Suy di˜ ên v ` a quy n ap
Trong toán học, có hai câu rất hay liên quan đến phép suy diễn Nếu hai góc trong cùng một tam giác có tổng là 300° và 700°, thì điều khẳng định sau đây đúng: Góc thứ ba trong tam giác đó sẽ là 80° Mệnh đề chung là: Tổng các góc trong cùng một tam giác là 180°.
Bây giờ, ta hãy đọc lại câu chuyện dân gian Việt Nam: "Bốn ông thầy bói rủ nhau đi xem voi Tò mò, bốn thầy bói chen vào, sờ tận tay xem con voi nó thế nào Về tới chỗ, bốn thầy hợp nhau bình phẩm."
- Tu,,o, ng voi l a l´˘am, t´e ra ch, ı giô´ng con ¯d, ıa c u,c l´o,n Tôi s`o,v `ao n´o uô´n cong ngu,`o,i l.ai.
Thâ`y ôm ph, ai c ´ai chân, v ôi c˜ai:
- Voi ch, ı h êt nhu, c ´ai c ôt nh`a thôi Tôi ôm v`ao v`u, a tay c ´ai c ôt c ´ai.
Thâ`y n ´˘am ph, ai c ´ai tai voi, chê:
- C ´ac b ´ac ch, ı n´oi m`o Con voi th ât ra t u, a nhu, c ´ai qu at to tu,´o,ng.
Thâ`y t ´um ph, ai c ´ai ¯duôi voi, cu,`o,i khâ, y:
- Ba b ´ac n´oi sai c, a Tôi ¯d ˜a t ´um n´o trong tay, th`ı ¯d ´ung l `a m ôt c ´ai chô, i xê, d ai.¯
Không ai ch.iu ai, bô´n thâ`y to tiê´ng c˜ai nhau ô`n `ao m.ôt g´oc ch o, ¨
Mỗi ông thầy bối đều có những đặc trưng riêng, nhưng lại chung một mục đích là giúp đỡ người khác Họ thường đưa ra những dự đoán, phân tích và giải thích dựa trên những tín hiệu từ vũ trụ Dù mỗi người có cách tiếp cận khác nhau, nhưng tất cả đều hướng đến việc mang lại sự hiểu biết và hướng dẫn cho những ai tìm kiếm.
.o, c g oi l`aph´ep quy n ap Kh, ˘ang ¯d.inh chung , o, dây l `a ¨con v ât ¯¯ d´o l `a con voi¨ Nhu, v ây
Bốn ông thầy bối đều phán rằng, u kh, đang định chung sai Chắc có một ông nào đó đang mơ màng thì sẽ đúng Ta thấy rằng phương pháp quy nạp có thể dẫn đến kết quả anh em định sai Phương pháp quy nạp rất hay dù
Trong nghiên cứu khoa học, đặc biệt là toán học, việc hiểu và áp dụng ngữ pháp quy nạp là rất quan trọng Điều này giúp chúng ta phát triển khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề một cách hiệu quả Việc nắm vững các quy tắc ngữ pháp không chỉ hỗ trợ trong việc trình bày ý tưởng mà còn nâng cao chất lượng nghiên cứu.
.o, c m ênh ¯dê` kh, ˘ang ¯d.inh ¯d ´ung.
Nguyên l´ y quy n ap to´an h oc
Đề cập đến hàm số P(x), đây là một biến số trong toán học Trong cuốn sách này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tập hợp các số tự nhiên, bao gồm cả số nguyên dương Chúng ta sẽ sử dụng một tính chất rất quan trọng của tập số tự nhiên, thường được công nhận như một tiên đề.
Tiên ¯dê`:Trong m ˜ôi t âp h.o,p kh ´ac r ˜ông c, ua nh ˜u, ng sô´ t u,nhiên c´o m ôt phâ`n t , u,nh, o nhâ´t.
Cho mối số tự nhiên n, chúng ta có thể định nghĩa một hàm số f(n) Ví dụ, với n = 1 cho hàm số tương ứng với P(1): số 1 là một số lẻ, và với n = 2 cho hàm số tương ứng với P(2): số 2 là một số chẵn Bằng phương pháp này, chúng ta tạo ra dãy số khẳng định riêng.
Nguyên lý quy nạp toán học là một phương pháp quan trọng trong việc chứng minh các mệnh đề liên quan đến số tự nhiên Quy nạp toán học giúp xác định tính đúng đắn hoặc sai của một mệnh đề thông qua hai bước cơ bản: bước cơ sở và bước quy nạp Bước cơ sở chứng minh mệnh đề đúng cho giá trị đầu tiên, trong khi bước quy nạp chứng minh rằng nếu mệnh đề đúng cho một giá trị n, thì nó cũng đúng cho giá trị n+1 Nguyên lý này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học.
.o, c thê, hi ên qua ¯d.inh l´ı sau:
1 Trong s ´ach n `ay khi n´oi ¯ dê´n sô´ t u , nhiên, ta hiê , u ¯ d´o l `a sô´ t u , nhiên kh ´ac sô´0.
1.2 Nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc 7 Ð.inh l ´y 1.1 Chon 0 l `a m ôt sô´ nguyên du,o,ng v `aP(n)l `a m.ênh ¯dê` c´o ngh˜ıa v ´o, i m oi sô´ t u,nhiênn≥ n 0 Nê´u
B) Nê´u P(k) d ´¯ung, th`ı P(k+1) c ˜ung ¯d ´ung v ´o,i m ˜ôi sô´ t u,nhiên k ≥n 0 , khi ¯d´o m.ênh ¯dê`P(n)d ´¯ung v ´o, i m oi sô´ t u,nhiênn≥ n 0
Ch ´u,ng minh.Ta s˜e ch ´u,ng minh b `˘ang ph, an ch ´u,ng Gi, a s, u,ngu,
Trong định lý 1.1, không tồn tại một số tự nhiên n ≥ 0 nào mà P(n) đúng Điều này có nghĩa là tồn tại một số tự nhiên m ≥ n 0, mà P(m) không đúng Chúng ta sẽ lấy số tự nhiên m nhỏ nhất mà P(m) không đúng, từ đó có thể rút ra kết luận.
) Theo ¯diê`u ki ên A), ta c´o bâ´t ¯d, ˘ang th ´u, c m> n 0 , t `u, ¯ d´o suy ra m−1 ≥ n 0 T `u, bâ´t ¯d, ˘ang th ´u, c v `u, a l âp v`a c´ach ch.on sô´ t u, nhiên msuy ra P(m−1)l `a ¯d ´ung, nhu, ng n´o không k´eo theo ¯du,
.o, cP(m) ¯ d ´ung cho sô´ tiê´p theom= (m−1) +1 Ðiê`u n `ay tr ´ai v´o, i gi, a thiê´t
Xuất phát từ mệnh đề khẳng định vỏ các trường hợp riêng, chúng ta nhận thấy rằng các số 1, 2 hoặc 3 có thể nằm y sinh gia thiết mệnh đề đúng vỏ mọi số tự nhiên Sau đó, chúng ta chứng minh gia thiết của ta vỏ việc xây dựng người ta lấy luận theo nguyên lý quy nạp toán học Phương pháp chứng minh như vậy gọi là phương pháp quy nạp toán học Theo định lý trên, phương pháp này gồm hai bước: thứ nhất, ta kiểm tra khẳng định một tính chất vỏ n = n0, gọi là bước cơ sở; sau đó, chúng ta chứng minh rằng nếu vỏ mỗi k ≥ n0, P(k) thỏa mãn tính chất đã biết, thì suy ra P(k+1) cũng có tính chất ấy, gọi là bước quy nạp Kết luận là P(n) có tính chất đã cho vỏ mọi n ≥ n0 Cách chứng minh theo quy nạp toán học là phương pháp giúp chúng ta tránh phải kiểm tra vô hạn vỏ các khẳng định của mệnh đề.
