Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)

Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH THỊ KIỀU VÂN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH THỊ KIỀU VÂN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN HOÀNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

Mục lục

Lời cảm ơn ii

Danh sách hình vẽ iii

Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Kiến thức cơ bản về đồng dư thức 3

1.2 Một vài áp dụng phổ biến của đồng dư thức trong số học 6

1.2.1 Nghiên cứu dấu hiệu chia hết 7

1.2.2 Tìm số dư trong phép chia 11

2 Một số ứng dụng của đồng dư thức 16 2.1 Thiết kế mô hình 16

2.2 Kiểm tra mã số của sách ISBN 22

2.3 Trò chơi xếp p quân hậu (tùy chọn) 30

2.4 Giải đấu vòng tròn một lượt (tùy chọn) 33

2.5 Tìm ngày, tháng, năm trong lịch vạn niên 38

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hoàng.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng những công lao, sự quantâm, động viên và sự tận tình chỉ bảo, hướng dẫn của thầy trong suốt quátrình tác giả thực hiện luận văn

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các giáo sư,tiến sĩ đang công tác tại Viện toán học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên,trường Đại học sư phạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả đãtrau dồi thêm rất nhiều kiến thức để nâng cao trình độ của mình Từ đáylòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới tất cả các thầy, cô

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoahọc và Quan hệ quốc tế, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian họctập, thực hiện và hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè và gia đình đã tạo mọi điều kiệngiúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn này

dư được Gauss đưa ra và giải quyết một cách có hệ thống chặt chẽ và đượcứng dụng rộng rãi trong toán học Đồng dư thức là một phương pháp cótính chất kỹ thuật giúp chúng ta bổ sung giải quyêt một số vấn đề trong sốhọc như: Chia hết trong vành số nguyên, tìm dư trong phép chia, Đặc biệtđồng dư thức còn được ứng dụng to lớn trong đời sống thực tế như: Tronglĩnh vực truyền thông phát hiện và sửa các lỗi trong thông điệp truyền đi.Kiểm tra chữ số thường được sử dụng để phát hiện các sai sót trong chuỗicác chữ số thập phân như kiểm tra serial của tờ tiền giấy trong ngân hàng,nhà xuất bản sách, thư viện, và các công ty Với những công lao, đóng góplớn của Gauss, tờ tiền Mark của Đức đã in hình ảnh nhà toán học Gauss vàđường cong chuẩn tắc nổi tiếng của ông ấy Chúng ta thường không nhậnthấy quan hệ đồng dư trong cuộc sống hàng ngày Qua luận văn này ngoàinhững ứng dụng đã biết tôi muốn nêu thêm một số ứng dụng của đồng dưthức trong thực tiễn đời sống.

Nội dung của luận văn chia thành 2 chương đề cập đến các vấn đề sauđây:

Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản của đồng dư thức và một vài

áp dụng của đồng dư thức trong số học như: Nghiên cứu dấu hiệu chia hết,tìm số dư trong phép chia Chương này nghiên cứu các mối quan hệ đồng

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giả

Trịnh Thị Kiều Vân

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Kiến thức cơ bản về đồng dư thức

Trong chương này, ta quy ước rằng tất cả các chữ "a, b, c, x, y, z " biểuthị số nguyên và tất cả các môđun "m, n, " là các số nguyên dương.Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa đồng dư thức) Cho m là số nguyên Sốnguyên a đồng dư với số nguyên b theo môđun m nếu m|(a − b) Kí hiệu

a ≡ b (mod m) Trường hợp ngược lại ta kí hiệu a 6≡ b (mod m)

Tiếp theo ta nhắc lại một số tính chất của đồng dư thức

Tính chất 1.1.2

(i) a ≡ b (mod m) khi và chỉ khi tồn tại k ∈ Z để a = b + km

(ii) a ≡ b (mod m) khi và chỉ khi a và b chia cho m cùng được một số dư.(iii) a ≡ a (mod m) (Tính chất phản xạ)

(iv) Nếu a ≡ b (mod m), thì b ≡ a (mod m).(Tính chất đối xứng)

(v) Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m) (Tính chấtbắc cầu)

Tính chất 1.1.3 Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a + c ≡ b + d(mod m) và ac ≡ bd (mod m)

Hệ quả 1.1.4

(i) Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a − c ≡ b − d (mod m).(ii) Nếu a ≡ b (mod m) và c là số nguyên bất kỳ, thì

(i) Nếu ac ≡ bc (mod m) và (c, m) = 1, thì a ≡ b (mod m).

