phuong phap quy nap toan hoc nguyen huu dien

NGUY ÊN H ˜ U ˜ , U ÐIÊ

, N

QUY N AP TO ´AN H OC

(T ´ai ban lâ`n th ´, u,hai)

NH ` A XU ÂT B ´

,

AN GI ´ AO D UC

c ua cuô´n s ´ach nguyên gô´c t `uban in, c ´ac b an tham

khao, cho ´y kiê´n sai s´ot v `a l`o, ,i khuyên t ´ai ban M oi liên h.ê,

T ´ac gia: Nguy˜ên H˜u, ,u Ðiê,n

Ði ên tho ai: 0989061951

Email: huudien@vnu.edu.vn

Web: http://nhdien.wordpress.com

Ch.iu tr ´ach nhi.êm xuâ´t ban:,

Gi ´am ¯dô´c Ngô Trâ`n ´ai

Tô,ng biên t âp V ˜u Du,o,ng Th uy

Biên t âp n.ôi dung:

Ngô Long H âuBiên t âp t ´ai ban:,Tru,o,ng Công Th `anhTr`ınh b `ay b`ıa:

T a Tr.ong Tr´ıChê´ ban:,Ngu˜ên H˜u,u Ðiê,n

51

L ` O , I N ´ OI Ð ` ÂU

M ôt phu,o,ng ph ´ap râ´t m anh trong to´an h.oc d `ung nghiên c ´u,u

v `a ch ´u,ng minh c ´ac gia thuyê´t l `a nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc C´o,

vô sô´ c ´ac v´ı d u trong c´ac môn h.oco,,chu,o,ng tr`ınh phô,thông d `ungnguyên l ´y n `ay ¯dê,di˜ên giai v `a mô t, a Nhu, ,ng ¯dê,hiê,u thâ´u ¯d ´ao vê`

k ˜y thu ât ´ap d ung trong h.oc t âp, s´ang t ao râ´t ´ıt s´ach ¯du,.o,c b `an t´o,i

T `ai li êu nu,´o,c ngo`ai c˜ung ¯d˜a c´o m.ôt sô´ s´ach n´oi riêng vê` vâ´n ¯dê`

n `ay, theo tôi c ˜ung chu,a ¯dâ`y ¯du v `a râ´t nhiê`u ngu, ,`o,i kh´o tiê´p x´uc

¯

du,.o,c v´o,i t `ai li êu n`ay Tôi m anh d an thu th âp v`a khao s ´at nguyên,

l ´y quy n ap to´an h.oc theo m.oi kh´ıa c anh v`a minh h.oa b`˘ang c´ac

b `ai t âp trong chu,o,ng tr`ınh phô,thông Ðây l `a lo ai s´ach cung câ´p

v `a thao lu ân nh˜u, ,ng phu,o,ng ph ´ap h oc t âp v`a giai b `ai t âp cho c´ac,

b an yêu th´ıch to´an h.oc, c´ac thâ`y cô gi´ao, sinh viên c´ac tru,`o,ng su,

ph am v`a c´ac b an o,,l´o,p h oc sinh gioi l `am t `ai li êu tiê´p t uc ph´at,triê,n Chu,o,ng ¯dâ`u xem x´et c ´ac kh´ıa c anh cua nguyên l ´y quy n ap,

to ´an h oc Do khuôn khô,cua cuô´n s ´ach ch ´, ung tôi ¯d ˜a không ch ´u,ngminh c ˘an k˜e s u,tu,o,ng ¯du,o,ng cua nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc v`a,tiên ¯dê` th ´u,t u,; s u,tu,o,ng ¯du,o,ng cua c ´ac d ang nguyên l´y quy n ap,

to ´an h oc v.v Chu,o,ng hai khao s ´at c ´ac kh´ıa c anh k˜y thu ât c, ua,nguyên l ´y n `ay T `u,chu,o,ng ba m˜ôi chu,o,ng d `ung khao s ´at c ´ac b `ai,

t âp vê` m.ôt lo ai chu ¯, dê` ch,ı ´ap d ung phu,o,ng ph ´ap quy n ap to´an

h oc nhu,: Sô´ h oc, D˜ay sô´, H`ınh h.oc, Ða th ´u,c, Tô,h o,p, Liên phânsô´

T `ai li êu ch ´ung tôi tham khao c´o h an v`a ch´˘ac c`on nhiê`u b`ai,

t âp hay chu,a n´oi t´o,i, ho ˘ac c´o sai s´ot trong thê,hi ên ´y tu,,o,ng mong

b an ¯d oc cho ´y kiê´n su,,a ¯dô,i v `a bô,sung M oi liên h.ê gu,,i vê` ¯d.ia ch,ı:

Nh `a xuâ´t ban Gi ´ao d uc, 81 Trâ`n Hu, ,ng Ð ao, H`a N.ôi

H `a N ôi, th´ang 5 n˘am 2000

T ´ ac gi a ,

3

CHU O NG 1

NGUYÊN L ´ Y QUY N AP TO ´AN H OC

1.1 Suy di˜ ên v ` a quy n ap 4

1.2 Nguyên l´ y quy n ap to´an h oc 6

1.3 Giai ¯ do an quy n ap v`a gi a thiê´t quy n ap, 8

1.4 Hai bu,o ´,c c ua nguyên l´, y quy n ap to´an h oc 14

1.5 Khi n ` ao d` ung phu,o,ng ph ´ ap quy n ap 19

1.6 B ` ai t âp 22

1.1 Suy di˜ ên v ` a quy n ap

Ðê,minh h oa hai kh´ai ni.êm râ´t hay g ˘ap trong th u,c tê´ l `a suy di˜ên v `a quy n ap, ta lâ´y câu ca dao Vi.êt Nam ai c ˜ung biê´t:

¨Sô´ cô c´o m.e c´o cha M.e cô ¯d `an b `a cha cô ¯d `an ông Sô´ cô c´o v o,c´o chô`ng Sinh con ¯dâ`u l`ong ch˘ang g ´ai th`ı trai.¨,

Ðây l `a câu ¯do ´an cua ông thâ`y b´oi, ta ¯, d ˜a biê´t thâ`y b´oi chı,

¯

do ´an m`o thôi, nhu,ng ông thâ`y b´oi trong câu ca dao n `ay râ´t khôn

l `a d `ung m ôt kh˘ang ¯, d.inh luôn luôn ¯d ´ung ¨ai c ˜ung c´o m.e, c´o cha¨

T `u,d´o d `¯ u ´ap d ung cho ngu,`o,i ¯dê´n b´oi c u thê,n `ao c ˜ung ¯d ´ung luôn, ngh˜ıa l `a kh,˘ang ¯d.inh riêng c ˜ung ¯d ´ung Bu,´o,c suy lu.ân t `u,kh˘ang,

¯

d.inh chung ´ap d ung cho nh˜u,ng kh˘ang ¯, d.inh riêng bi.êt g.oi l`a ph´ep suy di ˜ên Ph´ep suy di˜êno,,v´ı d u trên l`a luôn ¯d ´ung v´o,i hai câu ¯dâ`u,

1.1 Suy di ˜ên v `a quy n ap 5nhu,ng c´o thê,saio,,hai câu sau Trong to ´an h oc râ´t hay d `ung ph´epsuy di˜ên, ch˘ang h an, nê´u hai g´oc trong c, ua m ôt tam gi´ac ¯, d ˜a cho

l `a 300 v `a 700, th`ı ¯diê`u kh˘ang ¯, d.inh sau ¯d ´ung: ¨ G´oc th ´u,ba cua,tam gi ´ac ¯d ˜a cho l `a 800¨ M ênh ¯dê` chung o,,dây l `a: ¨Tô¯ ,ng c ´ac g´octrong cua m ôt tam gi´ac l`a 180, 0¨

Bây gi`o,ta ¯d oc l ai chuy.ên cu,`o,i dân gian Vi.êt nam:

¨Bô´n ông thâ`y b´oi ru nhau ¯, di xem voi T´o,i ch˜ô voi ¯d ´u,ng, bô´nthâ`y b´oi chen v `ao, s`o,t ân tay xem con voi n´o thê´ n`ao Vê` t´o,i ch o,bô´n thâ`y h op nhau b`ınh phâ,m

Thâ`y s`o,du¯ ,.o,c c ´ai v`oi voi n´oi:

- Tu,,o,ng voi l a l´˘am, t´e ra chı giô´ng con ¯, dıa c u, ,c l´o,n Tôi s`o,v `aon´o uô´n cong ngu,`o,i l.ai.

