Phương pháp lượng giác hóa trong đại số

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG ĐẠI SỐ Sinh viên thực hiện: Mai Thị Lý Lớp: 09 CTT1 Giáo viên hướng dẫn

Trang 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG ĐẠI SỐ

Sinh viên thực hiện: Mai Thị Lý Lớp: 09 CTT1

Giáo viên hướng dẫn: ThS Nguyễn Thị Sinh

Đà Nẵng, tháng 5/2013

Trang 2

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Sinh đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt kinh nghiệm và gợi mở những ý tưởng giúp tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, đóng góp ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình

Tôi xin cảm ơn phòng thư viện Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có được nguồn tài liệu làm khóa luận

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè những người luôn ủng hộ tôi, cung cấp cho tôi những thông tin cần thiết, những lời động viên khích lệ cùng các ý kiến quý báu trong thời gian tôi làm khóa luận

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2013 Sinh viên thực hiện

Mai Thị Lý

Trang 3

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài :

Khi giải các bài toán về đại số, trong một số trường hợp ta có thể chuyển chúng thành các bài toán lượng giác để giải, công việc này được gọi là phương pháp lượng giác hóa Việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa cho bài toán được xác định thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến có mặt trong bài toán và các dấu hiệu đó lại được xác định thông qua miền giá trị của chúng cùng với các công thức lượng giác thông thường Chẳng hạn nếu điều kiện ràng buộc giữa các ẩn được quy về dạng : x2 + y2 = a2 (a > 0), thì ta có thể đặt x =a.sin ,

y =a cos  hoặc nếu có x + y + z = xyz, thì ta có thể đặt x =tan , y = tan ,

Hơn thế nữa, khi sử dụng phương pháp này các bài toán khó sẽ trở nên đơn giản hơn mà không làm giảm tư duy của học sinh cũng như tính thú vị của bài toán

Với những lí do trên, tôi đã chọn đề tài “Phương pháp lượng giác hóa

trong đại số “ để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu, ứng dụng phương pháp lượng giác hóa để

Trang 4

3 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm có hai chương :

Chương I, trình bày lý thuyết cơ sở về luợng giác và các dấu hiệu nhận biết việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa để giải các bài tập đại số

Chương II, trình bày phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán trong đại số như chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, giải bất phương trình, biện luận và giải phương trình bậc cao, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Trang 5

CHƯƠNG I

LÝ THUYẾT CƠ SỞ

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG

1 Các tính chất của hàm sinx, cosx, tanx, cotx

1.1 Với mọi , ta luôn có

.1cos

1cot

1tan

1cot

2 Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

2.1 Hai góc đối nhau

cos )

cos(

sin )

cot(

.tan)

Trang 6

2.2 Hai góc hơn kém nhau 

.cot)cot(

.tan)tan(

.cos)

cos(

.sin)

cot(

.tan)

tan(

.cos)

cos(

.sin)sin(

.cot)2tan(

.sin)2cos(

.cos)

2sin(

sin)sin(

.sincoscos

sin)sin(

.cossin

coscos)

cos(

.cossin

coscos)

Trang 7

Với các điều kiện   k   k    k , k  Z

2

, 2

1

tan tan

) tan(

tan tan

1

tan tan

) tan(

4

,2

(.tan1

tan22

tan

.cossin

22sin

sin211cos

2sin

cos2

cos

2

2 2

Z k k

2 (

, 2 cos 1

2 cos 1

tan

2

2 cos 1

cos

2

2 cos 1

sin

2 2 2

Z k



t

Giả sử (  2k , kZ) đặt

2tan

,1

2sin

t

t t

Trang 8

3.5 Công thức nhân ba

.cos3cos

43cos

.sin4sin33sin

2

1cos.sin

)]

cos(

).[cos(

2

1sin

.sin

)]

cos(

).[cos(

2

1cos.cos

sin2

cos.2sin

sin

.2

cos2

sin.2sin

sin

.2

sin2

sin.2cos

cos

.2

cos2

cos.2cos

)sin(

tantan

.cos.cos

)sin(

tantan

Trang 9

II MỘT SỐ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT VIỆC LỰA CHỌN PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

Việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa cho bài toán được xác định thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến có mặt trong bài toán và các dấu hiệu đó lại được xác định thông qua miền giá trị của chúng cùng với các công thức lượng giác thông thường

Ta thường có các dấu hiệu sau :

