TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

VÕ ANH KHOA ậ HOÀNG BÁ MINH... các ch ng chính, chúng tôi chia lƠm 3 ph n : cách trình bày bài... Ph ng trình có nghi m khi và ch khi Khi đó Theo yêu c u bài toán, ta xét hàm s... Do ta

L NG GIÁC

T P 3 : TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T

VÕ ANH KHOA ậ HOÀNG BÁ MINH

L I NịI U

so n v i m c đích cung c p, b sung ki n th c cho h c sinh THPT và m t s b n đ c quan tơm đ n m ng ki n th c này trong quá trình h c t p và làm vi c Trong t p 3 “TÌM

GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T; M T S PH NG PHÁP L NG

GIÁC HịA” nƠy, chúng tôi s trình bày các k thu t đ i s , gi i tích v hai v n đ trên

Tuy nhiên, chúng tôi s xoáy vào tr ng tơm lƠ “PH NG PHÁP L NG GIÁC HịA”,

m t d ng ng d ng k thu t khá hay trong m t s bài toán

các ch ng chính, chúng tôi chia lƠm 3 ph n :

cách trình bày bài ng th i đ a ra các d ng toán c b n, th ng g p trong quá trình

làm bài trên l p c a h c sinh THPT ph n này, chúng tôi s trình bày m t s bƠi đ b n

đ c có th n m v ng h n, tránh sai sót

ph n này các d ng toán khó nh m giúp cho các h c sinh b i d ng, rèn luy n k n ng

gi i L NG GIÁC thành th o h n khi g p ph i nh ng d ng toán này

tra l i đáp s , l i gi i ho c c ng có th tham kh o thêm

Trong quá trình biên so n, m c dù chúng tôi đư c g ng b ng vi c tham kh o m t l ng

r t l n các tài li u có s n và ti p thu có ch n l c ý ki n t các b n đ ng nghi p đ d n

hoàn thi n cu n sách nƠy, nh ng khó tránh kh i nh ng thi u sót b i t m hi u bi t và kinh

nghi m còn h n ch , chúng tôi r t mong nh n đ c ý ki n đóng góp quý báu c a b n đ c

L I C M N

Trong quá trình biên so n, chúng tôi xin cám n đ n nh ng b n đư cung c p tài li u tham

kh o và vui lòng nh n ki m tra l i t ng ph n c a b n th o ho c b n đánh máy, t o đi u

ki n hoàn thành cu n sách này :

- Tr n Phong ( H S Ph m Tp.HCM)

- Ngô Minh Nh t ( H Kinh T Tp.HCM)

- Mai Ng c Th ng ( H Kinh T Tp.HCM)

- Nguy n Hoài Anh (THPT Chuyên Phan B i Châu Tp.Vinh)

- Nguy n ình Thi ( H Khoa H c T Nhiên Tp.HCM)

và m t s thành viên di n đƠn MathScope

M C L C

T P 3 : TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T

M T S PH NG PHÁP L NG GIÁC HÓA

CH NG 8 : TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T

HÀM L NG GIÁC 1

1 PH NG PHÁP BI N I L NG GIÁC 1

BÀI T P T LUY N 9

2 PH NG PHÁP S D NG B T B NG TH C C B N 11

BÀI T P T LUY N 19

3 PH NG PHÁP O HÀM HÀM S 24

BÀI T P T LUY N 35

II TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T HÀM L NG GIÁC CH A THAM S 38

BÀI T P T LUY N 44

III TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T HÀM L NG GIÁC TRONG TAM GIÁC 46

BÀI T P T LUY N 53

TRONG TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T 105

BÀI T P T LUY N 111

TÀI LI U THAM KH O 114

CH NG 8

TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T

Nh v y, đ tìm giá tr l n nh t (GTLN) và giá tr nh nh t (GTNN) c a m t hàm s hay

m t bi u th c l ng giác, tùy theo t ng lo i toán ta có th dùng m t trong các ph ng

pháp sau đơy, chúng ta ch đ c p đ n các ph ng pháp đ i s , gi i tích

- D a vào tính b ch n c a hàm s sin, hàm s cos

V y

c Ta có :

Ph ng trình nƠy có nghi m khi và ch khi Do đó

Chú ý: T ng t cơu a, ta đ a v bài toán d ng t ng quát

Bài 2: Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s

Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s

c Hàm s xác đ nh khi và ch khi

d i u ki n:

Vì chu k c a và là nên ta c n xét trên Do đó

Gi i:

a Ta có :

Do đó,

b Ta có :

Do đó,

c Ta có :

Do đó,

d Ta có :

