một số ứng dụng của đạo hàm và tích phân

Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ: đại số, hình học, giảitích… Trong đó, giải tích là ngành toán học nghiên cứu về khái niệm, tính chất củagiới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích p

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc không gian và cácphép biến đổi Nói một cách khác, người ta cho nó là môn học về “hình và số”.Toán học là nền tảng của tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác Do khả năng ứngdụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học, Toán học được mệnh danh là “ngôn ngữcủa vũ trụ” Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ: đại số, hình học, giảitích… Trong đó, giải tích là ngành toán học nghiên cứu về khái niệm, tính chất củagiới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Các yếu tố được nghiên cứu trong giảitích thường là mang tính chất “động” hơn là “tĩnh”

Đạo hàm và tích phân là một trong những nội dung cơ bản của giải tích - mộtphân môn quan trọng trong chương trình toán học phổ thông Đạo hàm và tích phân

có nhiều ứng dụng quan trọng trong đại số và nhất là đại số tổ hợp Nó là một công

cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, cácbài toán liên quan đến khai triển nhị thức Newton Những năm gần đây, các bàitoán liên quan đến khai triển nhị thức Newton thường xuất hiện trong các đề thituyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, thi học sinh giỏi Các dạng toán này thườngkhó và hay Để giải quyết bài toán này có nhiều phương pháp khác nhau như dùngtrực tiếp các tính chất về tổ hợp, phép biến đổi tương đương, dùng đạo hàm và tíchphân, Mỗi phương pháp đều có những ưu điểm riêng, tuy nhiên một công cụ hữuhiệu, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn, chính xác là dùng đạo hàm vàtích phân Nhưng việc sử dụng các ứng dụng đạo hàm và tích phân để giải phươngtrình, hệ phương trình, bất phương trình và các bài toán liên quan đến khai triển nhịthức Newton của người học còn gặp nhiều khó khăn

Là sinh viên ngành sư phạm Toán và sẽ là người giáo viên dạy Toán ở trườngphổ thông sau này, tôi thấy việc nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm và tích phân làhết sức cần thiết và có ý nghĩa Với mong muốn giúp các bạn học sinh, sinh viênnghiên cứu về ứng dụng của đạo hàm và tích phân, cũng như một số dạng bài tập về

sử dụng đạo hàm và tích phân một cách dễ dàng và có hệ thống Đồng thời cũnggiúp cho bản thân tôi hiểu sâu hơn một phương pháp hiệu quả trong việc giải các

bài toán và tích lũy thêm kiến thức phục vụ cho việc học tập và giảng dạy sau nàyđược tốt hơn nên tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Một số ứng dụng của đạo hàm và tích phân trong giải toán phổ thông” cho khóa luận tốt nghiệp đại học của mình.

2 Mục tiêu khóa luận

 Khóa luận nhằm hệ thống các ứng dụng đạo hàm và tích phân Xây dựng ví

dụ minh họa cho từng ứng dụng kèm theo phân tích, nhận xét, khai thác làm cơ sởcho các bài toán tương tự Tổng hợp các bài toán cho từng ứng dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Hệ thống lại kiến thức cơ bản về đạo hàm, tích phân

 Chọn lọc ví dụ minh họa cho từng ứng dụng và phân tích, nhận xét nhằmđưa ra phương pháp cho bài toán tương tự

 Phân loại, tập hợp một số dạng bài tập về ứng dụng đạo hàm và tích phân,kèm theo chỉ dẫn về cách nhận biết dạng bài tập; đưa ra lời giải chi tiết hoặc hướngdẫn giải cho các bài tập này

4 Phương pháp nghiên cứu

Để hoàn thành khóa luận này, tôi đã phối hợp sử dụng một số phương pháp

nghiên cứu sau:

 Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình cóliên quan đến ứng dụng của đạo hàm và tích phân rồi phân hóa, hệ thống hóa cáckiến thức

 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài liệu,giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếphướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức củakhóa luận