Thâ`y ôm phai c ´ai chân, v ôi c˜ai:,

- Voi ch,ı h êt nhu,c ´ai c ôt nh`a thôi Tôi ôm v`ao v`u,a tay c ´ai c ôt

c ´ai

Thâ`y n ´˘am phai c ´ai tai voi, chê:,

- C ´ac b ´ac chı n´oi m`o Con voi th ât ra t u, ,a nhu, c ´ai qu at to

tu,´o,ng

Thâ`y t ´um phai c ´ai ¯, duôi voi, cu,`o,i khâ,y:

- Ba b ´ac n´oi sai ca Tôi ¯, d ˜a t ´um n´o trong tay, th`ı ¯d ´ung l `a m ôt

c ´ai chô,i xê,d ai.¯

Không ai ch.iu ai, bô´n thâ`y to tiê´ng c˜ai nhau ô`n `ao m.ôt g´oc

ng 1 Nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc

n ap Kh˘ang ¯, d.inh chungo,,dây l `a ¨con v ât ¯¯ d´o l `a con voi¨ Nhu,v ây

4 ông thâ`y b´oi ¯dê`u ph ´at biê,u kh˘ang ¯, d.inh chung sai Ch´˘ac c´o m.ôtông n `ao ¯d´o s ´ang m ´˘at th`ı s˜e ¯d ´ung Ta thâ´y r `˘ang phu,o,ng ph ´ap quy

n ap c´o thê,du¯ ,a ¯dê´n kê´t qua nh ân ¯, d.inh sai Phu,o,ng ph ´ap quy n aprâ´t hay ¯du,.o,c d `ung trong nghiên c ´u,u khoa h oc, nhâ´t l`a to´an h.oc.Nhu,v ây ch ´ung ta phai hiê, ,u phu,o,ng ph ´ap quy n ap thê´ n`ao ¯dây

v `a ´ap d ung thê´ n`ao ¯dê,nh ân ¯du,.o,c m ênh ¯dê` kh˘ang ¯, d.inh ¯d ´ung

1.2 Nguyên l´ y quy n ap to´an h oc

Ðê,ng ´˘an g on ta k´y hi.êu m.ôt kh˘ang ¯, d.inh to´an h.oc l`a P(x),o,,

m ôt tiên ¯dê` ( ¯du,.o,c g oi l`a tiên ¯dê` th ´u,t u,)

Tiên ¯ dê`: Trong m ˜ôi t âp h.o,p kh ´ac r ˜ông cua nh ˜u, ,ng sô´ t u,nhiên c´o

m ôt phâ`n tu,,nho nhâ´t.,

Cho m˜ôi sô´ t u,nhiên n ´u,ng v´o,i m ôt kh,˘ang ¯d.inh P(n) V´ı d u,v´o,i 1 ta cho tu,o,ng ´u,ng v´o,i kh,˘ang ¯d.inh P(1): ¨sô´ 1 l `a m ôt sô´ le¨,,sô´ 2 cho tu,o,ng t ´u,ng v´o,i P(2): ¨ sô´ 2 l `a m ôt sô´ ch˜˘an¨; B`˘angphu,o,ng ph ´ap nhu, v ây ch ´ung ta t ao ra d˜ay kh˘ang ¯, d.inh riêng

P(1), P(2), , P(n), Nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc cho ta m.ôtphu,o,ng ph ´ap kiê,m tra kh˘ang ¯, d.inh P(n)d ´¯ung ho ˘ac sai v´o,i m oi n.Nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc ¯du,.o,c thê,hi ên qua ¯d.inh l´ı sau:

1 Trong s ´ach n `ay khi n´oi ¯ dê´n sô´ t u,nhiên, ta hiê,u ¯ d´o l `a sô´ t u,nhiên kh ´ac sô´ 0.

1.2 Nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc 7

Ð.inh l ´y 1.1 Cho n0l `a m ôt sô´ nguyên du,o,ng v `a P(n)l `a m.ênh ¯dê`c´o ngh˜ıa v ´o,i m oi sô´ t u,nhiên n≥ n0 Nê´u

A) P(n0)l `a ¯d ´ung v `a

B) Nê´u P(k) d ´¯ung, th`ı P(k+1) c ˜ung ¯d ´ung v ´o,i m ˜ôi sô´ t u,nhiên

k ≥n0,

khi ¯d´o m.ênh ¯dê` P(n)d ´¯ung v ´o,i m oi sô´ t u,nhiên n≥ n0

Ch ´ u , ng minh Ta s˜e ch ´u,ng minh b `˘ang phan ch ´, u,ng Gia s, u,,ngu,.o,c

l ai, m.ênh ¯dê` kh˘ang ¯, d.inh P(n)trong Ð.inh l´ı 1.1 không ¯d ´ung v´o,

m ôt sô´ t u,nhiên n≥ n0 n `ao ¯d´o Ngh˜ıa l `a tô`n t ai m.ôt sô´ t u,nhiên

m ≥ n0, m `a P(m) không ¯d ´ung Ta lâ´y sô´ t u,nhiên m nho nhâ´t,

m `a P(m) không ¯d ´ung ( ¯diê`u n `ay th u,c hi ên ¯du,.o,c do tiên ¯dê` th ´u,

t u,) Theo ¯diê`u ki ên A), ta c´o bâ´t ¯d,˘ang th ´u,c m > n0, t `u,d´o suy ra¯

m−1 ≥ n0 T `u,bâ´t ¯d,˘ang th ´u,c v `u,a l âp v`a c´ach ch.on sô´ t u,nhiên

m suy ra P(m−1)l `a ¯d ´ung, nhu,ng n´o không k´eo theo ¯du,.o,c P(m)

¯

d ´ung cho sô´ tiê´p theo m= (m−1) +1 Ðiê`u n `ay tr ´ai v´o,i gia thiê´t,

Xuâ´t ph ´at t `u,m ênh ¯dê` kh˘ang ¯, d.inh v´o,i c ´ac tru,`o,ng h.o,p riêng,

ch,˘ang h an nhu,c ´ac sô´ 1, 2, ho ˘ac 3 c´o thê,nâ,y sinh gia thiê´t m ênh,

¯

dê` ¯d ´ung v´o,i m oi sô´ t u,nhiên Sau ¯d´o ¯dê,ch ´u,ng minh gia thiê´t c, ua,

ta v `u,a xây d u,ng ngu,`o,i ta l´y lu.ân theo nguyên l ´y quy n ap to ´an

h oc Phu,o,ng ph ´ap ch ´u,ng minh nhu,v ây g.oi l`a phu,o,ng ph ´ap quy

n ap to ´an h.oc Theo ¯d.inh l´ı trên phu,o,ng ph ´ap n `ay gô`m hai bu,´o,c,

th ´u,nhâ´t ta kiê,m tra kh,˘ang ¯d.inh m.ôt t´ınh châ´t v´o,i n = n0, g oi

l `a Bu,´o,c co,s ,o,; sau ¯d´o ch´u,ng minh r`˘ang nê´u v´o,i m˜ôi k ≥ n0, P(k)thoa m ˜an t´ınh châ´t ¯, d ˜a biê´t, th`ı suy ra P(k+1)c ˜ung c´o t´ınh châ´tâ´y, g oi l`a Bu,´o,c quy n ap Kê´t lu.ân l`a P(n)c´o t´ınh châ´t ¯d ˜a cho v´o,

m oi n ≥ n0 C ´ach ch ´u,ng minh theo quy n ap to´an h.oc l`a tr´anh

ng 1 Nguyên l ´y quy n ap to´an h.occho ta phai kiê, ,m tra vô h an bu,´o,c c´ac kh˘ang ¯, d.inh cua m ênh ¯, dê`.

1.3 Giai ¯ do an quy n ap v`a gi a thiê´t quy n ap ,

Phu,o,ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc râ´t hay ¯du,.o,c ´ap d ung trongnghiên c ´u,u v `a t`ım t`oi trong to ´an h oc, c´ac ng`anh khoa h.oc kh´ac

Ðê,hiê,u c ´ach ´ap d ung phu,o,ng ph ´ap quy n ap cho ¯dâ`y ¯du, ta xem,x´et m ôt sô´ v´ı d u sau ¯dây nhu,m ôt ph´ep ¨suy lu ân c´o l´y¨ m`a G.Polya ¯d ˜a ¯dê` c âp

V´ı d u 1.1 Cho tru,´o,c m.ôt sô´ t.u,nhiên n H˜ay t`ım tô,ng c ´ac sô´ t u,nhiên 1, 2, , n

L ` o , i gi ai Ta k ´y hi êu S , nl `a tô,ng phai t`ım, ngh˜ıa l `a,

Ta hy v ong l`a t`ım ra công th ´u,c ng ´˘an g on ¯dê,t´ınh tô,ng trên, công

th ´u,c ¯d´o gi ´up ta t´ınh nhanh, g on ho,n l `a phai th u, ,c hi ên lâ`n lu,.o,t

c ´ac ph´ep c ông trong tô,ng Ta c ˜ung biê´t ¯dây l `a câ´p sô´ c ông, nê´u

b an ¯d oc ¯d ˜a biê´t vê` câ´p sô´ n `ay, th`ı ta c´o thê,c´o ngay công th ´u,c t´ınh

tô,ng Nhu,ngo,,dây ta muô´n minh h oa qu´a tr`ınh ´ap d ung nguyên¯

l ´y quy n ap to´an h.oc nên nh˜u,ng ¯diê`u ¯d ˜a biê´t vê` câ´p sô´ c ông ta bo,qua, coi nhu,chu,a biê´t

