* Lu ý: - Bài 5: nếu học sinh sử dụng bài toán phụ để làm bài thì phải chứng minh BTP 1 điểm - Học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tơng đơng.... Phòng giáo dục - đào tạo.[r]
Trang 1Phòng giáo dục - đào tạo tp
nd
Trờng THCSTrần Đăng Ninh
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7
Năm học 2009-2010
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1:
Tìm x, y biết:
2 x +1
3 y −2
2 x +3 y −1
6 x
Bài 2:
Chứng minh rằng: với mọi x là số nguyên thì biểu thức:
P(x) = 1985 x3
1979 x2
5 x
6 có giá trị nguyên.
Bài 3:
Cho đa thức f(x) = ax2+ bx+ c
Chứng tỏ rằng: nếu f(x) có nghiệm x1 ;x2 ;x3 mà x1 x2 x3 thì a = b = c = 0 Bài 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A; AB < AC Gọi I là trung điểm AC Qua I kẻ đờng thẳng vuông góc BC, qua C kẻ đờng thẳng vuông góc AC, chúng cắt nhau tại E.Chứng minh rằng: AE vuông góc với BI
Bài 5:
Cho tam giác ABC, góc C bằng 450, góc A lớn hơn góc C và khác 900 Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Bx sao cho CBx = CBA Đờng thẳng
Bx cắt AC tại D Kẻ AH vuông góc với BD, H thuộc BD Tính góc CDH
đáp án chấm hsg Toán 7 Bài 1: 4 điểm
Vì 2 x +1
3 y −2
2 x +3 y −1
6 x (1)
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Trang 22 x +3 y − 1
2 x+1
5 =
3 y − 2
2 x +1+3 y − 2
2 x+3 y −1
12
=> 2 x +3 y − 1
6 x =
2 x+3 y −1
12 (2)
* Nếu 2x+3y-1 0
Từ (2) => 6x = 12 => x = 2
Mà 2 x +1
3 y −2
7 => 3y - 2 = 7 => y = 3
* Nếu 2x + 3y - 1 = 0
Từ (1) => 2 x +1
3 y −2
7 = 0 => 2x + 1 = 3y -2 = 0
=> x = − 1
2 ; y =
2
3
Vậy:
¿
x =2
y=3
¿ {
¿
và
¿
x= −1
2
y =2
3
¿ {
¿
thoả mãn đề bài
* Nếu HS không xét 2 trờng hợp của 2x+3y-1 thì chỉ đợc 1,5 điểm toàn bài
1,5 điểm
1 điểm
1 điểm
0,5 điểm
Bài 2: 3 điểm
+ Ta có: P(x) = 1985 x3
1979 x2
5 x
6 =
1983 x3+x3
1978 x2+x2
6 x − x
6
= 661 x3+989 x2+x + 2 x3
3 +
x2
2 −
x
6
= 661 x3
+989 x2
+x + x (x −1)(x+1)+3 x2
(x +1)
6 + Chứng minh: Với x Z thì :
x(x-1)(x+1) ⋮ 6
3x2(x+1) ⋮ 6
=> x (x −1)(x+1)+3 x2
(x +1)
mà 661 x3+989 x2+x Z
=> 661 x3 +989 x 2
+x + x (x −1)(x+1)+3 x2
(x +1)
=> P(x) Z
1 điểm
1 điểm
1 điểm
Bài 3: 4 điểm
Vì x1 ;x2 ;x3 là các nghiệm của đa thức f(x) = ax2+ bx+ c nên ta có:
ax1 + bx1+ c = 0 (1)
ax2 + bx2+ c = 0 (2)
ax3 + bx3+ c = 0 (3)
Trang 3bx1+c=0
bx 2 +c=0
¿ {
¿
=> b(x1 - x2) = 0 mà x1 x2 => x1 - x2 0
=> b = 0 => c = 0
vậy a = b = c =0
+) Nếu a 0, chia 2 vế của (1) và (2) cho a, ta có:
ax1 + bx1+ c = 0 => x1 + b
a x1 + c = 0
ax2 + bx2+ c = 0 => x2 + b
a x2 + c = 0
=> x1 + b
a x1 + c - (x2 +
b
a x2 + c ) = 0
=> (x1 - x2 ) + b
a (x1 - x2) = 0
=> (x1 + x2)(x1 - x2) + b
a (x1 - x2) = 0
=> (x1 - x2)(x1 + x2 + b
a ) = 0 mà x1 x2 => x1 - x2 0
=>x1 + x2 + b
a = 0 => x1 + x2 =
-b a
Chứng minh tơng tự, ta cũng có: x2 + x3 = - b
a
=>x1 + x2 = x2 + x3 => x1 = x3 (Vô lý vì x1 x3) -> loại
Vậy: nếu f(x) có nghiệm x1 ;x2 ;x3 mà x1 x2 x3 thì a = b = c = 0
1 điểm
2 điểm
0,5 điểm
Bài 4: 4 điểm
E
B
A // //
I C
M
+) Gọi M là gđiểm của BA và EI
=> Δ AIM = Δ CIE (g.c.g)
=> IM = IE (2 cạnh t/) +) Δ AIE = Δ CIM (c.g.c)
=> EÂI = MCI (2 góc t/)
=> AE // CM (dấu hiệu nhận biết ) +) Xét Δ BMC có: CA BM; MI BC
CA cắt MI tại I
=> I là trực tâm của Δ BCM
=> BI CM (tính chất 3 đg` cao)
Mà AE // CM (cmt)
=> BI AE (quan hệ giữa tính và tính //)
1điểm
1 điểm
1 điểm
1 điểm
Bài 5: 5 điểm
y * Nếu BÂC > 90
0
: +) Gọi Ay là tia đối của tia AB
Trang 4A
3 2 1
1 C
B
H
=> Â1 = B1 + 450 (tính chất góc ngoài ) Trong AHB: Â3 = 900 - ABD = 900 - 2B1
Mà Â1 + Â2 + Â3 = 1800
=> Â2 = 1800 -(Â1 + Â3) = 1800 - (B1+ 450+900
-2B1)
=> Â2 = 450 + B1
=> Â1 = Â2 => AC là tia phân giác của HÂy
=> C cách đều 2 cạnh AH và Ay (tính chất tia phân giác của góc) (1) +) Vì B1=B2 => BC là tia phân giác ABD
D x => C cách đều 2 cạnh BA và BD (t/c tia p/g của góc) (2)
Từ (1) và (2) => C cách đều 2 cạnh HA và HD
=> HC là tia phân giác của AHD (tính chất tia phân giác của góc)
=> CHD = 1
2 AHD = 450
1,5điểm
1 điểm
0,5điểm
y
4 A
1 2 1
H
B 12 C
x
* Nếu 450 < BÂC < 900 : +) Ta có: Â2 = 1800 -(B2 + C) = 1350 - B2
Â1 = Â4= H1 - D = 900 - D (1) (tổng 2 góc nhọn trong Δ
vuông ) Mặt khác: B1 = C + D (tính chất góc ngoài Δ BCD )
=> D = B1 - C = B1 - 450
Thay vào (1) ta có:
Â1 = 900 -(B1 - 450) = 1350 -B1 =1350 -B2
=> Â1 = Â2
+) Chứng minh tơng tự nh phần a)
Ta có: HC là phân giác của AHB
=> H3 = 450
Mà CHD + H1 = 1800 (2 góc kề bù)
=> CHD = 1350
1 điểm
1 điểm
* L u ý :
- Bài 5: nếu học sinh sử dụng bài toán phụ để làm bài thì phải chứng minh BTP (1 điểm)
- Học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tơng đơng.
D
Trang 5Phòng giáo dục - đào tạo
Trờng THCSTrần Đăng Ninh Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7Học kì I - Năm học 2010-2011
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1: Cho hàm số y = (a +1) |x| + a2 - 4
a) Tìm a biết đồ thị hàm số trên đi qua điểm A(4; - 4)
b) Vẽ đồ thị hàm số theo giá trị của a vừa tìm đợc và x 0
Bài 2: Cho các số tự nhiên a, b, c, d thoả mãn: a + b = c + d và ab = cd +1
Chứng minh rằng: a = b Bài 3: Chứng minh rằng:
Nếu a, b, c, d, n N thì số M = (a2 + b2)(c2 + d2) và số P = 2n(a2 + b2) có thể viết đợc dới dạng tổng các bình phơng của hai số tự nhiên
Bài 4: Cho tam giác ABC, góc C = 600 Kẻ phân giác AD, BE, chúng cắt nhau tại O
(D thuộc BC, E thuộc AC) Tính các góc của tam giác DOE?
Bài 5: Cho tam giác ABC, góc A < 900 Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm
C vẽ BD AB, BD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ
CE AC, CE = AC Gọi M là trung điểm của DE Xác định dạng của tam giác MBC và chứng minh?
************************