Chu de 1 PHUONG TRINH BAC NHAT 1 AN

3 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S={-1; 2 } PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Khi biến đổi phương trình mà làm mất mẫu chứa ẩn của phương trình thì phương trình nhận được có thể[r]

Chủ đề 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN !

1 Phương trình một ẩn:

Phương trình một ẩn: là một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x)

Trong đó, vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

VD : 2x + 1 = x là một phương trình ẩn x

 2t –5 = 3(4 –t) –7 là một phương trình ẩn t

 x2 + 1 = x + 1; 2x5 = x3 + x;



1

x = x – 2; x +1 = 0; x2 - x =100

2.Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng một tập tập nghiệm.

Kí hiệu :Hai phuơng trình tương đương với nhau, ta dùng ký hiệu ⇔

VD1 : * x –1= 0  x = 1

* x = 2 ⇔ x - 2 = 0

VD2: Phương trình x + 1 = 0 có nghiệm là x = -1  S1 = {-1}

Phương trình 4x = -4 có nghiệm là x = -1  S2 = {-1}

Hãy so sánh 2 tập nghiệm của phương trình này? ⇒ S1 = S2

Kết luận hai phương trình này tương đương với nhau

3.Phương trình bậc nhất một ẩn.

Phương trình dạng ax +b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ¿ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

VD: 5x + 8 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = 5; b = 8

-2x + 4 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -2; b= 4

-7x – 3 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -7; b = -3

4.Quy tắc biến đổi phương trình

Quy tắc chuyển vế : Trong phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng

tử đó : Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó : dấu (+) đổi thành dấu (-) và dấu (-) đổi thành dấu (+)

VD: a)Cho phương trình: x – 2 = 0, chuyển hạng tử -2 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành +2 ta được x

= 2

b) Cho phương trình:

2

3 + x = 0, chuyển hạng tử

2

3 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành -2

3 ta được x = -

2 3 c) x – 4 = 0 ⇔ x = 4 d)

3

4 + x = 0 ⇔ x =

-3

4 e) 0,5 – x = 0 ⇔ x = 0,5

 Dấu ngoặc nhọn: { A B :có nghĩa là « VÀ », tức là : A và B đồng thời xảy ra ; nếu như chỉ có A, hoặc

chỉ có B xảy ra thì thu được Kết quả là Sai !

 Dấu ngoặc vuông :

[ A

B : có nghĩa là « HOẶC », tức là : hoặc là A hoặc là B xảy ra thì đều có thể

thu được kết quả đúng ! Không nhất thiết cả A và B phải cùng xảy ra đồng thời

c) Dấu :***Dấu tương đương ⇔ : để chỉ 2 phương trình tương đương với nhau, tức là chúng có

cùng tập nghiệm.

***Dấu suy ra ⇒ : để chỉ 2 phương trình không tương đương với nhau, tức là chúng không

có cùng tập nghiệm.

VD1:

2 (3 x−1)( x+2)

3 (2 x2+1 )

11.3

6 (1)

⇔ 2.(3x – 1)(x + 2) – 3.(2x2 + 1) = 11.3 (2)

*Do phương trình (1) có mẫu chung là 6 : là một số tự nhiên không chứa biến x, nên nó không có điều kiện xác định để loại nghiệm, tức là mọi giá trị của x đều có khả năng làm nghiệm của nó

* Xét phương trình (2) cũng vậy Do nó không có mẫu nên mọi giá trị của x đều có khả năng là nghiệm của nó

Vậy hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau

VD2 :

2( x+2 )(x−2)

2 x( x−2) =

x(2 x+3

2(x−2) (1)

⇒ 2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3) (2)

* Dễ thấy phương trình (1) có ĐKXĐ là { x −2≠0 x≠0 ⇔ { x≠0 x ≠2 , tức là ngoại trừ hai giá trị

x = 0 và x=2 là không thể làm nghiệm của (1), ngoài ra tất cả các giá trị khác đều có khả năng là nghiệm của (1)

*Còn phương trình (2), do nó không có mẫu nên mọi giá trị của x đều có khả nang là nghiệm của nó

Vậy hai phương trình (1) và (2) không có cùng tập nghiệm nên nó không tương đương, do đó ta phải dùng dấu ⇒

d)Quy tắc nhân với một số :

Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

A.B = C.B (A,C # 0, B tùy ý) VD

: Cho phương trình:

1

2 x = 3, nhân hai vế của phương trình với 2 ta được: x = 6

Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.