Ta t´ınh tô,ng Sn t `u,d¯˘ang th ´u, ,c (1.1) v´o,i m ôt v`ai sô´ t u,nhiênliên tiê´p, ch˘ang h an b´˘at ¯dâ`u t`u, ,1 Nh˜u,ng kê´t qua t´ınh to ´an c ´ac,tru,`o,ng h.o,p riêng ta xê´p v `ao bang,

M uc ¯d´ıch cua ta l `a t`ım ¯, du,.o,c quy lu ât chung (kh˘ang ¯, d.inh chung),v´o,i bang trên, m˜ôi sô´ t u, ,nhiêno,,h `ang trên trong bang cho tu, ,o,ng

1.3 Giai ¯do an quy n ap v`a gia thiê´t quy n ap, 9

to ´an tu,o,ng t u,v´o,i ¯diê`u ki ên m´o,i, v.v

Trên bang trên ta d˜ê thâ´y quy lu ât: T´ıch c, ua hai sô´ liên tiê´p,,

o,h `ang trên b `˘ang 2 lâ`n sô´ ¯dâ`u tiên tu,o,ng ´u,ngo,,h `ang du,´o,i Th.ât

v ây, 1.2=2.1, 2.3=2.3, 3.4=2.6, 4.5=2.10, 5.6=2.15 Nhu,v ây giai

¯

do an quy n ap cua ch ´, ung ta ¯d ˜a th `anh công: T`ım ra quy lu ât v´o,

c ´ac tru,`o,ng h.o,

p riêng n=1, 2, 3, 4, 5, 6

Tiê´p t uc m.ôt c´ach t u,nhiên l `a mo,,r ông quy lu ât trên cho bang,sô´ v´o,i c ´ac sô´ t u,nhiên bâ´t k `y Ta ¯du,a ra gia thiê´t th´ıch h o, ,p v´o,quy lu ât v`u,a t`ım ¯du,.o,c Ð ˘at

Bu,´o,c co, s ,o,: v´o,i n = 1, công th ´u,c (1.2) ¯d ´ung (n´o c`on ¯d ´ung cho ca,

n=2, 3, 4, 5, 6)

ng 1 Nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc

Bu,´o,c quy n ap: Bây gi`o, ch´ung ta ch´u,ng minh công th´u,c (1.2) ¯d ´ungcho ca ¯, diê`u ki ên B) V´o,i m uc ¯d´ıch ¯d´o ta gia thiê´t công th ´, u,c (1.2)

Kê´t qua l `a (, 1.2) ¯d ´ung v´o,i n=k+1 Theo nguyên l ´y quy n ap to´an

h oc công th ´u,c (1.2) ¯d ´ung v´o,i m oi n=1, 2, JT´om l ai, qua v´ı d u ¯do,n gian trên ta thâ´y c ´ac bu, ,´o,c qu´a tr`ınht`ım t`oi v `a ch ´u,ng minh nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc

L ` o , i gi ai Vi êc tru , ,´o,c tiên ta phai t`ım ra công th ´, u,c gia thiê´t quy,

n ap cho tô,ng trên Ta t´ınh

1.3 Giai ¯do an quy n ap v`a gia thiê´t quy n ap, 11

Bu,´o,c co,s ,o,: Nhu, ¯d˜a kiê,m trao,,trên

Bu,´o,c quy n ap: Gia thiê´t (, 1.4) ¯d ´ung v´o,i sô´ t u,nhiên n =k n `ao ¯d´o.Khi ¯d´o

T `u,kê´t qua v `u, ,a t´ınh v `a bu,´o,c co, s,o, suy ra gia thiê´t quy n ap (, 1.4)

l `a ¯d ´ung v´o,i m oi sô´ t u,nhiên n≥1 J

L ` o , i gi ai Ta phân t´ıch: Sô´ lu , ,.o,ng sô´ h ang cua tô, ,ng l `a n+1;

tr `u, sô´ h ang ¯dâ`u tiên, c`on l ai c´ac sô´ h ang kh´ac ¯dê`u c´o d ang

ng 1 Nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc

V´ı d u 1.4 T´ınh tô,ng cua n sô´ l, e t u, ,nhiên ¯dâ`u tiên

L ` o , i gi ai Ta k ´y hi êu tô , ,ng phai t`ım l `a S, n:

c ´ac sô´o,,h `ang Sn dê`u l `a sô´ ch´ınh phu¯ ,o,ng: S1 = 12, S2 = 22, S3 =

32, S4 = 42, S5 = 52, S6 = 62 Nhu,v ây ta c´o thê,du¯ ,a ra gia thiê´t,chung l `a

1.3 Giai ¯do an quy n ap v`a gia thiê´t quy n ap, 13

Ta s˜e ch ´u,ng minh (1.6) ¯d ´ung v´o,i m oi sô´ t u,nhiên n

Bu,´o,c co,s ,o,: V´o,i n= 1, tô,ng ch,ı c´o m ôt sô´ h ang Sn= 1; biê,u th ´u,c

n2=1 v´o,i n=1, nhu,v ây (1.6) ¯d ´ung

Bu,´o,c quy n ap: Gia s, u,,(1.6) ¯d ´ung v´o,i n = k, (Sk = k2) ta s˜e

ch ´u,ng minh (1.6) ¯d ´ung v´o,i n = k+1: Sk+ 1 = (k+1)2 Th ât v ây,

Ta x´et thêm m ôt v´ı d u n˜u,a theo c ´ach l `am cua G Polya.,

V´ı d u 1.5 T´ınh tô,ng b`ınh phu,o,ng cua n sô´ t u, ,nhiên ¯dâ`u tiên

L ` o , i gi ai Ta tiê´n h `anh t`ım công th ´ , u,c cho gia thiê´t quy n ap Ð ˘at,

d ˜ay sô´ trong v´ı d u 1.1 v`a ch`ıa kho´a t`ım ra quy lu ât chung trong

53

146

3010

5515

9121D`ong cuô´i c `ung trong bang ta c´o thê, ,viê´t l ai: 1

ng 1 Nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc

d ´ung v´o,i m oi sô´ t u,nhiên n

Bu,´o,c co, s ,o,: B`˘ang c´ach xây d u,ng trên, ¯d,˘ang th ´u,c (1.7) ¯d ´ung v´o,

1.4 Hai bu , o ´ , c c ua nguyên l´ , y quy n ap to´an h oc

Nhu,ta ¯d ˜a biê´t nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc gô`m hai phâ`n,

vi êc kiê,m tra ca hai câ`n ¯, du,.o,c tôn tr ong khi ´ap d ung nguyên l´y.Nê´u ta bo ¯, di m ôt trong hai ¯diê`u ki ên kiê,m tra ¯d´o, th`ı ta s˜e nh ân

¯

du,.o,c nh˜u,ng kê´t lu ân sai Thông qua c´ac v´ı d u sau ¯dê,minh h oa

v `a hiê,u ¯diê`u n `ay ho,n

V´ı d u 1.6 Ch ´u,ng minh r `˘ang m oi sô´ t u,nhiên ¯dê`u b `˘ang sô´ t u,nhiên liê`n sau

1.4 Hai bu,´o,c cua nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc, 15

L ` o , i gi ai Ta ch ´ , u,ng minh theo phu,o,ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc

Gia thiê´t r `˘ang m ênh ¯, dê` kh,˘ang ¯d.inh ¯d ´ung v´o,i sô´ t u,nhiên n = k

n `ao ¯d´o, ngh˜ıa l `a

Nhu,v ây, kh,˘ang ¯d.inh ¯d ´ung v´o,i n = k th`ı n´o ¯d ´ung v´o,i n= k+1,

do ¯d´o m ênh ¯dê` b `ai to ´an ¯d ´ung v´o,i m oi n J

H ê qua c, ua b `ai to ´an n `ay l `a tâ´t c, a c ´ac sô´ t u, ,nhiên ¯dê`u b `˘angnhau Ðiê`u n `ay th ât vô l´y, v ây c´ach ch ´u,ng minh saio,,dâu? D˜ê¯

d `ang thâ´y ngay trong ch ´u,ng minh ´ap d ung nguyên l´y quy n ap

to ´an h oc nhu,ng bo qua kiê, ,m tra tru,`o,ng h.o,

p n=1

Ðiê`u ki ên A) v`a B) trong Ð.inh l´ı 1.1 c´o m.ôt ´y ngh˜ıa ¯d ˘ac bi.êt:Ðiê`u ki ên A) t ao ra co,so,,dê¯ ,th u,c hi ên quy n ap

