Nghiên cứu kiến thức về dao động và một số ứng dụng của nó đối với đời sống kỹ thuật

Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu quy luật dao động cơ học, dao động điện từ,…, từ đó vận dụng để giải thích một số hiện tượng trong đời sống và ứng dụng vào trong kỹ thuật.. Đối tượng ngh

WX

Lời cảm ơn

-Ô Ô Ô -

T ôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu Trường Đại Học An Giang, Ban chủ nhiệm Khoa Sư

Phạm đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được

tham gia thực hiện khóa luận tốt nghiệp Xin gởi lời cảm ơn

sâu sắc đến các quý thầy, cô Trường Đại Học An Giang, đặc

biệt là các thầy, cô trong tổ bộ môn Vật Lý đã không ngừng

động viên và ủng hộ tôi trong suốt thời gian thực hiện đề tài

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Mện đã tạo điều kiện thuận lợi, tận tình hướng dẫn, chỉ dạy

tôi trong suốt thời gian qua Sự nhiệt tình của thầy là nguồn

động lực giúp tôi hoàn thành khóa luận này đúng thời hạn

Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến tập thể lớp DH9L và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt

thời gian thực hiện đề tài

Mặc dù đã đầu tư công sức, cố gắng và cẩn thận, nhưng do điều kiện về thời gian, hạn chế về kiến thức và

kinh nghiệm chưa nhiều nên chắc chắn khóa luận này vẫn

còn nhiều thiếu sót Tôi kính mong nhận được những ý kiến

đóng góp chân tình của quý thầy cô và các bạn để đề tài

được hoàn thiện hơn Chúc các thầy cô luôn dồi dào sức

khỏe phục vụ tốt cho sự nghiệp giáo dục và đào tạo

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Đoàn Tiến Sỉ

MỤC LỤC

Trang

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích nghiên cứu 1

III Đối tượng nghiên cứu 1

IV Giả thuyết khoa học 2

V Phạm vi nghiên cứu 2

VI Nhiệm vụ nghiên cứu 2

VII Đóng góp của khóa luận 2

VIII Phương pháp nghiên cứu 2

IX Thời gian nghiên cứu 3

PHẦN 2: NỘI DUNG CỦA KHÓA LUẬN 4

Chương 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA TỰ DO 4

1.1 Dao động điều hòa (dđđh) 4

1.2 Dao động điều hòa cơ học 6

1.3 Dđđh tự do trong mạch dao động điện 9

1.4 Biểu diễn dao động điều hòa 11

1.5 Tổng hợp các dđđh cùng phương 12

1.6 Tổng hợp hai dđđh có phương vuông góc 14

1.7 Phân tích dao động tuần hoàn thành tổng các dđđh 16

Chương 2: DAO ĐỘNG TẮT DẦN VÀ DUY TRÌ 17

2.1 Dao động cơ học tắt dần 17

2.2 Dao động điện tắt dần 19

2.3 Dao động duy trì 21

Chương 3: DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC 22

3.1 Khảo sát chung 22

3.2 Sự cộng hưởng 26

3.3 Khảo sát dao động điện cưỡng bức 28

Chương 4: ỨNG DỤNG CỦA DAO ĐỘNG 32

4.1 Áp dụng giải bài tập 32

4.2 Giải thích hiện tượng dao động trong đời sống 38

4.3 Một số ứng dụng dao động vào khoa học, kỹ thuật 39

PHẦN 3: KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

Dao động chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học tự nhiên và là cơ sở của nhiều ngành kỹ thuật

Chính vì thế, việc nghiên cứu, tìm hiểu kiến thức dao động và những ảnh hưởng của nó đến đời sống, kỹ thuật để tìm hướng khắc phục, giảm thiệt hại đến mức thấp nhất, hoặc ứng dụng tính chất của nó vào chế tạo, xây dựng là một yêu cầu cấp thiết đối với các nhà khoa học Trên thế giới hiện nay, việc nghiên cứu dao động thu hút được sự quan tâm, đầu tư của nhiều quốc gia phát triển trong việc chế tạo máy móc, xây dựng công trình cầu đường, nhà cao tầng với quy mô lớn đòi hỏi sự bền bĩ và độ chính xác cao

