Giải một số bài toán về hình chóp bằng phương pháp tọa độ trong không gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC DƯƠNG THỊ THÚY Giải một số bài toán về hình chóp bằng phương pháp tọa độ trong không gian KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN... T

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

DƯƠNG THỊ THÚY

Giải một số bài toán về hình chóp

bằng phương pháp tọa độ trong không gian

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN

Lời cảm ơn

Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn ThS.Trần Quang Hùng, giáo viên Toán trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong suốt thời gian từ khi nhận đề tài tới khi hoàn thành khóa luận Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Trường Đại học Giáo dục, các thầy cô trong khoa Toán – Cơ –Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã dạy dỗ tôi trong những năm vừa qua

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo trong khoa

Sư phạm, tới gia đình và bạn bè đã nhiệt tình giúp đỡ và là nguồn động viên tinh thần lớn trong suốt quá trình học tập và làm khóa luận

Mặc dù tôi đã cố gắng nhiều nhưng khóa luận của tôi vẫn còn nhiều thiếu sót.Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2018

Sinh viên Dương Thị Thúy

Danh mục viết tắt Dạnh mục viết tắt Từ viết tắt

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

6 Cấu trúc đề tài 4

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Khái niệm hình chóp và hình tứ diện 5

1.1.1 Khái niệm hình chóp 5

1.1.2 Khái niệm hình tứ diện 5

1.2 Ưu điểm và nhược điểm của phương pháp tọa độ 7

1.2.1 Ưu điểm của phương pháp tọa độ 7

1.2.2 Nhược điểm của phương pháp tọa độ 7

1.3 Một số dấu hiệu nhận biết bài toán hình chóp có thể giải bằng phương pháp tọa độ 7

1.4 Một số kiến thức về hệ tọa độ trong không gian 8

1.4.1 Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian 9

1.4.2 Tọa độ của một điểm 9

1.4.3 Tọa độ của vectơ 11

1.4.4 Tích có hướng của hai vectơ 12

1.4.5 Phương trình mặt cầu 13

1.4.6 Phương trình mặt phẳng 13

1.4.7 Phương trình đường thẳng 14

1.5 Các dạng bài toán thường gặp 14

1.6 Các bước giải bài toán bằng phương pháp tọa độ 17

1.7 Cách chọn hệ trục tọa độ và chọn vectơ 18

1.7.1 Chọn vectơ 18

1.7.2 Chọn hệ trục tọa độ 18

1.8 Thiết lập hệ trục tọa độ 19

1.8.1 Thiết lập hệ trục tọa độ cho tứ diện vuông và tứ diện đều 19

1.8.2 Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình chóp tam giác 22

1.8.3 Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình chóp tứ giác 30

CHƯƠNG 2: GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH CHÓP BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 46

2.1 Kết hợp phương pháp hình học không gian thuần túy và phương pháp tọa độ giải một số bài toán hình chóp trong đề thi Đại học - Cao đẳng ………46

2.2 Giải một số bài toán hình chóp bằng phương pháp tọa độ trong không gian 55

2.2.1 Bài toán về tứ diện vuông và tứ diện đều 55

2.2.2 Bài toán về chóp tam giác 61

2.2.3 Bài toán về hình chóp tứ giác 72

KẾT LUẬN 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học không gian là một bộ phận quan trọng của chương trình toán học trung học phổ thông hiện nay.Các bài toán hình học không gian khá phức tạp, đòi hỏi người học phải có tư duy tốt Việc giải một số bài toán hình học không gian tương đối khó và tốn nhiều thời gian nhưng nếu giải theo phương pháp tọa độ sẽ đơn giản hơn Trong đề tài “Giải một số bài toán về hình chóp bằng phương pháp tọa độ trong không gian” tôi sẽ trình bày cách vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán về hình chóp thuộc một đối tượng thường gặp nhất trong các bài toán hình học không gian.Qua đây tôi muốn đem đến cách nhìn khác nhằm làm phong phú hơn về phương pháp giải toán hình học