VD: Cho phương trình 3x = -2, chia hai vế của phương trình cho 3 ta được: x =

−2 3

 Các quy tắc biến đổi trên là quy tắc biến đổi từ một phương trình thành một phương trình tương đương với nó nhưng phương trình này đơn giản hơn

5 Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

 Tổng quát , phương trình ax +b = 0( với a  0) được giải như sau :

ax + b = 0  a x = - b  x = -b/a

Vậy phương trình bậc nhất một ẩn

ax +b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất x = - b/a

VD: Giải phương trình 3x – 9 =0

 3x = 9 (Chuyển – 9 từ vê trái sang vế phải và đổi dấu thành 9)

 x= 3 ( chia cả hai vế cho 3)

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG ax + b = 0

Các bước giải phương trình gồm:

B1: Quy đồng mẫu 2 vế

B2: Nhân 2 vế với mẫu chung để khử mẫu.

B3: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang 1 vế, hằng số sang vế kia.

B4: Thu gọn và giải pt vừa nhận được

VD: Giải phương trình

(3 x−1)( x+2)

2 x2+1

2 =

11 2

Giải:

Phương trình đã cho tương đương:

2 (3 x−1)( x+2)

3 (2 x2+1 )

11.3 6

⇔ 2.(3x – 1)(x + 2) – 3.(2x2 + 1) = 11.3

⇔(6 x−2)( x+2)−(6 x2+3)=33

⇔ 6 x2+12 x−2x−4−6 x2−3=33

⇔ 6 x2+12 x−2x−6 x2=33+4+3

⇔ 10 x=40

⇔ x=10

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {4}

Chú ý: *Khi giải một phương trình ta thường tìm cách biến đổi phương trình đó về dạng đơn giản nhất ax

+b = 0 hay ax = - b

* Quá trình giải có thể dẫn đến hệ số của ẩn bằng 0 Khi đó phương trình có thể vô nghiệm hoặc vô

số nghiệm

VD1: x+1 = x –1  x – x = -1 –1

 0.x = - 2 Phương trình vô nghiệm

VD2: x +1 = x+1

⇔ x – x = 1- 1  0.x = 0 Phương trình có vô số nghiệm Hay nghiệm đúng với mọi x.

VD3: Giải phương trình: 0.x = x

Giải: Xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu x = 0, thì phương trình có dạng : 0.0 = 0 luôn đúng Do đó, phương trình nhận giá trị x = 0 làm nghiệm

Trường hợp 2: Nếu x # 0, thì phương trình có dạng: 0.x = x phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S ={0}

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Trong một tích, nếu có một thừa số bằng 0 thì tích bằng 0 Ngược lại, nếu tích bằng 0 thì ít nhất một trong các thừa số của tích bằng 0

a.b = 0 <=> a = 0 hoặc b = 0 (a,b là hai số)

Phương trình tích có dạng:

A(x).B(x) = 0

⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

VD

: Giải phương trình (2x-3)(x+1) = 0

Giải :

(2x-3)(x+1) = 0

⇔[2 x−3=0

x +1=0 ⇔[

2 x=3

x=−1⇔[

x=3

2

x=−1

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S={-1;

3

2 }

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

Khi biến đổi phương trình mà làm mất mẫu chứa ẩn của phương trình thì phương trình nhận được có thể không tương đương với phương trình đã cho Bởi vậy khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta phải chú ý

đến một yếu tố đặc biệt quan trọng đó là điều kiện xác định của phương trình Tìm điều kiện xác định của

phương trình là tìm tất cả các giái trị của ẩn làm cho các mẫu thức trong phương trình đều khác 0

VD1:Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau :

a)

2 x+1

x−2 =1 b )

2

x−1=1+

1

x +2

Giải:

(Không thỏa mãn)

a) ĐKXĐ: x –2 # 0 ⇔ x # 2

b)ĐKXĐ: { x−1≠0 ¿ ¿¿¿

****Cách giải

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của pt rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận) Tìm các giá trị thoả mãn ĐKXĐ.