Ðiê`u ki ên B) ¯du,a ra nguyên t ´˘ac cho vi êc mo,,r ông t u,d ông vô¯

h an trên co,so,,diê`u ki ên A); nguyên t´˘ac ¯¯ di t `u,tru,`o,ng h.o,

p riêng

n `ay sang tru,`o,ng h.o,

p riêng kh ´ac; t `u,k ¯dê´n k+1

,

O,v´ı d u 1.6 ta không kiê,m tra ¯diê`u ki ên A) cua Ð.inh l´ı 1.1,,nên không t ao ra co,so,,dê¯ ,th u,c hi.ên quy n ap, v`ı v ây không c´ongh˜ıa g`ı khi th u,c hi ên kiê,m tra ¯diê`u ki ên B) cua Ð.inh l´ı 1.1,,

th u,c châ´t l `a không c´o g`ı ¯dê,mo,,r ông ca Ta x´et thêm v´ı d u:,

V´ı d u 1.7 Ch ´u,ng minh r `˘ang v ´o,i m oi sô´ t u,nhiên n bâ´t ¯d˘ang th ´, u,csau ¯d ´ung

ng 1 Nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc

L ` o , i gi ai Gi , a thiê´t bâ´t ¯, d˘ang th ´u, ,c (1.10) ¯d ´ung v´o,i n = k, v´o,i k l `a

m ôt sô´ t u,nhiên n `ao ¯d´o, ngh˜ıa l `a ta c´o

2k+2k >2k+1+2

Ngh˜ıa l `a

2k+1 >2(k+1) +1

Tâ´t nhiên v´ı d u n`ay c ˜ung m´˘ac sai lâ`m nhu,v´ı d u tru,´o,c khôngkiê,m tra Bu,´o,c co,s ,o, Th u,c châ´t cua c ´ach ch ´, u,ng minh trên l `a bâ´t

¯

d˘ang th ´u, ,c (1.10) ¯d ´ung v´o,i n=k+1, nê´u n´o ¯d ´ung v´o,i n=k Ðiê`u

n `ay không suy ra bâ´t ¯d,˘ang th ´u,c ¯d ´ung v´o,i ´ıt nhâ´t m ôt gi´a tr.i cua,

n, ch ´u,chu,a n´oi t´o,i v´o,i m oi sô´ t u,nhiên n

Nhu,ng ta c´o thê,thu,,v´o,i n=1 ho ˘ac n=2 bâ´t ¯d,˘ang th ´u,c (1.10)sai V´o,i n≥3 bâ´t ¯d,˘ang th ´u,c (1.10) ¯d ´ung Gi ´a tr.i sô´ t u,nhiên nho,nhâ´t n=3 bâ´t ¯d,˘ang th ´u,c (1.10) ¯d ´ung ( ¯diê`u ki ên A) v´o,i n0=3 v `a

l ˘ap l ai c´ach ch ´u,ng minho,,trên t `u,gia thiê´t (, 1.10) ¯d ´ung v´o,i n=ksuy ra n´o ¯d ´ung v´o,i n=k+1 ( ¯diê`u ki ên B) V`ı v ây theo nguyên l´yquy n ap to´an h.oc ta c´o kê´t lu ân: Bâ´t ¯d˘ang th ´u, ,c (1.10) ¯d ´ung v´o,

m oi sô´ t u,nhiên n ≥ 3 (ch ´u,không phai v´o, ,i m oi sô´ t u,nhiên nhu,

¯

dê` b `ai ra)

Trong vi êc ´ap d ung phu,o,ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc m`a chı,

ch ´u,ng minh ¯diê`u ki ên A) cua Ð.inh l´ı 1.1 th`ı m´o, ,i ch,ı ¯du,a ra ¯du,.o,c

1.4 Hai bu,´o,c cua nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc, 17

co,so,,dê¯ ,quy n ap ch ´u,không c´o nguyên t ´˘ac n `ao ¯dê,mo,,r ông co,so,,

¯

d´o (nhu,d.inh l´ı l´o¯ ,n Fermat) Ta x´et m ôt sô´ v´ı d u:

V´ı d u 1.8 Ch ´u,ng minh r `˘ang nh ˜u,ng gi ´a tr.i cua h `am sô´ f, (n) =

n2−n+41 v ´o,i n =0, 1, l `a nh ˜u,ng sô´ nguyên tô´

L ` o , i gi ai Ta t´ınh f , (0) = 1, f(1) = 41, f(2) = 43, f(3) = 47,

f(4) =53, f(5) =61, f(6) =71, f(7) =83, f(8) =97, f(9) =113

Ta c´o thê,t´ınh to ´an tiê´p t uc gi´a tr.i cua f, (n)cho t´o,i n=40, tâ´t ca,

gi ´a tr.i n`ay ¯dê`u l `a sô´ nguyên tô´ Nhu,ng v´o,i n = 41 ta c´o f(41) =

412−41+41 = 412 Kê´t qua f, (41)không phai l `a sô´ nguyên tô´,,nên kê´t lu ân cua b `ai to ´an l `a không ¯, d ´ung JNhu,v ây ta thâ´y m.ôt m.ênh ¯dê` c´o thê,d ´¯ung v´o,i 40 tru,`o,ng h.o,priêng, nhu,ng không ¯d ´ung v´o,i m oi tru,`o,ng h.o,p n´oi chung.

V´ı d u 1.9 Ða th ´u,c xn−1, v ´o,i n l `a sô´ t u,nhiên du,o,ng Ða th ´u,c

n `ay liên quan ¯dê´n b `ai to ´an h`ınh h oc chia ¯du,`o,ng tr`on ra n phâ`n

b `˘ang nhau, nên ¯da th ´u,c n `ay ¯du,.o,c râ´t nhiê`u l˜ınh v u,c to ´an h ocnghiên c ´u,u v `a ¯dê` c âp ¯dê´n Ð ˘ac bi.êt c ´ac nh `a to ´an h.oc quan tâm

t ´o,i vâ´n ¯dê` phân t´ıch ¯da th ´u,c n `ay ra c ´ac th `u,a sô´ l `a c ´ac ¯da th ´u,c

v ´o,i h.ê sô´ nguyên±1, li.êu ¯diê`u ¯d´o c`on ¯d ´ung v ´o,i m oi n?

L ` o , i gi ai B `˘ang c ´ach khai triê , ,n c ´ac tru,`o,ng h.o,p riêng, c ´ac nh `a

to ´an h oc nh ân thâ´y r`˘ang tâ´t ca c ´ac h ê sô´ trong c´ac th`u, ,a sô´ ¯du,.o,ckhai triê,n c´o gi ´a tr.i tuy.êt ¯dô´i không qu ´a 1 Ch˘ang h an,,

x−1= x−1,

x2−1= (x−1)(x+1),

x3−1= (x−1)(x2+x+1),

x4−1= (x−1)(x+1)(x2+1),

ng 1 Nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc

x5−1= (x−1)(x4+x3+x2+x+1),

x6−1= (x−1)(x+1)(x2+x+1)(x2−x+1)

Nh˜u,ng cô´ g ´˘ang ch ´u,ng minh ¯diê`u nghi ng`o,d ´¯ung v´o,i m oi n cua,

c ´ac nh `a to ´an h oc không th`anh công M.ôt th`o,i gian sau, nh `a to ´an

h oc Nga V Ivanov (n˘am 1941) ch,ı ra r `˘ang v´o,i ¯da th ´u,c xn−1,

¯

diê`u nghi ng`o,ch,ı ¯d ´ung v´o,i c ´ac tru,`o,ng h.o,p nho ho, ,

n 105 Nhu,ngv´o,i n=105, m ôt th`u,a sô´ cua x, 105−1 l `a

L ` o , i gi ai Bu , ,´o,c co, s ,o,: V´o,i m˜ôi n k´y hi.êu An l `a m ênh ¯dê` cua b `ai,

to ´an ¯d ˜a cho R˜o r `ang A1l `a ¯d ´ung, v`ı nê´u max(a, b) =1, th`ı hai sô´

a v `a b phai tr `, ung nhau v `a b `˘ang 1 (do a v `a b l `a sô´ t u,nhiên)

Bu,´o,c quy n ap: Gia s, u,,Akl `a ¯d ´ung Nê´u a v `a b l `a nh˜u,ng sô´ t u,nhiênsao cho max(a, b) = k+1 Ta x´et hai sô´ a1 = a−1 v `a b1 = b−1,khi ¯d´o max(a1, b1) = k, t `u,d´o suy ra a¯ 1 = b1, v`ı gia thiê´t A, k l `a

¯

d ´ung, do ¯d´o a=b, ngh˜ıa l `a Ak+ 1c ˜ung ¯d ´ung Theo nguyên l ´y quy

n ap to´an h.oc An d ´¯ung v´o,i m oi sô´ t u,nhiên n

H ê qua: Cho a v `a b l `a hai sô´ t u, ,nhiên bâ´t k `y Ta t´ınh ¯du,.o,cmax(a, b) =k, m `a k l `a m ôt sô´ t u,nhiên Theo v´ı d u trên And ´¯ung

1.5 Khi n `ao d `ung phu,o,ng ph ´ap quy n ap 19v´o,i m oi n, th`ı n´o c ˜ung ¯d ´ung v´o,i Ak T `u,d´o suy ra a¯ =b Ngh˜ıa l `atâ´t ca c ´ac sô´ t u, ,nhiên ¯dê`u b `˘ang nhau Th ât vô l´y!