Giai ¯ do an quy n ap v`a gi ,
Phu, o, ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc râ´t hay ¯du,
Trong nghiên cứu toán học và các ngành khoa học khác, việc áp dụng phương pháp suy luận là rất quan trọng Để hiểu rõ hơn về cách thức này, chúng ta có thể xem xét một số ví dụ cụ thể Một trong những phép suy luận nổi bật là lý thuyết của G Polya, mà đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu.
V´ı d u 1.1 Cho tru,´o,c m.ôt sô´ t.u,nhiênn H ˜ay t`ım tô, ng c ´ac sô´ t u, nhiên1, 2, ,n.
L `o,i gi , ai.Ta k ´y hi êuSnl `a tô, ng ph, ai t`ım, ngh˜ıa l `a
Ta hy vọng là tìm ra công thức, công năng đơn giản, tính toán, ngôn trên, công thức, có độ chính xác giúp ta tính nhanh, gọn hơn là phức tạp, ai cũng hiểu, chỉ cần làm lần lượt.
Cấp số công là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số Nếu bạn đã từng nghe về cấp số công, bạn có thể áp dụng nguyên lý này để tính toán hiệu quả hơn Hiểu biết về cấp số công giúp bạn nhận diện và giải quyết nhiều vấn đề trong toán học, từ đó nâng cao khả năng tư duy logic và phân tích.
Ta tính toán, ngữ cảnh và thực tiễn, với nhiều kết quả tính toán khác nhau, thường được sắp xếp vào các bảng 1, 2, 3, 4, 5, 6.
M uc ¯d´ıch c, ua ta l `a t`ım ¯du,
.o, c quy lu ât chung (kh, ˘ang ¯d.inh chung), v´o,i b, ang trên, m˜ôi sô´ t u,nhiên , o,h `ang trên trong b, ang cho tu,o,ng
Quy trình giải toán quy nạp là một phương pháp quan trọng trong toán học, giúp tìm ra quy luật của một bài toán phức tạp Để áp dụng quy nạp, cần chú ý đến nhiều yếu tố như sự liên kết giữa các số, độ chính xác trong quan sát, và sự nhất quán trong các bước giải Việc thu thập kinh nghiệm từ các bài toán tương tự cũng rất cần thiết, vì nó giúp người giải nhận diện các mẫu số và điều kiện cần thiết để giải quyết bài toán hiệu quả.
Trên bàng, chúng ta thấy quy luật: Tích của hai số liên tiếp trên hàng trên bằng 2 lần số đầu tiên tương ứng ở hàng dưới Cụ thể, 1.2=2.1, 2.3=2.3, 3.4=2.6, 4.5=2.10, 5.6=2.15 Như vậy, để đạt thành công, chúng ta cần tìm ra quy luật với các trường hợp riêng n=1, 2, 3, 4, 5, 6.
Tiê´p t uc m.ôt c´ach t u,nhiên l `a m, o, r ông quy lu ât trên cho b, ang sô´ v´o, i c ´ac sô´ t u, nhiên bâ´t k `y Ta ¯du,a ra gi, a thiê´t th´ıch h o,p v´o,i quy lu ât v`u, a t`ım ¯du,
M ôt gi, a thiê´t ta ¯d ˜a l `am nhu, v ây ¯du,
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các khái niệm quan trọng liên quan đến quy tắc và cách áp dụng chúng Đặc biệt, chúng ta sẽ xem xét các câu hỏi liên quan đến các điều kiện và tính đúng đắn của chúng Nếu một điều kiện (1.2) được xác nhận là đúng, chúng ta cần kiểm tra xem có thể thay thế nó bằng cách tăng n lên 1 hay không Điều này sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về quy tắc và cách mà chúng ảnh hưởng đến các trường hợp cụ thể trong bài toán.
Trái với những quy tắc toán học thông thường, việc áp dụng các điều kiện A và B có thể dẫn đến các kết quả khác nhau Trong trường hợp này, nếu một số n không đáp ứng điều kiện, chúng ta không thể suy ra rằng nó sẽ không đúng cho những số khác Hơn nữa, việc kiểm tra nhiều điều kiện là cần thiết để đảm bảo tính chính xác của các kết quả Do đó, việc áp dụng nguyên lý quy nạp toán học là rất quan trọng trong việc chứng minh các mệnh đề liên quan.
Bu,´o,c co, s ,o,: v´o,in = 1, công th ´u, c (1.2) ¯d ´ung (n´o c`on ¯d ´ung cho c, a n=2, 3, 4, 5, 6).
Bây giờ, chúng ta sẽ tập trung vào việc áp dụng công thức đúng cho điều kiện B Trong quá trình này, chúng ta sẽ xem xét các yếu tố ảnh hưởng đến thiết kế công thức, đảm bảo rằng nó đáp ứng yêu cầu tối thiểu là k ≥ 1 Điều này sẽ giúp chúng ta đạt được sự chính xác và hiệu quả trong việc thực hiện các phép biến đổi cần thiết.
Kê´t qu, a l `a (1.2) ¯d ´ung v´o,in=k+1 Theo nguyên l ´y quy n ap to´an h oc công th ´u, c (1.2) ¯d ´ung v´o, i m oin=1, 2, J
T´om l ai, qua v´ı d u ¯do, n gi, an trên ta thâ´y c ´ac bu,´o,c qu´a tr`ınh t`ım t`oi v `a ch ´u, ng minh nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc.
L `o,i gi, ai.Vi êc tru,´o,c tiên ta ph, ai t`ım ra công th ´u,c gi, a thiê´t quy n ap cho tô, ng trên Ta t´ınh
Ch ´ung ta c´o thê, du¯ ,a ra gi, a thiê´t r `˘ang
1.3 Giai ¯do an quy n ap v`a gi, a thiê´t quy n ap 11
Bu,´o,c co,s ,o,: Nhu, d ˜a kiê¯ , m tra , o,trên.
Bu,´o,c quy n ap: Gi, a thiê´t (1.4) ¯d ´ung v´o, i sô´ t u, nhiên n=kn `ao ¯d´o. Khi ¯d´o
T `u, kê´t qu, a v `u, a t´ınh v `a bu,´o,c co, s,o, suy ra gi, a thiê´t quy n ap (1.4) l `a ¯d ´ung v´o, i m oi sô´ t u, nhiênn≥1 J
L `o,i gi, ai Ta phân t´ıch: Sô´ lu,
.o, ng sô´ h ang c, ua tô, ng l `a n+1; tr `u, sô´ h ang ¯dâ`u tiên, c`on l ai c´ac sô´ h ang kh´ac ¯dê`u c´o d ang
Do4 = 2 2 , 8 = 2 3 v `a16 = 2 4 t `u,c ´ac biê, u th ´u,c c, ua S 1 ,S 2 v `aS 3 c´o thê, ¯ du,a ra gi, a thiê´t:
Bu,´o,c co, s ,o,: V´o,i n = 1, công th ´u, c (1.5) ¯d ´ung nhu,d ˜a kiê¯ , m tra , o, trên.
Bu,´o,c quy n ap: Gi, a s, u, (1.5) ¯d ´ung v´o, i sô´ t u,nhiên n = k n `ao ¯d´o. Khi ¯d´o
1−a 2 k + 2 Ð, ˘ang th ´u, c (1.5) c ˜ung ¯d ´ung v´o, i n= k+1 Nhu, v ây, t`u, nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc ¯d, ˘ang th ´u, c (1.5) ¯d ´ung v´o, i m oin≥1 J
V´ı d u 1.4 T´ınh tô, ng c, uansô´ l, e t u,nhiên ¯dâ`u tiên.
