Một số ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa

4 Chương II: Ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải phương trình, hệ phương trình đại số .... 7 Chương III: Ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong bài toán tìm giá trị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1

TỔ TOÁN –––––––––&––––––––

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI TOÁN

Người thực hiện: PHẠM VĂN GIA

Chức vụ: Giáo viên

Lạng Giang, tháng 10 năm 2014

MỤC LỤC

Phần I: Mở đầu……… ……… 2

I Lý do chọn đề tài 2

II Mục đích nghiên cứu 2

III Nhiệm vụ nghiên cứu 2

IV Đối tượng nghiên cứu 3

V Phạm vi nghiên cứu 3

VI Những đóng góp của đề tài 3

Phần II: Nội dung nghiên cứu và kết quả Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài 4

Chương II: Ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải phương trình, hệ phương trình đại số

7 Chương III: Ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

19 Chương IV: Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa trong bài toán tính tích phân

Chương V: Kết quả nghiên cứu

26 33 Phần III: Kết luận và đề nghị ……… …… 34

Danh mục tài liệu tham khảo 35

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong việc dạy học toán, ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán

là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết Trong chương trình môn toán ở cấp THPT cũng như trong các đề thi tuyển sinh vào các trường ĐH-

CĐ và học sinh giỏi các cấp ta thường gặp các bài toán giải bằng phương pháp lượng giác hóa Việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của hàm số lượng giác và phương trình lượng giác trong giải toán phổ thông luôn là vấn đề hấp dẫn Để

đáp ứng yêu cầu đó, tôi xin viết chuyên đề “Một số ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải toán” với phạm vi ứng dụng trong việc giải phương

trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính tích phân Hy vọng chuyên đề sẽ giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về phương pháp này

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp lượng giác hóa nhằm nâng cao hiệu quả học tập cho học sinh

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Hệ thống hóa các bài tập sử dụng phương pháp lượng giác hóa trong giải toán

Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của hệ thống các câu hỏi và bài tập đã được xây dựng

IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu: ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong việc giải phương trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính tích phân

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu tài liệu tham khảo

Điều tra, khảo sát thực tế học sinh

Trao đổi cùng các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn

Tích lũy đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

VI NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Trình bày rõ được cơ sở lí luận của phương pháp

Trình bày được 3 ứng dụng quan trọng của đề tài trong việc giải phương trình, hệ phương trình đại số; tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính tích phân

Nâng cao được trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, góp phần đổi mới phương pháp dạy học

PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến lượng giác hoá đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng

cơ bản dạng toán, sử dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp nào ngộ nhận là logic Vấn đề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc lượng giác hoá

Những kiến thức liên quan:

2 Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giá trị:

 Nếu C sinxcosx thì ta có  2 2 C 2 2

 Nếu D cosn xsinn x thì ta có 1  D 1

4 Một số biểu thức (dấu hiệu) thường gặp:





tantan

x y

II CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Đối với học sinh : Khi chưa cải tiến phương pháp mỗi lớp chỉ được rất ít

em tập trung làm bài tập dạng này

Đối với giáo viên : Sách giáo khoa hầu như bỏ qua dạng toán này, một

số tài liệu cũng có điểm qua nhưng không có tính chất hệ thống

Chương II: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Dạng 1: Giải phương trình đa thức

Ví dụ 1: Giải phương trình 3 1  

2

x  x  Giải

k t

+ Vì phương trình (1) là phương trình bậc 3 nên chúng có tối đa 3 nghiệm , do

đó phương trình (1) có đúng 3 nghiệm ở trên

Chú ý: Trong phương trình có chứa 4x33x , đây là dấu hiệu giúp đặt xcost

để sử dụng công thức góc nhân ba với cos3t

Ví dụ 2: Tìm nghiệm x 0;1 của phương trình

Phương trình có dạng 8cos3 6cos 1 0 cos3 1

2

Vì  0 ;1800 0 nên phương trình

1cos3

Dạng 2: Giải phương trình vô tỷ

Giải (1) và kết hợp điều kiện t ;