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng: Đạo hàm và tích phân

 Phạm vi: Ứng dụng đạo hàm và tích phân để giải một số dạng bài tập toán

phổ thông

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toáncủa trường Đại học Hùng Vương với mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu ứng dụngcủa đạo hàm và tích phân và nhất là các bạn học sinh đang chuẩn bị cho kì thiTHPT Quốc gia, Đại học, Cao đẳng,…

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành bachương:

Chương 1 Các kiến thức cơ bản về đạo hàm và tích phân

Trong chương 1, chúng tôi hệ thống các kiến thức cơ bản về đạo hàm và tíchphân: Định nghĩa, tính chất, cách tính đạo hàm và tích phân,…

Chương 2 Ứng dụng của đạo hàm và tích phân trong đại số

Trong chương 2, chúng tôi hệ thống các ứng dụng của đạo hàm và tích phântrong đại số như giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tính diệntích, tính thể tích,… Đồng thời đưa ra ví dụ minh họa, phân tích, nhận xét, khai thácbài toán

Chương 3 Ứng dụng của đạo hàm và tích phân trong khai triển nhị thức Newton

Trong chương 3, chúng tôi hệ thống các ứng dụng của đạo hàm và tích phântrong khai triển nhị thức Newton, cụ thể là trong các bài toán chứng minh, tính tổngmột số tổng tổ hợp… Từ đó phân tích các ví dụ, khai thác xây dựng bài toán tương

tự

CHƯƠNG 1.

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Đạo hàm và tích phân là hai khái niệm cơ bản, rất quan trọng của Giải tích,

có liên hệ mật thiết với nhau Trong chương này sẽ trình bày những vấn đề cơ bảnnhất về đạo hàm và tích phân để làm cơ sở lý thuyết cho hai chương sau

 Số   x x x0 được gọi là số gia của biến số tại điểm x ;0

số  y f x 0 x  f x 0 được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia x tạiđiểm x 0

 Số x không nhất thiết chỉ mang dấu dương

  và y x  là những kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: x là tích của  với x ,

y

 là tích của  với y.

Như vậy, muốn tính đạo hàm của hàm số tại một điểm theo định nghĩa ta thựchiện hai bước sau:

 Bước 1: Tính y theo công thức  y f x 0 x  f x 0 , trong đó x

là số gia của biến số tạix 0

Định lí 1.1.2.1: Nếu hai hàm số u u x   và v v x   có đạo hàm trên J thì hàm

Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số: Nếu các hàm số, , , w

u v có đạo hàm trênJ thì trên J ta có: u v  w  u v  w 

Ví dụ 1.1.2.1: Tìm đạo hàm của hàm số f x  x6 x2 trên khoảng 0; 

Các công thức trên có thể viết gọn là  uv uv uv   và  ku  ku

Ví dụ 1.1.2.2: Tính đạo hàm của hàm sốyf x  trong mỗi trường hợp sau:

Lời giải:

Áp dụng định lí 1.1.2.3, ta có:

1.1.3 Đạo hàm của một số hàm thường gặp

Từ định nghĩa ta tính được đạo hàm của các hàm số thường gặp và hệ thống trongbảng tóm tắt sau:

Bảng 1.1.3.1: Đạo hàm của một số hàm thường gặp

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp

cơ bản

Đạo hàm của các hàm số hợp

(u = u (x))

1( )'x x

'

'

u



2 2

2 2

2 2

(sin )' '.cos(cos )' '.sin

'

cos'

(ln | |)'

1(log | |)'

ln

a

x

x x

x a





'(ln | |)'

'(log | |)'

ln

a

u u

u u u

Định nghĩa 1.2.1.1: Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên

hàm của f trên K nếu F x  f x  với mọi x thuộc K

a) Với mỗi hằng số C hàm số y F x   C cũng là một nguyên hàm của f

trên K

b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C

sao cho G x  F x  C với mọi x thuộc K

 Từ định lí 1.2.1.1 ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F x  C với C  

Vậy F x  C C,   là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K

 Họ tất cả các nguyên hàm của trên được kí hiệu là f x dx 

Vậy: f x dx F x     C C, 

- Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược của bài toán tìm đạo hàm Việc tìmnguyên hàm của một hàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của các hàm đơngiản hơn Sau đây là nguyên hàm của một số hàm số đơn giản thường gặp:

Bảng 1.2.1.1: Nguyên hàm của một số hàm số đơn giản thường gặp

u là hàm số theo biến x

, tức là u u x ( ) Trường hợp đặc biệt u ax b a  , 0Nguyên hàm của các hàm số đơn giản

dx x C 

11

Nguyên hàm của hàm số lượng giáccos xdx sinx C

 cos udusinu C cos(ax b dx) 1sin(ax b C)

1

cotsin u du  u C

cotan( )sin (ax b )dx a ax b C 

1 12

23

Định nghĩa 1.2.1.2: Cho hàm số f liên tục trên K và , a b là hai số bất kì thuộc K

Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b   F a  được gọi là tích

phân của f từ a đến bvà kí hiệu là  

b a

f x dx

 Trong trường hợp a b , ta gọi b  

a

f x dx

 là tích phân của f trên đoạn ,a b

 Người ta còn dùng kí hiệuF x  b

a để chỉ hiệu số F b   F a  Như vậy nếu

F là một nguyên hàm của f trên K thì b        

 Người ta gọi hai số ,a b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b là cận trên,

f là hàm dưới dấu tích phân, f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân và x là biến 

số lấy tích phân

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay

cho x Chẳng hạn, nếu sử dụng chữ t , chữ u ,… là biến số lấy tích phân thì

22

1.2.2 Cách tính nguyên hàm, tích phân của một số hàm thường gặp

Để tìm họ nguyên hàm của một hàm số yf x , cũng có nghĩa là ta đi tính mộttích phân bất định: I f x dx( ) Ta có ba phương pháp cơ bản sau:

 Phương pháp đổi biến số

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau:

Định lí: Cho hàm số u u x ( ) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y f u( ) liêntục sao cho [ ( )]f u x xác định trên K Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là

f u du F u C

 thì f u x dx F u x[ ( )]  [ ( )]C

Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến số như sau:

Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tích phân bất định:

( )

I f x dx

Ta thực hiện theo các bước sau:

 Bước 1: Chọn x  t , trong đó  t là hàm số mà ta chọn thích hợp

 Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx' t dt

 Bước 3: Biến đổi: f x dx( ) f  t ' t dt g t dt 

   

2 2

 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Cơ sở của phương pháp lấy nguyên hàm từng phần là định lí sau đây:

Định lí: Nếu ,u v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

Khi ta gặp phải những tích phân mà không thể sử dụng hai phương phương pháp:Phân tích và đối biến số để tìm họ nguyên hàm trực tiếp được, ta phải nghĩ đếnphương pháp này Từ đó thông qua việc tìm họ nguyên hàm trực tiếp bằng một hàm

số khác (mà có thể sử dụng hai phương pháp đã biết để tìm)

Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần để tính I f x dx( )

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I f x dx( ) f x f x dx1( ) ( )2

' ( )( )

Ta viết lại: ln osx   2

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

 Cách 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần, thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt:

'( )( )

1cossin

Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được bậc của đa thức

 Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta thực hiện theo các bước sau:Bước 1: Ta có: I P x( )cosaxdx A x ( )sinax B x ( )cosax C  1Trong đó: A x và   B x là các đa thức cùng bậc với  P x  

Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của  1 :

Bước 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được A x và   B x  .

Nhận xét: Nếu bậc của đa thức lớn hơn 3, thì cách 1 tỏ ra cồng kềnh, vì khi đó ta

thực hiện số lần tích phân từng phần bằng với số bậc của đa thức Vì vậy ta đi đếnnhận định như sau:

 Nếu bậc của đa thức lớn hơn hoặc bằng 3: Ta sử dụng cách 2

 Nếu bậc của đa thức nhỏ hơn hoặc bằng 2: Ta sử dụng cách 1

 Bước 1: Đặt

sincos

1

1

ax ax

1dv=e

12

Thay vào  1 ta được:

Bài toán 4: Tính tích phân bất định: I P x e dx( ) ax

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Ta tiến hành theo các bước sau:

 Bước 1: Đặt:

'( )( )