L `o,i gi , ai.Ta k ´y hi êu tô, ng ph, ai t`ım l `aSn:
Sn=1+3+5+ã ã ã+ (2n−1). Ðê, xây d u,ng gi, a thiê´t quy n ap to´an h.oc ta t´ınh tô, ng, o, m ôt sô´ gi´a tr.i ¯du,
.o, c li êt kê trong b, ang sau: n 1 2 3 4 5 6
Hiện nay, phụ thuộc vào sự quan sát và kinh nghiệm trên kết quả, đặc biệt là trong lĩnh vực riêng biệt, đang trở nên phổ biến Dựa vào những số liệu cụ thể, như S1 = 1², S2 = 2², S3 = 3², S4 = 4², S5 = 5², S6 = 6², chúng ta có thể đưa ra những nhận định chính xác hơn về vấn đề đang được quan tâm.
1.3 Giai ¯do an quy n ap v`a gi, a thiê´t quy n ap 13
Ta s˜e ch ´u, ng minh (1.6) ¯d ´ung v´o, i m oi sô´ t u,nhiênn.
Bu,´o,c co,s ,o,: V´o, i n= 1, tô, ng ch, ı c´o m ôt sô´ h angSn= 1; biê, u th ´u, c n 2 =1v´o,in=1, nhu, v ây (1.6) ¯d ´ung.
Bu,´o,c quy n ap: Gi, a s, u, (1.6) ¯d ´ung v´o, i n = k, (S k = k 2 ) ta s˜e ch ´u, ng minh (1.6) ¯d ´ung v´o, i n = k+1:S k + 1 = (k+1) 2 Th ât v ây,
Ta x´et thêm m ôt v´ı d u n˜u,a theo c ´ach l `am c, ua G Polya.
V´ı d u 1.5 T´ınh tô, ng b`ınh phu,o,ng c, uansô´ t u,nhiên ¯dâ`u tiên.
L `o,i gi , ai.Ta tiê´n h `anh t`ım công th ´u,c cho gi, a thiê´t quy n ap Ð ˘at
Ta h ˜ay t`ım m ôt sô´ gi´a tr.i c, ua tô, ng khi chon=1, 2, , 6. n 1 2 3 4 5 6
Tìm quy luật chung cho dãy số Tn = 1, 5, 14, 30, 55, 91 có thể thực hiện qua việc phân tích các thông tin liên quan Để đạt được điều này, chúng ta cần áp dụng kinh nghiệm và liên hệ với các ví dụ cụ thể Việc so sánh các dãy số trong ví dụ 1.1 và sử dụng chìa khóa sẽ giúp chúng ta tìm ra quy luật chung trong dãy số này.
D`ong cuô´i c `ung trong b, ang ta c´o thê, viê´t l ai: 1
3 Bây gi`o, ta c´o thê, ¯ du, a ra gi, a thiê´t r `˘ang T n
Ta ch ´u, ng minh b `˘ang quy n ap to´an h.oc cho công th ´u,c (1.7) d ´¯ung v´o, i m oi sô´ t u,nhiênn.
Bu,´o,c co, s ,o,: B `˘ang c ´ach xây d u, ng trên, ¯d, ˘ang th ´u, c (1.7) ¯d ´ung v´o, i n=1.
Bu,´o,c quy n ap: Gi, a s, u, (1.7) ¯d ´ung v´o, i sô´ t u,nhiênn= kn `ao ¯d´o Ta s˜e ch ´u, ng minh r `˘ang n´o c ˜ung ¯d ´ung v´o,in=k+1, ngh˜ıa l `a
Nhu, v ây b`ai to´an ¯d ˜a gi, ai xong J
Hai bu , o ´ ,
o ´ , c c , ua nguyên l´ y quy n ap to´an h oc
Nhu, ta ¯d ˜a biê´t nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc gô`m hai phâ`n, vi êc kiê, m tra c, a hai câ`n ¯du,
.o, c tôn tr ong khi ´ap d ung nguyên l´y. Nê´u ta b, o ¯di m ôt trong hai ¯diê`u ki ên kiê, m tra ¯d´o, th`ı ta s˜e nh ân ¯ du,
.o,c nh˜u, ng kê´t lu ân sai Thông qua c´ac v´ı d u sau ¯dê, minh h oa v `a hiê, u ¯diê`u n `ay ho,n.
V´ı d u 1.6 Ch ´u,ng minh r `˘ang m oi sô´ t u,nhiên ¯dê`u b `˘ang sô´ t u,nhiên liê`n sau.
1.4 Hai bu,´o,c c, ua nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc 15
L `o, i gi, ai.Ta ch ´u, ng minh theo phu, o, ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc.
Gi, a thiê´t r `˘ang m ênh ¯dê` kh, ˘ang ¯d.inh ¯d ´ung v´o, i sô´ t u, nhiên n = k n `ao ¯d´o, ngh˜ıa l `a k= (k+1) (1.8)
Ch ´ung ta s˜e ch ´u, ng minh ¯d, ˘ang th ´u, c sau ¯d ´ung (k+1) = (k+2) (1.9)
Th ât v ây, Theo gi, a thiê´t quy n ap (1.8) c ông hai vê´ ¯d, ˘ang th ´u,c v´o,i
Nhu, v ây, kh, ˘ang ¯d.inh ¯d ´ung v´o, i n = k th`ı n´o ¯d ´ung v´o, in = k+1, do ¯d´o m ênh ¯dê` b `ai to ´an ¯d ´ung v´o, i m oin J
Hệ quả của các điều kiện A và B trong Định lý 1.1 có ý nghĩa đặc biệt: Điều kiện A tạo ra cơ sở để thực hiện quy nạp, trong khi điều kiện B đưa ra nguyên tắc cho việc mở rộng từ điều kiện A Nguyên tắc này sẽ được áp dụng cho từng trường hợp riêng biệt, từ k đến k+1, đảm bảo tính chính xác trong quá trình quy nạp toán học.
O, việc kiểm tra điều kiện A) của Định lý 1.1 không tạo ra điều kiện hợp lệ, do đó không có nghĩa gì khi thực hiện kiểm tra điều kiện B) của Định lý 1.1 Thực chất là không có gì đảm bảo, và cần xem xét thêm ví dụ để làm rõ vấn đề này.
V´ı d u 1.7 Ch ´u,ng minh r `˘ang v ´o, i m oi sô´ t u,nhiênnbâ´t ¯d , ˘ang th ´u,c sau ¯d ´ung
L `o, i gi, ai.Gi, a thiê´t bâ´t ¯d, ˘ang th ´u, c (1.10) ¯d ´ung v´o, in = k, v´o, ikl `a m ôt sô´ t u, nhiên n `ao ¯d´o, ngh˜ıa l `a ta c´o
Ta s˜e ch ´u, ng minh bâ´t ¯d, ˘ang th ´u, c (1.10) ¯d ´ung v´o,in=k+1
Th ât v ây,2 k l `a m ôt sô´ không nh, o ho,n2v´o, i m oi sô´ t u,nhiên kh ´ac không Ta c ông vê´ tr´ai c, ua (1.11) v´o,i2 k v `a c ông vê´ ph, ai c, ua (1.11) v´o,i2 Ta nh ân ¯du,
B `ai to ´an ¯d ˜a gi, ai xong J
Tự nhiên có những sai lầm phổ biến, ví dụ như trong việc kiểm tra và đánh giá, mà không phải lúc nào cũng chính xác Để đảm bảo tính chính xác, cần phải tuân thủ các quy tắc cụ thể Điều này đặc biệt quan trọng trong việc xác định các giá trị và dữ liệu, nhằm tránh những hiểu lầm không đáng có.
Chúng ta có thể khẳng định rằng, với điều kiện (1.10) sai, nếu v ≥ 3 thì điều kiện (1.10) đúng Giá trị số tự nhiên n, nếu n = 3, thì điều kiện (1.10) đúng (theo điều kiện A) và v = 3 là lặp lại cách chứng minh trên Từ đó, theo nguyên lý quy nạp toán học, chúng ta có kết luận: Bất đẳng thức (1.10) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3 (chú ý không phải với mọi số tự nhiên như đề bài ra).
