22 y22 1

600.000 vn / m và đá hoa cương màu trắng có giá 650.000 vn / m Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương đ 2theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

y

xB'2

ab

NM

Chọn gốc tọa độ trùng với tâm đường tròn, khi đó phương trình đường tròn tâm O bán kính 2 là

Diện tích của hình tròn là 4 m 2

Diện tích hình vuông là 4 m  2

Các cạnh của hình vuông nằm trên các đường thẳng y  1,x   1

Phương trình hoành độ giao điểm của đường tròn và đường thẳng y  là 1

Câu 8: Nhà ông An có một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5( )m Ông An muốn thiết

kế khuôn viên một phần để lát gạch Ý (phần tô đậm) và hai phần còn lại để trồng hoa Nhật Bản ( phần không

tô màu) Phần tô đậm có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn, cách nhau một khoảng bằng 4 (m) Biết các kích thước cho như hình vẽ, kinh phí để trồng hoa Nhật Bản là 150.000 đồng / m2 và kinh phí để lát gạch Ý là 250.000 đồng/ m2 Hỏi kinh phíông An để làm công trình đó gần nhất với kết quả nào sau đây?

4m

4m4m

A 5.916.400 đồng B 5.906.400 đồng C 5.609.400 đồng D 5.906.500 đồng

4

2Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó phương trình nửa đường tròn là:

Gọi S là phần diện tích của hình phẳng hạn bởi ( )1 P là nửa đường tròn ( phần tô màu)

Diện tích phần lát gạch Ý của khuôn viên là:

2

1 2

AC BD  m Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là

1200000 đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000đồng/m2

A 11445000 (đồng) B 7368000(đồng) C 4077000 (đồng) D 11370000 (đồng)

Lời giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox , A trùng O khi đó parabol có đỉnh G 2;4 và

đi qua gốc tọa độ

Diện tích hai cánh cổng là SCDEF CDCF 6,138 6,14  m2

Diện tích phần xiên hoa là Sxh  S SCDEF 10,67 6,14 4,53( )  m2

Nên tiền là hai cánh cổng là 6,14.1200000 7368000  đ

và tiền làm phần xiên hoa là 4,53.900000 4077000  đ

Vậy tổng chi phí là 11445000 đồng

A 13.265.000 đồng B 12.218.000 đồng C 14.465.000 đồng D 14.865.000 đồng

Lời giải Chọn A

8 2

y

x O

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm hình tròn, suy ra phương trình

đường tròn là: x2  y2 64

+ Diện tích hình vuông ABCD là: SABCD   4 4 16 m2

Câu 11: Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật như hình dưới đây, trong đó   P1 , P là các 2

parabol giống nhau,  C là đường tròn có tâm trùng với tâm của mảnh sân và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol tại chính các đỉnh của các parabol ấy Tính và làm tròn đến hai chữ số thập phân diện tích phần lát gạch của mảnh sân trong trường hợp diện tích hình tròn bao bởi  C lớn nhất

Lời giải Chọn A

Đặt  C và  P vào mặt phẳng Oxy sao cho 1  C có tâm là O và bán kính là r r  như hình  0dưới đây:

8

rara

8

rra

ra

2 2 2

5 cm ; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có

độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol như hình vẽ Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức

Lời giải Chọn A

h

h

y

x O

trên Parabol  P có phương trình y ax 2 h a, 0