Do đó,

Bài 3: Tìm giá tr l n nh t c a hàm s

- G I Ý GI I BÀI T P T LUY N

8.1.1

thu t cao trong vi c s d ng thành th o b t đ ng th c và trong vi c v a tìm giá tr

l n nh t v a tìm giá tr nh nh t nên đa ph n các bài toán d ng này ch yêu c u

tìm giá tr l n nh t ho c giá tr nh nh t c a hàm s hay bi u th c

Theo b t đ ng th c Cauchy, ta có :

Do đó,

Gi i: Do nh n nên d ng Ta có :

H n n a, theo b t đ ng th c Cauchy, ta có :

8.1.14 Cho sao cho Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

Do đó,

V y

có th tìm đ c giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s trên đo n đó

- vi c kh o sát hàm s đ c đ n gi n h n, ta nên l u ý vi c đ i bi n s b ng cách đ t n ph , nh ng ph i bi t đ c gi i h n c a n s m i L u ý r ng khi đ t

n ph , ta nên tìm mi n giá tr c a n ph trong kho ng xác đ nh n ph cho tr c

h c sinh chuyên, nh ng chúng tôi v n khuy n khích các b n l p 10, 11 không

chuyên tham kh o thêm nh m m r ng ki n th c

 Tìm mi n xác đ nh c a hàm s

 L p b ng bi n thiên, d a vào b ng bi n thiên ta tìm

D a vào b ng bi n thiên, ta có :

Ta có :

Suy ra,

Bài 4: Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s

D a vào b ng bi n thiên, ta có :

Ta có :

D a vào b ng bi n thiên, ta có :

Bài 6: Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s

( H Kinh T Qu c Dân 2000)

Nh v y, t các giá tr , ta đ c :

D a vào b ng bi n thiên, ta đ c

D a vào b ng bi n thiên, ta đ c

Do đó,

Tuy nhiên, d u không th x y ra nên đơy ch a ph i là giá tr nh nh t c a hàm s

Ta xét hàm s

b ý r ng

d K t qu

g Ta bi n đ i

t Ta xét hàm s

Ta đ c

II TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T HÀM L NG GIÁC

CH A THAM S

- D ng bài t p nƠy đa ph n xoay quanh v n đ bi n lu n theo tham s tìm giá tr l n

nh t, giá tr nh nh t c a hàm s , là d ng bài t p ít khi xu t hi n trong các bài thi,

n u có s n m trong câu nh c a bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t ng

v i tham s cho tr c D ng bài này thu c d ng bƠi khó, dùng đ phân lo i thí

sinh trong các cu c thi

tuy nhiên cái khó c a d ng bài này là vi c khoanh vùng cho tham s đ bi n lu n





- thì đ t giá tr l n nh t, nh nh t khi

Ta đ c,

Ph ng trình có nghi m khi và ch khi

Khi đó

Theo yêu c u bài toán, ta xét hàm s

Theo yêu c u bài toán, ta xét

Bài 6: Cho hàm s

( H Giao Thông V n T i 1992)

III TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T HÀM L NG GIÁC TRONG TAM GIÁC

nƠy th ng n m trong nh ng câu phân lo i thí sinh c a đ thi Tuy nhiên, chúng ta

ít khi d a vào nh ng ph ng pháp gi i c a C C TR HÀM L NG GIÁC mà ta

tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c đư cho

( H M - a Ch t 1999)

Do tam giác nh n nên Theo b t đ ng th c Cauchy, ta có :

V y

Gi i: bài này, ta s d ng đ ng th c và b t đ ng th c c b n

Tìm giá tr nh nh t c a

( ngh Olympic 30-4, 2006)

( ngh Olympic 30-4, 2007)

- BÀI T P T LUY N

Không m t tính t ng quát, gi s

Theo đ nh lý hàm s cos và b t đ ng th c Cauchy, ta có :

Ta xét b ng bi n thiên và d a vƠo đó, ta có :

nghi m duy nh t

II PH NG PHÁP L NG GIÁC HÓA TRONG CH NG MINH NG

ph i ch ng minh đ ng th c đ i s thành vi c ch ng minh đ ng th c l ng giác

l ng giác

Do nên ta có th suy ra r ng

Khi đó,

Do đó,

Khi đó,

Thay vào , ta có đ c đ ng th c c n ch ng minh

Gi i: T gi thi t, ta có :

Ta đ t

c n chú ý r ng b t đ ng th c hƠm l ng giác này s khác đôi chút so v i b t đ ng

th c h th c l ng trong tam giác đư đ c đ c p ch ng 3 Nh ng các b n v n

ph i xem l i các b t đ ng th c Cauchy, Bunyakovsky, Jensenầ NgoƠi ra, k t h p các ph ng pháp tìm c c tr hƠm l ng giác đư nêu ch ng 8 đ có th nhanh

chóng ti p c n ph ng pháp nƠy

Bài 1: Ch ng minh r ng v i m i

Gi i: Ta đ t

Bài 2: Ch ng minh r ng

D u x y ra khi và ch khi

M t khác,

Do đó, ta có đi u ph i ch ng minh

D u x y ra khi và ch khi

Khi nào d u đ ng th c x y ra?

( H T ng H p Tp.HCM 1996)

Gi i: Ta đ t

Khi đó, b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i

Bài 5: Ch ng minh r ng v i m i

Gi i: T đi u ki n c a bài toán, ta suy ra

Do đó, ta có th ch n 3 góc nh n sao cho

Thay vào gi thi t, ta đ c

Ta đ a b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i

Gi i: Ta có

Ta th y

Do đó, ta đ t

Và

Khi đó,

Gi i: Ta đ t

Ta có :

Khi đó, b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i

Khi đó, b t đ ng th c c n ch ng minh tr thành

Gi i: Ta đ t

Thay vào h th c đư cho, ta đ c

Gi i: T gi thi t, ta suy ra Do đó, t n t i các góc nh n sao cho

Suy ra, gi thi t t ng đ ng v i

Gi i: T ng t nh ng bƠi tr c, ta đ t

Tuy nhiên, do nên là 3 góc c a tam giác nh n

Ta đ a bƠi toán tr thành

Theo đ nh lý hàm s sin, b t đ ng th c trên t ng đ ng v i

Theo b t đ ng th c c b n, ta có :

Gi i: B t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i

Không m t tính t ng quát, ta gi s r ng Khi đó, v i là 3 góc

c a tam giác Ta đ t

T ng t , ta có :

D u x y ra khi và ch khi tam giác đ u, khi đó

(Ukraine 2005)

Gi i: Gi s , khi đó (vô lý) Do đó, ta ch n

Gi thi t t ng đ ng v i

- G I Ý GI I BÀI T P T LUY N

Gi i:

d i u ki n : Ta đ t

sao cho

V i , ta đ t

Do đó,

Gi i: Ta th y Khi đó

Suy ra

Khi đó, Do đó,

Nh v y

Gi i: H ph ng trình t ng đ ng v i

( ngh Olympic 30-4, 2008)

Ta đ t

Khi đó,

Gi i: Ta có :

Do đó, ta đ t

Theo đ nh lý Viète, ta có là nghi m c a ph ng trình

Ta có :

Theo đ nh lý hàm s sin, ta có th gi s r ng đ dài 3 c nh c a tam giác là

VI PH NG PHÁP L NG GIÁC HÓA TRONG TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T

- d ng nƠy, ta c ng s chuy n v d ng tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a

hƠm l ng giác Các b n c n ôn l i các ph ng pháp tìm giá tr l n nh t, giá tr

Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a

Gi i: Ta bi n đ i

Nên ta đ t

Khi đó,

Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c

Suy ra

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

Hay

( H Ngo i Th ng HƠ N i 1995)

Gi i: Ta th y

Do đó, v i là 3 góc c a tam giác Ta đ t

Nh v y,

( ngh Olympic 30-4, 2006)

9.5.6 Cho và th a h th c Tìm giá tr l n nh t và giá tr

9.5.4

9.5.5

9.5.6

9.5.7

9.5.8

TÀI LI U THAM KH O

[1] Hu nh Công Thái, u Th C p, Các chuyên đ - Tìm c c tr và Ch ng minh b t

đ ng th c ch a hƠm l ng giác, NXB i h c Qu c Gia Tp.HCM, 2007

[2] Nguy n V n Nho, Nguy n V n Th , Chuyên đ L ng giác, NXB T ng h p

[7] Tuy n t p đ thi Olympic 30 tháng 4, L n XII ậ 2006, Toán h c, NXBGD, 2006

Tuy n t p đ thi Olympic 30 tháng 4, L n XIII ậ 2007, Toán h c, NXBGD, 2007

Tuy n t p đ thi Olympic 30 tháng 4, L n XIV ậ 2008, Toán h c, NXBGD, 2008

Tuy n t p đ thi Olympic 30 tháng 4, L n XV ậ 2009, Toán h c, NXBGD, 2009

Tuy n t p đ thi Olympic 30 tháng 4, L n XVI ậ 2010, Toán h c, NXBGD, 2010