Trong vi êc ´ap d ung phu,o, ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc m`a ch, ı ch ´u, ng minh ¯diê`u ki ên A) c, ua Ð.inh l´ı 1.1 th`ı m´o,i ch, ı ¯du, a ra ¯du,
1.4 Hai bu,´o,c c, ua nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc 17 co,s, o, dê¯ , quy n ap ch ´u, không c´o nguyên t ´˘ac n `ao ¯dê, m, o, r ông co,s, o, ¯ d´o (nhu,d.inh l´ı l´o¯ , n Fermat) Ta x´et m ôt sô´ v´ı d u:
V´ı d u 1.8 Ch ´u,ng minh r `˘ang nh ˜u, ng gi ´a tr.i c, ua h `am sô´ f(n) n 2 −n+41v ´o,i n=0, 1, l `a nh ˜u,ng sô´ nguyên tô´.
Ta có thể tính toán tiếp tục giá trị của hàm số f(n) cho n = 40, và kết quả là f(40) = 41 Tuy nhiên, giá trị này không phải là số nguyên tố, vì f(41) = 41^2 - 41 + 41 = 41^2 Kết luận cho thấy bài toán là không đúng Như vậy, ta thấy một mệnh đề có thể đúng với 40 trường hợp riêng, nhưng không đúng với mọi trường hợp nói chung.
Vì vậy, việc nghiên cứu về các bài toán hình học chia đều trong không gian ba chiều là rất quan trọng Điều này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc hình học mà còn áp dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau Các nghiên cứu này liên quan đến việc phân tích và tìm ra các quy luật trong sự phân bố của các hình học trong không gian, từ đó phát triển các phương pháp giải quyết hiệu quả hơn.
Các nghiên cứu gần đây cho thấy rằng có nhiều lĩnh vực mà các tổ chức đang chú trọng để cải thiện Đặc biệt, các nhà khoa học quan tâm đến vấn đề phân tích dữ liệu, nhằm tìm ra các xu hướng và mẫu số liệu quan trọng Việc này giúp họ hiểu rõ hơn về hệ số nguyên, cũng như điều chỉnh các phương pháp đo lường cho phù hợp với thực tế.
L `o,i gi, ai B `˘ang c ´ach khai triê, n c ´ac tru,`o,ng h.o,p riêng, c ´ac nh `a to ´an h oc nh ân thâ´y r`˘ang tâ´t c, a c ´ac h ê sô´ trong c´ac th`u, a sô´ ¯du,
.o,c khai triê, n c´o gi ´a tr.i tuy.êt ¯dô´i không qu ´a 1 Ch, ˘ang h an, x−1= x−1, x 2 −1= (x−1)(x+1), x 3 −1= (x−1)(x 2 +x+1), x 4 −1= (x−1)(x+1)(x 2 +1), x 5 −1= (x−1)(x 4 +x 3 +x 2 +x+1), x 6 −1= (x−1)(x+1)(x 2 +x+1)(x 2 −x+1).
Nhiều cô gái đang chịu sự nghi ngờ, điều này dẫn đến việc không thành công trong các nhà toán học Một thời gian sau, nhà toán học Nga V Ivanov (năm 1941) đã chỉ ra rằng, điều nghi ngờ này có thể được giải quyết trong các trường hợp hơn 105 Với vế đối xứng 105, một thừa số của 105 - 1 là x^48 + x^47 + x^46 - x^43 - x^42 - 2x^41 - x^40 - x^39 + x^36.
Th `u, a sô´ n `ay không c´o t´ınh châ´t c, ua c ´ac ¯da th ´u, c m `a c ´ac nh `a to ´an h oc muô´n J
V´ı d u 1.10 Ch ´u,ng minh r `˘ang v ´o, i m oi sô´n m.ênh ¯dê` sau ¯dây ¯ d ´ung: ¨Nê´uav `abl `a nh ˜u, ng sô´ t u,nhiên du,o,ng, m `amax(a,b) =n, th`ıa= b¨.
Lối đi ai Bước có, số Vối một ký hiệu A n là màn hình, của bài toán đa cho Rõ ràng A 1 là đúng, vì nếu max(a,b) = 1, thì hai số a và b phải trùng nhau và bằng 1 (do a và b là số thực nhiên).
A k l `a ¯d ´ung được xác định khi ng sô´ t u,nhiên sao chomax(a,b) = k+1 Khi xem xét hai số a 1 = a−1 và b 1 = b−1, nếu max(a 1 ,b 1 ) = k, thì suy ra a 1 = b 1 Điều này có nghĩa là A k l `a ¯d ´ung, với a = b, tương đương với A k + 1 cũng là ¯d ´ung Theo nguyên lý quy n ap to´an h.oc A n d ´¯ung, mọi số t u,nhiên đều được áp dụng.
H ê qu, a: Cho a v `a b l `a hai sô´ t u, nhiên bâ´t k `y Ta t´ınh ¯du,
.o,c max(a,b) =k, m `akl `a m ôt sô´ t u, nhiên Theo v´ı d u trên A n d ´¯ung
Khi n ` ao d` ung phu , o , ng ph ´ ap quy n ap
ng ph ´ap quy n ap 19 v´o, i m oin, th`ı n´o c ˜ung ¯d ´ung v´o,i A k T `u, d´o suy ra¯ a =b Ngh˜ıa l `a tâ´t c, a c ´ac sô´ t u, nhiên ¯dê`u b `˘ang nhau Th ât vô l´y!
Trong ví dụ trên cách chứng minh sai, ta xem lại toàn bộ cách chứng minh và nguyên lý quy nạp toán học Bước quy nạp trong chứng minh không nhất thiết phải thỏa mãn điều kiện ≥ 1, khi bước quy nạp chuyển tiếp từ.
A k sang A k + 1 Th u,c tê´ trong t´ınh to ´an ch ´u,ng minh không ¯d, am b, aok ≥1 J
1.5 Khi n ` ao d` ung phu , o , ng ph ´ ap quy n ap
Phương pháp quy nạp toán học đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu và đưa ra kết quả Tuy nhiên, chính phủ và các cơ quan chức năng đôi khi gặp khó khăn trong việc áp dụng phương pháp này Nhiều bài toán có thể được giải quyết bằng các phương pháp khác nhau, và G Polya đã nhấn mạnh rằng nhiều bài toán có thể được tiếp cận từ nhiều cách khác nhau, cho thấy sự đa dạng trong việc áp dụng quy nạp toán học khi phân tích nội dung.
Trong to ´an h oc ngu,`o,i ta hay d`ung k´y hi.êu ∑ l `a m ôt tô, ng. Thu,`o,ng tô, ng c´o d ang A α +A α + 1+ã ã ã+A β (αv `a β l `a nh˜u,ng sụ´ nguyên)v `a ¯du,
A k ( ¯d oc l`a tô, ng c, ua A k ,k ch ay t`u, α dê´n¯ β) Nhu, v ây
Một kỷ nguyên mới đang đến với công nghệ, đặc biệt là trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo (AI) Sự phát triển nhanh chóng của AI không chỉ thay đổi cách chúng ta làm việc mà còn ảnh hưởng sâu sắc đến cuộc sống hàng ngày Các ứng dụng AI hiện nay đang được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như y tế, giáo dục và kinh doanh Để tối ưu hóa hiệu suất, việc hiểu rõ cách thức hoạt động của các mô hình AI là rất quan trọng Một số ví dụ điển hình cho thấy AI có thể cải thiện quy trình làm việc và nâng cao trải nghiệm người dùng.