đó chính là sử dụng phương pháp tọa độ như một công cụ hữu ích cho việc giải quyết vấn đề đã nêu.Lời giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ nhiều khi thực sự bất ngờ vì rất gọn, dễ hiểu Cách tiếp cận và giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ sẽ làm cho học sinh có khả

năng tìm tòi, sáng tạo và nhất là khả năng tư duy toán học tốt hơn

Hình học không gian là môn hình học khá trừu tượng nên đa số học sinh e ngại khi học về phần này Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng gần đây, phần hình học không gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải bằng hai phương pháp: phương pháp hình học thuần túy và phương pháp tọa độ Việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp hình học thuần túy gặp nhiều khó khăn đối với học sinh vừa học xong lớp 12 vì đa

phần các em ít nhiều đã quen giải các bài toán tọa độ trong không gian

Việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ có rất nhiều

ưu việt, tuy nhiên học sinh cũng gặp không ít khó khăn.Bởi vì, phương pháp này chưa được đề cập nhiều trong các sách giáo khoa, học sinh phổ thông ít

được tiếp cận, và phương pháp này chỉ tối ưu với một lớp bài toán nào đó chứ

không phải lúc nào nó cũng tỏ ra hiệu quả

Học sinh đã quen với hình học suy luận thì đôi khi không thích đến phương pháp dựa nhiều vào tính toán, tuy nhiên thế mạnh của phương pháp tọa độ là giúp ta giải quyết được các bài toán chứng minh mà không giải được bằng suy luận.Phương pháp này là cứu cánh mỗi khi ta bí, và hiệu quả trong lúc còn ít thời gian, vì dù tính toán có hơi rắc rối nhưng không cần phải suy nghĩ nhiều Cái hay của phương pháp này theo tôi là nó không phụ thuộc vào cách chọn

hệ trục tọa độ, nhưng để bài toán có lời giải đẹp thì ta phải chọn hệ trục tọa độ một cách khéo léo và ít tham số Nhắc đến phương pháp tọa độ, có lẽ đây là phương pháp có sức mạnh khá lớn để giải các bài toán hình học không gian,

cụ thể là các bài toán về hình chóp Hy vọng rằng qua đề tài “Giải một số bài toán về hình chóp bằng phương pháp tọa độ trong không gian” các bạn sẽ thấy được rằng sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán về hình chóp có cái hay riêng của nó

Để các em học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải toán hình học không gian, chuẩn bị cho kì thi cuối cấp Trong khuôn khổ đề tài này, tôi sẽ chủ yếu tập trung vào các vấn đề sau:

- Dấu hiệu nhận biết và các bước giải bài toán về hình chóp bằng phương pháp tọa độ

- Đưa ra một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình chóp đặc biệt

- Trình bày một số bài toán về hình chóp được giải theo phương pháp tọa

độ và một số bài toán được giải theo hai phương pháp: phương pháp hình học không gian thuần túy (phương pháp tổng hợp) và phương pháp tọa độ trong không gian Điều này giúp học sinh rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp tọa độ và có thể trở nên linh hoạt trong

2 Mục đích nghiên cứu

Từ lý do chọn đề tài, cùng với kinh nghiệm trong quá trình học tập, tôi đã phân tích, khai thác các nội dung liên quan để tổng hợp và hệ thống hóa thành

đề tài nghiên cứu: “Giải một số bài toán về hình chóp bằng phương pháp tọa

độ trong không gian” Qua nội dung của đề tài này tôi rất mong muốn sẽ cung cấp cho người học đặc biệt là học sinh chuẩn bị thi Đại học– Cao đẳng một

số kỹ năng sử dụng có hiệu quả hơn phương pháp tọa độ hóa để giải các bài toán về hình chóp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày và hệ thống kiến thức liên quan đến hệ tọa độ trong không gian

- Tổng hợp và sắp xếp các bài toán dựa vào các loại hình chóp để người học dễ dàng tiếp nhận

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình

có liên quan đến phương pháp tọa độ trong không gian

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giáo viên trực tiếp hướng dẫn, các giáo viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán về hình chóp giải bằng phương pháp tọa độ trong không gian