Tuy nhiên, việc nghiên cứu kiến thức dao động ở Việt Nam còn chưa phổ biến bởi nhiều lý do khách quan như: vốn đầu tư và kỹ sư chế tạo, xây dựng đối với công trình lớn phần lớn là của nước ngoài, công nghệ của ta chưa sánh vai được với nhiều quốc gia phát triển Do đó tôi nghĩ rằng sinh viên ngành khoa học Vật Lý, nhất là sinh viên khoa học Ứng Dụng cần chủ động tìm hiểu về vấn đề này để có thể hoà cùng nhịp đập của khoa học thế giới Mặc dù, tôi không phải là sinh viên khoa học Ứng Dụng nhưng tôi cũng muốn có được một nền tảng kiến thức phong phú và sâu sắc về dao động, nó có

ý nghĩa hết sức quan trọng đối với tôi, nó là hành trang quý báu trong việc giảng dạy sau này Tôi nghĩ sau khi hoàn thành đề tài này thì độ tăng kiến thức của tôi sẽ rất lớn bởi vì đối với kiến thức dao động tôi thực sự còn rất hạn hẹp và mơ hồ Khi nghiên cứu

về đề tài này sẽ giúp tôi nâng cao, mở rộng kiến thức, làm phong phú thêm vốn hiểu biết về các hiện tượng vật lý Ngoài ra, tôi còn có thể đúc kết thêm kinh nghiệm nghiên cứu khoa học, rèn luyện kỹ năng thu thập, phân tích và tổng hợp thông tin

Với những lý do trên, tôi quyết định chọn đề tài “Nghiên cứu kiến thức về dao

động và một số ứng dụng của nó đối với đời sống, kỹ thuật”

II Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu quy luật dao động cơ học, dao động điện từ,…, từ đó vận dụng để giải thích một số hiện tượng trong đời sống và ứng dụng vào trong kỹ thuật

Nghiên cứu tính tổng quát của các loại dao động, góp phần giải quyết các bài toán dao động phức tạp

III Đối tượng nghiên cứu

Các loại dao động cơ học, dao động điện từ: khảo sát tính chất của dao động điều hòa tự do; dao động tắt dần và duy trì; dao động cưỡng bức; nhằm tìm ra quy luật chuyển động của một số đối tượng, giải thích một số hiện tượng trong đời sống (sập cầu, sập nhà, dẫn nhiệt, hát làm vỡ ly…) và một số ứng dụng vào trong kỹ thuật (chế tạo tần số kế, thiết bị giảm trấn HDR, linh kiện vi cân tinh thể thạch anh…)

IV Giả thuyết khoa học

Dựa vào việc nghiên cứu lý thuyết về dao động, ta có thể:

- Hệ thống hóa lý thuyết về dao động

- Vận dụng lý thuyết về dao động để giải bài tập

- Giải thích các hiện tượng dao động trong đời sống và nghiên cứu một số ứng dụng đã đạt được trong kỹ thuật

V Phạm vi nghiên cứu

- Dao động cơ học: điều hòa tự do; tắt dần và duy trì; cưỡng bức

- Dao động điện từ: điều hòa tự do; tắt dần và duy trì; cưỡng bức

Khảo sát những loại dao động cơ bản trong cơ học, trong điện từ Nguyên nhân gây ra dao động đó Thiết lập một số công thức tổng quát mô tả quy luật dao động Trên

cơ sở những kiến thức dao động đã biết, ta có thể giải thích một số hiện tượng tự nhiên

và tìm hiểu thêm về các ứng dụng của dao động trong khoa học, kỹ thuật

VI Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống hoá các kiến thức liên quan đến dao động Khảo sát các loại dao động

cơ, dao động điện, dao động của các phân tử ., về bản chất vật lý, cơ chế kích thích,

tác dụng, và tính chất của từng loại dao động Xây dựng công thức tổng quát, thiết lập

cơ sở cho các loại dao động

Áp dụng giải quyết nhiều loại bài toán phức tạp bằng nhiều phương pháp, giải thích một số hiện tượng Vật Lý trong tự nhiên và tìm hiểu thêm ứng dụng của dao động trong các lĩnh vực kỹ thuật chế tạo máy, xây dựng công trình