Ph´ep lâ´y tô, ng c´o nh˜u, ng t´ınh châ´t sau: Nê´u choa v `abl `a nh˜u, ng sô´, ta c´o c ´ac ¯d, ˘ang th ´u,c
K ´y hi êu tô, ng không ph u thu.ôc v`ao ch, ı sô´, nhu, ng ph u thu.ôc v`ao gi ´a tr.i ban ¯dâ`u v `a gi ´a tr.i cuô´i c `ung
Tr, o, l ai nh˜u, ng v´ı d u , o, phâ`n tru,´o,c, trong qu´a tr`ınh t´ınh to´an quy n ap t´ınh tô, ng
B `˘ang c ´ach ´ap d ung t´ınh châ´t c, ua k ´y hi êu tô, ng v `a công th ´u,c tô, ng c ´ac sô´ t u, nhiên
1.5 Khi n `ao d `ung phu,o, ng ph ´ap quy n ap 21
Vê´ tr ´ai c, ua ¯d, ˘ang th ´u,c trên c´o thê, biê, n ¯dô, i
Nhu, v ây t`u, c ´ac ¯d, ˘ang th ´u, c trên r ´ut ra (n+1) 3 =3
2 + (n+1), Chuyê, n vê´ v `a t´ınh to ´an ta c´o
6n(n+1)(2n+1). T´ınh tô, ng sau ¯dây (b `ai.1.2)
Ta s, u, d ung ¯d, ˘ang th ´u, c sau 1 (a+k−1)(a+k) = 1 a+k−1 − 1 a+k. Ð ˘atb k = 1 a+k, nhu, v ây
= 1 a− 1 a+n = n a(a+n). Cuô´i c `ung ta nh ân ¯du,
1 (a+k−1)(a+k) = n a(a+n). Vâ´n ¯dê` c, ua phâ`n n `ay ta c`on ¯dê` c âp tiê´p , o,Chu,o,ng 3.
B ` ai t âp
.1.11 T´ınh tô, ng b `˘ang c ´ach xây d u,ng gi, a thiê´t v `a ch ´u,ng minh b `˘ang quy n ap to´an h.oc c´ac tô, ng sau: a)S n =1 2 −2 2 +ã ã ã+ (−1) n − 1 n 2 ; b)S n =1 3 +2 3 +ã ã ã+n 3 ; c)S n =1.1!+2.2!+ã ã ã+n.n!.
.1.12 Ch ´u, ng minh ´ıt nhâ´t b `˘ang hai c ´ach c ´ac công th ´u, c sau: a)1 2 +3 2 +ã ã ã+ (2n−1) 2 = 1
.1.13 Chon>1l `a sô´ t u, nhiên Ta ¯d ˘atx 0 = 1 n;x k = 1 n−k(x 0 + x 1 +ã ã ã+x k − 1 ),k = 1, 2, ,n−1 H ˜ay t´ınh tụ, ngx 0 +x 1 +ã ã ã+ x n − 1.
NG PH ´ AP QUY N AP TO ´AN H OC
2.1 M ôt sô´ d ang nguyên l´y quy n ap to´an h oc 23 2.2 M ênh ¯ dê` trong nguyên l´ y quy n ap to´an h oc 31 2.3 Bu , ´ o , c quy n ap ¯ du ,
o , c xây d u , ng trên P ( k ) 36 2.4 Bu , o ´ , c quy n ap ¯ du ,
o , c xây d u , ng trên P ( k + 1 ) 40 2.5 Quy n ap to´an h oc v`a ph´ep truy hô`i 43 2.6 Quy n ap to´an h oc v`a tô , ng qu ´ at ho ´ a 51 2.7 B ` ai t âp 55
Định lý 1.1 cho phép xác định giá trị của các biến nguyên trong điều kiện A và B Cụ thể, từ định lý này, ta có thể suy ra mệnh đề đúng với các giá trị n = k - 1 và n = k, từ đó dẫn đến mệnh đề đúng với n = k + 1 Trong trường hợp này, cần kiểm tra không nhầm lẫn các giá trị n = 0, n = 0 + 1 Tổng quát hơn, có thể phát biểu định lý 2.1 cho các số nguyên dương và các mệnh đề liên quan.
A)P(1),P(2), ,P(p)l `a nh ˜u, ng m.ênh ¯dê` ¯d ´ung v `a B) V ´o,i m ˜ôi sô´ t u,nhiênk ≥ pc ´ac m.ênh ¯dê`P(k−p+1),P(k−p+
2), ,P(k)d ´¯ung, suy ra m.ênh ¯dê` P(k+1) c ˜ung ¯d ´ung, th`ı m.ênh ¯dê`P(n)d ´¯ung v ´o, i m oi sô´ nguyên du,o,ngn.
Ch ´u, ng minh ¯d.inh l´ı n`ay ho`an to`an l ˘ap l ai nhu, d.inh l´ı 1.1.¯ Sau ¯dây ta x´et m ôt sô´ v´ı d u s, u, d ung d ang ¯d.inh l´ı 2.1.
V´ı d u 2.1 Chov 0 = 2,v 1 = 3 v `a v ´o,i m ˜ôi sô´ t u,nhiênk c´o ¯d , ˘ang th ´u,c sau:v k + 1=3v k −2v k − 1 Ch ´u,ng minh r `˘angvn=2 n +1.
L `o, i gi , ai.Bu,´o,c co,s ,o,: V´o, in=0v `an=1kê´t lu ân b`ai to´an ¯d ´ung, do ¯diê`u ki ên b`ai ¯d ˜a cho.
Bu,´o,c quy n ap: Gi, a s, u,r `˘ang v k − 1 = 2 k − 1 +1;v k = 2 k +1, khi ¯ d´o v k + 1 =3(2 k +1)−2(2 k − 1 +1) =2 k + 1 +1.
Theo nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc d ang ¯d.inh l´ı 2.1, suy ra vn 2 n +1d ´¯ung v´o, i m oi sô´ t u,nhiênn J
V´ı d u 2.2 Cho x1 v `ax2 l `a nghi.êm c, ua phu,o,ng tr`ınh x 2 −27x+
14= 0;nl `a m ôt sô´ t u,nhiên bâ´t k`y Ch ´u,ng minh r `˘ang tô, ngS n x n 1 +x n 2 không chia hê´t cho 715.
L `o,i gi , ai.Theo công th ´u,c Vietx 1 +x 2 ';x 1 x 2
S 3 = (x 1 +x 2 )[(x 1 +x 2 ) 2 −3x 1 x 2 ] = 27ã687dờ`u khụng chia hờ´t¯ cho 715 Suy ra m ênh ¯dê` c, ua b `ai to ´an ¯d ´ung v´o, in=1, 2, 3.
Bu,´o,c quy n ap: Gi, a s, u, m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o,i n = k−2,n = k−
2.1 M ôt sô´ d ang nguyên l´y quy n ap to´an h.oc 25
Do ¯d´ox k 1 + 1 +x k 2 + 1 không chia hê´t cho 715, v`ı 378 không chia hê´t cho 715, n´oi c ´ach kh ´ac m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o,in=k+1 J
V´ı d u 2.3 Ch ´u,ng minh v ´o, i m oi sô´ th u,cx>0v `a m oi sô´ t u,nhiên nbâ´t ¯d, ˘ang th ´u,c sau ¯d ´ung x n +x n − 2 +x n − 4 +ã ã ã+ 1 x n − 4 + 1 x n − 2 + 1 x n ≥n+1 (2.1)
L `o, i gi , ai.1a) V´o, inâ´t ¯d, ˘ang th ´u, c (2.1) c´o d ang x+ 1 x ≥2 (2.2)
Bâ´t ¯d, ˘ang th ´u,c (2.2) suy ra t `u, bâ´t ¯d, ˘ang th ´u,c hiê, n nhiên: (x−
Bâ´t ¯d, ˘ang th ´u, c (2.2) ¯d ´ung v´o, i m oix>0, v ây n´o c ˜ung ¯d ´ung v´o,ix 2 , x 2 + 1 x 2 ≥2.