- Phạm vi nghiên cứu: Toán hình học không gian lớp 11 và lớp 12; một

số đề thi Đại học – Cao đẳng

6 Cấu trúc đề tài

Mở đầu

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Giải một số bài toán hình chóp bằng phương pháp tọa độ trong không gian

Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm hình chóp và hình tứ diện

SA A Hình gồm n tam giác đó và đa giác A A1 2 A ngọi là hình chóp và được

kí hiệu là S A A 1 2 A n.Điểm S được gọi là đỉnh của hình chóp Đa giác

1 2 n

A A A gọi là mặt đáy của hình chóp.Các cạnh của mặt đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp.Các đoạn thẳng SA SA1, 2, , SA n gọi là các cạnh bên của hình chóp.Mỗi tam giácSA A SA A1 2, 2 3, , SA A n 1gọi là một mặt bên của hình chóp Nếu đáy của một hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

Hình chóp tam giác Hình chóp tứ giác Hình chóp ngũ giác

1.1.2 Khái niệm hình tứ diện

Cho bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng.Hình gồm bốn tam giác

,

ABC ACD ABD, và BCD gọi là hình tứ diện (hay nói ngắn gọn là tứ diện) và

được kí hiệu là ABCD.Các điểm A B C D, , , gọi là các đỉnh của tứ diện.Các đoạn thẳng AB BC CD DA CA BD, , , , , gọi là các cạnh của tứ diện Hai cạnh không có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện Các tam giác ABC, ACD ABD,

và BCD gọi là các mặt của tứ diện.Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện của mặt đó

SA A và miền đa giác A A1 2 A được gọi là hình chóp, kí hiệu là n S A A 1 2 A n

- Miền đa giác được gọi là đáy của hình chóp

- Các tam giác SA A SA A1 2, 2 3, ,SA A được gọi là các mặt bên của hình n 1

chóp

1.2 Ưu điểm và nhược điểm của phương pháp tọa độ

1.2.1 Ưu điểm của phương pháp tọa độ

Phương pháp tọa độ giúp giải một số bài toán hình học không gian đơn giản hơn khi giải bằng phương pháp hình học thuần túy

Lượng kiến thức và kĩ năng để giúp học sinh có thể giải các bài toán hình học không gian thông qua phương pháp này không nhiều chủ yếu là các kiến thức về tọa độ vectơ trong không gian, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, mối quan hệ giữa chúng

Phương pháp này không quá khó nên đối với các em học sinh trung bình việc sử dụng phương pháp này đơn giản hơn nhiều so với phương pháp tổng hợp, chủ yếu là dạy các em cách đặt hệ trục tọa độ sao cho phù hợp

1.2.2 Nhược điểm của phương pháp tọa độ

Không phải tất cả các bài toán về hình học không gian đều có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải, chỉ với những hình đặc biệt có những cạnh

có quan hệ vuông góc với nhau thì ta mới nên sử dụng phương pháp này vì nếu không việc tính tọa độ các điểm rất khó khăn

Sử dụng phương pháp này đòi hỏi phải có kĩ năng tinh toán khá tốt và phải nhớ được các công thức về tính góc và khoảng cách.Một số công thức khá giống nhau nên đôi khi dễ gây nên sự nhầm lẫn

1.3 Một số dấu hiệu nhận biết bài toán hình chóp có thể giải bằng

Chú ý: Tứ diện trực tâm là tứ diện có các cặp cạnh đối tương ứng vuông góc với nhau Như vậy tứ diện vuông cũng là tứ diện trực tâm đặc biệt

 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy (đáy là các đa giác đặc

biệt: tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều, hình vuông, hình chữ

nhật, hình thoi, hình thang vuông,…)

 Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy (đáy là các đa giác đặc

biệt: tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều, hình vuông, hình chữ

nhật, hình thoi, hình thang vuông,…)

