Phương pháp lượng giác hóa trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình khó Đại học

Dạng 1 : Nếu x2 + y2 =1 thì đặt với Dạng 2 : Nếu x2 + y2 =a2(a>0) thì đặt với Dạng 3 : Nếu thì đặt Dạng 4 : Nếu thì đặt Dạng 5 :Nếu hoặc bài toán có chứa thì đặt x= với Dạng 6 :Nếu hoặc bài toán có chứa thì đặt x = với Dạng 7 :Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức thì đặt x = tan với Dạng 8 : Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức thì đặt x = m tan với I. Giải phương trình, bất phương trình :Bài 1: Giải bất phương trình : Giải :Điều kiện : Đặt x=cost , t Khi đó bất phương trình đã cho trở thành : Vậy phương trình này có nghiệm .Bài 2 : Giải phương trình : Giải :Điều kiện : 1x2 0 đặt x = sint với t . Khi đó phương trình đã cho có dạng : vậy phương trình có nghiệm và x=1.Bài 3 : Với , giải bất phương trình Giải :Đặt , . Khi đó bất phương trình có dạng : Vậy nghiệm của bất phương trình là Bài 4 : Giải phương trình : Giải :Điều kiện : .Đặt x= , Khi đó phương trình có dạng : Đặt sint + cost = u , ta có .Khi đó phương trình đã cho có dạng : . So sánh điều kiện ta có : Vậy nghiệm của phương trình là . Bài 5 : Giải phương trình :8x(2x21)(8x48x2+1)=1 (1) Giải:Ta có các trường hợp sau :Với x 1, suy ra VT(1)>1, do đó phương trình vô nghiệm .Với x 1, suy ra VT(1) 0 ta có bất đẳng thức:  (1)Giải:Vì a > 0, b > 0, > 0 nên bất đẳng thức (1) tương đương với  1 (2)Nhận xét rằng = 1Nên đặt = cosu , = sinu với 0  u  Ta cũng thấy = 1Nên đặt = cosv , = sinv với 0  v  .Khi đó (2) có thể viết thành + = cosv sinu + cosusinv  1 (3)Bởi vì cosusinv + sinucosv = sin(u + v)  1 nên (3) luôn luôn đúng có nghĩa là (1) đúng. Bài 7: Chứng minh rằng: 4  Giải:Điều kiện: 1 – a2  0  a  1Đặt a = cos, với   0; Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng: 4 3(cos )   4(cos3 sin3) – 3 (cos sin)   (4cos3 3cos) + (3sin 4sin3) cos3 + sin3  cos (3 ) 1, luôn đúng.Bài 8: Chứng minh rằng:  2aGiải:Điều kiện: a2 – 1  0  a  1.Đặt a = , với   0 ; ).Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:  sin + cos  2  sin + cos  1 sin ( + )  1, luôn đúng. Bài 9: Cho x2 + y2 = 1 ; u2 + v2 = 1. Chứng minha) xu + yv 1.b) xv + yu 1.c) –2  (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v)  2.d) –2  (x + y) (u + v) – (x – y) (u – v)  2.Giải:Áp dụng Dạng 4 : Nếu thì đặt Đặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb và 0  a, b  2. Khi đóa) xu + yv=cos(a – b) 1.b) xv + yu=sin(a + b) 1.c) (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) = (cos a – sin a) (cos b + sin b) + + (cos a + sin a) (cos b – sin b) = = sin sin + cos cos = 2cos (a + b)Rõ ràng –2  2cos (a + b)  2. (đpcm) Bài 10: Chứng minh:a) (a + b)4  8(a4 + b4)b) 32(a6 + b6)  (a + b)6c) (a + b)8  64(a8 + b8)Giải:a) Với a = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu a  0 chia hai vế cho a và đặt tgx = với < x < .Bất đẳng thức đã cho tương đương với: (1 + tgx)4  8(1 + tg4x)  (cos x + sin x)4  8(cos4x + sin4 x) (1)Vì sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2x cos2x == 1 (sin x + cosx)4 = (1 + sin2x)2 = (1)  8(cos4x + sin4x) – (sin x + cos x)4 = cos4x – 2sin2x  0.