C ông hai vê´ c, ua bâ´t ¯d, ˘ang th ´u,c sau c `ung v´o, i 1, ta nh ân ¯du,
2) Gi, a s, u, bâ´t ¯d, ˘ang th ´u, c (2.1) ¯d ´ung v´o, in = k, m `a kl `a m ôt sô´ t u, nhiên n `ao ¯d´o x k +x k − 2 +x k − 4 +ã ã ã+ 1 x k − 4 + 1 x k − 2 + 1 x k ≥k+1, (2.4) ta s˜e ch ´u, ng minh khi ¯d´o bâ´t ¯d, ˘ang th ´u, c (2.1) ¯d ´ung v´o,in= k+2, hay l `a x k + 2 +x k +x k − 2 +ã ã ã+ 1 x k − 2 + 1 x k + 1 x k + 2 ≥k+3 (2.5)
Th ât v ây, trong (2.2) thê´xb, o,ix k + 2 , ta nh ân ¯du,
C ông vê´ tu, o, ng ´u, ng c, ua c ´ac bâ´t ¯d, ˘ang th ´u, c (2.4) v `a (2.6), ta s˜e c´o (2.5).
T´om l ai: Bu,´o,c co, s ,o,: Trong 1a) v `a 1b) ta ¯d ˜a ch ´u, ng minh bâ´t ¯ d, ˘ang th ´u, c ¯d ´ung chon=1v `an=2.
Bu,´o,c quy n ap: Trong 2) ta ¯d ˜a ch ´u,ng minh t `u,gi, a thiê´t ¯d ´ung c, ua (2.1) v´o,in=ksuy ra n´o ¯d ´ung v´o,in=k+2 Kê´t qu, a l `a + T `u,
1a) v `a 2) cho ta kh, ˘ang ¯d.inh l`a bâ´t ¯d, ˘ang th ´u, c (2.1) ¯d ´ung v´o, i m oi sô´ l, en.
1b) v `a 2) cho ta kh, ˘ang ¯d.inh l`a bâ´t ¯d, ˘ang th ´u, c (2.1) ¯d ´ung v´o, i m oi sô´ ch˜˘ann.
Nhu, v ây, bâ´t ¯d, ˘ang th ´u, c (2.1) ¯d ´ung v´o, i m oi sô´ t u,nhiênn J
V´ı d u 2.4 Ch ´u,ng minh r `˘ang v ´o, i m oi sô´ t u,nhiên n d¯ , ˘ang th ´u,c sau ¯d ´ung: a)
=2 n + 1 , o,,dây¯ [a]l `a sô´ nguyên l ´o,n nhâ´t nh, o ho,na.
L `o,i gi, ai.Bu,´o,c co,s ,o,: V´o,in = 1, 2, 3nh˜u, ng ¯d, ˘ang th ´u, c trên ¯d ´ung b `˘ang c ´ach kiê, m tra tr u,c tiê´p.
2.1 M ôt sô´ d ang nguyên l´y quy n ap to´an h.oc 27
Bu,´o,c quy n ap: Gi, a thiê´t r `˘ang hai ¯d, ˘ang th ´u, c ¯d ´ung v´o,i ba sô´ t u,nhiên liên tiê´pk,k+1,k+2 Ta s˜e ch ´u, ng minh c ´ac ¯d, ˘ang th ´u,c trên ¯d ´ung v´o,in=k+3.
V ây ¯d, ˘ang th ´u, c a) ¯d ´ung v´o,in=k+3.
V ây ¯d, ˘ang th ´u, c b) ¯d ´ung v´o,in=k+3. Theo nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc a), b) ¯d ´ung v´o, i m oi sô´ t u,nhiên n J
V´ı d u 2.5 Ch ´u,ng minh r `˘ang un= α n + 1−β n + 1 α−β , (2.7) nê´u u 1 = α
3−β 3 α−β (α6=β) v `a v ´o,i m ˜ôi sô´ t u,nhiênk>2c´o ¯d, ˘ang th ´u,c sau: u k = (α+β)u k − 1−αβu k − 2.
L `o,i gi , ai.1) V´o,in=1v `an =2, (2.7) ¯d ´ung do ¯diê`u ki ên ¯d ˜a cho.
2) Gi, a s, u, ¯ d, ˘ang th ´u, c ¯d ´ung v´o, in=k−1v `an=k−2 u k − 2 = α k − 1−β k − 1 α−β ,u k − 1= α k−β k α−β khi ¯d´o u k = (α+β) α k−β k α−β −αβα k − 1 −β k − 1 α−β = α k + 1−β k + 1 α−β J
M ôt d ang nguyên l´y quy n ap m anh ho, n nguyên l ´y quy n ap ta ¯d ˜a biê´t c ˜ung râ´t ¯du,
.o,c hay d `ung. Ð.inh l´ı 2.2Cho m ôt d ˜ay m.ênh ¯dê`
B) v ´o,i m ˜ôi sô´ t u, nhiên k ≥ 1, nh ˜u,ng kh , ˘ang d.inh¯
P(1),P(2), ,P(k)d ´¯ung suy ra kh, ˘ang ¯d.inhP(k+1)c ˜ung ¯d ´ung, th`ıP(n)d ´¯ung v ´o,i tâ´t c, a sô´ t u,nhiênn≥1.
Dạng khác vỏ, các dạng trúóc là gì? A thiết mảnh hồn, bước quy nắp Ta gi, a thiết tất cả, a khăng định P(1), P(2), , P(k) đúng suy ra P(k+1) cũng đúng Để dạng chứng minh hai cách phát biểu, dùng định lý 1.1 và định lý 2.2 tương đồng nhau Nhưng trong thực tế áp dụng vào bài toán cụ thể, dùng định lý 2.2 để giải ai hơn.
2.1 M ôt sô´ d ang nguyên l´y quy n ap to´an h.oc 29
V´ı d u 2.6 Ch ´u,ng minh r `˘ang nê´ux+ 1 x l `a sô´ nguyên th`ıx n + 1 x n c ˜ung l `a sô´ nguyên v ´o, i m oi sô´ t u,nhiên du,o,ngn.
L `o,i gi , ai.Bu,´o,c co,s ,o,: Khin=1m ênh ¯dê` hiê, n nhiên ¯d ´ung.
Bu,´o,c quy n ap: Gi, a s, u, v´o, i m oi sô´ t u, nhiên t `u,
1 dê´n¯ k,x k + 1 x k l `a nh˜u,ng sô´ nguyên Ta câ`n ch ´u,ng minh r `˘angx k + 1 + 1 x k + 1 c ˜ung l `a sô´ nguyên.
Th ât v ây, x k + 1 + 1 x k + 1 = (x+ 1 x)(x k + 1 x k )−(x k − 1 + 1 x k − 1 ). Theo gi, a thiê´t c, a 3 biê, u th ´u,cx+1 x,x k + 1 x k ,x k − 1 + 1 x k − 1 dê`u biê¯ , u di˜ên c ´ac sô´ nguyên V âyx k + 1 + 1 x k + 1 c ˜ung l `a m ôt sô´ nguyên J
V´ı d u 2.7 Ch ´u,ng minh r `˘ang m oi sô´ t u,nhiên l ´o,n ho,n 1 c´o thê, biê, u di ˜ên du,´o,i d ang t´ıch c, ua nh ˜u,ng sô´ nguyên tô´.
L `o,i gi, ai Bu,´o,c co, s ,o,: Hiê, n nhiên m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o, i m oi sô´ nguyên tô´, tru,`o,ng h.o, p ¯d ˘ac bi.êtn=2.
Bước đầu tiên là xác định các số nguyên dương k sao cho 2 ≤ k < n Điều này có nghĩa là tất cả các số từ 2 đến n đều được xem xét Tiếp theo, chúng ta sẽ phân tích hai trường hợp khác nhau để tìm hiểu về tính chất của các số nguyên tố trong khoảng này.
1) Nê´unl `a sô´ nguyên tô´ th`ı m ênh ¯dê` ¯d ´ung.
2) Nê´u nl `a h o, p sô´ th`ı theo ¯d.inh ngh˜ıa h.o, p sô´ tô`n t ai hai sô´ nguyên n 1 < n v `a n 2 < n sao chon = n 1 n 2 Theo gi, a thiê´t quy n apn 1 v `an 2 dê`u biê¯ , u di˜ên ¯du,
.o, c th `anh t´ıch c ´ac sô´ nguyên tô´ Do ¯ d´o suy ranc ˜ung biê, u di˜ên ¯du,
.o, c th `anh t´ıch c ´ac sô´ nguyên tô´ J
Ch ´u ´y:Ta c ˜ung c´o thê, ch ´u, ng minh s u,biê, u di˜ên trong b `ai n `ay cho m oi sô´ t u,nhiên l `a duy nhâ´t.
