Part 3 1 HÀM BIẾN PHỨC

Ứng dụng của lý thuyết thặng dư s Part 3: Hàm biến phức... Giới hạn, liên tục và khả viCần lưu ý rằng, trong mặt phẳng phức, z có thể đạo khác nhau, do đó giới hạn L là không duy nhất tr

 I Hàm biến phức

II Chuỗi phức III Tích phân đường

IV Điểm bất thường, zeros và thặng dư

V Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

s

Part 3:

Hàm biến phức

2 Giới hạn, liên tục và khả vi

Cần lưu ý rằng, trong

mặt phẳng phức, z có thể

đạo khác nhau, do đó giới

hạn L là không duy nhất

trong nhiều trường hợp

khi z tiến tới z0 nếu với mọi ε > 0, luôn tồn tại một  > 0

sao cho:

|f(z) – L| < ε với mọi z trong miền S:0 < |z – z0| < 

Điều kiện ở đây là f(z0) phải được xác định và f(z) tiến đến f(z0) khi z tiến đến z0 theo quỹ đạo bất kỳ.

Với ∆z là số phức và tiến về 0 theo quỹ đạo bất kỳ.

Không phải hàm phức nào cũng khả vi!

Ví dụ 1.02:

Xét hàm phức sau

Giả sử f(z) khả vi tại z0, khi đó:

Vậy hàm phức này không khả vi tại bất kỳ giá trị nào

3 Phương trình Cauchy-Riemann

cận của z0, ta nói rằng f(z) giải tích tại z0

Hai hàm thực u(x,y) và v(x,y) thõa mãn phương

u(x,y) là một hàm điều hòa nếu:

Nếu f(z) = u(x,y) + j.v(x,y) là hàm giải tích, khi đó

cả u(x,y) và v(x,y) đều là hàm điều hoài, khi đó chúng

4 Hàm giải tích và hàm điều hòa

Ví dụ 1.04: Cho u(x,y) = x2 – y2 + 2x, tìm hàm liên hợp v(x,y) sao cho f(z) = u + j.v là hàm giải tích theo biến z Đáp án:

với F(x) là hàm theo một biến x.

trong đó C là hằng số Vì đề bài không cho thêm điều kiện nào để xác định C, nên ta có thể chọn C bằng 0.

Ví dụ 1.05: Given u(x,y) = e x (xcosy – ysiny)

giải tích

Đáp án:

Ví dụ 1.09: Tính:

a sin(1 – 4j)

b cos(3 + 2j)

Ví dụ 1.10: Chứng minh rằng:

Ví dụ 1.11: Chứng min f(z)=cos2z là hàm giải tích.

5 Một số hàm biến phức cơ bản

5.3 Logarithm phức

Calculate the complex logarithm: let z = re i and w = u + jv

each nonzero z has infinitely many different complex

logarithms

ln2

Example 1.12: Calculate lnz with

5.4 nth Roots of a complex number

Calculate the nth roots: let z = re j = re j(+ 2kπ)

nth roots of z has n distinct value!

1

n n