1 Nếu có điều kiện của biến x là x a ( a 0), ta có thể đặt

x = asint, với  

2

,2



t hoặc x =acost, với t    0 , 

Trong trường hợp riêng :

0 

2,

Trang 10

3 Nếu hai biến x,y thỏa mãn điều kiện a 2 x 2 + b 2 y 2 = c 2 , với a, b, c > 0, ta được :

.1

2 2

ax

Đặt :

]

2,0[cos

t c y

a

t c x

t c

by

t c

3

1,



Trang 11

5 Nếu 0 < a, b, c < 1 thỏa điều kiện :

a2 + b2 + c2 + 2abc = 1

thì đặt a  cos  , b  cos  , c  cos 

2 ,

sin

cos,

b a

Tùy từng trường hợp, ,[0, 2)hoặc,[0,)

7 Nếu a > 0, b > 0 và a + b = 1 thì đặt



2 2

; cos

t t

;

t t a x

Trang 12

12 Nếu điều kiện x , y 1 thì đặt

,cos





khi y

,2

,tan





khi y

x

14 Các biểu thức thông thường được lượng giác hóa :

Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức

2 2

x

0cos

22

a x

t khi

t a x

2 2

a

x 

 

.2

\],0[cos

1

0

\2

,2sin

a x

t khi t

a x

2 2

x

0

cot

2 2

t a x

t khi

t a x

x a



 x = a cos2t , (x=cost)

))(

(xa bx x = a + (b – a )sin2t

ab

b a

,tan

tan    





khi b

a

Trang 13

15 Một số bài toán cơ bản phục vụ cho việc giải quyết các bài tập trong chương 2.

Bài 1 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để     với

2,

) cos(

2

; 0 ,

, 0 cos ) cos(

0 cos ) cos(

0 cos

) cos(

cos ) cos(

0 cos ) cos(

cos ) cos(

) cos(

1 cos ) cos(

) cos(

cos ) 2 cos 1 ( 2

1 ) 2 cos

cos cos

2

2 2

tan

1tantantan

tantan

Trang 14

2

) cot(

tan tan

1 tan

3 2

) tan(

tan tan

tan 1

tan tan

tan ) tan tan

1 ( tan

tan

tan tan

Trang 15

Chứng minh

Ta có

) ( , tan

) tan (tan

tan tan

1

1 tan

tan tan

0 tan

 tan   0, vô lý vì

2 2

2

)2tan(

)tan(

1tan

.tan.tan1

tantan

Z k

Trang 16

CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

TRONG ĐẠI SỐ

Chương này sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán trong lĩnh vực đại số như : chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, giải bất phương trình, giải hệ phương trình, biện luận, giải phương trình bậc cao, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Để giải các bài toán này ta thực hiện các bước sau :

Lượng giác hóa bài toán tùy vào từng dạng bài và các điều kiện cụ thể trong từng bài

Thực hiện việc giải các bài toán lượng giác từ đó suy ra kết quả cần tìm

I PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA CHỨNG MINH ĐẴNG THỨC

Bài toán 1:

Cho a 2 + b 2 + c 2 +2abc = 1 và 0 < a, b, c < 1, chứng minh rằng

) 1

)(

1 ( ) 1

)(

1 ( ) 1

)(

1 (

,

0   

Khi đó điều kiện a2 + b2 + c2 +2abc = 1

Trang 17

 cos2 cos2 cos2 2 cos cos cos 1

Đẳng thức cần chứng minh được biến đổi về dạng :

) 1 ( 0 1 ) cos(

0 1 sin

).

sin(

cos ).

cos(

sin sin

cos sin

sin cos

sin sin

cos

1 cos

cos cos

2 1

) 1 )(

1 ( 1

) 1 )(

1 ( 1

) 1 )(

1

(

2

2 2

2

2 2

2

2 2

z y

x z

y x

z y

tan tan

2

2 2

tan1

)tan1)(

tan1(tan1

)1)(

1(

x

Trang 18

tantan

1

coscos

sinsin

coscos

2cos

cos

)cos(

coscos

sincos

cos

costan

)1)(

1(

2

2 2

xz y

x z

1(

2

2 2

xy z

y x

31

)1

)(

1(1

)1

)(

1(1

)1

2

2 2

2

2 2

y x

z y

x z

y x

z y

( 3

1

3 3 1

3 3

1

3 3

1

3 3

1

3

2

3 2

3

c

c c b

b b a

a a c

c c b

b b a

,    



Trang 19

Từ giả thiết ta có :

tantan

b a

33

tan(

3tan3

tan3

tan

1

3tan3

tan

3tan)3tan3tan1(3

tan3

tan

3tan3tan3tan3

tan3

tan

tan31

tantan

3tan

31

tantan

3tan

31

tantan

3

tan31

tantan

3tan

31

tantan

3tan

3

1

tantan

3

2

3 2

3

2

3 2

1 1

1

1 3

3 3

3 2

2 2

2 1

x x

x

Giải : Vì x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình (4) nên :

