Một số ứng dụng của đồng dư thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCTRỊNH THỊ KIỀU VÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCTRỊNH THỊ KIỀU VÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG C

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH THỊ KIỀU VÂN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH THỊ KIỀU VÂN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN HOÀNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

Mục lục

Lời cảm ơn ii

Danh sách hình vẽ iii

Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Kiến thức cơ bản về đồng dư thức 3

1.2 Một vài áp dụng phổ biến của đồng dư thức trong số học 6

1.2.1 Nghiên cứu dấu hiệu chia hết 7

1.2.2 Tìm số dư trong phép chia 11

2 Một số ứng dụng của đồng dư thức 16 2.1 Thiết kế mô hình 16

2.2 Kiểm tra mã số của sách ISBN 22

2.3 Trò chơi xếp p quân hậu (tùy chọn) 30

2.4 Giải đấu vòng tròn một lượt (tùy chọn) 33

2.5 Tìm ngày, tháng, năm trong lịch vạn niên 38

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hoàng.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng những công lao, sự quantâm, động viên và sự tận tình chỉ bảo, hướng dẫn của thầy trong suốt quátrình tác giả thực hiện luận văn

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các giáo sư,tiến sĩ đang công tác tại Viện toán học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên,trường Đại học sư phạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả đãtrau dồi thêm rất nhiều kiến thức để nâng cao trình độ của mình Từ đáylòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới tất cả các thầy, cô

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoahọc và Quan hệ quốc tế, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian họctập, thực hiện và hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè và gia đình đã tạo mọi điều kiệngiúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn này

dư được Gauss đưa ra và giải quyết một cách có hệ thống chặt chẽ và đượcứng dụng rộng rãi trong toán học Đồng dư thức là một phương pháp cótính chất kỹ thuật giúp chúng ta bổ sung giải quyêt một số vấn đề trong sốhọc như: Chia hết trong vành số nguyên, tìm dư trong phép chia, Đặc biệtđồng dư thức còn được ứng dụng to lớn trong đời sống thực tế như: Tronglĩnh vực truyền thông phát hiện và sửa các lỗi trong thông điệp truyền đi.Kiểm tra chữ số thường được sử dụng để phát hiện các sai sót trong chuỗicác chữ số thập phân như kiểm tra serial của tờ tiền giấy trong ngân hàng,nhà xuất bản sách, thư viện, và các công ty Với những công lao, đóng góplớn của Gauss, tờ tiền Mark của Đức đã in hình ảnh nhà toán học Gauss vàđường cong chuẩn tắc nổi tiếng của ông ấy Chúng ta thường không nhậnthấy quan hệ đồng dư trong cuộc sống hàng ngày Qua luận văn này ngoàinhững ứng dụng đã biết tôi muốn nêu thêm một số ứng dụng của đồng dưthức trong thực tiễn đời sống.

Nội dung của luận văn chia thành 2 chương đề cập đến các vấn đề sauđây:

Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản của đồng dư thức và một vài

áp dụng của đồng dư thức trong số học như: Nghiên cứu dấu hiệu chia hết,tìm số dư trong phép chia Chương này nghiên cứu các mối quan hệ đồng

dư Các mối quan hệ đồng dư có liên quan chặt chẽ, nó được sử dụng xuyênsuốt lý thuyết số.

Chương 2: Một số ứng dụng của đồng dư thức trong thực tiễn đời sống.Các ứng dụng của đồng dư thức, là một phần của cuộc sống hàng ngày: Ứngdụng trong thiết kế mô hình, kiểm tra mã số của sách ISBN, trong chò chơixếp p quân hậu trên bàn cờ pxp, sắp lịch trong giải đấu vòng tròn một lượt,tìm ngày, tháng, năm trong lịch vạn niên

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giả

Trịnh Thị Kiều Vân

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Kiến thức cơ bản về đồng dư thức

Trong chương này, ta quy ước rằng tất cả các chữ "a, b, c, x, y, z " biểuthị số nguyên và tất cả các môđun "m, n, " là các số nguyên dương.Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa đồng dư thức) Cho m là số nguyên Sốnguyên a đồng dư với số nguyên b theo môđun m nếu m|(a − b) Kí hiệu

a ≡ b (mod m) Trường hợp ngược lại ta kí hiệu a 6≡ b (mod m)