V´ı d u 2.8 Ch ´u,ng minh r `˘ang m ˜ôi c ˘ap sô´ nguyênn ≥1v `a b>1 tô`n t ai biê, u di ˜ên du,´o,i d ang n=c s b s +c s − 1 b s − 1 +ã ã ã+c 1 b+c 0 , (2.8) o,,dây¯ s ≥ 0 l `a m ôt sô´ nguyên, v `a 0 ≤ c i ≤ b−1 v ´o, i m oi i 0, 1, ,s−1v `a0< c s ≤b−1.
L `o,i gi , ai.Ta lâ´y sô´ bâ´t k `yb>1v `a ´ap d ung phu,o,ng ph ´ap ch ´u,ng minh quy n ap to´an h.oc.
Bu,´o,c co, s ,o,: V´o,in = 1, ta lâ´y s = 0,c0 = 1 ≤ b−1 Ta nh ân du¯ ,
Bu,´o,c quy n ap: Gi, a s, u, biê, u di˜ên (2.8) ¯d ´ung v´o, i m oi sô´ t u, nhiên k nh, o ho,nn Theo ¯d.inh l´ı co,b, an c, ua sô´ h oc v´o,i nv `abc´o thê, t`ım du¯ ,
.o,c sô´ nguyên không âmn 1 v `ar, sao cho n=bn 1 +r, 0≤r ≤b−1.
D˜ê thâ´yn 1 < n th ât v ây, nê´u ta c´on 1 ≥ n, th`ı v`ıb> 1,r ≥ 0ta c´on=bn 1 +r>n, vô l ´y.
Ta x´et hai tru,`o,ng h.o, p
1) Nê´un 1 =0, th`ın =r, th`ı (2.8) tu,o,ng ´u,ng v´o,i biê, u di˜ên v´o,i s =0,c 0 =r.
Nếu n1 ≥ 1, thì 1 ≤ n1 < n, theo quy định, áp dụng biểu thức (2.8) cho dãy số tự nhiên k ≤ n Nghĩa là với n1 ta có n1 = rtb t + rt - 1bt - 1 + + r0, trong đó 0 ≤ ri ≤ b - 1 (i = 0, 1, , t) và rt > 0 Khi đó, n = bn1 + r = rtbt + 1 + rt - 1bt + + r0b + r, nghĩa là, biểu thức (2.8) tương ứng với is = t + 1, cs = rt, , c1 = r0, c0 = r.
2.2 M ênh ¯dê` trong nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc 31
Chú ý: Tác giả có thể, chú, ng minh s.u, biê, u di˜ên trong bài này cho mọi số t.u, nhiên l `a duy nhất Đây là đinh lý về s.u, biê, u di˜ên một số t.u, nhiên theo cơ sở b.
C`on m ôt sô´ d ang kh´ac n˜u,a c, ua nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc ch ´ung ta s˜e x´et sau.
2.2 M ênh ¯ dê` trong nguyên l´ y quy n ap to´an h oc
Trong các ví dụ thực tiễn, chúng ta thấy rằng việc áp dụng nguyên lý quy nạp toán học là rất quan trọng Nguyên lý này không chỉ áp dụng cho các công thức, định lý, mà còn cho nhiều lĩnh vực khác nhau trong toán học Việc áp dụng nguyên lý quy nạp giúp chúng ta khẳng định tính đúng đắn của các khẳng định toán học một cách có hệ thống và chặt chẽ.
P(k)c, ua m ênh ¯dê` kh, ˘ang ¯d.inh ¯du,
.o, c x ´ac ¯d.inh mê`m d, eo ho,n thông qua c ´ac v´ı d u sau:
V´ı d u 2.9 Ch ´u, ng minh r `˘ang tô, ng l âp phu, o,ng c, ua ba sô´ t u, nhiên liên tiê´p chia hê´t cho 9.
L `o,i gi, ai.Bu,´o,c co,s ,o,: Tô, ng1 3 +2 3 +3 3 chia hê´t cho 9 Ngh˜ıa l `a m ênh ¯dê` c, ua b `ai to ´an l `a ¯d ´ung, khi sô´ ¯dâ`u tiên c, ua 3 sô´ liên tiê´p l `a 1.
Bài toán quy nạp cho thấy rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp \( k, k+1, k+2 \) chia hết cho 9 Chúng ta sẽ chứng minh điều này bằng cách áp dụng phương pháp quy nạp, bắt đầu từ trường hợp cơ bản và sau đó chuyển sang bước quy nạp.
(k+1)kh, ˘ang d.inh c¯ , ua b `ai to ´an c ˜ung ¯d ´ung, n´oi c ´ach kh ´ac(k+1) 3 + (k+2) 3 + (k+3) 3 s˜e chia hê´t cho 9 Th ât v ây,
Tống hai số liên tiếp bắt đầu từ k+1, nếu tổng của hai số hằng đều chia hết cho 9, thì tổng này cũng chia hết cho 9.
Vào ngày 2 tháng 10, chúng tôi xác nhận rằng tiền Việt Nam đã được phát hành với mệnh giá lớn hơn 6 lần so với các mệnh giá hiện có Tiền mới bao gồm nhiều mệnh giá khác nhau, cụ thể là 2 mệnh giá mới và 5 mệnh giá hiện có.
L `o,i gi, ai Bu,´o,c co, s ,o,: V´o, i sô´ tiê`n 7 ¯dô`ng, m ênh ¯dê` kh, ˘ang ¯d.inh ¯ d ´ung: 7=5+2.
Bu,´o,c quy n ap: Gi, a s, u,kh, ˘ang ¯d.inh ¯d ´ung v´o,i sô´k≥7dô`ng Ðê¯ , ch ´u, ng minh ¯diê`u kh, ˘ang ¯d.inh c ˜ung ¯d ´ung v´o,i sô´k+1dô`ng Ta x´et¯ hai kh, a n ˘ang:
.o, c ¯dô, i ch, ı b `˘ang m ôt lo ai tiê`n t`o,
.o, c ¯dô, i b `˘ang c ´ac lo ai tiê`n, ´ıt nhâ´t c´o m.ôt t`o, lo ai 5 ¯dô`ng.
Ta ph, ai ch ´u,ng minh k+1 dô`ng c ˜¯ ung ¯dô, i ¯du, o, c b `˘ang c ´ac lo ai tiê`n ¯d ˜a cho V´o,i sô´(k+1)dô`ng th`ı ta ¯¯ dô, i nhu,sau:
- Nê´uk dô`ng¯ , o, tru,`o,ng h.o, p 1), th`ı ´ıt nhâ´t ph, ai c´o 4 t`o,
2 ¯dô`ng, v`ık> 6 Ðê, ¯ dô, ik+1dô`ng, ta lâ´y 2 t`o¯ , lo ai 2 ¯dô`ng ¯dô, i th `anh 1 t`o, lo ai 5 ¯dô`ng.
- Nê´ukdô`ng trong tru¯ ,`o,ng h.o, p 2), th`ı ¯dê, ¯ dô, ik+1dô`ng, ta lâ´y¯ m ôt t`o, lo ai 5 ¯dô`ng ¯dô, i lâ´y 3 t`o, lo ai 2 ¯dô`ng.
Theo nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc kh, ˘ang ¯d.inh ¯d ´ung v´o, i m oi sô´ndô`ng v´o¯ ,in>6 J
V´ı d u 2.11 Ch ´u,ng minh r `˘ang n du,`o,ng th¯ , ˘ang kh ´ac nhau trên m ôt m ˘at ph, ˘ang ¯di qua m ôt ¯diê, m chia m ˘at ph , ˘ang ra2nphâ`n.