Điều này hiển nhiên vì cos4x  1 và sin2x  2.b) c) Làm tương tự như a). Bài 11: Cho các số thực x, y không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng (1)Với các giá trị của x, y như thế nào thì dấu đẳng thức xảy ra.Giải:1) Nếu x = 0 , y  0 thì Nếu x  0, y = 0 thì = 0 bất đẳng thức cũng đúng.Giả sử x  0, y  0 thì (1) tương đương với (2)Đặt = tga thì (2) trở thành: 2  2 2  2 2  cos2a 4tga – 4  2 2 (3)Vì cos2a4tga – 4 = 4sinacosa – 4cos2a = 2sin2a – 2(1 + cos2a) = 2(sin2a – cos2a – 1) =2  nên (3) đúng, nghĩa là bất đẳng thức (1) đúng.2) Từ các phép biến đổi trên đây cho thấy: = 2 2 khi sin = 1 với tga = Vì < a <  < 2a < nên sin = 1  2a =  a =  = 1  x + 2y( 1) = 0Tương tự như trên: = 2 2 khi sin = 1 a =  = tg = =  x – 2y( + 1) = 0Bài 13: Cho các số thực x, y thoả mãnx2 + y2 = x + y Chứng minh: 3x + 4y  5Giải:Điều kiện xác định: 1 – y2  0, 1 – x2  0 tương đương –1  x, y  1Nếu x 1; 0 hoặc y  1; 0 hoặc x = 0, y = 1 hoặc x = 1, y = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Ta chỉ cần xét 0 < x < 1 và 0 < y < 1.Đặt x = cos , y = sin với <  < ; 0 <  < .Từ x2 + y2 = x + y Ta có: cos2 + sin2 = cos cos + sin sin = cos( )  1  cos2  cos2 hoặc sin2  sin2a) Nếu 0 0, cos > 0.cos2  cos2  cos  cos3x + 4y = 3cos + 4sin  2cos + 4sin = 5 = 5cos( )  5 trong đó cos = .b) Nếu 0 <  < , <  <  ta có sin > 0 , sin > 0 thì sin2  sin2  sin  sin3x + 4y = 3cos + 4sin  3cos + 4sin = 5cos( )  5c) Nếu <  < 0 , <  <  thì sin  < 0 , sin > 0.sin2  sin2  sin  sin3x + 4y = 3cos + 4sin  3cos 4sin = 5cos( + )  5.¬ III. Một số bài tập đề nghịBài 1: Cho x2 + y2 = 1 chứng minh  x6 + y6  1Bài 2: Cho ab + bc + ca = 1 , chứng minh rằng:4abc = a(1 b2)(1 – c2) + b(1 – c2)(1 – a2) + c(1 – a2)(1 – b2)Bài 3: Cho 0  ai  1 , i = 1, 2, …, n. Chứng minh (1 + a12)(1 + a22)… (1 + an2) + (1 – a12) (1 – a22)… (1 – an2)  22Bài 4: Cho 4 số dương a1, a2, a3, a4 phân biệt. Chứng minh rằng có thể chọn được ít nhất 2 trong 4 số đó sao cho: 0  < 2 Bài 5: Cho x, y thoả mãn 2x + 5y = 7. Chứng minh rằng: x2 + y2  Bài 6: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, x và y thoả mãn ax + by = c. Chứng minh rằng: x2 + y2  Bài 7: Cho 4a2 + 9b2 = 25. Chứng minh 6a + 12b  25Bài 8: Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh16 (x5 + y5) – 20 (x3 + y3) + 5(x + y)  Bài 9: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh Bài 10: Cho a  1. Chứng minh –2   2.