VII Đóng góp của khóa luận

Từ việc nghiên cứu kiến thức về dao động , giúp ta hiểu sâu sắc hơn về bản chất vật lý, cơ chế kích thích, tác dụng, và tính chất của từng loại dao động, từ đó giải quyết được nhiều loại bài toán phức tạp bằng nhiều phương pháp, giải thích được một số hiện tượng Vật Lý trong đời sống và tìm hiểu thêm nhiều ứng dụng của dao động trong nhiều nghành khoa học khác, lĩnh vực khác… Qua nội dung của đề tài chúng ta biết cách thiết lập các phương trình dao động, và các quy luật dao động chung của sự vật từ vĩ mô đến

vi mô… Từ đó góp phần làm phong phú hơn về kiến thức dao động trong các giáo trình

đã biết, thuận tiện cho mọi người tham khảo nâng cao, củng cố thêm nhiều thông tin bổ ích về kiến thức dao động, tạo hứng thú, yêu thích nghiên cứu khoa học cho sinh viên

VIII Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp toán học

- Phương pháp chọn lọc – phân tích – tổng hợp

- Phương pháp đọc sách và tập hợp tài liệu tham khảo

- Phương pháp cập nhật thông tin trên mạng về các kiến thức mới, hiện tượng mới, ứng dụng mới về dao động

- Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên

IX Thời gian nghiên cứu

- 13/11/2010–20/11/2010: Tìm tài liệu tham khảo; xây dựng đề cương cho đề tài

- 21/11/2007–29/11/2010: Hoàn thành đề cương chi tiết

- 26/11/2006 –10/4/2007: Hoàn thành nội dung khóa luận và giao bản thảo cho giáo viên hướng dẫn chỉnh sửa

- 15/04/2010 – 01/05/2011: Hoàn chỉnh khóa luận và viết bài báo cáo

PHẦN 2: NỘI DUNG KHÓA LUẬN

UWdÕeXU

Chương 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA TỰ DO

1.1 DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1.1.1 Tổng quan về dao động:

1.1.1.1 Dao động : Các quá trình chuyển động hoặc biến đổi trạng thái được lặp đi

lặp lại nhiều lần theo thời gian một phần hay toàn bộ được gọi là các quá trình dao động ( hay dao động)

Dao động là một dạng chuyển động rất thường gặp trong đời sống, trong kỹ thuật Thí dụ: dao động của con lắc đồng hồ, dao động của cầu khi xe lửa chạy qua, dao động của dòng điện trong mạch, dao động của các phân tử…

Ö Tính chất:

● Hệ phải có một vị trí cân bằng bền và hệ dao động qua lại hai bên vị trí đó ● Khi hệ rời khỏi vị trí cân bằng bền, luôn luôn có một lực kéo hệ về vị trí cân

bằng bền gọi là lực hồi phục

● Hệ có quán tính: khi chuyển đến vị trí cân bằng, do quán tính, nó tiếp tục

vượt qua vị trí cân bằng đó

Hệ thực hiện quá trình dao động gọi là hệ dao động

● Dao động điều hòa

● Dao động tuần hoàn…

1.1.1.3 Dao động tự do và dao động cưỡng bức:

Các dao động khi không có các tác dụng biến thiên tuần hoàn từ bên ngoài tác dụng lên hệ, và dao động do sự lệch ban đầu nào đó của hệ khỏi trạng thái cân bằng được gọi là dao động tự do

Các dao động xuất hiện trong một hệ do tác dụng biến thiên từ bên ngoài lên hệ gọi là dao động cưỡng bức

1.1.2 Dao động tuần hoàn:

Một dao động mà li độ biến đổi tuần hoàn theo thời gian thì dao động đó là tuần hoàn

x(t) = x(t + T)