212

t

x x t

sintcost1 sin cos t t 2 cos sint t

Đặt

2

1sin cos sin cos ; 2

252

Tuy nhiên, ta thấy không (**) không được thỏa mãn với số nguyên k

Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm cos5 6 2; cos3 2

Phương trình đã cho có dạng cosx sinx 1

Dễ thấy x=2 là 1 nghiệm của phương trình Ta chứng minh x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

sinx sin ; cosx cos cosx sinx cos  sin   1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2

Vì t 0 nên t và 2 t không thỏa mãn 3

Vậy ta có  2 1 2cos log 2 1 2cos

Hệ đã cho trở thành  

 

Từ (1’) ta biến đổi được về dạng 3 4 5  1''

Sự có mặt của phương trình thứ 2 của hệ cho phép ta đặt sin

Phương trình (1) tương đương

4sin 45 sin 30 sin 2 3

3cos 3 45

sin 65 ;cos65 , sin185 ;cos185 , sin 305 ;cos305

sin 35 ;cos35 , sin 75 ;cos75 , sin 205 ;cos 205

Hệ phương trình có thể được viết lại

y x

x y x

Chương III ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm phân thức

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

2 2

11

x y

Khi đó hàm số được chuyển về dạng

4

2 2

4,

( ) 2 2 2

83( ) 2 2 2

Vậy max f x y , maxg t 2 22; min f x y , ming t  2 22

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

Với x2 y2 1 ta có x và y không đồng thời bằng 0 và

2sin cos 2cos sin 2 cos 2 1

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số   

1

x y xy u

sin3

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số u2x3 3y2

biết x,y thỏa mãn 2 2  

 maxu 10 khi

12

Khi đó u sint 1 cos t cost 1 sin t

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta thu được

Vậy maxu  2 2 khi 1

Chương IV ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

A Kiến thức cơ bản

1 Một số phép lượng giác thường gặp

Cho R u v ,  là hàm hữu tỉ của hai biến u, v

2 Phương pháp tính tích phân bằng phép lượng giác hóa

- Lựa chọn phép lượng giác hóa thích hợp

- Chuyển các biểu thức đại số sang dạng lượng giác, thực hiện phép đổi cận

- Tính tích phân lượng giác thu được

1

I   x  dx Giải

dx I

sin cos sin cos

1

2 0

11

Chương V: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Khi khảo sát chất lượng của học sinh bằng bài kiểm tra 60 phút cho

4 lớp 12 trong năm học 2013 – 2014 trong quá trình học phụ đạo, bồi dưỡng nâng cao tôi đã có những kết quả cụ thể như sau :

Thông qua quá trình giảng dạy học, tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả cho thấy:

+ Học sinh đã biết nhìn nhận đúng đắn hiểu rõ bản chất của mỗi bài toán

và biết cách trình bày bài giải Học sinh khá giỏi rất hứng thú với các dạng bài tập trên và các em làm khá thành thạo

+ Học sinh đã biết chọn lựa phương pháp phù hợp cho mỗi bài toán cụ thể

Kết quả đạt

được

Trước khi bồi dưỡng Sau khi bồi dưỡng

Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ

I KẾT LUẬN

Trên đây là một số ứng dụng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa Trong khuôn khổ có hạn của đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp trao đổi góp ý để đề tài được đầy đủ hơn, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT nói chung và trường THPT Lạng Giang số 1 nói riêng

Xin chân thành cảm ơn!

II ĐỀ NGHỊ

Tôi xin được đề xuất một số ý kiến nhỏ như sau:

– Sáng kiến kinh nghiệm hay nên phổ biến rộng rãi cho giáo viên các trường THPT

– Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang nên đưa ra một số đề tài xuất sắc

cụ thể trong từng năm để giáo viên trong toàn tỉnh cùng trao đổi, thảo luận và nghiên cứu

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Lạng Giang, tháng 10 năm 2014

Người viết

PHẠM VĂN GIA

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lê Hồng Đức (chủ biên) – Phương pháp giải toán đại số – Nhà xuất bản

Hà Nội – 2008

2 Trần Phương – Đại số sơ cấp – Nhà xuất bản Hà Nội – 2003

3 ThS Nguyễn Anh Tuấn – Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ –

Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam – 2014

4 Võ Thanh Văn (chủ biên) – Chuyên đề ứng dụng lượng giác trong giải toán THPT – Nhà xuất bản đại học sư phạm –2010