Phương pháp lượng giác trong giải phương trình bất phương trình và hệ phương trình

Một số phương dấu hiệu để nhận biết một phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có thể giải bằng phương pháp lượng giác.. Có nhiều phương pháp giải phương trình, bất phương trì

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHA ̣M

Giảng viên hướng dẫn : TS Nguyễn Ngọc Châu

Sinh viên thực hiê ̣n : Trần Thị Thanh Vân

LỜI CẢM ƠN

Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi đến quý Thầy Cô khoa Toán- Trường đại học Sư phạm Đà Nẵng cùng với tri thức và tâm huyết của mình đã truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho em trong suốt thời gian học tập tại trường Đặc biệt, em xin cảm ơn thầy Nguyễn Ngọc Châu đã tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài của mình

Đà nẵng, tháng 4 năm 2017 Sinh viên thực hiện Trần Thị Thanh Vân

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Một số định nghĩa .3

1.1.1 Góc và cung lượng giác: 3

1.1.2 Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác: 4

1.2 Các hàm số lượng giác .6

1.2.1 Hàm số sin .6

1.2.2 Hàm số cosin .6

1.2.3 Hàm số tan 7

1.2.4 Hàm số cot 7

1.3 Các công thức lương giác .8

1.3.1 Hệ thức lượng giác cơ bản .8

1.3.2 Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung - góc có liên quan đặc biệt .2

1.3.3 Công thức lượng giác .2

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 5

2.1 Một số phương dấu hiệu để nhận biết một phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có thể giải bằng phương pháp lượng giác .5

2.2 Phương pháp lượng giác trong giải phương trình đại số 8

2.3 Phương pháp lượng giác trong giải bất phương trình đại số 20

2.4 Phương pháp lượng giác trong giải hệ phương trình đại số 28

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

CÁC KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN

- UV là cung lượng giác có điểm đầu là U và điểm cuối là V

- (Ou, Ov) là góc lượng giác có tia đầu là Ou và tia cuối là Ov

- Sd(Ou, Ov) là số đo góc lượng giác (Ou, Ov)

- AB là độ dài đại số của đoạn thẳng AB

- là tập các số thực

- là tập các số nguyên

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình là những nội dung cơ bản và quan trọng của chương trình toán bậc phổ thông trung học Có nhiều phương pháp giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số, trong đó phương pháp lượng giác tỏ ra có hiệu quả đối với một số lớp phương trình, bất phương trình

và hệ phương trình Trong chương trình toán bậc phổ thông trung học, học sinh cũng đã được làm quen với phương pháp lượng giác, tuy nhiên với một số thời lượng không nhiều và chỉ ở một mực độ nhất định Việc vận dụng phương pháp lượng giác, cũng như rèn luyện kỹ năng giải toán là cần thiết đối với học sinh trung học phổ thông

Là một sinh viên ngành sư phạm Toán, một giáo viên Toán tương lai, tôi muốn tìm hiểu kỹ phương pháp lượng giác nhằm phục vụ cho ngành nghề sau này, nên tôi chọn đề tài “Phương pháp lượng giác trong giải phương trình, bất phương trình

và hệ phương trình” cho khóa luận của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các dấu hiệu để nhận biết một phương trình, bất phương trình và

hệ phương trình đại số có thể giải được bằng phương pháp lượng giác Hệ thống và phân loại các lớp bài toán này

- Đưa ra quy trình giải cho từng lớp bài toán, với nhiều vi dụ minh họa

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phương pháp lượng giác trong giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

- Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình thuộc chương trình trung học phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tư liệu qua các sách kháo khoa, sách tham khảo, các tạp chí Toán, và các tài liệu từ internet

- Phương pháp tiếp cận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống các tài liệu sưu tầm được để thực hiện khóa luận

- Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn

5 Nội dung của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận được chia làm 2 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày sơ lược những kiến thức cơ sở về lượng giác để làm tiền đề cho chương sau

Chương 2 Phương pháp lượng giác trong giải phương trình, bất phương trình và

hệ phương trình

Chương này trình bày phương pháp lượng giác trong giải một số lớp phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại sơ lược những kiến thức cơ sở về lượng giác như: Một

số định nghĩa, các tính chất cơ bản, các công thức lượng giác để làm cơ sở cho

chương sau

1.1 Một số định nghĩa

1.1.1 Góc và cung lượng giác:

Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm O, ta cần chọn một chiều quay là

chiều dương Thông thường ta chọn chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ là

chiều dương (và chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm)

Định nghĩa 1.1 ([8])

Cho hai tia Ou, Ov, nếu tia Om chỉ quay theo chiều âm (hoặc chiều dương),

xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác

tia đầu Ou, tia cuối Ov

Chú ý 1.1

- Khi cho hai tia Ou, Ov thì có vô số góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối

Ov Mỗi góc lượng giác như thế đều được kí hiệu là (Ou,Ov)

- Khi tia Om quay góc a° ( hay α rad ) thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo là a° ( hay α rad )

- Nếu một cung lượng giác UVcó số đo α thì mọi cung lượng giác có cùng điểm đầu, điểm cuối với cung lượng giác UVcó số đo dạng α + k2π, (k  ); mỗi cung ứng với một giá trị của k

1.1.2 Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác:

Định nghĩa 1.3 ([8])

Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng, có bán kính bằng 1 và trên

đó có một điểm A là điểm gốc

Với mỗi góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α, lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA,OM)  α Chọn hệ trục tạ độ như Hình 1.3 và gọc M(x,y) Ta định nghĩa:

Nếu sd(Ou, Ov) = a° ta cũng viết:

sin(Ou, Ov) = sin a° ; cos(Ou, Ov) = cos a°

tan(Ou, Ov) = tan a° ; cot(Ou, Ov) = cot a°

tan α = AT, trục At còn được gọi là trục tang

cot α = BS , trục Bs còn được gọi là trục tang

1.2 Các hàm số lượng giác

1.2.1 Hàm số sin

Hàm số y = sinx có tập xác định là ℝ và -1 ≤ sinx ≤ 1, ∀ x∈ℝ

y = sinx là hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π

Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:

 sinx = 0 khi x = kπ, k∈ℤ

 sinx = 1 khi x =

2

 + k2π, k∈ℤ

y = cosx là hàm số chẵn và là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π

Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:

 cosx = 0 khi x =

2

 + kπ, k∈ℤ

 cosx = 1 khi x = k2π, k∈ℤ

y = tanx là hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn với chu kì π

Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:

Hàm số y = cotx = cos

sin

x

x có tập xác định là D = \ k , k   

y = cotx là hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn với chu kì π

Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:

1.3 Các công thức lương giác

1.3.1 Hệ thức lượng giác cơ bản

1.3.2 Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung - góc có liên quan đặc biệt

Cung đối nhau:

cos(-x) = cosx , sin(-x) = - sinx

tan(-x) = - tanx , cot(-x) = - cotx

Cung bù nhau:

cos( - x) = - cosx , sin( - x) = sinx

tan( - x) = - tanx , cot( - x) = - cotx

Cung phụ nhau:

cos( ) = sinx sin( ) = cosx

Cung hơn kém nhau:

cos(π+ x) = - cosx, sin(π+ x) = - sinx

tan(π- x) = tanx , cot(π- x) = cotx

1.3.2 Công thức lượng giác

1.2.3.1 Công thức cộng

cocos(  )  s cos  sinsin sin(  )  sin c os sin cos 

  tan tantan

1.2.3.2 Công thức nhân đôi

sin 2a  2sin a cos a

x2

2

π 

x2

2π



   

1sin a sin b cos a b cos a b

2

   

1sin a cos b sin a b sin a b

2

) a 2 cos 1 ( 2

1 a cos2  

) a 2 cos 1 ( 2

1 a sin2  

2

b a cos 2

b a cos 2 b cos a

b a sin 2 b cos a

2

bacos2

basin2bsina

2

basin2

bacos2bsina

1 tan x





2.1 Một số dấu hiệu để nhận biết một phương trình, bất phương trình và

hệ phương trình có thể giải bằng phương pháp lượng giác

Để áp dụng phương pháp lượng giác vào giải phương trình, bất phương trình

và hệ phương trình ta cần nhận biết các dấu hiệu sau đây:

Bước 1: Nhận biết các dấu hiệu có trong bài toán (có thể phải sử dụng một số

phép biến đổi thì mới xuất hiện dấu hiệu có trong bài toán)

Bước 2: Lượng giác hóa bài toán nghĩa là đặt ẩn phụ (là các hàm lượng giác), để

chuyển phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình thành phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình lượng giác

Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình lượng giác tương

ứng và kết luận

2.2 Phương pháp lượng giác trong giải phương trình đại số

Bài toán 2.1.1 ([2]) Giải phương trình: 4x3 3x  1x2

Giải:

Bước 1: Nhận biết các dấu hiệu có trong bài toán

Điều kiện của bài toán là: 2

1 x  0 x 1 nên đặt

 

Bước 3: Giải phương trình lượng giác: cos3  sin

Ta có: cos 3 sin cos 3 cos

83

Bước 3: Giải phương trình lượng giác sin 3   cos

Ta có: sin 3  cos sin ( 3 ) sin 2

Bước 1: Nhận biết các dấu hiệu có trong bài toán

Điều kiện của phương trình là: x 0

Bước 3: Giải phương trình lượng giác: 1 1 2

cos t sin 2t  sin 4t

sin t 0sin t 1sin t

Bước 2: Lượng giác hóa bài toán:

x k2 , k4

Bài toán 2.1.4 ([13] Giải phương trình:

1 1 sin   sin 1 2 1 sin  

 1 cos   sin (1 2 cos )   2 cos sin sin 2

tan t 1



2 2

1

tan t 2 cos tcos t

1

tan t 2 cos tcos t

4 cos t  3cos t  1 cos t

8 2 2

  ( thoã điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: 2 2

Rõ ràng x  2 là nghiệm của phương trình (3)

Vì t   0,4 nên 0  sin 2t , cos 2t  1 do đó:

Với x  2 ta có:

(cos 2 t) (cos 2 t)(sin 2 t) (sin 2 t)

Suy ra với x  2 thì phương trình (3) vô nghiệm

Vậy x  2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài toán 2.1.9 ([7]) Giải phương trình:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : x 2

2

Bài toán 2.1.10 ([9]) Cho phương trình

x  1x  m (với m là tham số) (1) a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm

b) Giải phương trình khi m 1

Vậy khi m 1 phương trình (1) có 2 nghiệm x  0 , x 1

Một số bài toán tương tự:

Bài toán 2.1.11 ([14]) Giải phương trình:

Hướng dẫn: Đặt x  cos t , t  0,

Phương trình trở thành: 3 3

cos t sin t  2 sin t cos t

sin t cos t 1 sin t cos t  2 sin t cos t

Bài toán 2.1.12 ([14]) Giải phương trình: x3 3x  x2

Hướng dẫn: Điều kiện: x  2

Xét x  2 Phương trình vô nghiệm

2.3 Phương pháp lượng giác trong giải bất phương trình đại số

Bài toán 2.2.1.([7]) Giải bất phương trình sau:

1 x 1x  x

Giải:

Bước 1: Nhận biết các dấu hiệu có trong bài toán

1 cos t  1 cos t  cost

Bước 3: Giải bất phương trình: 1 cos t  1 cos t  cost

Ta có: 1 cos t  1 cos t  cost

Vậy bất phương trình có nghiệm: 1  x  0

Bài toán 2.2.2 Giải bất phương trình sau:

Bước 1: Nhận biết các dấu hiệu có trong bài toán

Bất phương trình xác định   x R,đồng thời bất phương trình có chứa biểu thức 2 2

Bước 3: Giải bất phương trình: 2 2 2 2

Bước 1: Nhận biết các dấu hiệu có trong bài toán

Điều kiện của bài toán là: 2

Bất phương trình 2

x  1 3  2 x trở thành

Kết luận : Vậy nghiệm của bất phương trình là x  1 và x  1

Bài toán 2.2.4 ([15]) Giải bất phương trình

cos t 2sin tcot t 2

t4

5t

t4

1

tan t 2 cos tcos t

tan t

3

Một số bài toán tương tự

Bài toán 2.2.7 Giải bất phương trình: 2 2

Nghiệm của bất phương trình là: x   3

Bài toán 2.2.8 ([15]) Giải bất phương trình

Nghiệm của bất phương trình là:  1 x 1

Bài toán 2.2.9 ([2]) Với giá trị nào của tham số m bất phương trình sau có

Hướng dẫn:

Xét trường hợp: m < 0 bất phương trình vô nghiệm

Xét trường hợp m = 0 bât phương trình có nghiệm

Xét trường hợp m > 0 : Điều kiện của bất phương trình là: x 0

Bất phương trình có nghiệm khi 0  m  2

Bài toán 2.2.10 ([16]) Giải bất phương trình

Nghiệm của bất phương trình là

3



x

2.4 Phương pháp lượng giác trong giải hệ phương trình đại số

Bài toán 3.2.1 ([10]) Giải hệ phương trình sau:

Bước 1: Nhận biết các dấu hiệu có trong bài toán

Điều kiện của bài toán là:

k2 , k2

(k, h, l )h2

2l2

Kết luận: Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y)  (0,1)

Bài toán 3.2.2 ([2]) Giải hệ phương trình sau :

Bước 2: Lượng giác hóa bài toán:

Phương trình 2 (xy)(1 4xy)  3 trở thành:

2 (sin cos )(1 4 cos  sin )  3 Bước 3: Giải phương trình: 2 (sin cos )(1 4 cos  sin )  3

Ta có: 2 (sin cos )(1 4 cos  sin )  3

x y x

Giải:

Bước 1: Nhận biết các dấu hiệu có trong bài toán

Hệ phương trình có tập xác định : D = R nên đặt:

tantan

Bước 3: Giải hệ phương trình: 2

+ Nếu sin 0 và sin  0 : Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có :

sin 2 sin 2   tan tan 

Bài toán 3.2.4 ([12]) Giải hệ phương trình:

2 2 2

222

x y z

y z x

, 0, 23cos

Khi đó: xz  6cos cosa b  3 cos abcosab 3cosab 

Vậy xz đạt giá trị lớn nhất  cos a  b  1  a  b (3)

Từ (1) và (3) suy ra: a  b  

Suy ra nghiệm của hệ phương trình là : x y 2; z v 3 2

Vì y2 1, z2 1 không phải là nghiệm của hệ phương trình

Nên hệ phương trình tương đương với 2

2

12121

y z x

Một số bài toán tương tự:

Bài toán 3.2.8 ([16]) Giải hệ phương trình sau:

2 2 2

8zy

8xz

3 ( 2 cos t)  2sin t.cos t4sin t 3 (3)

(2 3 3) cos t 2sin t.cos t sin t 0

Nghiệm của hệ phương trình là: (x, y) 2; 3 ; 1 3; 6 2

1 3z3x xy

1 3x3y yx

269k

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: x 3

KẾT LUẬN

Khóa luận “Phương pháp lượng giác để giải phương trình, bất phương

trình và hệ phương trình” đã thực hiện mục đích đề ra, cụ thể là giải quyết được

các vấn đề sau:

1 Đề xuất một số dấu hiệu để nhận biết một phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số có thể giải được bẳng phương pháp lượng giác Đồng thời đưa ra quy trình giải cho từng lớp bài toán

2 Ứng dụng phương pháp lượng giác để giải những phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số Đối với mỗi lớp bài toán, ngoài các ví dụ minh họa còn có những bài toán tương tự kèm theo

Hy vọng rằng nội dung của khóa luận còn tiếp tục được mở rộng và hoàn thiện hơn, nhằm có thể giải được nhiều lớp bài toán khác

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo – Hội Toán học Việt Nam (1998), Tuyển tập 30

năm tạp chí Toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo Dục

[2] Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (1999), Các

bài giảng luyện thi môn Toán (3 tập), NXB Giáo Dục

[3] Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) (2004), Bài tâp đại số và giải tích 11, NXB

Giáo dục

[4] Võ Giang Giai (2006), Các chủ đề đại số 10 nâng cao, NXB Đại Học Quốc

Gia Hà Nội

[5] Nguyễn Trung Kiên (2014), Tài liệu ôn thi đại học môn toán_ Sáng tạo và

giải phương trình, bất phương trình, hệ phương, bất đẳng thức, NXB Đại

Học Quốc Gia Hà Nội

[6] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc về lượng giác và áp dụng,

NXB Giáo dục

[7] Trần Phương (2003), Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn Toán

–Phương trình lượng giác, NXB Hà Nội

[8] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2006), Đại số lớp 10 nâng cao, NXB Giáo

Dục

[9] Phan Thế Thương, Bùi Thế Minh, Nguyễn Anh Dũng (2001), Tuyển tập 450

bài toán đại số hình học, NXB Đại Học Quốc Gia Tp.Hồ Chí Minh

[10] Mai Xuân Vinh (chủ biên) (2015), Tư duy logic tìm tòi lời giải hệ phương

trình, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

[11] http://123doc.org