Giải một số bài toán điện động lực bằng phương pháp ảnh điện và phương pháp ảnh từ

Vì thế việc xây dựng và lựa chọnphơng pháp giải hợp lý cho mỗi dạng bài tập là rất cần thiết.Trong phần trờng tĩnh điện cũng nh trong phần từ trờng của dòng điệnkhông đổi của điện động l

Nhng muốn giải đợc bài tập, cần phải có phơng pháp giải Với một dạngbài tập, có một hoặc nhiều phơng pháp giải Vì thế việc xây dựng và lựa chọnphơng pháp giải hợp lý cho mỗi dạng bài tập là rất cần thiết.

Trong phần trờng tĩnh điện cũng nh trong phần từ trờng của dòng điệnkhông đổi của điện động lực học có ba loại bài toán cơ bản sau:

1 Cho biết trờng ( E, ϕ) hoặc (B, ), xác định sự phân bố điện tích (A ρ,

và trờng hợp dòng điện đặt cạnh một khối từ môi nào đó

Đối với loại bài toán đặc biệt này thì các phơng pháp trên không thể giảiquyết đợc Để giải quyết đợc một cách nhanh chóng, trọn vẹn loại bài toán đãnêu thì có thể dùng phơng pháp khác - đó là phơng pháp ảnh trong trờng điện

từ Đây là phơng pháp giải các bài tập điện động lực ít đợc phổ biến trong khivai trò của nó lại không nhỏ

Mặt khác, điện động lực học (đợc đa vào giảng dạy cho sinh viên năm thứ

3 Khoa Vật lý của các trờng Đại học S phạm) là một môn học có khối lợngkiến thức lớn Vì điều kiện về thời gian và chơng trình nên các sinh hoặckhông đợc giới thiệu, hoặc đợc giới thiệu không kỹ về phơng pháp ảnh

Vì những lý do trên cùng với niềm say mê nghiên cứu môn Điện động lựchọc, nên tôi đã chọn đề tài: “Giải một số bài toán điện động lực bằng phơngpháp ảnh điện và phơng pháp ảnh từ” để trình bày trong cuốn luận văn này

Hy vọng rằng, nó sẽ giúp các sinh viên vật lý giải quyết đợc các dạng bài tập

Điện động lực một cách nhanh chóng và trọn vẹn nhất

Bằng những kiến thức về điện đại cơng, điện động lực, giải tích, bằngcách thu thập các tài liệu tiếng Việt, tài liệu tiếng Nga có liên quan, bằngcách học hỏi ở các anh chị khoá trớc và đặc biệt là học hỏi ở thầy giáo hớngdẫn Nguyễn Huy Công, tôi đã hoàn thành cuốn luận văn này với những nộidung chính sau:

Sau phần mở đầu, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của phơng pháp ảnhtrong điện từ trờng và đặc biệt là định lý về tính duy nhất nghiệm của hệ ph-

ơng trình Mắcxoen (mục II) Mục III là mục tóm tắt nội dung phơng pháp

ảnh trong điện trờng Sau đó, ở mục IV, chúng tôi tuyển chọn một số bài tậpgiải theo phơng pháp ảnh điện với các dạng:

+ Xác định điện thế, cờng độ điện trờng

+ Xác định mật độ điện tích cảm ứng

+ Xác định năng lợng, lực tác dụng (lực điện)

Tiếp theo, ở mục V và mục VI, chúng tôi trình bày tóm tắt nội dung

ph-ơng pháp ảnh từ, đồng thời tuyển chọn một số bài tập giải theo phph-ơng pháp

có hạn, chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong

đợc sự quan tâm và đóng góp ý kiến của các bạn học sinh, sinh viên, của cácthầy cô giáo Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo NguyễnHuy Công - Thầy đã giúp đỡ tôi rất nhiều cả về kiến thức, cả về phơng phápnghiên cứu và giới thiệu, cung cấp cho tôi nhiều tài liệu quý giá

Vinh, tháng 5 năm 2002

Ngời thực hiện

Trịnh Ngọc Hoàng

II Cơ sở lý thuyết của phơng pháp ảnh

trong trờng điện từ

Nếu nh ngời ta xây dựng cơ học Niutơn dựa trên cơ sở của 3 định luậtNiutơn, thì tơng tự nh vậy, điện động lực học đợc xây dựng trên cơ sở hệ ph-

ơng trình Mắcxoen Hệ phơng trình Mắcxoen là hệ phơng trình cơ bản của

điện động lực Có thể có nhiều phơng pháp khác nhau để giải hệ phơng trìnhnày, tuy nhiên các phơng pháp khác nhau ấy vẫn cho cùng một kết quả

Cơ sở của kết luận này là dựa vào định lý về tính duy nhất nghiệm củamột bài toán điện động lực:

“Hệ phơng trình Mắc xoen luôn luôn có một nghiệm duy nhất tại một thời

điểm bất kỳ, ở một vị trí bất kỳ trong không gian chứa trờng”

Để chứng minh tính đơn trị của các nghiệm của hệ các phơng trìnhMắcxoen, chúng ta xét 2 trờng hợp sau đây:

1 Trờng hợp không gian khảo sát là hữu hạn:

Xét một khoảng không gian hữu hạn đợc bao bọc bởi một mặt S khép kín

và chứng minh rằng hệ các phơng trình Mắcxoen cho ta một nghiệm duynhất với những điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho trớc Điều đó cónghĩa là trờng điện từ là hoàn toàn xác định tại bất kỳ một thời điểm nào vàtại bất kỳ một điểm nào trong khoảng thời gian và không gian đã cho khi giátrị của trờng tại thời điểm ban đầu và trên biên là xác định

Để làm đợc điều này chúng ta dùng phơng pháp chứng minh phản chứng,tức là ta giả thiết ngợc lại:

Giả thiết rằng hệ các phơng trình Mắcxoen có hai nghiệm khác nhau (

1

1, H

E  ) và (E2, H2) cùng thoả mãn các điều kiện ban đầu và điều kiện biên

Do các phơng trình là tuyến tính nên hiệu của các nghiệm:

2 1

E =  −  và H3 = H1 −H2 cũng phải thoả mãn các phơng trìnhMắcxoen với các điều kiện bổ sung sau đây:

j



3 = j1 - j2 = σ E3b) ở thời điểm t = 0 tại mọi điểm của thể tích V các đại lợng E1 và E2,

1

H và H2 có các giá trị nh nhau Nghĩa là tại thời điểm t = 0 tại mọi điểm

của V ta có E3 = 0 và H3 = 0

c) Trong toàn bộ thời gian từ t = 0 đến t = t1 tại mọi điểm của mặt S các

thành phần tiếp tuyến của vectơ E3 hoặc của vectơ H3 đều bằng không (docùng một nguyên nhân)

Bây giờ chúng ta áp dụng định lý Pointing:

H B D E t

áp dụng cho trờng E3 , H3:

H B D E

3 3 3 3

3 3 3 3

∂∂ ∫ +

V

dv H B D E

3 3 3 3

2

3 3 3 3

có thể giảm hoặc không đổi

Giả sử W3 không đổi, nhng khi t = 0 theo điều kiện b), năng lợng W3 củatrờngE3, H3 là bằng không nên nó phải bằng không trong toàn khoảng thời

5gian từ t = 0 đến t = t1 (năng lợng W3 cũng không thể giảm; vì nếu giảm thìtheo điều kiện b), năng lợng W3 sẽ mang giá trị âm, trái với (4)).

Năng lợng W3 = 0 trong toàn bộ khoảng thời gian từ t = 0 đến t = t1 chỉ cóthể xảy ra khi E3 và H3 bằng không tại mọi điểm của thể tích V Điều đó có

nghĩa là hai hệ nghiệm E1, H1 và E2, H2 của bài toán ban đầu đã giả thiết làkhác nhau phải đồng nhất với nhau

2 Trờng hợp không gian khảo sát là vô hạn.

Để xét không gian vô hạn chúng ta nhận thấy rằng chứng minh ở trờnghợp 1 có thể đợc lặp lại tơng tự chỉ cần thay điều kiện c) bằng điều kiện vôhạn:

Điều kiện đó là:

[EìH] giảm nhanh hơn 12

R khi R →∞ (5)Khi (5) đợc thoả mãn thì ta có (2), tức là:

3 3 3 3

3 dv (theo điều kiện (3))

Lập luận tơng tự nh trên ta suy ra đợc tính đơn trị của các nghiệm của hệphơng trình Mắcxoen

Tuy nhiên điều kiện (3) chỉ có thể dùng cho trờng hợp trờng điện từ không

đổi Nó không ứng dụng đợc cho trờng điện từ biến thiên

Nh vậy là định lý về tính duy nhất nghiệm của hệ phơng trình Mắcxoen

đã đợc chứng minh

Từ đây chúng ta có thể suy ra hệ quả quan trọng

*Hệ quả Khi giải một bài toán điện động lực chúng ta có thể dự đoán

nghiệm của nó dựa vào các dữ kiện đã cho ban đầu Nếu chứng minh đợc nghiệm đó thoả mãn các yêu cầu bài toán đặt ra (nghiệm đó thoả mãn các phơng trình Mắcxoen và các điều kiện biên, điều kiện ban đầu) thì đồng thời

ta đã chứng minh đợc đó là nghiệm duy nhất cần tìm của bài toán.

III Phơng pháp ảnh điện

6Khi đặt một điện tích gần một vật dẫn nối đất hay cô lập thì trong vật dẫnxảy ra hiện tợng cảm ứng tĩnh điện Kết quả là trong vật dẫn xuất hiện các

điện tích cảm ứng đợc sắp xếp theo một trật tự nhất định Lúc đó, việc tính ờng tạo bởi điện tích đã cho và vật dẫn không thể áp dụng đợc các phơngpháp thông thờng vì ta cha biết đợc sự phân bố các điện tích cảm ứng trên vậtdẫn Trong trờng hợp này ta có thể xác định trờng bằng phơng pháp ảnh (ph-

tr-ơng pháp ảnh điện)

Phơng pháp ảnh điện là phơng pháp duy nhất để xác định điện trờng vàcác đặc điểm của nó trong trờng hợp cha biết rõ sự phân bố các điện tích.Theo phơng pháp này, thay vì xác định trờng do hệ điện tích và vật dẫn gây

ra, ta đi xác định trờng tạo bởi điện tích đó và ảnh của nó qua vật dẫn (điệntích ảnh)

Khi vận dụng phơng pháp giải này, ta tiến hành theo lôgic sau:

1 Chọn hệ tọa độ thích hợp (dựa vào hình dạng của vật dẫn và các dữkiện của bài toán)

2 Dựa vào các dữ kiện đã cho để xác định độ lớn và vị trí của các điệntích ảnh (hoặc đoán nghiệm)

3 Tính trờng do điện tích đã cho và các điện tích ảnh gây ra theo nguyên

lý chồng chất điện trờng (hoặc chứng minh nghiệm dự đoán là nghiệm duynhất cần tìm)

Sau đây chúng ta sẽ vận dụng phơng pháp này để giải một số bài tập phầntĩnh điện

IV Một số bài tập điện động lực giải theo phơng pháp ảnh điện

Bài IV.1: Cho một điện tích điểm q và một mặt phẳng dẫn ∆ có thế ϕ = 0.Tính trờng tạo bởi hệ đó? Biết khoảng cách giữa điện tích và mặt phẳng là

d.

Giải : y

Xét trờng trong hệ toạ độ Đềcác, mặt

phẳng x = 0 trùng với mặt phẳng dẫn; trục Ox

đi qua điện tích q.

Gọi q’ là điện tích ảnh của q.

Giả sử q’ đối xứng với q qua mặt phẳng

x = 0 Khi đó thế vô hớng tại điểm P(x, y, z)

+++

')

(4

1

z y d x

q z

y d x

q

trong đó r1 = (x−d)2+ y2 +z2 , r2 = (x+d)2+ y2+z2 lần lợt là khoảng cách từ điện tích đã cho và điện tích ảnh của nó đến điểm khảo sát.

Mặt khác, tại mặt phẳng x = 0 thì thế ϕ = 0, do đó:

2 0

'4

1

z y d

q z

y d

−++

1)

2 2

2

z y

∂+

∂

∂+

Nh vậy điều giả sử ở trên là đúng và nghiệm vừa tìm đợc chẳng những

đúng mà còn là duy nhất nữa (theo định lý về tính duy nhất nghiệm)

Và do vậy ta tính đợc cờng độ điện trờng:

E = - gradϕ =  ∂ 

∂+

∂

∂+

j x

+

−+

+

−

−

2 3 2 2 2 2

3 2 2 2

d x z

y d x

d x i

−+

+

− )2 2 2 32 ( )2 2 2 32

y z

y d x

y j

−+

+

− )2 2 2 32 ( )2 2 2 32

z z

y d x

z

Bài IV.2: Cho vật dẫn ∆ choán đầy nửa không gian, có thế ϕ = 0 và một

điện tích điểm q nằm trong chân không Xác định trờng tạo bởi hệ đó? Biết

8Mặt khác ở miền này thế đồng nhất bằng 0 Do đó nghiệm duy nhất củaphơng trình Laplac là ϕ = 0.

Suy ra E = 0 (x < 0)

+ ở nửa không gian bên phải (x > 0):

Từ vị trí của điện tích q và điều kiện biên nh vậy, tơng tự bài số 1 ta thấy

rằng: Trờng trong miền này tơng đơng với trờng do điện tích q tại (d, 0, 0) và

điện tích - q tại (-d, 0, 0) gây ra:

ϕP = 4 0  1 − 2

1

r

q r

−++

1)

∂

∂+

j x

+

−+

+

−

−

2 3 2 2 2 2

3 2 2 2

d x z

y d x

d x i

−+

+

− )2 2 2 32 ( )2 2 2 32

y z

y d x

y j

−+

+

− )2 2 2 32 ( )2 2 2 32

z z

y d x

Mặt phẳng xOz và yOz trùng với hai

nửa mặt phẳng giới hạn; điện tích q nằm

r3 r1

-q +q

r4 a r2

a x

+q -q

Do vậy trong bài này ta có thể dự đoán sự phân bố các điện tích ảnh nh là

ảnh của điện tích đã cho khi hai mặt phẳng dẫn xOz và yOz là hai gơng

phẳng

9Khi đó thế vô hớng tại điểm M(x, y, z) bất kì thuộc góc phần t thứ nhất là:

ϕM = 4 0 1 − 2 − 3 + 4 

1

r

q r

q r

q r

q

πεTrong đó: r1 = (x−a)2 +(y−a)2+z2

r2 = (x−a)2 +(y+a)2 +z2

r3 = (x+a)2+(y−a)2+z2

r4 = (x+a)2+(y+a)2+z2 (x > 0, y > 0)

là khoảng cách từ điểm khảo sát đến điện tích đã cho và các ảnh của nó

Ta thấy rằng: ∆ϕM = 0, ∀M trừ điểm (a, a, 0)

Do đó điều phỏng đoán ở trên là đúng và nghiệm ở trên là nghiệm duynhất (theo định luật về tính duy nhất nghiệm)

Biết thế ϕM ta có thể tính đợc cờng độ điện trờng thông qua công thức:

E = - gradϕ

+ ở miền còn lại thì ϕ đồng nhất bằng không, và do đó cờng độ điện ờng cũng đồng nhất bằng không

tr-Bài IV.4: Cho một quả cầu dẫn nối đất có bán kính a và một điện tích q

nằm cách tâm quả cầu một khoảng  ( > a) Xác định trờng tạo bởi hệ đó?

Giải:

Ta nhận thấy trờng do hệ này tạo ra

có tính chất đối xứng qua trục nối tâm

O và điện tích q Vì thế ta chọn hệ toạ

độ cực có gốc tại O

+ Đối với miền r < a:

Bên trong quả cầu không có điện

+ Đối với miền r > a:

Nếu gọi q’ tại điểm (’, 0) là điện tích ảnh của q thì thế vô hớng:

ϕM = 0  1 + 2

'4

1

r

q r

q

πεtrong đó r1 = r2 +2 −2rcosθ

r2 = r2 +'2−2r'cosθ

là khoảng cách từ điểm khảo sát đến q và ảnh q’.

Ta sẽ xác định q’ dựa vào định lí Green:

1

' 1

ϕ

ở đây ϕk và ϕk' lần lợt là thế của vật dẫn khi chúng tích điện q k và q k'

Khi tại M có điện tích q và quả cầu nối đất, ta có:

0

4

'πε

Nh vậy ở bên ngoài hình cầu trờng cần xác định tơng đơng với trờng do

điện tích q tại (, 0) và điện tích ảnh q’ tại (’, 0) gây ra:

cos24

1

2 2

4 2 2

2 0

a q r

Vì thế nếu thay quả cầu dẫn bằng

các điện tích ảnh của q thì các điện

tích ảnh đó phải gồm 2 điện tích trái

11Gọi q'

r

q r

q r

2

' 1 1 0

4

1πε =

q a r

q



 2

1 0

4

1πεVận dụng kết quả bài IV.4 ta đợc:

−

−

q a a

r

a r

a r

πε

cos2

1cos

2 0

với r > a.

Bài IV.6: Một điện tích điểm q đặt tại điểm A cách mặt phẳng phân chia 2 môi

trờng điện môi đồng chất vô hạn một khoảng a, hằng số điện môi của các môi

Trục Ox đi qua điện tích q và hớng về

môi trờng ε1 Điện trờng gây bởi hai

môi trờng điện môi đợc thay thế bằng

trờng tạo bởi 2 điện tích ảo là ảnh của

điện tích q ở trong môi trờng ε1 và ε2:

4

"

04

'4

1 2 2

2 1 1

1 1

x r

q

x r

q r

q

πεϕ

πεπε

ϕ

trong đó: r1 = (x−a)2 +y2 +z2 ; r2 = (x+a)2+ y2 +z2

là khoảng cách từ điện tích đã cho và điện tích ảnh đến điểm khảo sát

Mặt khác, theo điều kiện liên tục của thế ϕ: ϕ1 x=0 = ϕ2 x=0 và theo

điều kiện của vectơ D: D2n - D1n = 0

12 ⇒ - ε2

0

2

=

∂

∂

x x

ϕ

+ ε1

0

1

=

∂

∂

x x

ϕ

= 0

Ta có hệ phơng trình:























=

= +

+ +

+

−

−

= +

+

−

−

−

= +

+

−

−

+ +

= +

+

+ + +

0 0

) ( 4

) ( '

0 ) ( 4 ) ( 0 ) ( 4 ) ( " 4 " 4 ' 4 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 x z y a x a x q x z y a x a x q x z y a x a x q z y a q z y a q z y a q πε ε πε ε πε ε πε πε πε ⇒

    = − + − = + 0 ' " " ' 2 1 1 q q q q q q ε ε ε ⇒

      + = + − = q q q q 2 1 2 2 1 2 1 2 " ' ε ε ε ε ε ε ε Do vậy ϕM =        < + + + = >         + + + − + + + = − + − ) 0 (

)

( ) (

) 0 (

)

( ) (

) (

2 2 2 2

1 2

2 2 2 2

1

2 1 2

2 2 1

1

2

1 4

x z

y a x q

x z

y a x z

y a x q

ε ε π ϕ

ε ε

ε ε πε

ϕ

Từ đây ta có thể xác định đợc cờng độ điện trờng:

E1 = - gradϕ1

E2 = - gradϕ2

Bài IV.7: Xác định mật độ điện tích cảm ứng trên bề mặt vật dẫn cho ở

bài IV.2 và độ lớn của điện tích cảm ứng trên toàn vật dẫn?

Giải:

* Từ điều kiện biên: D1n - D2n = σ

và phơng trình liên hệ: D=εE

Suy ra ε2E1n - ε1E2n = σ

⇒ ε0E1n - 0 = σ

⇒ σ = ε0E1n = ε0

0

=













∂

∂

−

x x

ϕ

với ϕ đã đợc xác định ở bài IV.2 theo phơng pháp ảnh điện:











+ + +

− + +

1 )

(

1

q

πε

−+

+

−

−

x z

y d x

d x z

y d x

d x q

πε

⇒ σ =

2 3 2 2

(2

z y d

d q

++

dS q

2π 2

− (r = d2 + y2+z2 ) = − = − q dΩ

r

dS q

Bài IV.8: Xác định mật độ điện tích cảm ứng trên bề mặt vật dẫn cho ở

bài IV.3 và độ lớn của điện tích cảm ứng trên các mặt phẳng dẫn?

Giải: y

Dựa vào điều kiện biên và phơng trình

liên hệ tơng tự nh bài IV.7 ta xác định đợc

ϕ+ Trên nửa mặt phẳng y = 0

-q +q x +q - q

q r

q r

−+

−

2 3 2 2 2

2 3 2 2

1)

−+

+

−

−

2 3 2 2 2 2

3 2 2

1)

1 )

2 ( ) 1 (

q dxdz dydz

q

Bài IV.9: Xác định mật độ điện tích cảm ứng trên mặt cầu cho ở bài IV.4

và độ lớn của điện tích cảm ứng trên toàn vật dẫn?

1cos

2 0

a r

r q

Suy ra

σ = - ε0 πε −2( + −2 cosθ)− .(2 −2 cosθ)+

14

2 3 2

2 0





a q

−

)cos2

2(

cos2

a a

a a a

)cos2(

4

2 2 2 3 2

a a

a

−+



π ⇒ σ = ( )

4

2 2

Từ đó ta tính đợc điện tích cảm ứng trên toàn vật dẫn:

qc. = ∫ dS = −a.q

σ

(Kết quả này phù hợp với định lý Green)

Bài IV.10: Xác định lực tác dụng giữa điện tích điểm q và mặt phẳng dẫn

∆ cho ở bài IV.1?

Giải:

Vì điện trờng do điện tích q và mặt phẳng dẫn ∆ gây ra hoàn toàn tơng

đơng với điện trờng do điện tích q tại (d, 0, 0) và điện tích ảnh -q tại d,0,0) gây ra.

(-Do đó lực tác dụng giữa điện tích q và mặt phẳng dẫn ∆ cũng bằng lực tácdụng giữa điện tích q và điện tích ảnh - q theo định luật Culông

F = 2 2

0 (2 )4

Theo phơng pháp ảnh điện: Điện trờng do hệ điện môi ε1, ε2 và điện tích

điểm q tạo ra tơng đơng với điện trờng do điện tích điểm q và điện tích ảnh q’ gây ra.

Do đó lực tác dụng lên điện tích q chính bằng lực do điện tích ảnh q’ tác

dụng lên điện tích q theo định luật Culông:

F = 2

'.4

1

a

qq

πεTrong đó q’ đã đợc xác định ở bài số IV.6 nhờ phơng pháp ảnh điện

q’ =

2 1

2 1

εε

ε

ε+

−.q

Do vậy F =

221

2 1

.4

1

a

q q

εε

εεπε

+

−

⇒ F =

2 1

2 1

εε

ε

ε+

Bài IV.12: Tìm năng lợng U và lực F tác dụng giữa điện tích q và quả

cầu dẫn điện bán kính a nối đất (đã cho ở bài IV.4) Điện tích cách tâm quả

cầu một khoảng  Hệ đợc đặt trong chân không