Trong v´ı d u trên c´ach ch ´u,ng minh saio,,dâu? Ta xem l ai to`an¯

b ô c´ach ch ´u,ng minh v `a nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc Bu,´o,c quy

n ap trong ch ´u,ng minh không nh ´˘ac t´o,i ¯diê`u k ≥ 1, khi bu,´o,c quy

n ap chuyê,n tiê´p t `u,Ak sang Ak+1 Th u,c tê´ trong t´ınh to ´an ch ´u,ng

1.5 Khi n ` ao d` ung phu , o , ng ph ´ ap quy n ap

Phu,o,ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc râ´t c´o t´ac d ung trong nghiên

c ´u,u, d u, do ´an kê´t qu¯ a v `a ch ´, u,ng minh kiê,m nghi êm kê´t qua.,Nhu,ng nhiê`u khi ch´ınh phu,o,ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc l`am vi.êc

ch ´u,ng minh d `ai d`ong, biê´n ¯dô,i ph ´u,c t ap gây râ´t nhiê`u kh´o kh˘antrong ch ´u,ng minh Nhiê`u b `ai to ´an giai b `˘ang phu, ,o,ng ph ´ap quy

n ap c´o thê,giai b `˘ang m ôt phu, ,o,ng ph ´ap kh ´ac Ch´ınh G Polya c´on´oi: ¨Nhiê`u b `ai to ´an ch ´u,ng minh b `˘ang quy n ap to´an h.oc c´o thê,

ch ´u,ng minh b `˘ang c ´ach kh ´ac, c ´ach kh ´ac ¯d´o n `˘am trong ch´ınh c ´ach

ch ´u,ng minh quy n ap to´an h.oc khi ta phân t´ıch k˜y n.ôi dung ch ´u,ngminh¨

Trong to ´an h oc ngu,`o,i ta hay d`ung k´y hi.êu ∑ l`a m.ôt tô,ng.Thu,`o,ng tô,ng c´o d ang Aα+Aα+ 1+ · · · +Aβ (α v `a β l `a nh˜u,ng sô´nguyên)v `a ¯du,.o,c viê´t

k g oi l`a chı sô´ c, ua tô, ,ng, c`on α v `a β l `a gi ´a tr.i ¯dâ`u v `a gi ´a tr.i cuô´i

cua ch, ,ı sô´ k M˜ôi sô´ h ang bên tr´ai cua ¯, d˘ang th ´u, ,c l `a ¯d ´ung v´o,i m ôt

ng 1 Nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc

K ´y hi êu tô,ng không ph u thu.ôc v`ao ch,ı sô´, nhu,ng ph u thu.ôc v`ao

gi ´a tr.i ban ¯dâ`u v `a gi ´a tr.i cuô´i c `ung

B `˘ang c ´ach ´ap d ung t´ınh châ´t cua k ´y hi êu tô, ,ng v `a công th ´u,c tô,ng

c ´ac sô´ t u,nhiên

1.5 Khi n `ao d `ung phu,o,ng ph ´ap quy n ap 21Vê´ tr ´ai cua ¯, d˘ang th ´u, ,c trên c´o thê,biê,n ¯dô,i

n

∑

k = 1

1(a+k−1)(a+k), n=1, 2, ; a6=0,−1,−2,

Ta su,,d ung ¯d,˘ang th ´u,c sau

ng 1 Nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc

1.6 B ` ai t âp

.1.11 T´ınh tô,ng b `˘ang c ´ach xây d u,ng gia thiê´t v `a ch ´, u,ng minh

b `˘ang quy n ap to´an h.oc c´ac tô,ng sau:

CHU , O , NG 2

K˜ Y THU ÂT D`UNG PHU , O , NG PH ´ AP

QUY N AP TO ´AN H OC

2.1 M ôt sô´ d ang nguyên l´y quy n ap to´an h oc 23 2.2 M ênh ¯ dê` trong nguyên l´ y quy n ap to´an h oc 31 2.3 Bu,o ´,c quy n ap ¯ du,.o,c xây d u,ng trên P ( k ) 36 2.4 Bu,o ´,c quy n ap ¯ du,.o,c xây d u,ng trên P ( k + 1 ) 40 2.5 Quy n ap to´an h oc v`a ph´ep truy hô`i 43 2.6 Quy n ap to´an h oc v`a tô,ng qu ´ at ho ´ a 51 2.7 B ` ai t âp 55

2.1 M ôt sô´ d ang nguyên l´y quy n ap to´an h oc

Ðiê`u ki ên A) trong Ð.inh l´ı 1.1 cho ta co,so,,mo,,r ông b´˘at ¯dâ`u

t `u,gi ´a tr.i n0 Ðiê`u ki ên B) cua Ð.inh l´ı 1.1 cho ta m.ênh ¯, dê` kh˘ang,

¯

d.inh P(n) d ´¯ung v´o,i n0+1, n0+2, Th u,c tê´ nhiê`u khi trong

bu,´o,c quy n ap phai ¯, d`oi hoi hai gi ´a tr.i n, = k−1 v `a n = k cua,

m ênh ¯dê`, ¯dê,suy ra m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o,i n = k+1 Trong tru,`o,ng

h o,p n `ay bu,´o,c co,s ,o,phai kiê, ,m tra không nh˜u,ng ch,ı v´o,i n0, m `a ca,v´o,i n0+1 Tô,ng qu ´at ho,n ta c´o thê,ph ´at biê,u l ai ¯d.inh l´ı o,,phâ`ntru,´o,c nhu, sau:

Ð.inh l ´y 2.1 Cho p l `a sô´ nguyên du,o,ng v `a d ˜ay c ´ac m.ênh ¯dê`

P(1), P(2), , P(n),

ng 2 K ˜y thu ât d `ung phu ng ph ´ap quy n ap to´an h.ocnê´u

A) P(1), P(2), , P(p)l `a nh ˜u,ng m.ênh ¯dê` ¯d ´ung v `a

B) V ´o,i m ˜ôi sô´ t u,nhiên k≥ p c ´ac m.ênh ¯dê` P(k−p+1), P(k−p+

2), , P(k)d ´¯ung, suy ra m.ênh ¯dê` P(k+1) c ˜ung ¯d ´ung,

th`ı m.ênh ¯dê` P(n)d ´¯ung v ´o,i m oi sô´ nguyên du,o,ng n

Ch ´u,ng minh ¯d.inh l´ı n`ay ho`an to`an l ˘ap l ai nhu, d.inh l´ı 1.1.¯Sau ¯dây ta x´et m ôt sô´ v´ı d u su,,d ung d ang ¯d.inh l´ı 2.1

V´ı d u 2.1 Cho v0 = 2, v1 = 3 v `a v ´o,i m ˜ôi sô´ t u,nhiên k c´o ¯d˘ang,

th ´u,c sau: vk+1=3vk−2vk− 1 Ch ´u,ng minh r `˘ang vn=2n+1

L ` o , i gi ai Bu , ,´o,c co,s ,o,: V´o,i n=0 v `a n=1 kê´t lu ân b`ai to´an ¯d ´ung,

do ¯diê`u ki ên b`ai ¯d ˜a cho

Bu,´o,c quy n ap: Gia s, u,,r `˘ang vk−1 = 2k − 1+1; vk = 2k+1, khi

¯

d´o

vk+ 1=3(2k+1) −2(2k−1+1) =2k+1+1

Theo nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc d ang ¯d.inh l´ı 2.1, suy ra vn =

2n+1 ¯d ´ung v´o,i m oi sô´ t u,nhiên n J

V´ı d u 2.2 Cho x1 v `a x2 l `a nghi.êm cua phu, ,o,ng tr`ınh x2−27x+

14= 0; n l `a m ôt sô´ t u,nhiên bâ´t k`y Ch ´u,ng minh r `˘ang tô,ng Sn=

xn

1+xn

2 không chia hê´t cho 715

L ` o , i gi ai Theo công th ´ , u,c Viet x1+x2 =27; x1x2 =14

Bu,´o,c co,s ,o,: C´ac sô´ S1 = 27; S2 = (x1+x2)2−2x1x2 = 701 v `a

S3 = (x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2] = 27·687 ¯dê`u không chia hê´tcho 715 Suy ra m ênh ¯dê` cua b `ai to ´an ¯, d ´ung v´o,i n=1, 2, 3

Bu,´o,c quy n ap: Gia s, u,,m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o,i n = k−2, n = k−

2.1 M ôt sô´ d ang nguyên l´y quy n ap to´an h.oc 25

V´ı d u 2.3 Ch ´u,ng minh v ´o,i m oi sô´ th u,c x>0 v `a m oi sô´ t u,nhiên

n bâ´t ¯d˘ang th ´, u,c sau ¯d ´ung

ng 2 K ˜y thu ât d `ung phu ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc

ta s˜e ch ´u,ng minh khi ¯d´o bâ´t ¯d,˘ang th ´u,c (2.1) ¯d ´ung v´o,i n= k+2,hay l `a

d˘ang th ´u, ,c ¯d ´ung cho n=1 v `a n=2

Bu,´o,c quy n ap: Trong 2) ta ¯d˜a ch´u,ng minh t`u, gia thiê´t ¯, d ´ung

cua (, 2.1) v´o,i n=k suy ra n´o ¯d ´ung v´o,i n=k+2 Kê´t qua l `a,+ T `u,1a) v `a 2) cho ta kh,˘ang ¯d.inh l`a bâ´t ¯d˘ang th ´u, ,c (2.1) ¯d ´ungv´o,i m oi sô´ le n.,

+ T `u,1b) v `a 2) cho ta kh,˘ang ¯d.inh l`a bâ´t ¯d˘ang th ´u, ,c (2.1) ¯d ´ungv´o,i m oi sô´ ch˜˘an n

Nhu,v ây, bâ´t ¯d˘ang th ´u, ,c (2.1) ¯d ´ung v´o,i m oi sô´ t u,nhiên n J

V´ı d u 2.4 Ch ´u,ng minh r `˘ang v ´o,i m oi sô´ t u,nhiên n ¯d˘ang th ´, u,csau ¯d ´ung:

o,dây¯ [a]l `a sô´ nguyên l ´o,n nhâ´t nho ho, ,n a

L ` o , i gi ai Bu , ,´o,c co,s ,o,: V´o,i n = 1, 2, 3 nh˜u,ng ¯d,˘ang th ´u,c trên ¯d ´ung

b `˘ang c ´ach kiê,m tra tr u,c tiê´p

2.1 M ôt sô´ d ang nguyên l´y quy n ap to´an h.oc 27

Bu,´o,c quy n ap: Gia thiê´t r `˘ang hai ¯, d,˘ang th ´u,c ¯d ´ung v´o,i ba sô´

t u,nhiên liên tiê´p k, k+1, k+2 Ta s˜e ch ´u,ng minh c ´ac ¯d˘ang th ´u, ,ctrên ¯d ´ung v´o,i n=k+3

7 .2

k + 1=12.2k−2+ 12

7 .2

k − 2,suy ra

V ây ¯d,˘ang th ´u,c b) ¯d ´ung v´o,i n=k+3

Theo nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc a), b) ¯d ´ung v´o,i m oi sô´ t u,nhiên

ng 2 K ˜y thu ât d `ung phu ng ph ´ap quy n ap to´an h.ocnê´u

A) P(1) l `a kh˘ang ¯, d.inh ¯d ´ung, v `a

B) v ´o,i m ˜ôi sô´ t u, nhiên k ≥ 1, nh ˜u,ng kh˘ang, d.inh¯

P(1), P(2), , P(k)d ´¯ung suy ra kh˘ang ¯, d.inh P(k+1)c ˜ung ¯d ´ung,th`ı P(n)d ´¯ung v ´o,i tâ´t ca sô´ t u, ,nhiên n≥1.

D ang n`ay kh´ac v´o,i c ´ac d ang tru,´o,c l`a gia thiê´t m anh ho, ,n o,,

bu,´o,c quy n ap Ta gia thiê´t tâ´t c, a kh, ˘ang ¯, d.inh P(1), P(2), , P(k)

¯

d ´ung suy ra P(k+1)c ˜ung ¯d ´ung D˜ê d `ang ch ´u,ng minh hai c ´ach

ph ´at biê,u ¯d.inh l´ı 1.1 v`a ¯d.inh l´ı 2.2 tu,o,ng ¯du,o,ng nhau Nhu,ngtrong th u,c tê´ ´ap d ung v`ao b`ai to´an c u thê,d `ung ¯d.inh l´ı 2.2 d˜ê giai,

ho,n

2.1 M ôt sô´ d ang nguyên l´y quy n ap to´an h.oc 29

V´ı d u 2.6 Ch ´u,ng minh r `˘ang nê´u x+ 1

x l `a sô´ nguyên th`ı x

n+ 1

xn

c ˜ung l `a sô´ nguyên v ´o,i m oi sô´ t u,nhiên du,o,ng n

L ` o , i gi ai Bu , ,´o,c co,s ,o,: Khi n=1 m ênh ¯dê` hiê,n nhiên ¯d ´ung

Bu,´o,c quy n ap: Gia s, u,,v´o,i m oi sô´ t u,nhiên t `u,1 ¯dê´n k, xk+ 1

xk l `anh˜u,ng sô´ nguyên Ta câ`n ch ´u,ng minh r `˘ang xk + 1+ 1

xk + 1 c ˜ung l `asô´ nguyên

x, x

k+ 1

xk, xk−1+ 1

xk − 1 dê`u biê¯ ,udi˜ên c ´ac sô´ nguyên V ây xk+1+ 1

xk + 1 c ˜ung l `a m ôt sô´ nguyên J

V´ı d u 2.7 Ch ´u,ng minh r `˘ang m oi sô´ t u,nhiên l ´o,n ho,n 1 c´o thê,biê,u di ˜ên du,´o,i d ang t´ıch cua nh ˜u, ,ng sô´ nguyên tô´

L ` o , i gi ai Bu , ,´o,c co, s ,o,: Hiê,n nhiên m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o,i m oi sô´nguyên tô´, tru,`o,ng h.o,

p ¯d ˘ac bi.êt n=2

Bu,´o,c quy n ap: Gia s, u,,m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o,i m oi sô´ t u,nhiên k,

m `a 2≤k<n Ngh˜ıa l `a m oi sô´ 2≤k <n ¯dê`u biê,u di˜ên du,´o,i d.angt´ıch c ´ac th `u,a sô´ nguyên tô´ Ta x´et hai tru,`o,ng h.o,p

1) Nê´u n l `a sô´ nguyên tô´ th`ı m ênh ¯dê` ¯d ´ung

2) Nê´u n l `a h o,p sô´ th`ı theo ¯d.inh ngh˜ıa h.o,p sô´ tô`n t ai hai sô´nguyên n1 < n v `a n2 < n sao cho n = n1n2 Theo gia thiê´t quy,

n ap n1v `a n2dê`u biê¯ ,u di˜ên ¯du,.o,c th `anh t´ıch c ´ac sô´ nguyên tô´ Do

¯

d´o suy ra n c ˜ung biê,u di˜ên ¯du,.o,c th `anh t´ıch c ´ac sô´ nguyên tô´ J

Ch ´ u ´ y: Ta c ˜ung c´o thê,ch ´u,ng minh s u,biê,u di˜ên trong b `ai n `aycho m oi sô´ t u,nhiên l `a duy nhâ´t

ng 2 K ˜y thu ât d `ung phu ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc

V´ı d u 2.8 Ch ´u,ng minh r `˘ang m ˜ôi c ˘ap sô´ nguyên n ≥1 v `a b >1tô`n t ai biê,u di ˜ên du,´o,i d ang

du,.o,c d ang ¯d˘ang th ´u, ,c (2.8) d ang 1=c0

Bu,´o,c quy n ap: Gia s, u,,biê,u di˜ên (2.8) ¯d ´ung v´o,i m oi sô´ t u,nhiên

k nho ho, ,n n Theo ¯d.inh l´ı co,ban c, ua sô´ h oc v´o, ,i n v `a b c´o thê,t`ım

2.2 M ênh ¯dê` trong nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc 31

Ch ´ u ´ y: Ta c ˜ung c´o thê,ch ´u,ng minh s u,biê,u di˜ên trong b `ai n `aycho m oi sô´ t u,nhiên l `a duy nhâ´t Ðây l `a ¯d.inh l´ı vê` s u,biê,u di˜ên

m ôt sô´ t u,nhiên n theo co,sô´ b

C`on m ôt sô´ d ang kh´ac n˜u,a cua nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc,

ch ´ung ta s˜e x´et sau

2.2 M ênh ¯ dê` trong nguyên l´ y quy n ap to´an

h oc

Trong c ´ac v´ı d u tru,´o,c ta thâ´y r`˘ang ¯da sô´ vi.êc ´ap d ung nguyên

l ´y quy n ap to´an h.oc l`a s u,biê´n ¯dô,i công th ´u,c ho ˘ac biê,u th ´u,c to ´an

h oc Trong m uc nho n `ay ch ´, ung tôi nhâ´n m anh ¯dê´n vi êc ´ap d ungnguyên l ´y quy n ap trên c´ac m.ênh ¯dê` không phai l `a công th ´, u,c

ho ˘ac biê,u th ´u,c to ´an h oc Trong tru,`o,ng h.o,

p nhu, v ây c´ac bu,´o,c

P(k)cua m ênh ¯, dê` kh˘ang ¯, d.inh ¯du,.o,c x ´ac ¯d.inh mê`m deo ho, ,n thôngqua c ´ac v´ı d u sau:

V´ı d u 2.9 Ch ´u,ng minh r `˘ang tô,ng l âp phu,o,ng cua ba sô´ t u, ,nhiênliên tiê´p chia hê´t cho 9

L ` o , i gi ai Bu , ,´o,c co,s ,o,: Tô,ng 13+23+33 chia hê´t cho 9 Ngh˜ıa l `a

m ênh ¯dê` cua b `ai to ´an l `a ¯, d ´ung, khi sô´ ¯dâ`u tiên cua 3 sô´ liên tiê´p,

l `a 1

Bu,´o,c quy n ap: Gia s, u,,m ênh ¯dê` kh˘ang ¯, d.inh cua b `ai to ´an ¯, d ´ungv´o,i k, ngh˜ıa l `a k3+ (k+1)3+ (k+2)3chia hê´t cho 9 Ta s˜e ch ´u,ngminh r `˘ang v´o,i ba sô´ t u,nhiên liên tiê´p b ´˘at ¯dâ`u t `u,(k+1)kh˘ang,

