Phương pháp giải một số bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng

CHƯƠNG 1: HỆ THỐNG LÝ THUYẾT Để làm tốt các bài tập trong chủ đề này, học sinh cần được cung cấp một hệ thống đầy đủ các lí thuyết căn bản nhất bao gồm: Một số lí thuyết về tọa độ của v

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: HỆ THỐNG LÝ THUYẾT 4

1.1 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM 4

1.1.1 Tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm 4

1.1.2 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ 4

1.1.3 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ của trọng tâm tam giác 5

1.2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG 6

1.3 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG 6

1.4 CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT 8

1.5 PHƯƠNG TRÌNH ĐOẠN CHẮN 9

1.6 PHƯƠNG TRÌNH THEO HỆ SỐ GÓC 10

1.7 PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 10

1.8 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 11

1.8.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 11

1.8.2 Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng 11

1.8.3 Góc giữa hai đường thẳng 11

CHƯƠNG 2: HỆ THỐNG BÀI TẬP 13

2.1 TAM GIÁC 13

2.1.1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC 13

2.1.2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC 31

2.1.3 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC 45

2.2 HÌNH CHỮ NHẬT 61

2.3 HÌNH THOI 95

2.4 HÌNH VUÔNG 105

2.5 HÌNH BÌNH HÀNH 129

2.6 HÌNH THANG 138

KẾT LUẬN 143

TÀI LIỆU THAM KHẢO 144

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một trong những kiến thức trọng tâm

của hình học 10 và cũng xuất hiện trong đề thi môn toán của kì thi THPT Quốc Gia

Do vậy, tôi đã quyết định chọn đề tài khóa luận của mình là “ Phương pháp giải một

số bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng ”, đề tài này bao gồm hệ thống lý thuyết

và bài tập về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng , đồng thời cũng là để phục vụ cho

việc giảng dạy sau này

2 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận này bao gồm hai chương:

Chương 1: Hệ thống lí thuyết

Chương 2: Phân dạng bài tập

CHƯƠNG 1: HỆ THỐNG LÝ THUYẾT

Để làm tốt các bài tập trong chủ đề này, học sinh cần được cung cấp một hệ thống

đầy đủ các lí thuyết căn bản nhất bao gồm: Một số lí thuyết về tọa độ của vectơ và

tọa độ của điểm ở chương 1, lí thuyết về tích vô hướng ở chương 2 và toàn bộ lí thuyết

chương 3 của SGK hình học nâng cao 10 của Nhà Xuất Bản Giáo Dục [1]

1.1.1 Tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm

Đối với hệ trục (𝑂; 𝑖⃗, 𝑗⃗ ) hay 𝑂𝑥𝑦

Cho hai điểm (𝑥𝑀; 𝑦𝑀), 𝑁(𝑥𝑁; 𝑦𝑁) Nếu 𝑃 là trung điểm của đoạn thẳng 𝑀𝑁 thì:

1.1.3.2 Tọa độ của trọng tâm tam giác

Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴), 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵), 𝐶(𝑥𝐶; 𝑦𝐶) Gọi 𝐺 là trọng tâm của tam

giác 𝐴𝐵𝐶 Khi đó:

Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm 𝐼(𝑥0; 𝑦0) và vectơ 𝑛⃗⃗ = (𝑎; 𝑏) ≠ 0⃗⃗

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua 𝐼, có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗⃗ Tìm điều kiện của 𝑥 và 𝑦 để

Ngược lại, ta có thể chứng minh được rằng: Mỗi phương trình dạng

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, 𝑎2+ 𝑏2 ≠ 0 Đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định, nhận 𝑛⃗⃗ = (𝑎, 𝑏) là

Đi qua hai điểm 𝐴(𝑎; 0), 𝐵(0; 𝑏)

Phương trình dạng trên được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

1.6 PHƯƠNG TRÌNH THEO HỆ SỐ GÓC

Xét đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 Nếu 𝑏 ≠ 0 thì

phương trình đưa được về dạng

𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑚 Với:

𝑘 = −𝑎

𝑏, 𝑚 = −

𝑐𝑏Khi đó, 𝑘 là hệ số góc của đường thẳng ∆ và phương trình 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑚 gọi là

phương trình của ∆ theo hệ số góc

Ý nghĩa hình học của hệ số góc:

Xét đường thẳng ∆: 𝑦 = 𝑘𝑥 +

𝑚

o Với 𝑘 ≠ 0, gọi 𝑀 là giao

điểm của ∆ với trục 𝑂𝑥

và 𝑀𝑡 là tia của ∆ nằm

phía trên 𝑂𝑥 Khi đó, nếu

𝛼 là góc hợp bởi hai tia

𝑀𝑡 và 𝑀𝑥 thì hệ số góc

của đường thẳng ∆ bằng 𝑡𝑎𝑛𝑔 của góc 𝛼, tức là 𝑘 = 𝑡𝑎𝑛 𝛼

o Khi 𝑘 = 0 thì ∆ là đường thẳng song song hoặc trùng với trục 𝑂𝑥

Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm 𝐼(𝑥0; 𝑦0) và có vectơ

chỉ phương 𝑢⃗⃗ = (𝑎; 𝑏) Phương trình tham số của đường thẳng ∆ với tham số t là:

{𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦0 + 𝑎𝑡

0+ 𝑏𝑡 (𝑎2+ 𝑏2 ≠ 0)

1.8.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 +

𝑐 = 0 Khoảng cách 𝑑(𝑀; ∆) từ điểm 𝑀(𝑥𝑀; 𝑦𝑀) đến ∆ là:

𝑑(𝑀; ∆) = |𝑎𝑥𝑀+𝑏𝑦𝑀+𝑐|

√𝑎 2 +𝑏2

1.8.2 Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng ∆: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 và hai điểm 𝑀(𝑥𝑀; 𝑦𝑀), 𝑁(𝑥𝑁; 𝑦𝑁) không nằm

trên ∆ Khi đó:

Hai điểm 𝑀, 𝑁 nằm cùng phía đối với ∆ khi và chỉ khi

(𝑎𝑥𝑀+ 𝑏𝑦𝑀 + 𝑐)(𝑎𝑥𝑁 + 𝑏𝑦𝑁 + 𝑐) > 0 Hai điểm 𝑀, 𝑁 nằm khác phía đối với ∆ khi và chỉ khi

(𝑎𝑥𝑀 + 𝑏𝑦𝑀+ 𝑐)(𝑎𝑥𝑁 + 𝑏𝑦𝑁 + 𝑐) < 0

1.8.3 Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆1, ∆2 cắt nhau tạo

thành bốn góc Số đo góc nhỏ nhất

của các góc đó được gọi là số đo của

góc giữa hai đường thẳng ∆1, ∆2

Khi ∆1 song song hoặc trùng với

∆2, ta quy ước góc giữa chúng bằng

0𝑜

Góc giữa hai đường thẳng ∆1, ∆2

được kí hiệu là (∆̂ hay đơn giản là (∆1; ∆2) 1; ∆2) Góc này không vượt quá 90𝑜 nên

ta có:

(∆1; ∆2) = (𝑢⃗⃗, 𝑣⃗) nếu (𝑢⃗⃗, 𝑣⃗) ≤ 90𝑜

(∆1; ∆2) = 180𝑜− (𝑢⃗⃗, 𝑣⃗) nếu (𝑢⃗⃗, 𝑣⃗) > 90𝑜

Trong đó, 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ lần lượt là vectơ chỉ phương của ∆1, ∆2

o Cho hai đường thẳng ∆1, ∆2 lần lượt cho bởi phương trình :

CHƯƠNG 2: HỆ THỐNG BÀI TẬP

Về việc phân chia hệ thông bài tập thì tôi phân chia dựa vào mức độ phổ biến của

các bài tập trong các đề thi thử, đề thi tuyển sinh vào đại học, ví dụ trong tam giác

thì các bài tập phổ biến sẽ là những bài tập liên quan đến đường trung tuyến, đường

cao và đường phân giác của tam giác,… Ở cuối mỗi bài tập, tôi cũng sẽ đưa ra những

quan điểm, nhận xét của cá nhân tôi về mỗi bài tập này

2.1 TAM GIÁC

2.1.1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

TRONG TAM GIÁC

Theo kinh nghiệm của chính cá nhân tôi, chìa khóa của những bài toán liên quan đến