Ö Tính chất:

● Mọi trạng thái được lặp lại

● Cứ sau khoảng thời gian nhỏ nhất T trạng thái dao dộng được lặp lại, T gọi là

chu kỳ Cứ sau một chu kì hệ thực hiện 1 dao động toàn phần ( 1 dao động)

Vậy dao động tuần hoàn là dao động có chu kì không đổi

1.1.3 Dao động điều hòa:

Dao động tuần hoàn có các đại lượng đặc trưng dao động theo quy luật hàm sin hoặc cosin theo thời gian là 1 dao động điều hòa

2

πϕ

∆ = > v sớm pha hơn x một góc

2 2

0

121

Vật rắn có mômen quán tính I đối với O. Quay không ma sát quanh O không đi

qua khối tâm

Hình 2

Ö Con lắc toán học (con lắc đơn): Chất điểm m treo trên sợi dây dài l (không co

giãn có khối lượng không đáng kể) Con lắc toán học là trường hợp riêng của con lắc vật lý, mà toàn bộ trọng lượng đặt tại quả nặng ( d = l )

● Li độ cung của con lắc: S S= osin(ωo t+θ)

Trong đó So là biên độ cung

● Chiều dài của con lắc toán học mà chu kì dao động của nó bằng chu kì dao động của con lắc vật lý được gọi là chiều dài rút gọn:

1.2.3.2 Dao động của vật nổi trên mặt chất lỏng:

Xét một vật hình hộp có khối lượng m, diện tích đáy S, nổi trên mặt chất lỏng có khối lượng riêng D Tìm quy luật dao động của vật ? ( bỏ qua lực nhớt của chất lỏng )

Vật chỉ chịu tác dụng của lực đẩy Acsimet và trọng lực

● Khi vật ở trạng thái cân bằng:

F1= ⇔P DV g mg1 =

V1 ,V2 là thể tích vật bị chìm trong nước

● Khi vật bị nhấn chìm vào chất lỏng một đoạn x Theo định luật II Newton:

phụ thuộc vào điều kiện kích thích ban đầu

1.3 DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA TỰ DO TRONG MẠCH DAO ĐỘNG ĐIỆN

1.3.1 Mạch dao động có các thông số tập trung:

Xét 1 mạch điện kín gồm tụ điện C và ống dây có hệ số tự cảm L, điện trở thuần

R gọi là các thông số của mạch

Do hiệu ứng bề mặt hai bản tụ điện, hiệu ứng hưởng ứng mà giữa các vòng dây xuất hiện điện dung kí sinh và hệ số tự cảm kí sinh Nếu các thông số kí sinh rất bé so với các thông số L, C của mạch thì mạch gọi là mạch dao động có thông số tập trung Kích thước của mạch là nhỏ so với bước sóng của lan truyền giá trị tức thời của các đại lượng dao động Hay nói cách khác thời gian truyền dao động điện giữa 2 điểm

xa nhất của mạch t = 1/f rất nhỏ so với chu kì thì quá trình xảy ra trong mạch là chuẩn dừng Khi đó giá trị tức thời của dòng điện là như nhau ở mọi điểm trong mạch và do đó

có thể sử dụng định luật Kirchoff cho các giá trị tức thời của các đại lượng điện trong mạch Điều kiện trên là thỏa mãn với mọi mạch dao động vì:

1.3.2 Phương trình dao động của điện tích:

I.3.2.1 Dao động điện trong mạch:

● Lúc t = 0 tụ điện được tích 1 điện lượng q và dòng điện trong mạch bằng 0, bản A tích điện (+)

- Điều kiện ban đầu : t = 0 : (0)

(0) 0

q Q i

- Theo định luật Kirchoff: iR + u c = e cu

1.3.2.2 Điện tích và hiệu điện thế trên tụ u c :

● Dao động điện tự do là dao động R = 0 Khi đó:

10

● Chu kì: T o =2π LC

1.3.3 Năng lượng của mạch dao động:

1.3.3.1 Nguyên nhân giảm năng lượng:

● Tỏa nhiệt June-Lentz trên điện trở

● Phát sóng điện từ

1.3.3.2 Năng lượng trong dao dộng điều hòa:

● Năng lượng điện trường:

1.4 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1.4.1 Biểu diễn dao động điều hòa bằng vectơ quay:

Xét vectơ OMuuuur

1 góc ϕ Cho OMuuuur

quay ngược chiều kim đồng hồ, lúc (OM Oxuuuur, )=ω ϕt+ Hình chiếu củaOMuuuur

lên Ox:

● Ch OM xuuuur=Acos(ω ϕt+ ) là 1 dao động điều hòa

● Biểu diễn dao động: Acos(x= ω ϕt+ )

O

ϕ 2

A2 ϕ

A1

x

1 ϕ

A

1.5 TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG

1.5.1 Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:

1.5.1.1 Phương pháp giản đồ vectơ:

● Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa:

1.5.2 Tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương có tần số khác nhau:

● Hiện tượng biên độ dao động biến đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kì rất

lớn so với chu kì dao động gọi là hiện tượng phách

● Dao động lúc này gọi là dao động bị biến điệu biên độ là hiện tượng quang trọng trọng kĩ thuật vô tuyến điện được sử dụng như là một số phương pháp khuyếch đại bằng cách đổi tần số

1.5.4 Các dao động thành phần có tần số bội của nhau:

● Một chất điểm đồng thời thực hiện hai dao động điều hòa dọc theo các trục

Ox và Oy theo quy luật:

Quỹ đạo nói chung là một đường elip định hướng tùy thuộc vào độ chênh lệch

- Quỹ đạo là đoạn thẳng ( phân cực thẳng)

● Hai dao động ngược pha: δ =(2k+1)π (k Z∈ )

- Quỹ đạo là đoạn thẳng (phân cực thẳng)

● Hai dao động vuông pha: (2 1) ( )

- Quỹ đạo là một đường elip nhận Ox và Oy làm trục đối xứng

- Khi A1 = A2 : quỹ đạo là đường tròn ( phân cực tròn)

1.6.2 Hai dao động có ω2 =nω1 với n nguyên dương:

1 1

sinsin

x A t

y A n t

ωω

1.7 PHÂN TÍCH MỘT DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN THÀNH TỔNG CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

các dao động điều hòa và xác định phổ tần số

Chương 2: DAO ĐỘNG TẮT DẦN VÀ DUY TRÌ

- Do biến đổi nội năng và lò xo có khối lượng

- Do sự kích thích của sóng đàn hồi trong môi trường

Ö Quy luật tắt dần của hệ phụ thuộc vào tính chất của hệ dao động

● Hệ tuyến tính: Các thông số đặc trưng của hệ không thay đổi trong quá trình khảo sát

- Ví dụ: Dao động của con lắc lò xo trong môi trường là tuyến tính nếu hệ số cản của môi trường, hệ số đàn hồi, khối lượng không phụ thuộc vào vận tốc hay độ dời của vật

- Hệ tuyến tính được mô tả bằng các phương trình vi phân tuyến tính

● Hệ phi tuyến : Hệ có các thông số phụ thuộc lẫn nhau

2.1.2 Phương trình dao động:

2.1.2.1 Bài toán dao động:

Một con lắc chịu tác dụng của lực giả đàn hồi F = - kx, khối lượng m, chuyển động trong môi trường nhớt với lực cản tỉ lệ với vận tốc: Fc = -η.v ( k, η = const >0) Tìm quy luật dao động

2 2

2 2 2

o

y y

x A e= −ε ω ϕt+

● Đồ thị:

X

t O

● Nhận xét : Chuyển động về vị trí cân bằng mà không có dao động

Ö Kết luận chung: Hệ dao động tắt dần khi ma sát nhỏ ε ω< o ⇔ <η 2 km

2.1.3 Các đại lượng đặc trưng cho dao động tắt dần:

2.1.3.1 Chu kì quy ước: Sau khoảng T 2π

ω

= , x đạt cực đại, dù rằng các cực đại này giảm e−εT lần, nên người ta gọi T là chu kì quy ước

Hình 4

Biên độ giảm nhanh khi ε giảm nhanh do đó ε gọi là hệ số tắt dần

● Thời gian lũy giảm:τ 1

e

e e e e

km Q

2.2.1 Bài toán dao động:

Cho mạch điện như hình vẽ Mạch dao động có thông số tập trung R,L,C ; mạch là chuẩn dừng Ban đầu người ta tích cho tụ điện tích q và tụ bắt đầu phóng điện Lập phương trình dao động và tìm các đại lượng đặc trưng của mạch dao động điện tắt dần

∅

P Q A B

ecu = uc + iR

2 2 2

q e−ε ω ωt ϕ ε ϕ ω ωt ϕ ε ϕ

Đặt: sin cos sin

i i

C C

2.3 DAO ĐỘNG DUY TRÌ

2.3.1 Dao động duy trì:

Dao động tắt dần xảy ra do nguyên nhân mất mát năng lượng sau mỗi chu kì dao động Nếu trong hệ có một hệ thống cung cấp năng lượng bù vào phần năng lượng hao phí trong mỗi chu kì thì dao động được duy trì với tần số, biên độ không đổi và chỉ phụ thuộc vào các đại lượng đặc trưng của hệ

Trong các hệ dao động, các dao động được thiết lập do các quá trình diễn ra bên trong hệ và xuất hiện một cách tự phát ( tự kích thích) do những kích thích rất nhỏ ở bên trong hệ, các kích thích tăng một cách tự phát, cho đến lúc có dao động ổn định được hình thành Do đó tính chất dao động của hệ không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu Các hệ tự dao động biểu diễn bằng các phương trình phi tuyến và chỉ giải nó một cách gần đúng

Mạch dao động có tụ C1 // L1 tạo thành mạch dao

động L -C Để duy trì sự dao động này thì tín hiệu dao

động được đưa vào chân B của Transistor, R1 là trở định

thiên cho Transistor, R2 là trở gánh để lấy ra tín hiệu dao

động ra , cuộn dây đấu từ chân E Transistor xuống tải có

tác dụng lấy hồi tiếp để duy trì dao động Chu kì dao

động của mạch phụ thuộc vào C1 và L1 theo công thức:

1 1

T = π L C

● Mạch tạo dao động bằng thạch anh :

- X1 : là thạch anh tạo dao động , tần số dao động

được ghi trên thân của thạch anh, khi thạch anh được

cấp điện thì nó tự dao động ra sóng hình sin.thạch anh

thường có tần số dao động từ vài trăm KHz đến vài

chục MHz

- Đèn Q1 khuyếch đại tín hiệu dao động từ thạch

anh và cuối cùng tín hiệu được lấy ra ở chân C

- R1 vừa là điện trở cấp nguồn cho thạch anh vừa

Xét một hệ dao động, thí dụ con lắc lò xo có khối lượng m, độ cứng k và hệ số

ma sát η nhỏ Nếu ta kích thích ban đầu thì có dao động tự do tắt dần trong hệ, phương trình vi phân của hệ là: x'' 2+ εx'+ωo2x=0

3.1.1 Phương trình vi phân của dao động cưỡng bức:

Ta thiết lập phương trình vi phân cho 2 trường hợp: dao động cơ và dao động điện

Ö Dao động cơ học: Xét trường hợp cụ thể con lắc lò xo nằm trên mặt sàn nằm ngang, ban đầu người ta cho lò xo nén lại và buông ra cho vật dao động tắt dần dưới tác dụng của lực ma sát, sau đó kích thích lên vật ngoại lực ( )f t =F c o os tΩ Thiết lập phương trình vi phân

● Định luật II Newton áp dụng cho vật nặng như sau:

mar = Fuuur uuur ur ur uur+F + + +f P N

● Chiếu phương trình lên chiều chuyển động của vật:

coscos

o o

mx kx x F t

F k

m m m

ηη