VD: Giải pt chứa ẩn ở mẫu

2

x x



=

2 3 2( 2)

x x



 Giải:

+Bước 1 : Tìm ĐKXĐ của phương trình ĐKXĐ: { x≠2 ¿¿¿¿

+Bước 2 Quy đồng khử mẫu hai vế của phương trình:

2( x+2)(x−2)

2 x( x−2) =

x(2 x+3

2(x−2) ⇒ 2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3)

+Bước 3 : Giải phương trình

2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3) ⇔ x = -

8 3

+Bước 4 : x = -8/3 thoả mãn ĐKXĐ của phương trình Vẫy S =

{-8

3 }

VD2: Giải phương trình: x+ 1

x−1=1+

1

x−1

Giải: -ĐKXĐ: x−1≠0 ⇔ x≠1

Khi đó phương trình tương đương:

x.( x−1)

1

1.( x−1)

1

x−1

⇒ x ( x−1)+1=1.( x−1)+1

⇔ x2− x+1=x−1+1

⇔ x2− x−x=−1+1−1

⇔ x2−2x=−1

⇔ x2−2x+1=0

⇔( x−1)2=0⇔ x−1=0⇔ x=1

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

VD3: Giải phương trình:

2

x  x  x x

Giải:Phương trình đã cho tương đương:

x

2( x−3) +

x

2( x+1) =

2 x

-ĐKXĐ: {x−3≠0 x+1≠0 ⇔{x≠−1 x≠3 Khi đó:

(Thỏa mãn) (Không thỏa mãn)

(Thỏa mãn)

(1)⇔ x( x+1)

2( x−3)( x+1) +

x( x−3) 2.( x+1)( x−3) =

2.2x 2.( x+1)( x−3)

⇒ x( x+1)+x( x−3)=2.2 x

⇔ x2+ x+x2−3 x=4 x

⇔ x2+ x+x2−3 x−4 x=0

⇔2 x2−6 x=0

⇔2 x( x−3)=0⇔[ x=0

x−3=0 ⇔[

x=0 x=3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S={0}

VD4: x+

1

x=x

2+ 1

x2

(1) Giải: ĐKXĐ : x ¿ 0

(1)⇔x x2

x2 +1 x

x2 =x2 x2

x2 +1

x2

⇒x x2+x=x2 x2+1

⇔x4+x−x4=1 ⇔ x=1

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {1}

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1 Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của số a được định nghĩa:

a n u a 0

a

a n u a 0









Õ

Õ

VD1: 12 = 12 ;

2 3

 = - (

2 3

 ) =

2

3 ; 0 = 0

VD2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

a) A = x 3  + x – 2 khi x > 3

b) B = 4x + 5 +  2x khi x > 0

Giải:

a) Khi x > 3 ta có x – 3 > 0 nên x 3  = x – 3

Vậy: A = x – 3 + x – 2 = 2x – 5

b) Khi x > 0 ta có – 2x < 0 nên  2x = - (-2x) = 2x

Vậy: B = 4x + 5 + 2x = 6x + 5

VD3: Rút gọn các biểu thức :

a) C =  3x + 7x – 4 khi x < 0

b) D = 5 – 4x + x 6  khi x < 6

Giải:

a) Khi x < 0 ⇒ - 3x > 0 nên  3x = - 3x

Vậy C = - 3x + 7x – 4 =4 x−4

b) Khi x < 6 ⇒ x – 6 < 0 nên x 6  = - (x – 6) = 6 – x

Vậy D = 5 – 4x + 6 – x = 11 – 5x

VD1: Giải phương trình: 3x = x + 4

Giải:

* Trường hợp 1: Nếu 3x > 0 ⇔ x > 0 nên 3x = 3x

Khi đĩ phương trình cĩ dạng:

3 x=x+4 ⇔3 x−x=4 ⇔2 x=4 ⇔ x=2 (thỏa mãn)

* Trường hợp 2: Nếu 3x < 0 ⇔ x < 0 nên 3x = -3x

Khi đĩ phương trình cĩ dạng:

4 ⇔ x =−1 (Thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho cĩ tập nghiệm là: S = {- 1; 2}

VD2: Giải phương trình: x 3  = 9 – 2x

Giải:

*Trường hợp 1: Nếu x−3≥0⇔ x≥3 thì | x−3|=x−3

Khi đĩ phương trình đã cho cĩ dạng:

x−3=9−2 x ⇔ x +2 x=9+3 ⇔3 x=12 ⇔ x=4 (Thỏa mãn)