đường trung tuyến của tam giác chỉ ở xung quanh công thức tính tọa độ trung điểm,

công thức tính tọa độ trọng tâm, và định lý về tính chất ba đường trung tuyến trong

tam giác như sau: “ Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2

3 độ

dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”

Câu 1 (Trích đề thi tuyển sinh đại học khối D – 2004( đề dự bị) )

Cho điểm 𝑨(𝟐, 𝟑) và hai đường thẳng 𝒅𝟏: 𝒙 + 𝒚 + 𝟓 = 𝟎, 𝒅𝟐: 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟕 = 𝟎

Tìm tọa độ các điểm 𝑩 trên 𝒅𝟏 và 𝑪 trên 𝒅𝟐 sao cho tam giác 𝑨𝑩𝑪 có trọng

tâm 𝑮(𝟐, 𝟎)

Vậy tọa độ hai điểm cần tìm là 𝐵(−1, −4), 𝐶(5,1)

Nhận xét: Đây là một bài toán rất cơ bản, phù hợp với HS học lực từ trung bình

khá trở lên, để giải quyết được bài toán này, HS không cần phải tư duy gì nhiều mà

chỉ cần nhớ được công thức tính tọa độ trọng tâm tam giác và có kĩ năng tham số

hóa tọa độ một điểm thuộc một đường thẳng đã cho mà thôi

o Vì điểm 𝐵 thuộc đường thẳng 𝑑1 và 𝐶 thuộc đường thẳng 𝑑2 nên chúng ta

tham số hóa tọa độ điểm 𝐵 theo đường thẳng 𝑑1 và tọa độ điểm 𝐶 theo đường

thẳng 𝑑2

o Và để tìm được tọa độ điểm 𝐵 và 𝐶 thì sẽ dựa vào công thức tính tọa độ

trọng tâm

Phân tích:

o Ta tìm được tọa độ điểm 𝐴 là nghiệm của hệ phương trình đường thẳng 𝐴𝐵

và 𝐴𝐶

o Ta tham số hóa tọa độ điểm 𝐵, 𝐶 theo phương trình đường thẳng 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 và

sử dụng vectơ để giải cho hai trường hợp:

3𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

3𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

o Từ đó ta sẽ tìm được tọa độ đỉnh 𝐵, 𝐶 và tìm được tọa độ trọng tâm 𝐺

Bài giải Tìm tọa độ điểm 𝑨

Tọa độ điểm 𝐴 là nghiệm của hệ phương trình:

{2𝑥 + 𝑦 − 1 = 03𝑥 + 4𝑦 + 6 = 0 ⟺ {

𝑥 = 2

𝑦 = −3

Suy ra 𝐴(2, −3)

Tìm tọa độ điểm 𝑩, 𝑪

𝐵 thuộc đường thẳng 𝐴𝐵 nên gọi 𝐵(𝑏, 1 − 2𝑏)

𝐶 thuộc đường thẳng 𝐴𝐶 nên gọi 𝐶(−2 − 4𝑐, 3𝑐)

Ta có:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑏 − 1,4 − 2𝑏), 𝑀𝐶

⟺ {

𝑏 =115

𝑐 = −6

5Suy ra

⟺ {𝑏 = 3

𝑐 = 0Suy ra

𝐵(3, −5), 𝐶(−2,0)

Ta được tọa độ điểm 𝐺 là:

Vậy tọa độ điểm 𝐺 (1, 8

3

 )

Nhận xét: Đây là một bài toán khá cơ bản, cần tìm được tọa độ ba đỉnh của tam

giác để tìm được tọa độ trọng tâm 𝐺 Thường thì HS sẽ làm thiếu đi một trường

hợp bởi ngộ nhận luôn điểm 𝑀 nằm giữa 𝐵, 𝐶 Nhưng đối với những bài cho độ

dài, nó sẽ không đơn giản là một trường hợp duy nhất đó mà còn thêm cả trường

hợp 𝑀 nằm ngoài 𝐵𝐶 nữa.Vậy nên, để chắc chắn , HS sẽ phải sử dụng vectơ để giải

cho hai trường hợp như bài giải ở trên

Câu 3 ( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối A – 2005( đề dự bị) )