Tiếp theo ta nhắc lại một số tính chất của đồng dư thức

Tính chất 1.1.2

(i) a ≡ b (mod m) khi và chỉ khi tồn tại k ∈ Z để a = b + km

(ii) a ≡ b (mod m) khi và chỉ khi a và b chia cho m cùng được một số dư.(iii) a ≡ a (mod m) (Tính chất phản xạ)

(iv) Nếu a ≡ b (mod m), thì b ≡ a (mod m).(Tính chất đối xứng)

(v) Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m) (Tính chấtbắc cầu)

Tính chất 1.1.3 Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a + c ≡ b + d(mod m) và ac ≡ bd (mod m)

Hệ quả 1.1.4

(i) Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a − c ≡ b − d (mod m).(ii) Nếu a ≡ b (mod m) và c là số nguyên bất kỳ, thì

a + c ≡ b + c (mod m), a − c ≡ b − c (mod m),

ac ≡ bc (mod m), a2 ≡ b2 (mod m)

(iii) Nếu a ≡ b (mod m), thì an ≡ bn (mod m) với n là số nguyên dương.Tính chất 1.1.5

(i) Nếu ac ≡ bc (mod m) và (c, m) = 1, thì a ≡ b (mod m)

(ii) Nếu ac ≡ bc (mod m) và (c, m) = d, thì a ≡ b (mod md)

Chứng minh (ii) Giả sử ac ≡ bc (mod m), và có (c, m) = d Ta có

m|(ac − bc), vì vậy ac − bc = km (k ∈ Z) nên c(a − b) = km Chia cả hai

vế cho d ta được dc
(a − b) = k md
Biết rằng (dc, md) = 1, do đó md|(a − b).Vậy a ≡ b (mod m)

Tính chất 1.1.6 Nếu a ≡ b (mod m1), a ≡ b (mod m2), , a ≡ b(mod mk), thì a ≡ b (mod [m1, m2, , mk])

Hệ quả 1.1.7 Nếua ≡ b (mod m1),a ≡ b (mod m2), , a ≡ b (mod mk),với m1, m2, , mk đôi một nguyên tố cùng nhau Khi đó

Giả sử đây là năm không nhuận và ta muốn tìm số ngày thứ Sáu trongnăm này, và giả sử ta biết ngày mười ba xảy ra vào tháng mười hai nămngoái LấyMi là số tháng từ tháng mười hai năm ngoái đến tháng mười mộtnăm nay, và lấy Di là số ngày trong tháng Mi Các giá trị của Di tương ứng

là 31, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, và 30

Ta đặt tên cho các ngày từ Chủ nhật đến thứ Bảy tương ứng bởi các số

từ 0 đến 6; Do đó ngày 5 là ngày thứ Sáu

Ta có Di ≡ di (mod 7), trong đó 0 ≤ di < 7 Các giá trị tương ứng của

di là 3, 3, 0, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, và 2 Mỗi giá trị của di biểu diễn số ngàycủa ngày mười ba trong tháng Mi phải được cộng vào để tìm ngày mười barơi vào tháng Mi+1

Chẳng hạn ngày 13 tháng 12 năm 2000, là một ngày thứ Tư Vì vậy, ngày

13 tháng một năm 2001 là vào (3 + 3) = ngày 6, tức là ngày thứ Bảy

Lấyti =

i

P

j=1

dj (mod 7), trong đó1 ≤ i ≤ 12 Khi đó,tibiểu diễn cho tổng

số ngày ngày 13 tháng mười hai phải được di chuyển để xác định ngày của cácthứ mười ba trong tháng Mi Chẳng hạn, t3 ≡ d1 + d2 + d3 = 3 + 3 + 0 ≡ 6(mod 7) Vì vậy, ngày 13 tháng 12 năm 2000 (thứ Tư), phải cộng thêm sáungày để xác định ngày của 13 tháng ba năm 2001; Đó là ngày (3 + 6) =ngày 2 = ngày thứ Ba