Một vài phương pháp lượng giác hóa ứng dụng trong đại số

-Một số trường hợp thường gặp

Dạng 1 : Nếu x 2 + y 2 =1 thì đặt sin

os

x

y c

α α

=



 =

 với α∈[0; 2π]

Dạng 2 : Nếu x 2 + y 2 =a 2(a>0) thì đặt sin

os

x a

y ac

α α

=



 =

 với α∈[0; 2π]

Dạng 3 : Nếu x ≤1 thì đặt

[ ]

2 2

os , 0;

x

x c

π π

α α

α α π

 = ∈− 





Dạng 4 : Nếu x ≤m thì đặt

[ ]

2 2

os , 0;

x m

x mc

π π

α α

α α π

 = ∈− 





Dạng 5 :Nếu x ≥1 hoặc bài toán có chứa x2−1 thì đặt x= 1

os

c α với 3

α∈  ÷∪π ÷

   

Dạng 6 :Nếu x ≥m hoặc bài toán có chứa x2−m2 thì đặt x =

os

m

c α với 3

α∈  ÷∪π ÷

   

Dạng 7 :Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức x2+1 thì đặt x = tanα với ;

2 2

π π

α∈− ÷ Dạng 8 : Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức x2+m2

thì đặt x = m tanα với ;

2 2

π π

α∈− ÷

I Giải phương trình, bất phương trình :

Bài 1: Giải bất phương trình :

1+ −x 1− ≤x x

Giải :

Điều kiện :

x

x x

+ ≥

 ⇔ − ≤ ≤

 − ≥



Đặt x=cost , t∈[ ]0,π

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành :

1 cos+ t− 1 cos− t ≤cost 1 cos 2cos2 cos

2

t

2( os sin ) cos sin

c

( os sin )(cos sin 2) 0

c

os( )[ os( ) 1] 0

2 4

t

t

⇔ ≤ + ≤

3

⇔ ≤ ≤

1 cost 0

1 x 0

⇔ − ≤ ≤

Vậy phương trình này có nghiệm − ≤ ≤ 1 x 0

Bài 2 : Giải phương trình :

2 2

1+ 1 x− =x(1 2 1 x )+ −

Giải :

Điều kiện : 1-x2≥0⇔ − ≤ ≤ 1 x 1

2

3

2

t

c

t

 =



⇔ 



đặt x = sint với t ;

2 2

π π

−

∈   Khi đó phương trình đã cho có dạng :

1+ 1 sin− t =sin (1 2 1 sin )t + − t ⇔ 1 cos+ t =sin (1 2cos )t + t

2 os sin sin 2

2

t

3

2 os (1 2 sin ) 0

c

2

sin

t c t

 =





⇔



6 2

t

t

π π

 =



⇔ 

 =



1 2 1

x x

 =



⇔

=



vậy phương trình có nghiệm 1

2

x= và x=1.

Bài 3 : Với a≠ 0, giải bất phương trình

2

2 x

x

a

a x

a

+ ≤ +

+

Giải :

Đặt x= a tant, ;

2 2

t −π π 

∈ ÷ Khi đó bất phương trình có dạng :

2

2a cos tan

cos

a t

t ≤ + a ⇔ ≤1 sint+2cos t2 ⇔2sin t - sint -1 02 ≤ 1 sin 1

−

1

tan

3

t −

3

a

x −

⇔ ≥

Vậy nghiệm của bất phương trình là

3

a

x≥−

Bài 4 : Giải phương trình :

2 2 2

1 x

x

−

Giải :

Điều kiện :

2

0

x

 − >

 >

 ⇔ >x 1.

Đặt x= 1

cos t , 0,

2

t  π 

∈ ÷ Khi đó phương trình có dạng :

1

2 2

1 cos

t

t

t

−

2 2 cost sint

⇔ + = ⇔sint+cost=2 2 sin cost t

Đặt sint + cost = u (1≤ ≤u 2), ta có sin cos u2 1

2

t t = −

Khi đó phương trình đã cho có dạng :

2

2(u 1)

2 1 l 2

u u

 =



 =



2

u= ⇔sint+cost= 2 2 sin( ) 2

4

t π

4

t π

t π π kπ

⇔ + = +

2

4

t π kπ

⇔ = + So sánh điều kiện ta có :

4

t=π

2

x

⇔ = Vậy nghiệm của phương trình là x= 2

Bài 5 : Giải phương trình :

8x(2x2-1)(8x4-8x2+1)=1 (1)

Giải:

Ta có các trường hợp sau :

Với x≥1, suy ra VT(1)>1, do đó phương trình vô nghiệm

Với x≤-1, suy ra VT(1)<0, do đó phương trình vô nghiệm

Với x <1, đặt x=cost , với t∈(0, )π

Khi đó phương trình được chuyển về dạng :

8cost(2cost2-1)(8cost4-8cost2+1)=1

⇔8cost.cos2t.cos4t = 1 ⇔8sint.cost.cos2t.cos4t = sint

⇔sin8t = sint 8 2

t t k

π

= +



⇔  = − + ⇔

2 7 2 9

k t

k t

π

π π

 =



⇔  +

 =



So sánh điều kiện ta có

t∈ π π π π π π π

Vậy phương trình có các nghiệm

os ; os ; os ; os ; os ; os ; os

x∈c π c π c π c π c π c π c π

Bài 6 : Giải phương trình

(1-m2)x+(1-m2)x=(1+m2)x với 0<m<1

Giải:

Chia cả 2 vế của phương trình cho (1+m2)x >0 ta có :

2

1

m

 −  +  =

 ÷  ÷

Đặt m=tant với (0; )

4

t∈ π

ta có 2

2

sin 2

1 m

m

t

=

2 2

1 m

os2

− = + Khi đó phương trình đã cho có dạng :

( ) (x )x

sin 2t + cos2t =1

Nhận xét :

với x=2 là nghiệm của phương trình

Với x<2 ta có ( )

sin 2 sin x

1

t

VT

 <



<

với x>2 ta có : ( )

sin 2 >sin x

1

t

VT



>

Vậy với 0<m<1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

Bài 7: Giải hệ phương trình :

2

2

2

1 y 2 1

y x x y x

 +





 +



Giải :

Đặt x y tantanα

β

=



 =

π π

α β∈− ÷ Khi đó hệ đã cho trở thành :

2

2

2 tan

tan

1 tan

2 tan

tan

1 tan

β

α

 +





 +



sin 2 tan (1) sin 2 tan (2)

=



⇔  =

 Ta xét hai trường hợp :

Nếu sinα =0 thì sinβ =0và ngược lại nên ta có x = y = 0 là nghiệm của hệ

Xét sinα ≠ 0và sinβ ≠0: Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có :

sin 2 sin 2α β =tan tanα β 4cos os 1

os sin

c

c

α β

α β

2

c

α β

⇔ = (3) (1) ⇔2sin cos osα αc β =sinα ⇔sinβ =sinα ⇔ =β α (4) Thay (4) vào (3) ta có

cos

2

α = 1(1 cos 2 ) 1

k

Khi đó nghiệm của hệ là

0

4

1

x y

x y

π π  = =

= = + ⇔ = =

 = =



II Chứng minh đẳng thức , bất đẳng thức

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có:

2

1 ) b 1 )(

a 1 (

) ab 1 )(

b a ( 2

1

2

+ +

− +

≤

−

Giải:

Đặt: a = tgα , b = tgβ với α, β∈ 









 − π π

2

;

Khi đó: A =

) tg 1 )(

tg 1 (

) tg tg 1 )(

tg tg

( ) b 1 )(

a 1 (

) ab 1 )(

b a (

2 2

2

β α

− β + α

= +

+

− +

= cos2α cos2β   α β  

β α

− β α

β +

α

cos cos

sin sin 1 cos cos

) sin(

= sin (α + β) cos (α + β) =

2

1 sin (2α + 2β)

Suy ra: A =

2

1

sin (2α + 2β) ≤

2 1

Vậy:

-2

1

≤

) b 1 )(

a 1 (

) ab 1 )(

b a (

2

2 + +

− +

≤ 2

1 (đpcm)

Bài 2:

Chứng minh rằng nếu |x| < 1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có:

(1 + x)n + (1 – x)n < 2n (1)

Giải:

Vì |x| < 1 nên có thể đặt x = cost với t ∈ (0; π)

và bất đẳng thức (1) được viết thành:

(1 + cos t)n + (1 – cos t)n < 2n (2)

Thay trong (2) 1 + cos t = 2cos22

t

và 1 – cost = 2sin22

t

ta được









2

t sin 2 t

Bởi vì 0 < 2

t < 2

π

nên 0 < sin 2

t , cos 2

t < 1 nên chắc chắn:

cos2n2

t =

n 2

2

t cos 











< cos22

t

∀n > 1 Tương tự ta có:

sin2n2

t < sin22

t

∀n > 1 Do đó









2

t sin 2

t









2

t sin 2

t cos2 2 = 2n Vậy bất đẳng thức (3), cũng có nghĩa là bất đẳng thức (1) được chứng minh

Bài 3: Chứng minh rằng từ 4 số thực cho trước ta luôn luôn chọn được hai số x, y

trong 4 số đó sao cho:

0 ≤ 1 x + xy y

−

≤ 1 (1)

Giải:

Giả sử 4 số thực cho trước

là a ≤ b ≤ c ≤ d

Đặt a = tgy1, b = tgy2, c = tgy3, d = tgy4 với

-

2

π

< y1 ≤ y2 ≤ y3 ≤ y4 <

2

π

< y5 = π + y1 Các điểm y1, y2, y3 chia đoạn [y1; y1 + π] thành 4 đoạn [y1; y2], [y2; y3], [y3; y4] , [y4; y5] Trong số 4 đoạn này phải có ít nhất một đoạn có độ dài không lớn

hơn

4

π

Giả sử 0 ≤ y2 – y1 ≤

4

π

Thế thì:

0 ≤ tg (y2 – y1) ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1 tgy tgy tgy tgy 1 b ab a

1 2

1 2

+

−

= +

−

≤ 1

Đặt x = b, y = a ta được điều cần chứng minh

Bài 4: Cho x, y > 0 và x + y = 1 Chứng minh:

y1 y2 y3 y4 y5

17 y

1 y x

1

2







 + +











 +

Giải:

Ta có: x + y = ( ) ( )2 2

y

x + = 1, theo mệnh đề IV thì có một số a với 0 ≤ a

≤ 2π để x= cosa và y= sina

Bất đẳng thức đã cho được viết thành:











a cos

1 a

+    sin4a + sin 14a    ≥

2 17

Ta có: cos4a +

a cos

1

4 + sin4a +

a sin

1

4 = (cos4a + sin4a) 









 +

a cos a sin

1

= (1 – 2sin2acos2a) 









 +

a cos a sin

1 1

4









 +











 −

a 2 sin

16 1

2

a 2 sin 1

4 2

Vì 0 < sin22a ≤ 1 nên 1 -

2

a 2 sin2

≥ 2 1

và 1 +

a 2 sin 16

4 ≥ 17 Từ đó suy ra điều cần chứng minh

Bài 5: Chứng minh với mọi cặp số thực x, y ta luôn có:

x2 + (x – y)2 ≥ 4( x2 + y2) sin2

10

π

Giải:

Theo cách tính giá trị biểu thức lượng giác không dùng bảng ta có:

4sin2 10

π

= 2

2

5 3 5 cos











 − π

Bất đẳng thức đã cho có thể viết:

x2 + (x – y)2 ≥ (x2 + y2)







 −

2

5 3

(1)

Nếu y = 0 bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng

Nếu y ≠ 0 Chia hai vế (1) cho y2 và đặt y

x = tga với

2

π

−

< a <

2

π

thì bất

đẳng thức có dạng: tg2a + (tga – 1)2 ≥

2

5

3 − (1 + tg2a)

⇔ sin2a + (sina – cosa)2 ≥

2

5

3 −

⇔ sin2a + 1 – 2sinacosa ≥

2

5

3 −

⇔ cos2a + 2sin2a ≤ 5

5

2 a 2 cos 5

1

Bởi vì

2 2

5

2 5

1











 +











vì vậy

5

1 = cosβ và

5

2 = sinβ Với 0 < β <

2

π

Bất đẳng thức (2) có thể viết là: cos(2a - β) ≤ 1 Điều này hiển nhiên

Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện

a, b > c > 0 ta có bất đẳng thức:

) c b ( c ) c a (

Giải:

Vì a > 0, b > 0, ab > 0 nên bất đẳng thức (1) tương đương với

ab

) c b ( c ab

) c a (

Nhận xét rằng

2 2

a

c a a

c







 − +









= 1

Nên đặt

a

c

= cosu ,

a

c

a − = sinu với 0 ≤ u ≤

2

π

Ta cũng thấy

2 2

b

c b b

c







 − +









= 1

Nên đặt

b

c

= cosv ,

b

c

b − = sinv với 0 ≤ v ≤

2

π

Khi đó (2) có thể viết thành

a

c a b

+

b

c b a

= cosv sinu + cosusinv ≤ 1 (3)

Bởi vì cosusinv + sinucosv = sin(u + v) ≤ 1 nên (3) luôn luôn đúng có nghĩa là (1) đúng

Bài 7: Chứng minh rằng:

4 [ a3 − ( 1 − a2)3] − 3 ( a − 1 − a2)≤ 2

Giải:

Điều kiện: 1 – a2≥ 0 ⇔a≤ 1

Đặt a = cosα, với α ∈ [0; π]

Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:

4 [ cos3α − ( 1 − cos2α )3] - 3(cosα - 1 − cos2α ) ≤ 2

⇔4(cos3α - sin3α) – 3 (cosα - sinα)≤ 2

⇔(4cos3α - 3cosα) + (3sinα - 4sin3α)≤ 2⇔cos3α + sin3α≤ 2

⇔cos (3α

-2

π

)≤ 1, luôn đúng

Bài 8: Chứng minh rằng:

3 1

a2 − + ≤ 2a

Giải:

Điều kiện: a2 – 1 ≥ 0 ⇔a≥ 1

Đặt a =

α

cos

1 , với α∈ [0 ;

2

π

)

Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:

α

≤ + α

⇔ α

≤ +

−

2 3

tg cos

2 3 1 cos

1

2

⇔ sinα + 3cosα≤ 2 ⇔

2

1 sinα +

2

3 cosα≤ 1

⇔ sin (α +

3

π

) ≤ 1, luôn đúng

Bài 9: Cho

x2 + y2 = 1 ; u2 + v2 = 1

Chứng minh

a) xu + yv≤ 1

b) xv + yu≤ 1

c) –2 ≤ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) ≤ 2

d) –2 ≤ (x + y) (u + v) – (x – y) (u – v) ≤ 2

Giải:

Áp dụng Dạng 4 : Nếu x ≤m thì đặt

[ ]

2 2

os , 0;

x m

x mc

π π

α α

α α π

 = ∈− 



 Đặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb

và 0 ≤ a, b ≤ 2π Khi đó

a) xu + yv=cos(a – b)≤ 1

b) xv + yu=sin(a + b)≤ 1

c) (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) = (cos a – sin a) (cos b + sin b) +

+ (cos a + sin a) (cos b – sin b) =

= 2sin    − π a   

4 2sin    + π b   

4 + 2cos    − π a   

4 2cos    + π b   

4

= 2cos (a + b)

Rõ ràng –2 ≤ 2cos (a + b) ≤ 2 (đpcm)

Bài 10: Chứng minh:

a) (a + b)4≤ 8(a4 + b4) b) 32(a6 + b6) ≥ (a + b)6 c) (a + b)8≤ 64(a8 + b8)

Giải:

a) Với a = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng Nếu a ≠ 0 chia hai vế cho a và đặt

tgx =

a

b với

2

π

< x <

2

π

Bất đẳng thức đã cho tương đương với: (1 + tgx)4≤ 8(1 + tg4x)

⇔ (cos x + sin x)4≤ 8(cos4x + sin4 x) (1)

Vì sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2x cos2x =

= 1 -

4

x 4 cos 3 2

x 2 sin2 = +

(sin x + cosx)4 = (1 + sin2x)2 =

2

x 4 cos x 2 sin 4

(1) ⇔ 8(cos4x + sin4x) – (sin x + cos x)4

=

2

5 2

9

+ cos4x – 2sin2x ≥ 0

Điều này hiển nhiên vì cos4x ≥ -1 và - sin2x ≥ -2

b) c) Làm tương tự như a)

Bài 11: Cho các số thực x, y không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng

2 2 2 y

4 x

) y 4 x ( x 2 2

+

−

−

≤

−

−

(1) Với các giá trị của x, y như thế nào thì dấu đẳng thức xảy ra

Giải:

y 4 x

) y 4 x ( x 4 2 2

+

−

−

=

−

<

−

−

Nếu x ≠ 0, y = 0 thì 2 2

2 2

y 4 x

) y 4 x ( x

+

−

−

= 0 bất đẳng thức cũng đúng

Giả sử x ≠ 0, y ≠ 0 thì (1) tương đương với

2 2 2 1

y 2 x

2 y 2

x y

2

x 2 2

2 2

−

≤ +























 −

−













≤

−

Đặt

y 2

x = tga thì (2) trở thành:

-2

a tg 1

) 2 tga ( a tg 2

+

−

−

≤

− ≤ 2 2 - 2

⇔ - 2 2 - 2 ≤ cos2a [4tga – 4] ≤ 2 2 - 2 (3)

Vì cos2a[4tga – 4] = 4sinacosa – 4cos2a = 2sin2a – 2(1 + cos2a)

= 2(sin2a – cos2a – 1) =2 − 







4 a 2 sin

nên (3) đúng, nghĩa là bất đẳng thức (1) đúng

2) Từ các phép biến đổi trên đây cho thấy:

2 2

y 4 x

) y 4 x ( x

+

−

−

= -2 2 - 2 khi sin 









 − π

4 a

2 = -1 với tga =

y 2 x

Vì

-2

π

< a <

2

π ⇒

4

5 π

−

< 2a -

4

π

<

4

3 π

nên sin 









 − π

4 a

⇒

2a-4

π

= 2

π

−

⇒ a =

8

π









 π −

=

8

tg y 2

x

= 1 - 2

⇒ x + 2y( 2 - 1) = 0

Tương tự như trên: 2 2

2 2

y 4 x

) y 4 x ( x

+

−

−

= 2 2 - 2 khi sin   2 a − π 4   = 1

a =

8

3 π

⇒ 2 x y = tg   π 3 8   =

8

tg 4 tg 1

8

tg 4 tg 2

π π

−

π +

π

) 1 2 ( 1

1 2 1

+

=

−

−

− +

⇒ x – 2y( 2 + 1) = 0

Bài 13: Cho các số thực x, y thoả mãn

Chứng minh:

3x + 4y ≤ 5

Giải:

Điều kiện xác định: 1 – y2≥ 0, 1 – x2≥ 0 tương đương –1 ≤ x, y ≤ 1

Nếu x ∈[-1; 0] hoặc y ∈ [-1; 0] hoặc x = 0, y = 1 hoặc x = 1, y = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng Ta chỉ cần xét 0 < x < 1 và 0 < y < 1

Đặt x = cosα , y = sinβ với

-2

π

< α <

2

π

; 0 < β < π

Từ x2 + y2 = x 1 − y2 + y 1 − x2

Ta có: cos2α + sin2β = cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α - β) ≤ 1

⇒ cos2α≤ cos2β hoặc sin2β≤ sin2α

a) Nếu 0<α,β <

2

π

hoặc

-2

π

< α < 0 và 0 < β <

2

π

ta có cosα > 0, cosβ > 0

cos2α≤ cos2β⇔ cosα ≤ cosβ

3x + 4y = 3cosα + 4sinβ≤ 2cosβ + 4sinβ = 5   β + sin β   

5

4 cos 5 3

x2 + y2 = x 1 − y2 + y 1 − x2

= 5cos(β - ϕ) ≤ 5 trong đó cosϕ =

5

3

b) Nếu 0 < α <

2

π

, 2

π

< β < π ta có sinα > 0 , sinβ > 0 thì sin2β≤ sin2α ⇔ sinβ≤ sinα

3x + 4y = 3cosα + 4sinβ≤ 3cosα + 4sinα = 5cos(α - ϕ) ≤ 5

c) Nếu

-2

π

< α < 0 ,

2

π

< β < π thì sin α < 0 , sinβ > 0

sin2β≤ sin2α ⇔ sinβ≤ -sinα

3x + 4y = 3cosα + 4sinβ≤ 3cosα - 4sinα = 5cos(α + ϕ) ≤ 5

III Một số bài tập đề nghị

Bài 1: Cho x2 + y2 = 1 chứng minh

4

1

≤ x6 + y6≤ 1

Bài 2: Cho ab + bc + ca = 1 , chứng minh rằng:

4abc = a(1- b2)(1 – c2) + b(1 – c2)(1 – a2) + c(1 – a2)(1 – b2)

Bài 3: Cho 0 ≤ ai ≤ 1 , i = 1, 2, …, n Chứng minh

(1 + a12)(1 + a22)… (1 + an2) + (1 – a12) (1 – a22)… (1 – an2) ≤ 22

Bài 4: Cho 4 số dương a1, a2, a3, a4 phân biệt Chứng minh rằng có thể chọn được ít

nhất 2 trong 4 số đó sao cho:

0 ≤

j i j i

j i

a a 2 a a 1

a a

+ + +

−

< 2 - 3

Bài 5: Cho x, y thoả mãn 2x + 5y = 7 Chứng minh rằng: x2 + y2≥

29 49

Bài 6: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, x và y thoả mãn ax + by = c

Chứng minh rằng: x2 + y2≥ 2 2 2

b a

c

+

Bài 7: Cho 4a2 + 9b2 = 25 Chứng minh 6a + 12b≤ 25

Bài 8: Cho x2 + y2 = 1 Chứng minh

16 (x5 + y5) – 20 (x3 + y3) + 5(x + y)≤ 2

Bài 9: Cho xy + yz + zx = 1 Chứng minh

2

3 3 z 1

z y

1

y x

1

x

2 2

−

+

−

+

−

Bài 10: Cho a≥ 1 Chứng minh

–2 ≤

a

3 1

a2 − + ≤ 2