L `o,i gi, ai.Bu,´o,c co,s ,o,: V´o,in= 1m ênh ¯dê` kh, ˘ang ¯d.inh l`a ¯d ´ung, v`ı m ôt ¯du,`o,ng th, ˘ang chia m ˘at ph, ˘ang ra hai phâ`n.
1 1 ¯ dô`ng , o , dây ta hiê ¯ , u l `a 1000 ¯ dô`ng trên th u , c tê´.
2.2 M ênh ¯dê` trong nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc 33
Buộc quy nạp là một phương pháp lý luận quan trọng, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các hiện tượng khác nhau Để minh chứng cho quy nạp, chúng ta cần chú ý đến những dữ liệu cụ thể mà chúng ta thu thập được Nếu dữ liệu cho thấy một xu hướng nhất định, chúng ta có thể rút ra kết luận về quy luật chung Tuy nhiên, cần lưu ý rằng không phải tất cả các trường hợp đều phù hợp với quy luật đó Do đó, trong quá trình nghiên cứu, nếu có thêm dữ liệu mới, chúng ta có thể cần điều chỉnh hoặc bổ sung cho các kết luận ban đầu.
V´ı d u 2.12 Trong th `anh phô´ c´on nh `a T`ım sô´ l ´o,n nhâ´t nh ˜u,ng h `ang r `ao kh´ep k´ın không c ´˘at nhau c´o thê, xây d u,ng ¯du,
.o,c trong th `anh phô´, nê´u m ˜ôi h `ang r `ao vây quanh ´ıt nhâ´t m ôt nh `a v `a không c´o hai h `ang r `ao n `ao vây quanh m ôt c um nh `a.
Khi n = 1, số hàng rào cần thiết là X1 = 1 Khi n = 2, chúng ta có thể quây một nhà với một hàng rào, sau đó quây thêm một hàng rào nữa quanh hai nhà, dẫn đến số hàng rào X2 = 3 Khi n = 3, chúng ta có thể quây một nhà với một hàng rào, sau đó quây hai nhà bằng một hàng rào và cuối cùng là một hàng rào quây quanh ba nhà, tạo ra số hàng rào X3 = 5.
Để xây dựng một thành phố hiện đại, cần có những điều kiện tiên quyết như quy hoạch hợp lý và sự đầu tư đúng đắn Việc thiết lập hàng rào riêng biệt cho từng khu vực giúp bảo vệ không gian sống của cư dân, trong khi hàng rào chung tạo sự kết nối và an toàn cho toàn bộ thành phố Sự phát triển bền vững và đồng bộ là yếu tố then chốt để đảm bảo một môi trường sống lý tưởng cho người dân.
Bu,´o,c quy n ap: Gi, a s, u, công th ´u, c X n = 2n−1 d ´¯ung v´o, i m oi n≤k v `a ta câ`n ch ´u, ng minh n´o c ˜ung ¯d ´ung v´o, in=k+1.
Ta x´et h ê thô´ng h`ang r`ao v´o,i sô´ h `ang r `ao l´o,n nhâ´t c´o thê, d u, ng ¯du,
.o, c trong m ôt th`anh phô´ c´o k+1 nh `a v `a tho, a m ˜an c ´ac diê`u ki ên c¯ , ua ¯dâ`u b `ai Theo nh ân x´et trong h.ê thô´ng ¯d´o luôn c´o
1 (v `a ch, ı 1) h `ang r `ao l´o,n quây c, a th `anh phô´ Gi, a s, u,h `ang r `ao d´o b.i b¯ , o ¯di th`ı l ´uc ¯d´o th `anh phô´ ¯du,
.o,c quây th `anh 2 khu b `˘ang 2 h `ang r `ao Khu th ´u, nhâ´t ch, ˘ang h an l`a m nh `a, khu th ´u, hai c´ol nh `a:m≥1;l≥1;m+l=k+1.
Hệ thống hàng rào quây khu thú nhốt là một trong những yếu tố quan trọng nhất trong việc bảo vệ động vật Hàng rào này không chỉ đảm bảo an toàn cho động vật mà còn ngăn chặn sự tiếp xúc không mong muốn từ bên ngoài Để thiết kế hàng rào hiệu quả, cần xem xét các yếu tố như chiều cao, vật liệu và khả năng chống lại sự xâm nhập Hàng rào cũng cần được duy trì thường xuyên để đảm bảo tính toàn vẹn và độ bền của nó.
2 khu ¯dang x´et ¯d´o Do ¯d´o ch, ı c`on l ai m.ôt h`ang r`ao duy nhâ´t дo l`a h`ang r`ao chung quây c, a th `anh phô´ Nhu, v ây ta c´o
Trong toán học, dãy số 2nsô´1, 2, 3, , 2nta lâ´y ra m ôt c ´ach bâ´t k`yn+1 sô´ Ch ´úng minh r `˘ang cho thấy rằng trong dãy số này, các số được lấy ra đều chia hết cho một số khác, thể hiện tính chất chia hết trong các số tự nhiên.
L `o, i gi, ai.(Phu, o, ng ph ´ap gi, ai sau ¯dây l `a c, ua M Fritman) 2 Khi n=1m ênh ¯dê` ¯d ´ung l `a hiê, n nhiên.
Gi, a s, u, m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o,i n−1 ngh˜ıa l `a t `u,
1, 2, , 2(n−1) (, o,dây¯ n ≥ 2) c´o thê, ch on ra ¯du,
.o,c n sô´ sao cho trong ¯d´o c´o ´ıt nhâ´t m ôt sô´ chia hê´t cho m.ôt sô´ kh´ac.
Ta ch ´u, ng minh m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o,in Gi, a s, u,t `u,
2nsô´1, 2, , 2n ta c´o thê, ch on ¯du,
.o,cn+1sô´ sao cho trong ¯d´o không c´o sô´ n `ao l `a b ôi sô´ c, ua sô´ kh ´ac Ta k ´y hi êu t âp tâ´t c, an+1sô´ ¯d´o l `a X n + 1 Ðô´i v´o, i t âpX n + 1 x, ay ra 4 tru,`o,ng h.o,p.
2 B `ai n `ay c ˜ ung c´o thê , gi , ai b `˘ang phu , o , ng ph ´ap Ðirichlet trong [1]
2.2 M ênh ¯dê` trong nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc 35
4.X n + 1ch ´u,a c, a2n−1v `a2n. Tru,`o,ng h.o, p 1: Ta b, o ¯di t `u,
X n + 1m ôt sô´ bâ´t k`y, c`on l ainsô´ m `a m˜ôi sô´ ¯dê`u không l´o, n ho, n2n−2 v `a trong sô´ ¯d´o không c´o sô´ n `ao l `a b ôi c, ua m ôt sô´ kh´ac.
X n + 1sô´2n−1, c`on l ai l`ansô´ m `a m oi sô´ ¯dê`u không l´o, n ho, n2n−2v `a không c´o sô´ n `ao l `a b ôi c, ua m ôt sô´ kh ´ac.
X n + 1 sô´2n, c`on l ai l`ansô´ m `a m oi sô´ ¯ dê`u không l´o,n ho,n 2n−2 v `a không c´o sô´ n `ao l `a b ôi c, ua m ôt sô´ kh ´ac.
Tru,`o,ng h.o,p 4: Tru,´o,c hê´t ta thâ´y trong X n + 1 không ch ´u,a sô´ n do ¯d´o trong tru,`o,ng h.o,p n `ay ta b, o t `u,
Xn + 1 hai sô´2n−1v `a 2n thêm v `ao sô´nta c ˜ung nh ân ¯du,
Số nguyên m là số lẻ không nhỏ hơn 2 Chúng ta sẽ chứng minh rằng trong số m, không có số nào chia hết cho số khác Để chứng minh điều này, ta cần chỉ ra rằng
1) Trong sô´ ¯d´o tr `u,sô´nkhông c´o sô´ n `ao chia hê´t chonv `a