Chú ý rằng nhiều giá trị khác nhau của ti theo môđun 7 là 3, 6, 6, 2, 4,

0, 2, 5, 1, 3, 6,và 1; Chúng bao gồm các thặng dư nhỏ nhất theo môđun 7.Biết ngày 13 tháng 12, chúng ta có thể sử dụng các thặng dư nhỏ nhất đểxác định ngày mười ba của mỗi tháng Mi trong một năm không nhuận.Bảng tóm tắt tương ứng với mỗi lựa chọn của ngày 13 tháng của mỗitháng trong một năm không nhuận, tương ứng với mọi lựa chọn của ngày 13tháng 12 của năm trước Từ bảng ta thấy có nhiều nhất ba ngày thứ Sáungày 13 trong một năm không nhuận

Đối với một năm nhuận, nhiều giá trị khác nhau của di là 3, 3, 1, 3, 2, 3, 2,

3, 3, 2, 3, và 2; Các giá trị tương ứng củati là 3, 6, 0, 3, 5, 1, 3, 6, 2, 4, 0, và

2 Từ đây chúng ta cũng có thể xây dựng một bảng tương tự cho một nămnhuận

Định nghĩa 1.1.10 (Các lớp đồng dư) Tập thương của tập hợp số nguyên

Z trên quan hệ đồng dư theo môđun m được gọi là tập hợp các lớp thặng dưmôđun m, kí hiệu là Zm Mỗi phần tử của Zm được gọi là một lớp thặng dưmôđun m Ứng với mỗi A ∈ Zm, tồn tại a ∈ Z để ta có A = a; Mỗi x ∈ A

được gọi là một thặng dư (mod m)

Tính chất 1.1.11

(i) Zm = {0, 1, , m − 1}

(ii) Mỗi phần tử của Zm là hợp của k phần tử phân biệt của Zkm (với k > 1).Định nghĩa 1.1.12 (Hệ thặng dư đầy đủ) Tập hợpA, gồm những số nguyênđược lấy ra từ mỗi lớp thặng dư môđun m của Zm (có một và chỉ một sốđược lấy ra từ mỗi lớp) được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ môđun m.Chú ý 1.1.13

(i) Mỗi m có nhiều hệ thặng dư đầy đủ môđun m Mỗi hệ thặng dư đầy đủmôđun m có đúng m phần tử

(ii) Cho A là một hệ thặng dư đầy đủ môđun m

- Nếu a, b ∈ A và a 6= b, thì a 6≡ b (mod m)

- Nếu x ∈ Z, thì tồn tại số a ∈ A sao cho x ≡ a (mod m)

(iii) Tập hợp các số {0, 1, , m − 1} là một hệ thặng dư đầy đủ môđun m

Hệ này gọi là hệ thặng dư không âm bé nhất môđun m

1.2 Một vài áp dụng phổ biến của đồng dư thức

trong số học

Đồng dư thức ở đây tuy là đơn giản, nhưng rất hữu ích Ta có thể tínhtheo môđun 12 để biết thời gian trong ngày và đồng dư môđun 7 để biết các

ngày trong tuần Đồng hồ đo đường trong xe ô tô sử dụng 1.000.000 như cácmôđun Nhưng cách tính như thế nào để biết được điều đó? Đầu tiên chúng

ta sẽ đi nghiên cứu các ứng dụng của đồng dư thức trong số học

1.2.1 Nghiên cứu dấu hiệu chia hết

Dấu hiệu chia hết là một trong những áp dụng trực tiếp của đồng dư thức.Cho số nguyên dương n khác 0 được viết trong hệ thập phân

n = nknk−1 n1n0 = nk10k + nk−110k−1 + n110 + n0

Để kiểm tra xem số nguyên n chia hết cho 10, 5, 2i, 3, 9 và 11 hay không?