Trang 20

3 2 1

1 3 3 2 2 1 3

2 1

1 3 3 2 2 1

x x x

x x x x x x b

x x x

x x x x x x

Đặt xtan, ytan, ztan với

2

,2,

1tan

tantan

1cot

cot

1)

cot)(tan

cot(tan

)cot)(tan

cot(tan

)cot)(tan

cot(tan

11

1

1 3

3 3

3 2

2 2

2 1

1

x

x x

x

)

2cot2

(cot2

cot2

cot

12cot2

cot42cot

2

cot

4

))22

2(2

()2cot2

)(cot2

2cot(

42cot

2

cot

4

)2cot2

(cot2cot42cot

cot1cot

cot

1

cotcot

1cot

cot

1cot

cot

1cot

cot

1

2 2

Vậy

4 1 1

1 1

1

1 3

3 3

3 2

2 2

2 1

x x

x x x

Trang 21

Bài toán 5 :

Cho các số a, b thỏa mãn b  a ,chứng minh rằng :

) 5 (

2 2 2

a a

b a b

Giải :

Ta đi xét các truờng hợp sau :

 Nếu a  0  b  0 ,khi đó (5) luôn đúng

 Nếu a  0, biến đổi (5) về dạng :

1

1 1

2 2

2

a

b a

1 cos

1

sin 1 sin

1 cos

1

cos 1

1 cos

1 1 cos

1 cos

Trang 22

II PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bài toán 6 :

Chứng minh rằng

)6(.2)

1(

3])1

([

4 a3  a2 3  a a2 

Giải :

Điều kiện 1a2 0 a 1 , nên đặt acos với [0,]

Khi đó (6) được biến đổi về dạng :

2 3

sin 3

cos

2 sin

4 (sin

) cos 3 (cos

3

.

4

2 )

sin (cos

3 ] ) cos 1

( [cos

4

) 3 3

3 2 3

n

x

x ) ( 1 ) 2 1

Giải :

Vì x 1 nên đặt xcost với t(0,).

Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi về dạng :

Trang 23

cos1

()cos1

(  t n   t n  n

Ta thấy :

2 sin 2 cos

1

; 2 cos 2 cos

Thay vào (7) ta được :

n n

n

2 2

sin 2

0  t  

2 cos , 2 sin

.12

cos2

sin 2

sin2n t  2 t  n 

Suy ra :

n n

2 2

sin 2 cos 2

2

sin 2 cos

8 )

( a  b 4  a4  b4

Giải :

Với a = 0 thì (8) đúng



Trang 24

cos

sincos

8cos

sincos

)tan1(8)tan1(

4 4

4

4 4

4

4 4

x x

x

x x

x

x x

2

2 sin 1

sin cos 2 ) sin (cos

sin cos

2

2 2

2 2 2

4 4

x x

sin43

)2sin1()sin

x x

Bất đẳng thức trên luôn đúng vì

2 2

sin 2 1

4 cos x   và  x  

Vâỵ bất đẳng thức (8) được chứng minh

Bài toán 9 :

Chứng minh rằng các số thực x, y, z tùy ý ta có :

2 2

11

1

y z z

x

z x y

x

y x

Trang 25

Giải :

Đặt xtan, ytan, ztan với

2,

,2

cos sin

cos

sin cos

cos

tan 1

tan tan

y x

Tương tự ta có :

.)sin(

z x

)sin(

y z

Như vậy bất đẳng thức đã cho được đưa về bất đẳng thức sau :

)9()sin(

)sin(

)sin(       

sin sin

cos sin cos

sin

cos sin

) sin(

Trang 26

Bài toán 10 :

Chứng minh rằng với mọi x, y ta có :

)10(.4

1)

1()1

(

)1

)(

(4

1

2 2 2

2

2 2 2

y x y

tan1

()tan1

(

)tantan

1)(

tan(tan

4

1

2 2 2

2

2 2

2

2 2

)tan1

()tan1

(

)tantan

1)(

tan(tan

2sin)(

)cos(

)sin(

]sinsin

cos)(cos

sinsin

cos)][(cos

sincoscos

)(sinsin

coscos

[(sin

])sin(sin

)cos][(cos

)cos(sin

)cos[(sin

coscos

1

coscos

sinsin

coscos

cossin

2 2

4 4

2 2

Trang 27

II PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 11 :