¯

d.inh cua b `ai to ´an c ˜, ung ¯d ´ung, n´oi c ´ach kh ´ac(k+1)3+ (k+2)3+(k+3)3s˜e chia hê´t cho 9 Th ât v ây,

(k+1)3+ (k+2)3+ (k+3)3= (k3+ (k+1)3+ (k+2)3) +9(k2+3k+3)

ng 2 K ˜y thu ât d `ung phu ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc

Tô,ng ba sô´ liên tiê´p b ´˘at ¯dâ`u t `u,k+1 biê,u di˜ên nhu,tô,ng cua hai,sô´ h ang ¯dê`u chia hê´t cho 9, th`ı tô,ng n `ay c ˜ung chia hê´t cho 9 J

V´ı d u 2.10 Ch ´u,ng minh r `˘ang m oi sô´ nguyên ¯dô`ng (tiê`n Vi.êtNam1) l ´o,n ho,n 6 c´o thê,dô¯ ,i ra tiê`n le không du, ,b `˘ang nh ˜u,ng ¯dô`ngtiê`n gô`m nh ˜u,ng t`o,2 ¯dô`ng v `a 5 ¯dô`ng

L ` o , i gi ai Bu , ,´o,c co, s ,o,: V´o,i sô´ tiê`n 7 ¯dô`ng, m.ênh ¯dê` kh,˘ang ¯d.inh

¯

d ´ung: 7=5+2

Bu,´o,c quy n ap: Gia s, u,,kh,˘ang ¯d.inh ¯d ´ung v´o,i sô´ k ≥7 ¯dô`ng Ðê,

ch ´u,ng minh ¯diê`u kh˘ang ¯, d.inh c ˜ung ¯d ´ung v´o,i sô´ k+1 ¯dô`ng Ta x´ethai kha n ˘ang:,

1) k ¯du,.o,c ¯dô,i ch,ı b `˘ang m ôt lo ai tiê`n t`o,2 ¯dô`ng

2) k ¯du,.o,c ¯dô,i b `˘ang c ´ac lo ai tiê`n, ´ıt nhâ´t c´o m.ôt t`o,lo ai 5 ¯dô`ng

Ta phai ch ´, u,ng minh k+1 ¯dô`ng c ˜ung ¯dô,i ¯du,.o,c b `˘ang c ´ac lo aitiê`n ¯d ˜a cho V´o,i sô´(k+1)dô`ng th`ı ta ¯¯ dô,i nhu,sau:

- Nê´u k ¯dô`ngo,,tru,`o,ng h.o,

p 1), th`ı ´ıt nhâ´t phai c´o 4 t`o, ,2 ¯dô`ng,v`ı k> 6 Ðê,dô¯ ,i k+1 ¯dô`ng, ta lâ´y 2 t`o,lo ai 2 ¯dô`ng ¯dô,i th `anh 1 t`o,

lo ai 5 ¯dô`ng

- Nê´u k ¯dô`ng trong tru,`o,ng h.o,

p 2), th`ı ¯dê,dô¯ ,i k+1 ¯dô`ng, ta lâ´y

m ôt t`o,lo ai 5 ¯dô`ng ¯dô,i lâ´y 3 t`o,lo ai 2 ¯dô`ng

Theo nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc kh˘ang ¯, d.inh ¯d ´ung v´o,i m oi

V´ı d u 2.11 Ch ´u,ng minh r `˘ang n ¯du,`o,ng th˘ang kh ´ac nhau trên,

m ôt m ˘at ph˘ang ¯, di qua m ôt ¯diê,m chia m ˘at ph˘ang ra 2n phâ`n.,

L ` o , i gi ai Bu , ,´o,c co,s ,o,: V´o,i n= 1 m ênh ¯dê` kh˘ang ¯, d.inh l`a ¯d ´ung, v`ı

m ôt ¯du,`o,ng th,˘ang chia m ˘at ph˘ang ra hai phâ`n.,

1 1 ¯ dô`ng o,,dây ta hiê ¯ ,u l `a 1000 ¯ dô`ng trên th u,c tê´.

2.2 M ênh ¯dê` trong nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc 33

Bu,´o,c quy n ap: Gia s, u,,m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o,i sô´ n n `ao ¯d´o, ngh˜ıa l `a

n ¯du,`o,ng th˘ang kh ´ac nhau ¯, di qua m ôt ¯diê,m chia m ˘at ph˘ang ra 2n,phâ`n Ðê,ch ´u,ng minh m ênh ¯dê` kh,˘ang ¯d.inh c ˜ung ¯d ´ung v´o,i n+1

¯

du,`o,ng th,˘ang, ta ch ´u ´y r `˘ang nê´u d u,

ng ¯du,`o,ng th,˘ang ¯di qua ¯diê,m

¯

d ˜a cho v `a không tr `ung v´o,i ¯du,`o,ng th˘ang n `ao trong sô´ c ´ac ¯, du,`o,ng

th˘ang c`on l ai, th`ı ch ´ung ta s˜e nh ân thêm 2 phâ`n n˜u, ,a cua m ˘at,

ph˘ang Nhu, ,v ây sô´ phâ`n cua m ˘at ph, ˘ang ¯, d ˜a c´o l `a 2n c ông v´o,i 2,

V´ı d u 2.12 Trong th `anh phô´ c´o n nh `a T`ım sô´ l ´o,n nhâ´t nh ˜u,ng

h `ang r `ao kh´ep k´ın không c ´˘at nhau c´o thê,xây d u,ng ¯du,.o,c trong

th `anh phô´, nê´u m ˜ôi h `ang r `ao vây quanh ´ıt nhâ´t m ôt nh `a v `akhông c´o hai h `ang r `ao n `ao vây quanh m ôt c um nh `a

L ` o , i gi ai Bu , ,´o,c co,s ,o,: Khi n=1 sô´ h `ang r `ao câ`n t´ınh l `a X1=1.Khi n = 2 ta c´o thê,quây m˜ôi nh `a m ôt h`ang r`ao sau ¯d´o l ai

d u,ng m ôt h`ang r`ao quây ca hai nh `a Nhu, ,v ây sô´ h`ang r`ao X2 =3.Khi n=3 ta c´o thê,quây m˜ôi nh `a m ôt h`ang r`ao, sau ¯d´o quâyhai nh `a bâ´t k `y b `˘ang m ôt h`ang r`ao v`a sau c `ung l`a m.ôt h`ang r`aoquây ca ba nh `a Ta c´o X, 3 =5

Do ¯d´o gia thiê´t quy n ap: X, n = 2n−1 Ðê,ch ´u,ng minh công

th ´u,c l `a ¯d ´ung, ta c´o nh ân x´et sau: Ðô´i v´o,i m ôt th`anh phô´ n nh`atheo c ´ac ¯diê`u ki ên ¯dâ`u b `ai, luôn xây d u,ng ¯du,.o,c ¯d ´ung n h `ang r `ao

¨riêng¨ cua m˜ôi nh `a v `a ch, ,ı c´o m ôt h`ang r`ao ¨chung¨ cho ca th `anh,phô´

Bu,´o,c quy n ap: Gia s, u,,công th ´u,c Xn = 2n−1 ¯d ´ung v´o,i m oi

n≤k v `a ta câ`n ch ´u,ng minh n´o c ˜ung ¯d ´ung v´o,i n=k+1

Ta x´et h ê thô´ng h`ang r`ao v´o,i sô´ h `ang r `ao l´o,n nhâ´t c´o thê,

d u,ng ¯du,.o,c trong m ôt th`anh phô´ c´o k+1 nh `a v `a thoa m ˜an c ´ac,

ng 2 K ˜y thu ât d `ung phu ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc

¯

diê`u ki ên cua ¯, dâ`u b `ai Theo nh ân x´et trong h.ê thô´ng ¯d´o luôn c´o

1 (v `a ch,ı 1) h `ang r `ao l´o,n quây ca th `anh phô´ Gi, a s, u,,h `ang r `ao

¯

d´o b.i bo ¯, di th`ı l ´uc ¯d´o th `anh phô´ ¯du,.o,c quây th `anh 2 khu b `˘ang 2

h `ang r `ao Khu th ´u,nhâ´t ch,˘ang h an l`a m nh`a, khu th ´u,hai c´o l

nh `a: m≥1; l≥1; m+l=k+1

H ê thô´ng h`ang r`ao quây khu th ´u,nhâ´t c ˜ung l `a l´o,n nhâ´t t ´u,c l `ac´o tâ´t ca 2m, −1 h `ang r `ao, v `a quây khu th ´u,hai c´o 2l−1 h `ang r `ao(theo gia thiê´t quy n ap) Không thê, ,c´o h `ang r `ao n `ao c´o thê,quây