Ta đi tìm điều kiện ràng buộc giữa các chữ số n0, n1, , nk−1, nk? Mở đầu ta

đi tìm hiểu dấu hiệu chia hết cho 10

Dấu hiệu chia hết cho 10

Cho số

n = nknk−1 n1n0 = nk10k + nk−110k−1+ n110 + n0

trong đó 1 ≤ nk ≤ 9, 0 ≤ ni ≤ 9 với mọi i = 0, 1, 2, , k − 1

Ta có10 ≡ 0 (mod 10) nênni10i ≡ 0 (mod 10) (vớii = 0, 1, 2, , k −1).Khi đó

n = nk10k + nk−110k−1 + n110 + n0 ≡ n0 (mod 10)

Như vậy ta suy được n ≡ 0 (mod 10) khi và chỉ khi n0 ≡ 0 (mod 10) hay

n0 = 0 Vậy một số nguyên chia hết cho 10 khi và chỉ khi chữ số đơn vị của

nó là số 0

Dấu hiệu chia hết cho 5

Vì n = nk10k + nk−110k−1 + n110 + n0 ≡ n0 (mod 10), nên n ≡ n0(mod 5) Do đó n ≡ 0 (mod 5) nếu và chỉ nếu n0 ≡ 0 (mod 5) Nhưng chỉ

có hai chữ số chia hết cho 5 là 0 và 5 Vậy một số nguyên dương chia hết cho

5 khi và chỉ khi chữ số đơn vị bằng 0 hoặc 5

Dấu hiệu chia hết cho 2i

Ta có 10 ≡ 0 (mod 2), nên 10i ≡ 0 (mod 2i) (với mọi số nguyên dương

≡ ni−1ni−2 n1n0 (mod 2i)

Vậy, một số nguyên n chia hết cho 2i khi và chỉ khi số thành lập bởi i chữ số

tận cùng trong số nguyên n chia hết cho 2i

Ví dụ 1.2.1 Số n chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số n0 là chia hết cho 2;

n chia hết cho 4 nếu số có hai chữ số n1n0 là chia hết cho 4; n chia hết cho

8 nếu số có ba chữ số n2n1n0 là chia hết cho 8

Cụ thể xét số n = 343.506.076 Vì 2 | 6 ⇒ 2 | n; Lại vì 4 | 76 ⇒ 4 | n;

Nhưng vì 076 không chia hết cho 8 ⇒ n không chia hết cho 8

Dấu hiệu chia hết cho 3 và chia hết cho 9

Ta có 10 ≡ 1 (mod 3), nên 10i ≡ 1 (mod 3) với mọi số nguyên dương i

Do đó ni10i ≡ ni (mod 3) với mọi i = 0, 1, , k Khi đó

n = nk10k + nk−110k−1 + + n110 + n0 ≡ nk + nk−1 + + n1 + n0 (mod 3)

Từ đó ta suy ra được n ≡ 0 (mod 3)khi và chỉ khi nk + nk−1 + n1 + n0 ≡

0 (mod 3)

Vậy một số nguyên dương chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số

của nó chia hết cho 3

Tương tự, ta có 10 ≡ 1 (mod 9) nên 10i ≡ 1 (mod 9) và ni10i ≡ ni

(mod 9) với mọi i = 0, 1, 2, , k Khi đó

n = nk10k + nk−110k−1 + + n110 + n0 ≡ nk + nk−1 + + n1 + n0 (mod 9)

Từ đó ta được n ≡ 0 (mod 9) nếu và chỉ nếunk + nk−1 + + n1 + n0 ≡ 0

(mod 9)

Vậy một số nguyên dương chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ sốcủa nó chia hết cho 9.

Ví dụ 1.2.2 Cho số n = 108.203.016 Tổng các chữ số của n là

1 + 0 + 8 + 2 + 0 + 3 + 0 + 1 + 6 = 21

Ta có 3 | 21 nên 3 | n Nhưng 9 -21 nên 9- n

Dấu hiệu chia hết cho 11

Ta có 10 ≡ −1 (mod 11) nên 10i ≡ (−1)i (mod 11) Nên ta có ni10i ≡(−1)ini (mod 11) với mọi i = 0, 1, 2, , k − 1, k Khi đó

Ví dụ 1.2.3 Cho số n = 108.203.018 Ta có

(8 + 0 + 0 + 8 + 1) − (1 + 3 + 2 + 0) = 17 − 6 = 11

Vì 11 | 11 nên 11 | n

Phương pháp kiểm tra theo môđun 9

Trong thực tế cuộc sống đồng dư thức còn được các kế toán sử dụng trongviệc kiểm tra phát hiện các tính toán lỗi Kỹ thuật này dựa trên thực tế làmỗi số nguyên là đồng dư với tổng các chữ số của nó theo môđun 9