 Hìnhchóp có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (trong mặt

phẳng đó có những đa giác đặc biệt: tam giác vuông, tam giác cân, tam

giác đều, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang vuông,…)

 Với một số bài toán mà giả thiết không cho những hình quen thuộc như

đã nêu ở trên thì ta có thể dựa vào tính chất song song, vuông góc của các đoạn thẳng hay đường thẳng trong hình vẽ để thiết lập hệ trục tọa

1.4.1 Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian

Trong không gian, cho ba trục x Ox,'

'

,

y Oy '

z Oz vuông góc với nhau từng

đôi một Gọi i j k, , lần lượt là các

vectơ đơn trên các trục '

x Ox, y Oy' ,

'

z Oz Hệ ba trục như vậy gọi là hệ

trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz

trong không gian, hay đơn giản được

gọi là hệ tọa độ Oxyz

- Điểm O được gọi là gốc tọa độ, Ox được gọi là trục hoành, Oy được gọi là trục tung, Oz được gọi là trục cao

- Các mặt phẳng Oxy , Oyz , Oxzđôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ

- Vì i j k, , là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

1

i  j k  vài j     j k k i 0

1.4.2 Tọa độ của một điểm

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyzcho một điểm M tùy ý Vì

ba vectơ i j k, , không đồng

phẳng nên có một bộ ba số

x y z duy nhất sao cho:, , 

OM  xi y jzk

Ngược lại, với bộ ba số x y z ta có một điểm , ,  M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức OM  xi y jzk.

Ta gọi bộ ba số x y z đó là tọa độ của điểm , ,  M đối với hệ trục tọa

độ Oxyz đã cho và viết:M x y z, , hoặcM x y z , , 

 Cách xác định tọa độ điểm M x M;y M;z M trong hệ trục tọa độ Oxyz:

- Tìm hình chiếu M' của M trên mặt phẳng tọa độ Oxy

- Nếu , ,I J K lần lượt thuộc các tia Ox Oy Oz thì: , ,

M

M M

Biểu thức tọa độ của điểm:

Trong không gianOxyzcho hai điểmA x y z A, A, A ,B x y z B, B, B, ta có:

Trong không gian Oxyz cho vectơ a Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ

ba số a a a saocho1, 2, 3 aa i1 a j2 a k3

Ta gọi bộ ba số a a a đó là tọa độ của vectơ a đối với hệ tọa độ 1, 2, 3

Oxyz cho trước và viết aa a a1, 2, 3hoặc a a a a 1, 2, 3

Biểu thức tọa độ của vectơ:

Trong không gianOxyzcho hai vectơ a a a a 1, 2, 3vàb b b b 1, ,2 3,ta có:

Tích có hướng của hai vectơ aa a1, 2, a3và bb b b1, 2, 3, kí hiệu

là a b, hoặc abđược xác định bằng tọa độ như sau:

 1 được gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t gọi là tham số

Chú ý: Cho đường thẳng có phương trình  1 thì:

 2 được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng 

1.5 Các dạng bài toán thường gặp

 Tính độ dài đoạn thẳng:

Nếu A x y z , ,  , B x y z, , thì độ dài đoạn thẳng AB được tính theo

 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d (d qua điểmAcó VTCPu) được tính theo công thức:

 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

- Nếu hai đường thẳng song song thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm trên đường này tới đường kia, khi đó ta dùng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để tính

- Nếu hai đường thẳng chéo nhau: d1 đi qua điểm M1 có VTCP u và 1

2

d đi qua điểm M2 có VTCP u2 , khi đó khoảng cách giữa d1 và d2

được tính theo công thức:

1 2

1 2

,,

 Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng:

- Nếu đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung thì khoảng cách bằng 0

- Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm của đường thẳng tới mặt phẳng, khi đó

ta dùng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để tính

 Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, khi đó ta dùng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính

 Tính góc giữa hai đường thẳng:

Nếud1có VTCP làu và 1 d2có VTCP là u thì góc 2  0  90o giữa chúng được xác định theo công thức:

1 2

u u cos

n n cos

n n

 

 Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Nếu đường thẳng d có VTCP là u và mặt phẳng  P có VTPT là n thì góc  0  90o giữa chúng được xác định theo công thức:

u n sin

u n

 

 Tính thể tích khối đa diện:

 Tính diện tích thiết diện:

- Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:

 Chứng minh quan hệ song song, vuông góc:

- Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta thường sử dụng tích vô hướng của hai vectơ:

1.6 Các bước giải bài toán bằng phương pháp tọa độ

Để giải được các bài toán về hình chóp bằng phương pháp tọa độ ta cần phải thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp nhất.Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình

Phương pháp giải

 Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (chú ý vị trí của gốc O)

 Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan (Có thể xác định tọa độ

tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết)

Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào:

- Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa

- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán, sau đó tìm mối quan hệ vuông góc ở mặt đáy (tức là xác định hai đường thẳng cố định ở mặt đáy vuông góc với nhau) Nơi giao nhau của hai đường thẳng vuông góc đó chính là nơi ta đặt gốc tọa độ và đồng thời hai đường thẳng đó tương ứng chính là trục hoành (trục Ox) và trục tung (trục Oy)

- Từ gốc tọa độ ta dựng đường thẳng vuông góc với mặt đáy thì ta được trục cao (trục Oz) nằm trên đường thẳng đó Như vậy, là ta đã hoàn thành xong việc thiết lập hệ trục tọa độ

- Nhìn vào hình vẽ và từ giả thiết của bài toán ta tìm tọa độ các điểm liên quan đến yêu cầu bài toán, ta cần chú ý đến các quan hệ cùng phương, đồng phẳng, vuông góc để tìm tọa độ các điểm đó Ta chọn sao cho việc tìm tọa độ các điểm có nhiều số 0 càng tốt cho việc tính toán

1.8 Thiết lập hệ trục tọa độ

Để giải được một số bài toán về hình chóp bằng phương pháp tọa độ ta cần phải thiết lập hệ trục tọa độ sao cho thích hợp Sau đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp để thiết lập hệ trục tọa độ cho một số hình thường gặp:

1.8.1 Thiết lập hệ trục tọa độ cho tứ diện vuông và tứ diện đều

Đối với hình tứ diện có hai loại hình thường gặp nhất đó là hình tứ diện vuông và hình tứ diện đều cho việc áp dụng phương pháp tọa độ:

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc O là

trung điểm của CD B Ox,  ,D Oy

63

1.8.2 Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình chóp tam giác

 Hình chóp tam giác đều:

Cho hình chóp tam giác đều SABC,

ABa SH h

 Cách 1:

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc

O là trung điểm của BC,

A Ox B Oy 

32

3

20

Ta thấy điểm C đối xứng với điểm B qua trục 3

 Hình chóp tam giác có cạnh bên vuông góc với mặt đáy:

Cho hình chóp tam giác SABC có

Khi đó tọa độ các đỉnh là:A0,0,0 , B a,0,0 , C 0, ,0 ,b  S 0,0,h

Trường hợp 2:

Đáy là ABC cân tại A OA, a OC, b.

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc O là

trung điểm của BC A Ox C Oy,  ,  ,

0,0,0

Trường hợp 3:

Đáy là ABC đều, ABa

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho O là trung

điểm của BC A Ox C,  , Oy

 , , 

32

3

20

 Hình chóp tam giác có mặt bên vuông góc với mặt đáy:

Cho hình chóp tam giác S ABC có

SAC  ABC, SH ABC, ta

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho

gốc O là trung điểm của BC,

Ta thấy điểm B đối xứng với điểm C qua gốc OB0,b,0

Đặt OM m ON, n.Gọi các điểm M N K lần lượt là hình chiếu của điểm , ,

1.8.3 Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình chóp tứ giác

2

20

 Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với mặt đáy:

Cho hình chóp tứ giác S ABCD

Ta thấy điểm C đối xứng với điểm Aqua gốc 2,0,0

Gọi các điểm M N, lần lượt là

hình chiếu của điểm C lên các trục

,

Ox Oy