*Trường hợp 2: Nếu x−3<0 ⇔ x <3 thì | x−3|=−(x−3)=−x+3

Khi đĩ phương trình đã cho cĩ dạng:

−x+3=9−2 x ⇔−x+2 x=9−3 ⇔ x=6 (Khơng thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho cĩ tập nghiệm là: S = {4}

TỐN HỌC VUI

1 Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số cĩ chữ số tận cùng là chữ số chẵn (0,2,4,6,8) thì chia hết cho 2 và chỉ những số đĩ mới chia hết cho 2

2 Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số cĩ chữ sỗ tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đĩ mới chia hết cho 5

3 Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số cĩ tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đĩ mới chia hết cho 3

4 Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số cĩ tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đĩ mới chia hết cho 9

5 Dấu hiệu chia hết cho 4: số abcdefg⋮4⇔fg⋮4

VD: Số 48036 cĩ 36 ⋮4 ⇒ 48036⋮4

6 Dấu hiệu chia hết cho 11: số abcdefg⋮11⇔( g+e+c+a−b−d−f )⋮11

VD: Số 2680216 cĩ: (6+2+8+2-6-0-1) = 11 ⋮ 11⇒ 2680216⋮11

7 Số cĩ tận cùng bằng 76, 01, 0625 thì nâng lên lũy thừa nào ( khác 0) cũng tận cùng bằng 76, 01, 0625

8 Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 5; 6 khi nâng lên luỹ thừa bậc bất kỳ nào (khac 0) thì chữ số tận

cùng cũng không thay đổi

9 Các số có chữ số tận cùng là 4; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc lẻ bất kỳ nào thì chữ số tận cùng cũng không thay đổi

10 Các số có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n N) thì chữ số tận cùng là 1

11 Các số có chữ số tận cùng là 2; 4; 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n  Ν¿

) thì chữ số tận cùng là 6

12 Một số tự nhiên bất kỳ khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 1 (n N) thì chữ số tận cùng không thay đổi.

13 Các số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n N) thì chữ số tận cùng là 7; Các số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n N) thì chữ số tận cùng là 3

14 Các số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n N) thì chữ số tận cùng là 8; Các số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n N) thì chữ số tận cùng là 2

15 Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n N) thì chữ số tận cùng là không đổi

16 Một số phương pháp:

+ Tìm chữ số tận cùng của x = am thì ta xét chữ số tận cùng của a:

- Nếu chữ số tận cùng của a là các chữ số: 0; 1; 5; 6 thì chữ số tận cùng của x là 0; 1; 5; 6

- Nếu chữ số tận cùng của a là các chữ số: 3; 7; 9 thì :

Vì am = a4n + r = a4n ar nen:

Nếu r là 0; 1; 2; 3 thì chữ số tận cùng của x là chữ số tận cùng của ar

Nếu r là 2; 4; 8 thì chữ số tận cùng của x là chữ số tận cùng của 6.ar

***HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (áp dụng trực tiếp, nếu bài tốn khơng yêu cầu chứng minh)

1 Bình phương của một tổng: ( A +B )2= A2+2 AB+B2 = ( A−B )2+4 AB

2 Bình phương của một hiệu: ( A−B )2= ( B− A )2= A2− 2 AB+B2 = ( A +B )2−4 AB

3 Hiệu của hai bình phương: A2− B2= ( A−B ) ( A +B )

4 Lập phương của tổng: ( A +B )3= A3+ 3 A2B+3 AB2+ B3= A3+ B3+3 AB ( A+B )

5 Lập phương của hiệu: ( A−B )3= A3−3 A2B+3 AB2

− B3

= A3

− B3−3 AB ( A−B )

6 Tổng hai lập phương: A3+ B3=( A+B )( A2− AB+B2) =( A +B)3−3 AB ( A−B )

7 Hiệu hai lập phương: A3−B3=(A−B)(A2+AB+B2)=(A−B )3+3 AB ( A−B )

* Một số hằng đẳng thức tổng quát

1 an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1)

2 a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1)

3 a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k)

4 (a + b)n = an + nan-1b + 1.2

) 1 ( n n

an-2b2+…+ 1.2

) 1 ( n n

a2bn-2 +nabn-1 + bn

5 (a -b)n = an - nan-1b + 1.2

) 1 ( n n

an-2b2- …- 1.2

) 1 ( n n

a2bn-2 +nabn-1 - bn