Bài toán 5: Tính tích phân bất định: I P x( )lnxdx

Ta lấy tích phân từng phần, theo các bước sau:

dx du

 Phương pháp đổi biến số:

Công thức đổi biến số

( )

( )[ ( )] '( ) ( )

u b b

f u x u x dx  f u du

  trong đó ( )f x là hàm sốliên tục và ( )u x có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp [ ( )] f u x xác

Ví dụ 1.2.2.14: Tính tích phân sau: 2 5

0cos

CHƯƠNG 2:

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ

2.1 Ứng dụng của đạo hàm trong bài toán đại số

Như chúng ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phươngtrình chiếm một lượng khá lớn trong chương trình phổ thông Việc giải và biện luậnphương trình, bất phương trình, hệ phương trình… bằng các phương pháp như:Biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, hình học… khá quen thuộc đốivới các bạn học sinh phổ thông và nhất là các bạn đang chuẩn bị thi THPT QuốcGia, đại học, cao đẳng, Tuy nhiên khi đối mặt với một bài toán dạng này các bạn ítnhiều còn lúng túng, chưa tìm được lời giải hoặc xác định được đường lối nhưng lạikhông đưa ra được kết quả cuối cùng

Trong sách giáo khoa đại số 10, 11, 12 chỉ nêu một số cách giải các phươngtrình, hệ phương trình, bất phương trình một cách đơn giản Việc sử dụng đạo hàmchỉ dừng lại ở bài toán khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số, còn ứng dụng đạo hàmtrong việc giải các bài toán sơ cấp thì chưa được sử dụng nhiều và hầu như học sinhvận dụng còn hạn chế và chưa linh hoạt Song các đề thi đại học, cao đẳng, thi họcsinh giỏi, việc sử giải các bài toán có sự ứng dụng của đạo hàm rất nhiều Đặc biệt

là ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bấtphương trình giúp cho học sinh giải một số bài toán sẽ đơn giản hơn

Trong mục này sẽ trình bày rõ hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm (hay chính

là ứng dụng tính đơn điệu của hàm số).

Định nghĩa 2.1.1: Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f

Nói một cách khác, nếu hàm số f xác định trên K thì

 Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi với x tùy ý thuộc K , ta có

Từ đó người ta chứng minh được điều sau đây:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f x  0 với mọi x I

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f x  0 với mọi x I

Đảo lại ta có thể chứng minh được:

Định lí 2.1.2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f x   0 với mọi x I và f x  0 tại hữu hạn x I thì hàm số f

đồng biến trên khoảng I

b) Nếu f x  0 với mọi x I và f x  0 tại hữu hạn x I thì hàm số f

nghịch biến trên khoảng I

c) Nếu f x  0 với mọi x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I

Định lí trên cho ta một điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng

Tính chất 2.1.3: Giả sử hàm số f liên tục và đơn điệu trên tập D thì phương trình

f x  có nhiều nhất một nghiệm thuộc D

Tính chất 2.1.4: Nếu phương trình f x  0 có một nghiệm trên tập a b thì, 

phương trình f x  có nhiều nhất hai nghiệm trên   0 a b , 

Tính chất 2.1.5: Nếu f x liên tục, đồng biến trên D và   g x liên tục, nghịch 

biến (hoặc hàm hằng) trên D thì phương trình f x  g x  có nhiều nhất mộtnghiệm trên D

Tính chất 2.1.6: Nếu hàm số f x liên tục và đơn điệu trên D thì với   u v D, 

ta có: f u  f v   u v

Tính chất 2.1.7: Nếu hàm số f x đơn điệu trên   a b thì ,  x y z, , a b,  là

nghiệm của hệ phương trình:

 Nếu hàm số f x đồng biến trên   a b thì ,  f u   f v   u v u v , , a b, 

 Nếu hàm số f x nghịch biến trên   a b thì ,  f u   f v   u v u v , ,  a b,

2.1.1 Ứng dụng của đạo hàm trong việc giải phương trình

Phương pháp giải: Để giải phương trình bằng phương pháp hàm số, ta có ba

hướng áp dụng sau:

 Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

- Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x    0

- Bước 2: Xét hàm số: yf x 

Dùng lập luận hoặc tính đạo hàm để khẳng định hàm số yf x  là đơn điệu

- Bước 3: Tìm một nghiệm của phương trình giả sử là x x 0 Sử dụng tínhđơn điệu của hàm số kết luận x x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Để tìm hiểu rõ hơn về phương pháp này, ta sẽ phân tích các ví dụ sau:

Ví dụ 2.1.1.1: Giải phương trình sau: 4x 1 4x2 1 1  1

Phân tích: Khi gặp phương trình trên, ta có thể nghĩ đến việc biến đổi tương đương

hoặc sẽ bình phương hai vế, tuy nhiên khi áp dụng các phương pháp trên ta sẽ gặp

khó khăn trong biến đổi Với điều kiện: 1

Nếu ta chịu khó quan sát và chuyển vế đơn giản thì vế trái đều là những hàm

số đồng biến (trên một tập nào đó) Lúc này ta sẽ nghĩ ngay đến phương pháp sửdụng tính đơn điệu của hàm số Vấn đề còn lại là đoán nghiệm của phương trình

Phương trình  1  4x 1 4x2 1 1 0 

Xét hàm số f x   4x 1 4x2 1 1 trên 1

;2

x  là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Nhận xét: Công việc đoán nghiệm của phương trình không khó nhưng nếu ta cứ

thử từng số sẽ mất rất nhiều thời gian Hãy ưu tiên những giá trị của sao cho cácbiểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương

Khai thác:

 Ta thấy rằng tính đồng biến của f x  không thay đổi nếu ta thay đổi số hạng

tự do trong f x  Vì vậy, nếu giữ nguyên ẩn và thay đổi số hạng tự do ta được bàitoán sau: Giải phương trình 1 4x 1 4x2 1 2 , mà quá trình giải đượcthực hiện như trên

 Nếu tăng độ phức tạp cho biến, chẳng hạn thay x bởi một biểu thức của x ví

dụ như x  1 ta được bài toán:

Giải phương trình 4x 1 1   4x 12 1 1 , cũng sẽ được bài toán mà lờigiải được thực hiện cũng theo quy trình tương tự như trên Nhưng để như thế thì quá

lộ liễu, ta khai triển, biến đổi thêm một chút ta sẽ có ngay một phương trình hoàntoàn mới lạ: 4x3 4x2 8x3 1

Ví dụ 2.1.1.2: Giải phương trình: 3x7  5 4 x  3 x3

Phân tích: Đối với phương trình này ta thấy ngay các phương pháp truyền thống

không khả thi vì bậc của biến là 7 Vì vậy ta sẽ nghĩ đến phương pháp hàm số

Kết luận: Vậy x  là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.1

Khai thác: Nếu tăng độ phức tạp cho biến, chẳng hạn thay x bởi một biểu thức của

x ví dụ như x 2 1 ta được bài toán:

Giải phương trình 3.x2 17 9 4 x2  3 x2  13.

Ở phương trình này, nếu ta khéo léo đặt t x2 1 thì cách giải hoàn toàn như trên Như vậy, ta đã tìm hiểu được hướng áp dụng 1 của phương pháp hàm số đốivới việc giải phương trình Với phương pháp trên ta có thể dễ dàng giải các phươngtrình sau:

Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:

a) 3x 5 2x3 2  12 x

b) x5x3 1 3 x4 0c) 15 x 3 x 6d) x215 3 x 2 x28

 Hướng 2: Thực hiện theo các bước:

- Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x  g x 

- Bước 2:Xét hàm số: yf x  và y g x  

Dùng lập luận hoặc tính đạo hàm để khẳng định hàm số yf x  là đồng biến cònhàm số y g x   là hàm hằng hoặc nghịch biến

- Bước 3: Xác định x sao cho 0 f x 0 g x 0

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x x 0

Để tìm hiểu rõ hơn về phương pháp này, ta sẽ phân tích các ví dụ sau:

Ví dụ 2.1.1.3: Giải phương trình: x 2.3log 2x  3

Phân tích: Khi gặp phương trình này đôi khi ta còn lúng túng, chưa tìm ra ngay

được cách giải hợp lí Tuy nhiên, nếu ta để hạng tử chứa hàm số mũ ở VT và

chuyển x sang VP thì ta thấy ngay VT là hàm đồng biến còn VP là hàm nghịch

biến Đến đây ta áp dụng hướng 2 của phương pháp để tìm nghiệm của phươngtrình

Suy ra g x là hàm số nghịch biến trên   

Mà phương trình  1 có dạng: f x  g x  Do đó, nếu phương trình  1 cónghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Ta có: log 1 2

2.3  3 1 2 Do đó x  là một nghiệm của phương trình đã cho.1Kết luận: Vậy x  là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.1

Nhận xét: Phương trình trên chứa cả hàm số mũ và hàm đa thức nên sẽ rất khó

khăn khi giải bằng các phương pháp truyền thống Vì vậy, khi gặp phương trìnhdạng trên ta phải nghĩ ngay tới phương pháp hàm số

Khai thác: Bài toán dạng tương tự: Giải phương trình: 5x  7 2x

Ví dụ 2.1.1.4: Giải phương trình: x23log 2x xlog 5 2

Phân tích: Đối với phương trình này ta phải sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để

đưa phương trình về dạng f x  g x  trong đó f x đơn điệu và   g x là hàm 

hằng Sau đó ta áp dụng hướng 2 để giải quyết bài toán

Lời giải:

Vì vậy t  là nghiệm duy nhất của 1  1

Với t  , ta có: 1 log2x 2 x1 (thỏa mãn)

Kết luận: Vậy x  là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.1

Ví dụ 2.1.1.5: Giải phương trình: x x 3 2 3  x

Phân tích: Sử dụng đạo hàm dễ thấy ngay VT là hàm đồng biến còn VP là hàm số

bậc nhất y ax b  với hệ số a  nên là hàm nghịch biến, ta áp dụng hướng 2.0

Xét hàm số: g x  2 3 x, ta có: g x  1 0,   x

Suy ra g x là hàm số nghịch biến trên   

Mà phương trình  1 có dạng: f x  g x  Do đó, nếu phương trình  1 cónghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Ta có: f  3 g 3 2 3 Do đó x  là một nghiệm của phương trình đã cho.3Kết luận: Vậy x  là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.3

Nhận xét: Có thể sử dụng phương pháp bình phương, ta sẽ thu được phương trình

bậc bốn giải được nhưng rất vất vả Vì vậy phương pháp hàm số là tối ưu nhất

Khai thác: Bài toán tương tự:

Bài toán 1: Giải phương trình: x x 3 7  x

Bài toán 1: Giải phương trình: x 1 x 4 8  x

Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:

 Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

- Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f u  f v 

- Bước 2: Xét hàm số: yf x 

Dùng lập luận hoặc tính đạo hàm để khẳng định hàm số yf x  là đơn điệu

- Bước 3: Khi đó phương trình đã cho  u v với u v D,  f

Thực tế, ở hướng 3 ta phải đưa hai vế về cùng dạng hàm số, sau đó chứng minh

hàm số đố đơn điệu

Để tìm hiểu rõ hơn về phương pháp này, ta sẽ phân tích các ví dụ sau:

Ví dụ 2.1.1.6: Giải phương trình: 3x2 3x132x2 1 32x2

Phân tích: Cũng với tư duy như trong ví dụ 2.1.1.1 nhưng sẽ khó khẳng định được

hàm số liên tục, đơn điệu trên TXĐ của nó Do đó ta phải đưa về các hàm đơn giảnhơn mà có thể xét được ngay tính liên tục, đơn điệu của nó Quan sát kĩ thì thấybiểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ:

 Có đạo hàm  

2

2 3 3

x x là nghiệm của phương trình đã cho

Nhận xét: Với phương trình trên, sẽ rất phức tạp nếu ta sử dụng các phương pháp

truyền thống Vì vậy giải bằng phương pháp hàm số là tối ưu nhất

Khai thác:

 Xuất phát từ phương trình x2   , ta giữ nguyên hàm số f và thay hai x 1biểu thức ở VT và VP vào ta được x2 3x6 1  x 1 3x33x23x Tuy2nhiên, ta cần phải biến đổi, khai triển thêm để được phương trình phức tạp hơn

x  x  x   x 

 Để tăng độ phức tạp cho bài toán, ta thay hai biểu thức x1, 1 x 2x2

vào hàm số f ta được bài toán sau Giải phương trình:

3

x  x x  x x    x  x  x  x  x  xChúng ta thấy rằng phương trình này thật phức tạp Tuy nhiên, cách tạo ra nó thìthật dễ dàng

 Ta cũng có thể tạo ra một phương trình lượng giác vô cùng mới mẻ bằngcách thay hai biểu thức sin , cosx x 1 vào hàm số f ta được bài toán sau:

Giải phương trình:

3 3 2 3 3sinx cosx 1 cos x3cos x3cosx2 sin x1.

Ví dụ 2.1.1.7: Giải phương trình: 3 9 9 2 1 2 1

3

 

Phân tích: Phương trình này nếu cứ để như thế thì ta khó có thể tìm ra cách giải

Lập phương hai vế và khéo léo nhóm ta được phương trình:

9 3 3 3 1 3 3 1

x  x  x  x Đến đây ta thấy hai vế đã chung một mối liên hệ,

vì vậy ta sẽ áp dụng ngay phương pháp hàm số để giải tiếp

Lời giải: Lập phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

x  x   x  x  x  x93x3 3x133 3 x1 (1)Xét hàm sốf t  t33t Ta thấy rằng:

Khai thác: Với cách làm hoàn toàn như trên ta có thể tạo ra rất nhiều các bài tập tương tự Ví dụ như: Xuất phát từ phương trình 2x3   , ta giữ nguyên hàm sốx 1

f và thay hai biểu thức ở VT và VP vào ta được 8x96x3 x133x1.Tuy nhiên, ta cần phải biến đổi, khai triển thêm để được phương trình phức tạp hơn

Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:

2.1.2 Ứng dụng của đạo hàm trong việc giải hệ phương trình

Ở đây, ta chỉ tìm hiểu ứng dụng của đạo hàm để giải hệ phương trình có dạng

hệ hoán vị vòng quanh Ta xét định lí sau:

với ,f g là các hàm cùng tăng hoặc cùng giảm trên K Nếu hệ có nghiệm

x x1, , 2 x thì n x1 x2  x n

Chứng minh

Do vai trò bình đẳng của các x i i  1,n nên giả sử x1 minx x1, , ,2 x n

Giả sử: x1 x2 Ta có f là hàm số đồng biến nên suy ra: f x 1 f x 2

Lại do g là hàm số đồng biến nên x2 x3

Lặp lại quá trình như trên ta được: x1 x2  x n

Do định lí trên không được đề cập đến trong chương trình sách giái khoa nên khi ta

sử dụng phải chứng minh lại hoàn toàn như trên

Ví dụ 2.1.2.1: Giải hệ phương trình sau:  

Phân tích: Ta dễ thấy hệ đã cho có dạng hệ hoán vị vòng quanh

Do vai trò bình đẳng của , ,x y z nên giả sử x min , ,x y z

Ta có: x y Do f là hàm số đồng biến nên suy ra: f x  f y 

Mặt khác: g 1 0 nên  * có nghiệm duy nhất x  1

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất x y z , ,  1;1;1

Nhận xét: Sau khi ta chứng minh được x   , thay vào hệ phương trình tay z

được phương trình: x32x 3 ln x2 x1 0 Chắc chắn ta sẽ có đôi chútlúng túng khi giải quyết phương trình này Tuy nhiên, nếu quan sát thì ta thấy ngay

VT của phương trình là một hàm số đồng biến Khi đó phương pháp hàm số sẽ được

ta sử dụng một lần nữa

Khai thác: Bài toán tương tự:

Giải hệ phương trình sau:

Phân tích: Quan sát ta thấy hệ có dạng tổng quát của hệ phương trình hoán vị vòng

quanh Công việc cần làm tiếp theo là ta đi xét tính đồng biến, nghịch biến của cáchàm số đại diện

Lời giải: