Part 3 5 HÀM BIẾN PHỨC

Tích phân đường phức IV.. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư1.. Tính tích phân thực 3.. Tìm biến đổi Laplace ngược... Ví dụ 5.03: Tính tích phânĐáp án: với C là đường cong kín vô cùng lớn,

Part 3:

Hàm biến phức

I Hàm biến phức

II Chuỗi phức III Tích phân đường phức

IV Điểm bất thường, zeros và thặng dư

Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

1 Định lý thặng dư

2 Tính tích phân thực

3 Tìm biến đổi Laplace ngược

1 Định lý thặng dư

Ví dụ 5.01: Tính tích phân

với C là đường tròn:

a |z| = 1 b |z| = 3

 Định lý thặng dư: Nếu f(z) là một hàm giải tích bên trong và trên đường cong kín C, ngoại trừ tại một số hữu hạn điểm cực z i (i = 1, 2,… n), khi đó:







1

( ) 2 Res ( ),

n

i C

i

f z dz j f z z

  



 3 3 2

1 4

C

z z z

dz

Đáp án ví dụ 5.01:





   



3

1 Res ( ),0

4

8 4

4

3 3 Res ( ), 2

8 4

f z

z z z





 

 

        





1 ( ) 2 Res ( ),0 2

( ) 2 Res ( ),0 Res ( ), 2 Res ( ), 2

1 3 3 3 3

4 8 4 8 4

C

C

j

1 Định lý thặng dư

Ví dụ 5.02: Tính tích phân

với C là đường tròn |z| = 3.

Đáp án:

 

 3 2

( 2 2)

C

dz

z z z

       

4 8 8 8 8

1 Định lý thặng dư

2 Tính tích phân thực

trong đó P(x), Q(x) là các đa thức có bậc lần lượt là n và

m, với m > n + 1.

với z i (i = 1,2,…,n) là các cực của f(z) nằm ở nữa trên mặt phẳng phức, tức là Im{z i} > 0















1

2 Res ( ),

C

n

i i

f x dx f z dz

( )

P x

Q x

R  

Ví dụ 5.03: Tính tích phân

Đáp án:

với C là đường cong kín vô cùng lớn, bao toàn bộ nữa

trên mặt phẳng phức

Dùng định lý thặng dư (hoặc công thức tích phân Cauchy) để tính tích phân phức ở vế phải:



( 4)

dx x



( 4) C ( 4)









1

2 Res ; 2

16

2 Tính tích phân thực

Hệ quả 1: Tích phân có cận  với dạng:

trong đó P(x), Q(x) là các đa thức có bậc lần lượt là n và

m, với m > n + 1.

với z i (i = 1,2,…,n) là các cực của f(z) nằm ở nữa trên mặt phẳng phức, tức là Im{z i} > 0















1

2 Res ( ) ,

C n

jaz

i i

f x e dx f z e dz

( )

f x e dx e dx

Q x

R  

2 Tính tích phân thực

Hệ quả 2: Tích phân có cận  với dạng:

Trong đó

 P(x), Q(x) là các đa thức có bậc lần lượt là n và m, với

m > n + 1.

 z i (i = 1,2,…,n) là các cực của f(z) nằm ở nữa trên mặt

phẳng phức, tức là Im{z i} > 0













1

1

( )

( ) ( )

( )

n

jaz

i i

n

jaz

i i

P x

Q x

P x

Q x

2 Tính tích phân thực

Ví dụ 5.04: Tính các tích phân sau:

Đáp án:

 

k

2 Tính tích phân thực

Loại 2: Tích phân hữu hạn có dạng sau:

trong đó G là hàm phân thức của sin và cos .

Đổi biến z = e j, khi đó:

Tích phân I trở thành:



  

 2

0 (sin ,cos )d







2j z z 2 z z

dz d

jz

C

I   f z dz where C is the unit circle z 

2 Tính tích phân thực

Ví dụ 5.05: Tính tích phân

Đáp án: Đổi biến z = e j







2

0 2 cos

d I





 

  

 

 

2

2

4 1

2

2

I

z

j s

   

     

 

2

dz

2 Tính tích phân thực

Ví dụ 5.06: Tính các tích phân sau:

Đáp án:









 





2

0

2

cos

3 2 cos

2 25

d a

dx b







3 5 1

5

2 6

a

b

2 Tính tích phân thực

trong đó z i (i = 1,2,…,n) là các cực của F(z).

Ví dụ 5.07: Tìm biến đổi Laplace ngược của

L-1{F(s)} = f(t)  



 

1

Re ( ) ,

n

zt

i i

s F z e z

3 Tìm biến đổi Laplace ngược

1 ( )

( 4)( 1)

F s



 

Đáp án ví dụ 5.07:





  

  

2

2

1

Re s{ ( ) , 2}

4

1

Re s{ ( ) , 2}

36

Re s{ ( ) ,1}



 1 2  1 2  1  2

 L-1{F(s)} = f(t)

3 Tìm biến đổi Laplace ngược