Xác định số nghiệm của phương trình sau trong khoảng (0, 1) :

1 ) 1 8

8 )(

2 1 (

0 



Phương trình được biến đổi thành :

1 ) 2 sin 2 1 ( 2 cos sin 8

1 ] 1 )

cos sin 2 ( 2 [ 2 cos sin 8

1 ] 1 ) 1 (sin

sin 8 [ 2 cos sin 8

1 ) 1 sin

8 sin

8 )(

sin 2 1 ( sin 8

2

2 2

2 4

4 cos 2 cos sin

8 sin

cos 4

cos 4 sin 2

cos 4

cos 2 cos 2 sin 4

cos cos

4 cos 2 cos sin 8

Trang 28

0 

14

5 1

; 14 0

18

5 1

; 18

k k

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc (0, 1) là :

5 sin , 18

( 2 )

1

3

x x

k l

k

Z l k l

9

2 18

, 2

2 8

2 2

Trang 29

t t t

t t

t

t t t

t

t t

cos sin 2 cos

sin ) cos (sin

3 ) cos (sin

cos sin 2 cos

sin

) sin 1 ( 2 sin )

sin 1 ( sin

3

3 3

2 3

sin cost

+ sint

=

v

2



 t t v . Với điều kiện t  2

Khi đó (12) được biến đổi thành :

2

0 ) 1 2 2 )(

2 (

0 2 2

2

1 2

2

1

3

2

2 3

2 2

3

y y

y

y y

y

y y

+ Với y  2 Thì ta có

2

2 4

sin 4

) 2

, 2 (

2 2

4

1 ) 4 sin(

2 cost

+ sint

t do k

21cost +sint      

Ta có

Trang 30

1 2 2 2 1

2

1 2 2 2 1 sin

0 2 2 2 sin ) 2 1 ( 2 sin

2

2 1 sin

1 sin

) sin 2 1 (

1 sin 2 1 0

2

2 2

t t

t

t t

t

Vậy phương trình có 2 nghiệm là :

2

1 2 2 2 1

; 2

2 )

1 ( )

1 ( 1

1

2 3

3

x x

1 (  x 3   x 3 

nên phương trình (13) vô nghiệm

) 1

0 

t Phương trình (13) được biến đổi thành :

Trang 31

0 sin

2

1

1 cos

6

0 sin

2

1 1 1 cos

6

0 ) sin 2

1 1 ( ) sin 2

1 1 ( cos

6

sin 2 ) 2

sin 2 cos 1

( cos

6

2

sin 2 ) 2

sin 2 cos 1

)(

2

sin 2 (cos

6

2

sin 2

) 2

sin 2

cos 2

)(cos 2

sin 2

)(cos 2

sin 2 (cos

6

2

sin 2 ] ) 2 (sin )

2

)[(cos 2

sin 2 (cos

6

2

sin 2 )

2 (sin )

2 (cos

) 2

sin 2 (cos 6

2

3

sin 3

2 )

cos 1

( )

cos 1

( sin

1

3

cos 1

3

2 )

cos 1

( )

cos 1

( cos

1 1

2 2

3 3

3 2 3

2 2

3 3

2 3

3 2

t

t t

t

t t

t

t t

t

t t

t

t t

Vậy phương trình có nghiệm

.

1



x

Trang 32

Bài toán 14 :

Giải phương trình sau :

x x

x ) 1 )( ( 1 ) 1 ) 2 1

12

2

1

;cos2

1

t

x t

2

sin 2 1

; cos 2 1

t x

Phương trình được biến đổi về dạng :

)14(1cos2

01cos22sin21cos2

01cos221sin21cos2

0)1cos2)(

1cos2[(

2)1sin2)(

1cos2(

0)1cos

2(2)1sin2)(

1cos2(

)1cos

2(2)1sin2)(

1cos2(

2 2

t t

t

t t

t

t t

t

t t

t

t t

t

Trang 33

0 2

2 2

1 2

2 cos

) 14

2 cos

10

2 cos

0 1 cos 2 4 cos

10

cos 2 4 cos

8 1 ) cos 1

( 2

1 cos 2 2 sin

2

0 1 cos 2 2 sin

2 )

' 14 (

2

2 2

t t

t

t t

Từ đó suy ra

25

24 5

1 1 10

2 2

x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là :

25

24 ,

x 3 1 9 3

.

4 3  1  

Giải :

Trang 34

k t

t

k t

t

t t

t

4

2 8

2 2

3

2 2

3

) 2 cos(

3 cos

cos 1

cos 3 cos

cos

Mặt khác ta có

2

2 2

8

cos 4

2 2

8 cos

8 cos 2 ) 8 2 cos(

4 cos



x

Trang 35

IV PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

Bài toán 16 :

Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

m x

x  

 23 12

5

4 3

sin

cos 3 2 sin

2

sin 2 cos

3 2

m t t

Dựa vào đường tròn đơn vị, ta có số nghiệm của phương trình là số giao

điểm của đường thẳng

4

m

y  với cung tròn AB

+ Với m < - 4 hoặc m > 2 thì phương trình vô nghiệm

+ Với m = -4 hoặc -2 < m < 2 thì phương trình có nghiệm chung duy nhất

Trang 36

x a a

x

Giải :

Phương trình được biến đổi về dạng :

+ Nếu a < 0 phương trình vô nghiệm

cos 1

( )

cos 1

( )

16 (  a  t  a  t  a

.

a x a x

Trang 37

0

nên t

2 sin , 0 2 cos t  t 

ta có

.4

2sin2

2

cos2

sin2

)17(

a t

t a

2

4t t  

2 4 2 sin 2 2 1

4 2

sin 2

Trang 38

Z k

k t

t

t t

t

t t

4 cos

0 2 sin 2 1 0 cos

sin 8 1

0 cos

sin 8 cos

1

2 2

2

2 4

73

;8

5tan8

52

8

3tan8

31

;8

tan8

k x

t k

x t

k x

t k

5 tan , 8

3 tan , 8

3 5

20 16

0 27 3

90 3

360 3

288

3 5

t

hay t

t t

Mặt khác ta có :

Trang 39

u u

t

5cos  5  3 

Thay vào (19) ta được :

Z k

k t

k u

2 30

cos

5

2 30

5

2 30

2 6

5

2 6

5

6 cos 5

49 4

30

37 cos 3 2 30

37 3

; 6

5 cos 3 2 6

5 2

30

13 cos 3 2 30

13 1

; 30 cos 3 2 30

k

x u

k x

u

k

x u

k x

u

k

30

49 cos 3 2

; 30

37 cos 3 2

6

5 cos 3 2

; 30

13 cos 3 2

; 30 cos 3 2

x x

x

Trang 40

)20

Với x[1,1] ta đặt x = cost Khi đó áp dụng công thức trên ta có :

Z k k

t

k t

218

3

218

23

6

23

6

3cos6

615

;18

49cos18

494

18

37cos18

373

;18

25cos18

252

.18

13cos18

1

;18

cos18

k x

t k

x t

k x

t k

x t

k x

t k

18

61cos,

18

49cos,

18

37cos,

18

25cos,

18

13cos,

18cos          

x

Trang 41

V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 21 :

Giải bất phương trình sau :

) 21 ( 1 1

3 1

1

sin 4 cos

2 0

sin cos

sin 2 cos 1

cot

2 cot

0 2 cot 3 cot

1 cot 3 cot

1

1 sin

cos 3 sin

1

1 cos

1

cos 3 cos

1

1 )

21 (

2 2

2 2 2

2 2

t

t t

t

t t

t

t t

t

t t



Trang 42

2

2cos

1

1cos5

2

2cos

1

5

4cos

20

2

x

t t

5

22

2

2 2

2

a x

2

1 0

1 sin

sin 2

cos 2 sin

1

cos 2

tan cos

) tan (

2 tan

) tan (

2

2 2

a

a a

Trang 43

1tan   x  a

Giải :

Với a < 0 bất phương trình vô nghiệm

Xét a  0.điều kiện để bất phương trình có nghĩa x > 0 và 0  x  a

sin 2

cos 2

) cos 1

( )

cos 1

a

t a

+ Với a = 0  (23) vô nghiệm

+ Với a 0 ta có :

a

4 2 cos )

2

0       t   

nên

Tiêu đề	Phương Pháp Lượng Giác Hóa Trong Đại Số
Tác giả	Mai Thị Lý
Người hướng dẫn	ThS. Nguyễn Thị Sinh
Trường học	Đại học Đà Nẵng
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2013
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	61
Dung lượng	1,21 MB