(ii) Nếu ac ≡ bc (mod m) và (c, m) = d, thì a ≡ b (mod md)

Chứng minh (ii) Giả sử ac ≡ bc (mod m), và có (c, m) = d Ta có

m|(ac − bc), vì vậy ac − bc = km (k ∈ Z) nên c(a − b) = km Chia cả hai

vế cho d ta được dc
(a − b) = k md
Biết rằng (dc, md) = 1, do đó md|(a − b).Vậy a ≡ b (mod m)

Tính chất 1.1.6 Nếu a ≡ b (mod m1), a ≡ b (mod m2), , a ≡ b(mod mk), thì a ≡ b (mod [m1, m2, , mk])

Hệ quả 1.1.7 Nếua ≡ b (mod m1),a ≡ b (mod m2), , a ≡ b (mod mk),với m1, m2, , mk đôi một nguyên tố cùng nhau Khi đó

Giả sử đây là năm không nhuận và ta muốn tìm số ngày thứ Sáu trongnăm này, và giả sử ta biết ngày mười ba xảy ra vào tháng mười hai nămngoái LấyMi là số tháng từ tháng mười hai năm ngoái đến tháng mười mộtnăm nay, và lấy Di là số ngày trong tháng Mi Các giá trị của Di tương ứng

là 31, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, và 30

Ta đặt tên cho các ngày từ Chủ nhật đến thứ Bảy tương ứng bởi các số

từ 0 đến 6; Do đó ngày 5 là ngày thứ Sáu

Ta có Di ≡ di (mod 7), trong đó 0 ≤ di < 7 Các giá trị tương ứng của

di là 3, 3, 0, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, và 2 Mỗi giá trị của di biểu diễn số ngàycủa ngày mười ba trong tháng Mi phải được cộng vào để tìm ngày mười barơi vào tháng Mi+1

Chẳng hạn ngày 13 tháng 12 năm 2000, là một ngày thứ Tư Vì vậy, ngày

13 tháng một năm 2001 là vào (3 + 3) = ngày 6, tức là ngày thứ Bảy

Lấyti =

i

P

j=1

dj (mod 7), trong đó1 ≤ i ≤ 12 Khi đó,tibiểu diễn cho tổng

số ngày ngày 13 tháng mười hai phải được di chuyển để xác định ngày của cácthứ mười ba trong tháng Mi Chẳng hạn, t3 ≡ d1 + d2 + d3 = 3 + 3 + 0 ≡ 6(mod 7) Vì vậy, ngày 13 tháng 12 năm 2000 (thứ Tư), phải cộng thêm sáungày để xác định ngày của 13 tháng ba năm 2001; Đó là ngày (3 + 6) =ngày 2 = ngày thứ Ba

Chú ý rằng nhiều giá trị khác nhau của ti theo môđun 7 là 3, 6, 6, 2, 4,

0, 2, 5, 1, 3, 6,và 1; Chúng bao gồm các thặng dư nhỏ nhất theo môđun 7.Biết ngày 13 tháng 12, chúng ta có thể sử dụng các thặng dư nhỏ nhất đểxác định ngày mười ba của mỗi tháng Mi trong một năm không nhuận.Bảng tóm tắt tương ứng với mỗi lựa chọn của ngày 13 tháng của mỗitháng trong một năm không nhuận, tương ứng với mọi lựa chọn của ngày 13tháng 12 của năm trước Từ bảng ta thấy có nhiều nhất ba ngày thứ Sáungày 13 trong một năm không nhuận

Đối với một năm nhuận, nhiều giá trị khác nhau của di là 3, 3, 1, 3, 2, 3, 2,

3, 3, 2, 3, và 2; Các giá trị tương ứng củati là 3, 6, 0, 3, 5, 1, 3, 6, 2, 4, 0, và

2 Từ đây chúng ta cũng có thể xây dựng một bảng tương tự cho một nămnhuận

Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full