Cho tam giác 𝑨𝑩𝑪 cân tại 𝑨 có trọng tâm 𝑮 (4 1

,

3 3) Phương trình đường thẳng 𝑩𝑪 là 𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟒 = 𝟎 và phương trình đường thẳng 𝑩𝑮 là 𝟕𝒙 − 𝟒𝒚 −

𝟖 = 𝟎 Tìm tọa độ các đỉnh 𝑨, 𝑩, 𝑪

Bài giải Tìm tọa độ điểm 𝑩

B là giao điểm của hai đường thẳng BC và BG nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

phương trình:

{𝑥 − 2𝑦 − 4 = 07𝑥 − 4𝑦 − 8 = 0 ⇔ {

𝑥 = 0

𝑦 = −2Vậy 𝐵(0, −2)

o Đề bài đã cho biết hai phương trình đường thẳng 𝐵𝐺 và 𝐵𝐶 Hai đường thẳng

này cắt nhau tại điểm B nên ta có thể tìm ngay ra tọa độ của điểm B

o Dựa vào 𝐺𝑀 ⊥ 𝐵𝐶 (vì tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân tại A nên trung tuyến 𝐴𝑀 đồng

thời là đường cao) để chúng ta tìm ra tọa độ điểm 𝑀

o Khi tìm được tọa độ điểm 𝑀 rồi sẽ tìm được tọa độ điểm C nhờ công thức

tính tọa độ trung điểm

o Từ đó chúng ta sử dụng nốt công thức tính tọa độ trọng tâm để tìm ra tọa độ

điểm 𝐴

Vậy tọa độ của các điểm cần tìm là: 𝐴(0,3), 𝐵(0, −2), 𝐶(4,0)

Nhận xét : Bài này khó hơn bài 1 ở chỗ là ngoài sử dụng công thức tính tọa độ

trọng tâm, chúng ta phải sử dụng rất nhiều các kiến thức cũ để giải quyết như : tính

chất các đường trong tam giác cân, tích vô hướng, công thức tọa độ trung điểm

Tuy nhiên thì vẫn đánh giá bài này là một bài cơ bản, phù hợp với HS có lực học

trung bình khá trở lên

Câu 4

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác 𝑨𝑩𝑪 có tọa độ điểm 𝑨(𝟐, 𝟕)

và đường thẳng 𝑨𝑩 cắt 𝑶𝒚 tại 𝑬 sao cho 𝑨𝑬⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐 𝑬𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Biết tam giác 𝑨𝑬𝑪 cân

tại 𝑨 và có trọng tâm 𝑮 (𝟐, 𝟏𝟑: 𝟑) Viết phương trình 𝑩𝑪

Phân tích:

o Để giải quyết được bài toán

này, mấu chốt là phải nhớ được

tính chất của trọng tâm tam giác

: 𝐴𝐺 = 2𝐺𝑀 từ đó tìm được tọa

độ điểm M

o Vì tam giác 𝐴𝐶𝐸 cân tại 𝐴 nên

𝐴𝑀 là trung tuyến đồng thời là

đường cao ⇒ 𝐴𝑀 ⊥ 𝑀𝐸

o Sử dụng tính chất này ta sẽ tìm

được tọa độ điểm 𝐸 và từ đó tìm

được tọa độ điểm 𝐶 nhờ công

thức tọa độ trung điểm

o Tiếp theo, dựa vào đề bài cho

Vì 𝐺 là trọng tâm của tam giác 𝐴𝐶𝐸 nên 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ suy ra

𝐸 thuộc đường thẳng 𝑂𝑦 nên ta gọi 𝐸(0, 𝑒)

Vì tam giác 𝐴𝐶𝐸 cân tại A nên 𝐴𝑀 là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên

Vậy phương trình đường thẳng 𝐵𝐶 là: 2𝑥 − 5𝑦 + 7 = 0

Nhận xét: Để làm được bài toán này, ngoài việc phải sử dụng những kiến thức

giống hai bài tập ở trên là: Công thức tính tọa độ trung điểm, tính chất trong tam

giác cân thì chúng ta còn phải nhớ đến tính chất của trọng tâm tam giác thì mới giải

quyết được trọn vẹn bài toán Việc sử dụng công thức tính tọa độ của điểm nhờ hai

vectơ cùng phương được áp dụng khá nhiều trong bài tập này

Tôi đánh giá đây là một bài tập không khó, nó phù hợp với đối tượng HS có lực

học khá trở lên

Câu 5

Trong mặt phẳng 𝑶𝒙𝒚, cho tạm giác 𝑨𝑩𝑪 có trọng tâm 𝑮(𝟏, 𝟏), đường cao kẻ

từ đỉnh 𝑨 có phương trình 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟏 = 𝟎 và các đỉnh 𝑩, 𝑪 thuộc đường thẳng

∆: 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏 = 𝟎 Xác định tọa độ các đỉnh 𝑨, 𝑩, 𝑪 biết diện tích tam giác

𝑨𝑩𝑪 = 𝟔 và điểm 𝑨 có hoành độ dương

số hóa toạ độ điểm 𝑀

o Vì điểm 𝑀 thuộc đường

công thức tính tọa độ của

trung điểm và dữ kiện diện

tích tam giác 𝐴𝐵𝐶

Bài giải Tìm tọa độ điểm 𝑴, 𝑨

Vì 𝐴 thuộc đường thẳng 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 nên ta gọi 𝐴(𝑎, 2𝑎 + 1)

Gọi 𝑀(𝑥𝑀, 𝑦𝑀)

Ta có:

𝐴𝐺

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1 − 𝑎, −2𝑎), 𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝑀− 1, 𝑦𝑀− 1)

Vì 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ suy ra

⟹ √(𝑏2+ (1 − 2𝑏 − 1)2 =√5

4 ⟹ [

𝑏 =12

𝑏 = −1

2.Vậy:

𝐴(1,3); 𝐵 (0,1

2) ; 𝐶(2, −1

2)

𝐴(1,3); 𝐵 (2, −1

2) , 𝐶 (0,1

2)

Nhận xét: Đây là một bài tập khá cơ bản, nó chỉ hơi làm khó HS một chút ở dữ

kiện diện tích tam giác ở đề bài mà thôi, ở đây, độ dài đường cao chính là khoảng

cách từ đỉnh 𝐴 đến đường thẳng 𝐵𝐶 luôn

Bài tập này phù hợp với đối tượng HS lực học khá trở lên

Câu 6

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 Phương trình của đường thẳng 𝑨𝑩: 𝒙 −

𝒚 = 𝟎 Điểm 𝑴(𝟐, 𝟏) là trung điểm của 𝑩𝑪 Tìm tọa độ trung điểm 𝑵 của cạnh

𝑨𝑪

Phân tích:

o Ta tham số hóa tọa độ hai điểm 𝐴, 𝐵 theo phương trình đường thẳng 𝐴𝐵

o Vì 𝐴𝑀 là trung tuyến nên nó sẽ chia tam giác 𝐴𝐵𝐶 thành hai tam giác có

diện tích bằng nhau suy ra 𝑆𝑀𝐴𝐵 = 1

2 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 1 Khi đó,ta sẽ tìm được mối quan hệ giữa tọa độ của điểm 𝐴 và tọa độ của điểm 𝐵

o Từ đó, ta tìm được tọa độ điểm 𝐶 nhờ công thức tính tọa độ trung điểm

Bài giải Tham số hóa tọa độ hai điểm 𝑨, 𝑩

𝐴, 𝐵 thuộc đường thẳng 𝐴𝐵 nên gọi 𝐴(𝑎, 𝑎), 𝐵(𝑏, 𝑏)

Dựa vào diện tích tam giác để tìm ra mối liên hệ giữa 𝒂 và 𝒃

Vì 𝐴𝑀 là đường trung tuyến của tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên 𝐴𝑀 sẽ chia tam giác 𝐴𝐵𝐶 ra

thành hai tam giác của diện tích bằng nhau suy ra

𝑆𝑀𝐴𝐵 = 1

2 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 1 Điều này tương đương với

[𝑥𝑁 = 3 ⟹ 𝑦𝑁 = 2

𝑥𝑁 = 1 ⟹ 𝑦𝑁 = 0

Vậy tọa độ trung điểm 𝑁 của 𝐴𝐶 là: 𝑁(3,2), 𝑁(1,0)

Nhận xét: Mấu chốt của bài tập này là HS cần phải biết tính chất trung tuyến hạ từ

một đỉnh của tam giác sẽ chia tam giác đó thành hai tam giác có diện tích bằng

nhau Và bài toán này hay ở chỗ ta đặt hai ẩn 𝑎, 𝑏 nhưng lại chỉ có một phương

trình mà vẫn giải quyết được bài toán Đây là một trong những bài toán mà các bạn

không phải tìm ra giá trị của ẩn mà chỉ cần tìm giá trị biểu thức liên hệ giữa các ẩn

Tôi đánh giá bài tập này phù hợp với đối tượng HS lực học khá giỏi trở lên

Câu 7

Trong mặt phẳng 𝑶𝒙𝒚 cho tam giác 𝑨𝑩𝑪 vuông cân tại đỉnh 𝑨 𝑩𝑴 là đường

trung tuyến Đường thẳng qua 𝑨 vuông góc với 𝑩𝑴 và cắt 𝑩𝑪 tại 𝑬(𝟐, 𝟏) Biết

trọng tâm của tam giác 𝑨𝑩𝑪 là 𝑮(𝟐, 𝟐) Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác

𝑨𝑩𝑪 biết điểm 𝑨 có hoành độ dương

Phân tích:

o Đề bài cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐴, lại có 𝐺 là trọng tâm nên ta kéo

dài 𝐴𝐺 sẽ vuông góc với 𝐵𝐶 tại trung điểm 𝑁

o Mặt khác, 𝐵𝐺 ⊥ 𝐵𝐸, 𝐵𝐺 ⊥ 𝐴𝐸 nên 𝐺 là trực tâm tam giác suy ra 𝐸𝐺 ⊥ 𝐴𝐵,

lại có 𝐴𝐶 ⊥ 𝐴𝐵 nên 𝐸𝐺 ∥ 𝐴𝐶

o Mà tam giác 𝑁𝐴𝐶 vuông cân tại 𝑁 nên tam giác 𝑁𝐺𝐸 cũng vuông cân tại 𝑁

𝑁𝑀 là trung tuyến của tam giác cân 𝑁𝐴𝐶 nên đồng thời cũng là đường trung

trực Suy ra 𝑁𝑀 là trung trực của 𝐺𝐸 nên ta viết được phương trình đường

thẳng 𝑁𝑀

Bài giải Chứng minh 𝑵𝑴 là trung trực của 𝑮𝑬 và viết phương trình đường thẳng 𝑴𝑵

Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐴, lại có 𝐺 là trọng tâm nên kéo dài 𝐴𝐺 sẽ vuông góc

với 𝐵𝐶 tại trung điểm 𝑁

Mặt khác, 𝐵𝐺 ⊥ 𝐵𝐸, 𝐵𝐺 ⊥ 𝐴𝐸 nên 𝐺 là trực tâm tam giác ⟹ 𝐸𝐺 ⊥ 𝐴𝐵, lại có 𝐴𝐶 ⊥

𝐴𝐵 nên 𝐸𝐺 ∥ 𝐴𝐶

Mà tam giác 𝑁𝐴𝐶 vuông cân tại 𝑁 nên tam giác 𝑁𝐺𝐸 cũng vuông cân tại 𝑁

𝑁𝑀 là trung tuyến của tam giác cân 𝑁𝐴𝐶 nên đồng thời cũng là đường trung trực

Suy ra 𝑁𝑀 là trung trực của 𝐺𝐸

Ta có phương trình 𝐸𝐺: 𝑥 = 2, trung điểm của 𝐸𝐺 có tọa độ:  

 

 

32,

Vì tam giác 𝑁𝐸𝐺 vuông cân tại 𝑁 nên 𝐺𝐸 = 𝐺𝑁√2 suy ra:

o Ta tọa độ điểm 𝑁 theo phương trình 𝑁𝑀 rồi sử dụng 𝐺𝐸 = 𝐺𝑁√2 ( do tam

giác 𝐺𝑁𝐸 vuông cân tại 𝑁) để tìm được tọa độ điểm 𝑁 Từ đó, tìm được tọa

độ điểm 𝐴 theo tính chất trọng tâm

o Ta viết được phương trình đường thẳng 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 rồi từ đó tìm được tọa độ

các đỉnh còn lại

Phương trình đường thẳng 𝐴𝐵 đi qua 𝐴(3,3) và vuông góc với 𝐺𝐸 suy ra

Tọa độ điểm 𝐶 là nghiệm của hệ phương trình

{𝑥 − 3 = 0𝑥 + 𝑦 = 3⟺ {𝑥 = 3𝑦 = 0 ⟹ 𝐶(3,0)

Vậy 𝐴(3,3), 𝐵(0,3), 𝐶(3,0)

Tương tự với điểm 𝑁 còn lại ta tìm được : 𝐴(1,3), 𝐵(4,3), 𝐶(1,0)

Nhận xét: Đây là một bài toán khá khó, yêu cầu HS phải sử dụng tính chất của hình

học phẳng rất nhiều mới có thể giải quyết trọn vẹn bài toán Bài toán này phù hợp

với đối tượng HS lực học giỏi trở lên

2.1.2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA

TAM GIÁC

Khi giải quyết các bài toán liên quan đến đường phân giác của tam giác thì tính chất

đường phân giác trong tam giác là khá cần thiết Nội dung của tính chất như sau:

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cách đối diện thành hai đoạn

thẳng tỉ lệ với hai cạnh bên của tam giác ấy”

Ngoài ra, có một tính chất sau cũng chính là chìa khóa để giải quyết được hầu như

mội bài toán liên quan đến đường phân giác như sau: “ Cho 𝑥𝑂𝑦̂ , tia 𝑂𝑡 là phân giác

của góc 𝑥𝑂𝑦̂ đó Gọi điểm 𝑀 là một điểm bất kì thuộc tia 𝑂𝑥, ta lấy 𝑀′ đối xứng với

𝑀 qua tia phân giác 𝑂𝑡 thì điểm 𝑀′ ấy sẽ thuộc tia 𝑂𝑦”

Câu 8

Cho tam giác 𝑨𝑩𝑪 có 𝑨(−𝟓, 𝟔), 𝑩(𝟑, 𝟐), 𝑪(𝟎, −𝟒) Tìm tọa độ của chân đường

phân giác trong hạ từng đỉnh 𝑨

Phân tích:

o Với bài toán liên quan

đến đường phân giác

mà đề bài đã cho biết

45

⟹ 𝐷𝐵 =4𝐷𝐶

Vì 𝐵, 𝐷, 𝐶 thẳng hàng và 𝐷 nằm giữa 𝐵 và 𝐶 nên vectơ 𝐷𝐵 và vectơ 𝐷𝐶 ngược hướng

𝐷 (5

3, −6)

Vậy 𝐷 (5

3, −6)

Nhận xét: Ở bài toán này, nếu như HS không nhớ đến tính chất đường phân giác

và kĩ thuật xen vectơ thì việc giải quyết bài toán này sẽ rất khó khan và dài dòng

Bài toán này phù hợp với đối tượng HS học lực khá trở lên

Câu 9

Cho tam giác 𝑨𝑩𝑪 có 𝑨(−𝟓, 𝟔), 𝑩(𝟑, 𝟐), 𝑪(𝟎, −𝟒) Tìm tọa độ của chân đường

phân giác ngoài hạ từng đỉnh 𝑨

45

⟹ 𝐷𝐵 =4

5𝐷𝐶

Vì 𝐵, 𝐷, 𝐶 thẳng hàng và 𝐵 nằm giữa 𝐷 và 𝐶 nên vectơ 𝐷𝐵 và vectơ 𝐷𝐶 cùng hướng

𝐷(15,26)

Vậy 𝐷(15,26)

Câu 10 (Trích đề thi tuyển sinh đại học khối D - 2011)

Cho tam giác 𝑨𝑩𝑪 có đỉnh 𝑩(−𝟒, 𝟏), trọng tâm 𝑮(𝟏, 𝟏) và đường thẳng chứa phân

giác trong góc 𝑨 có phương trình 𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 Tìm tọa độ các đỉnh 𝑨, 𝑪

Phân tích:

o Với những bài toán có đường phân giác mà đề bài không cho hết cả ba đỉnh

của tam giác thì ta làm như sau: từ một điểm đã biết 𝐵 ở trên một cạnh của

góc chứa đường phân giác ( ở đây là cạnh 𝐴𝐵), ta kẻ đường thẳng vuông

góc với đường phân giác và cắt cạnh còn lại ( cạnh 𝐴𝐶) tại điểm 𝐸 Khi đó

𝐸 là điểm đối xứng với 𝐵 qua đường phân giác

o Ta viết được phương trình đường thẳng 𝐵𝐸, tìm được tọa độ giao điểm của

đường thẳng 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 từ đó tìm được tọa độ của 𝐸 Vì 𝐺 là trọng tâm nên tìm

được tọa độ điểm 𝑀 là chân đường trung tuyến kẻ từ 𝐵

o Ta viết được phương trình đường thẳng 𝐴𝐶 , tìm được tọa độ điểm 𝐴, từ đó

dựa vào công thức tọa độ trung điểm để tìm nốt tọa độ điểm 𝐶

Bài giải Dựng hình: Lấy điểm 𝑬 đối xứng với 𝑩 qua phân giác

Kẻ 𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝐷, cắt 𝐴𝐷 tại 𝐼, 𝐴𝐶 tại 𝐸 Khi đó, 𝐸 đối xứng với 𝐵 qua 𝐼

Tìm tọa độ điểm 𝑰, 𝑬

Đường thẳng 𝐵𝐸 đi qua 𝐵(−4,1) và có vectơ pháp tuyến là 𝑢⃗⃗𝐴𝐷 = (1,1) nên phương

𝐸 đối xứng với 𝐵 qua 𝐼 nên 𝐸(2, −5)

Nối 𝐵 với 𝐺 cắt 𝐴𝐶 tại 𝑀

Câu 11 (Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B – 2013)

Cho tam giác 𝑨𝑩𝑪 có chân đường cao hạ từ đỉnh 𝑨 là 𝑯  

17 1,

5 5 , chân đường

phân giác của góc 𝑨 là 𝑫(𝟓, 𝟑) và trung điểm của cạnh 𝑨𝑩 là 𝑴(𝟎, 𝟏) Tìm tọa

độ đỉnh 𝑪

Nhận xét: Muốn giải quyết được bài toán này, yêu cầu HS phải dựng được hình,

cụ thể ở đây là dựng được đường thẳng đi qua một điểm trên một cạnh của góc

chứa phân giác, đường thẳng đó vuông góc với đường phân giác và cắt cạnh còn

lại Phải dựng được hình như vậy thì bài toán mới có thể giải quyết được một cách

dễ dàng Bài toán này phù hợp với đối tượng HS lực học khá trở lên

Phân tích: Ở đây, ta lại gặp yếu tố đường phân giác và đã có tọa độ của điểm 𝑀 trên tia

𝐴𝐵, nhưng vì chưa biết đường phương trình đường phân giác nên chưa thể lấy đối xứng được Công việc của chúng ta là đi tìm phương trình đường thẳng 𝐴𝐷

o Trước hết, ta viết phương trình đường thẳng 𝐻𝐷 và 𝐴𝐻, sau đó tham số hóa tọa độ điểm 𝐴, 𝐵 theo hai phương trình đường thẳng đó

o Ta tìm được tọa độ hai điểm 𝐴, 𝐵 nhờ công thức tính tọa độ trung điểm ( ở đây trung điểm là điểm 𝑀)

o Ta viết được phương trình đường thẳng 𝐴𝐷, kẻ 𝑀𝑁 vuông góc với phân giác 𝐴𝐷, cắt 𝐴𝐷 tại 𝐼, 𝐴𝐶 tại 𝑁 Từ đó tìm được tọa độ điểm 𝑁, viết được phương trình 𝐴𝐶

và tìm được tọa độ điểm 𝐶

Bài giải Viết phương trình các đường thẳng 𝑯𝑫, 𝑨𝑯

Đường thẳng 𝐻𝐷 đi qua 𝐷, có vectơ chỉ phương là 𝐻𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =  

8 16,

5 5 hay có vectơ pháp tuyến là 𝑛⃗⃗ = (−2,1) nên 𝐻𝐷 có phương trình là