¯

dô`ng th`o,i nh˜u,ng ngôi nh `a t `u,2 khu ¯dang x´et ¯d´o Do ¯d´o ch,ı c`on

l ai m.ôt h`ang r`ao duy nhâ´t дo l`a h`ang r`ao chung quây ca th `anh,phô´ Nhu,v ây ta c´o

V´ı d u 2.13 T `u,2n sô´ 1, 2, 3, , 2n ta lâ´y ra m ôt c ´ach bâ´t k`y n+1sô´ Ch ´u,ng minh r `˘ang trong sô´ c ´ac sô´ lâ´y ra ¯d´o c´o ´ıt nhâ´t m ôt sô´chia hê´t cho m ôt sô´ kh ´ac

L ` o , i gi ai (Phu , ,o,ng ph ´ap giai sau ¯, dây l `a cua M Fritman)., 2 Khi

n=1 m ênh ¯dê` ¯d ´ung l `a hiê,n nhiên

Gia s, u,, m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o,i n−1 ngh˜ıa l `a t `u, 2(n−1) sô´

1, 2, , 2(n−1) (o,,dây n¯ ≥ 2) c´o thê,ch on ra ¯du,.o,c n sô´ sao chotrong ¯d´o c´o ´ıt nhâ´t m ôt sô´ chia hê´t cho m.ôt sô´ kh´ac

Ta ch ´u,ng minh m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o,i n Gia s, u,,t `u,2n sô´ 1, 2, , 2n

ta c´o thê,ch on ¯du,.o,c n+1 sô´ sao cho trong ¯d´o không c´o sô´ n `ao l `a

b ôi sô´ cua sô´ kh ´ac Ta k ´y hi êu t âp tâ´t c, a n, +1 sô´ ¯d´o l `a Xn+ 1 Ðô´iv´o,i t âp Xn + 1 xay ra 4 tru, ,`o,ng h.o,p.

2 B `ai n `ay c ˜ ung c´o thê,gi ai b `˘ang phu, ,o,ng ph ´ap Ðirichlet trong [1]

2.2 M ênh ¯dê` trong nguyên l ´y quy n ap to´an h.oc 35

Tru,`o,ng h.o,p 4: Tru,´o,c hê´t ta thâ´y trong Xn+ 1 không ch ´u,a sô´

n do ¯d´o trong tru,`o,ng h.o,p n `ay ta bo t `u, ,

Xn + 1 hai sô´ 2n−1 v `a 2nthêm v `ao sô´ n ta c ˜ung nh ân ¯du,.o,c n sô´ m `a m oi sô´ ¯dê`u không l´o,n

ho,n 2n−2 Ta s˜e ch ´u,ng minh r `˘ang trong n sô´ ¯d´o không c´o sô´ n `aochia hê´t cho sô´ kh ´ac Ðê,ch ´u,ng minh ¯diê`u n `ay ta ch,ı câ`n ch ´u,ngminh:

1) Trong sô´ ¯d´o tr `u,sô´ n không c´o sô´ n `ao chia hê´t cho n v `a2) Sô´ n không chia hê´t cho sô´ n `ao kh ´ac, ngo `ai n

Ðiê`u th ´u,nhâ´t l `a hiê,n nhiên v`ı tâ´t ca c ´ac sô´ ¯, d´o ¯dê`u không l´o,n

ng 2 K ˜y thu ât d `ung phu ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc

2(n−1)sô´ Ðiê`u n `ay mâu thu ˜ân v´o,i gia thiê´t quy n ap V ây m.ênh,

¯

dê` ¯d ˜a cho ¯d ´ung v´o,i 2n sô´ 1, 2, , 2n v´o,i n l `a sô´ t u,nhiên bâ´t k `y

J

2.3 Bu , o ´ , c quy n ap ¯ du , .o , c xây d u , ng trên P ( k )

Trong ch ´u,ng minh b `˘ang phu,o,ng ph ´ap quy n ap to´an h.oc, kh´o

kh ˘an nhâ´t l `a bu,´o,c quy n.ap chuyê,n t `u,m ênh ¯dê` P(k)sang m ênh

¯

dê` P(k+1) Trong phâ`n n `ay c ˜ung nhu, c ´ac v´ı d u o,,m uc sau taxem x´et k ˜y c ´ac kha n ˘ang biê´n ¯, dô,i quy n ap tr u,c tiê´p t `u,kh˘ang,

¯

d.inh ¯d ´ung cua P, (k)sang kh˘ang ¯, d.inh ¯d ´ung cua P, (k+1)

V´ı d u 2.14 Ch ´u,ng minh r `˘ang

d˘ang th ´u, ,c n `ay v´o, (a+b)2, ta c´o (2.10)

Bu,´o,c quy n ap: Gia s, u,, 2.9) ¯d ´ung v´o,i sô´ n =k n `ao ¯d´o,

2.3 Bu,´o,c quy n.ap ¯du,.o,c xây d u,ng trên P(k) 37Sau khi biê´n ¯dô,i v `a ¯do,n gian hai vê´ ta ¯, du,.o,c bâ´t ¯d,˘ang th ´u,c tu,o,ng

¯

du,o,ng ak + 1+bk + 1> akb+bka, t `u,d´o suy ra¯

X´et hai tru,`o,ng h.o,p:

1) Nê´u a > b, v `a ¯diê`u ki ên ¯d ˜a cho l `a a> −b, suy ra a> |b|.V`ı v ây ak >bk Do ¯d´o bâ´t phu,o,ng tr`ınh (2.14) ¯d ´ung

2) Nê´u a < b, l ´y lu ân tu,o,ng t u,phâ`n trên ta c´o ak <bk, trongtru,`o,ng h.o,p n `ay (2.14) c ˜

ung ¯d ´ung T´om l ai, (2.14) ¯d ´ung v´o,i m oi

a 6=b, do ¯d´o (2.9) ¯d ´ung v´o,i n= k+1 J

V´ı d u 2.15 Cho d ˜ay sô´ 0 < a1 < a2 < · · · < an, v `a ei = ±1, i =

L ` o , i gi ai Bu , ,´o,c co,s ,o,: Khi n=1, tô`n tai ¯d ´ung 2 gi ´a tr.i kh´ac nhau

cua tô, ,ng ( a v `a−a) v `a C22 =1, nhu,v ây m.ênh ¯dê` ¯d ´ung

Bu,´o,c quy n ap: Gia s, u,,m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o,i n=k; ngh˜ıa l `a

k + 1 gi ´a tr.i kh´ac nhau Gia s, u,,thêm m ôt phâ`n tu,,

ak+ 1, m `a ak+ 1 > ak Ta câ`n phai ch, ,ı ra r `˘ang tô,ng s˜e c´o C2

k + 2 gi ´atr.i Theo gia thiê´t quy n ap ¯, d ˜a c´o s ˜˘an C2k+1 gi ´a tr.i cua tô, ,ng kh ´acnhau sinh bo,,i a1, a2, , ak; ta câ`n t`ım nh˜u,ng gi ´a tr.i kh´ac nhau

cua tô, ,ng, c´o sô´ lu,.o,ng l `a Ck2+2−C2k+1 = k+1 T`ım c ´ac tô,ng ¯d´o

b `˘ang c ´ach sau ¯dây: Ð ˘at S =

s u,l u,a ch on ei), v `a ch ´u ´y r `˘ang c ´ac tô,ng sau S+ak+1, S+ (ak+1−

ak), S+ (ak+1−ak−1), , S+ (ak+1−a1)c´o gi ´a tr.i kh´ac nhau v`a

ng 2 K ˜y thu ât d `ung phu ng ph ´ap quy n ap to´an h.ocl´o,n ho,n th u,c s u,S Nhu,v ây tô`n t ai k+1 gi ´a tr.i kh ´ac nhau n˜u,a

V´ı d u 2.16 Nê´u a >0 v `a b >0, th`ı(n−1)an+bn ≥nan−1b, v ´o,

n l `a sô´ nguyên du,o,ng; ¯d˘ang th ´, u,c xâ,y ra khi v `a chı khi a, = b

L ` o , i gi ai M ênh ¯ , dê` ¯d ´ung v´o,i n = 1 Gia s, u,, m ênh ¯dê` ¯d ´ung v´o,

kak+1≥kakb+ak+1−bka

4) C ông thêm bk+1v `ao hai vê´ cua bâ´t ¯, d,˘ang th ´u,c n `ay

kak+1+bk+1≥kakb+ak+1−bka+bk+1

Theo gia thiê´t quy n ap th`ı bâ´t ¯, d˘ang th ´u, ,c trên tro,,th `anh ¯d˘ang,

th ´u,c khi v `a chı khi a, = b Ðê,ch ´u,ng minh P(k+1)d ´¯ung, ta chı,

ra vê´ phai c, ua bâ´t ¯, d,˘ang th ´u,c sau c `ung thoa m ˜an,

kakb+ak+1−bka+bk+1≥ (k+1)akb

v `a bâ´t ¯d,˘ang th ´u,c tro,,th `anh ¯d˘ang th ´u, ,c khi v `a chı khi a, = b Th ât