Ví dụ 1.2.4 Hãy kiểm tra tính đúng sai của kết quả sau đây:

1) 35897+750971+908085=1684953

2) 4556 × 3444 = 15745014

là 6.833.008 (đảo hai số cuối) Vậy phương pháp kiểm tra theo môđun 9 chỉ

ra rằng "kết quả" hoặc là chắc chắn sai, hoặc là có lẽ đúng

Chú ý 1.2.5 Mỗi số nguyên có dạng n = 9k + r, (0 ≤ r < 9), nên

n ≡ r (mod 9); Do đó n2 ≡ r2 (mod 9) Mà r ≡ r − 9 (mod 9), 02 ≡ 0(mod 9), (±1)2 ≡ 1 (mod 9), (±2)2 ≡ 4 (mod 9), (±3)2 ≡ 0 (mod 9),

(±4)2 ≡ 7 (mod 9) Như vậy, n2 chỉ có thể là đồng dư với 0, 1, 4, hoặc 7(theo môđun 9) Vậy một số a muốn là số chính phương thì tổng các chữ sốcủa nó phải đồng dư với một trong các số 0,1,4,7 (theo môđun 9) Điều ngược

lại của lập luận trước là sai nếu một số N có kết quả đồng dư với 1 hoặc 4,hoặc 7, hoặc 9 theo môđun 9 thì N chưa chắc là chính phương Chẳng hạn,

số 43 đồng dư với 7 môđun 9, nhưng số 43 không phải là số chính phương

Ví dụ 1.2.6 Chứng minh rằng N = 54.893.534.046 không là số chínhphương

Vì số dư của N theo môđun 9 là 6, nên N không phải là số chính phương

Ví dụ 1.2.7 Chứng minh rằng N = 22000+ 22001+ 22003+ 22008 không phải

1.2.2 Tìm số dư trong phép chia

Vấn đề tìm số dư trong phép chia đã được nhắc đến nhiều trong chươngtrình toán phổ thông cơ sở, các đề thi học sinh giỏi trong và ngoài nước Nhưng việc giải quyết bài toán gặp khó khăn nếu không có phương pháp phùhợp Sử dụng đồng dư thức trong bài toán tìm số dư trong phép chia, chứngminh sự chia hết đã làm giảm bớt các tính toán phức tạp, bài toán trở nênđơn giản, dễ dàng hơn rất nhiều Sau đây ta sẽ đi tìm hiểu một số phươngpháp được sử dụng tìm số dư

Ví dụ 1.2.8 Tìm số dư khi chia 1! + 2! + 3! + + 1000! cho 12.

Bài giải Ta có 4! = 4.3.2.1 ≡ 0 (mod 12) Vậy với mọi k ≥ 4, thì k! ≡ 0(mod 12) Khi đó:

Dưới đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1.2.9 Tìm dư trong phép chia 3247 cho 25

Bài giải Lưu ý rằng 247 = (11110111)2 Khi đó

(số 128 là lũy thừa lớn nhất của 2 chứa trong 247) Do đó ta có

3247 ≡ 11.6.16.21.6.9.3 ≡ 12 (mod 25)

Vậy số dư cần tìm là 12

Ví dụ 1.2.10 Tìm dư trong phép chia 22015 cho 7

Bài giải Đầu tiên, nhận thấy rằng 2015 = (11111011111)2 Ta có:

1 (mod 10) khi a ≡ 0 (mod 4)

7 (mod 10) khi a ≡ 1 (mod 4)

9 (mod 10) khi a ≡ 2 (mod 4)

3 (mod 10) khi a ≡ 3 (mod 4)

Ta xét số 1998, ta thấy rằng1998 ≡ 2 (mod 4), vậy1998n ≡ 2n (mod 4)

Do đó nếu n ≥ 2 thì 1998n ≡ 0 (mod 4) Vì 1999 ≥ 2, nên 19981999 ≡ 0(mod 4)

Do đó N ≡ 1 (mod 10) Vậy chữ số tận cùng của N là 1

Ví dụ 1.2.12 Chứng minh rằng 11.14n+ 1 là hợp số với mọi số tự nhiên n.Bài giải Đặt N = 11.14n + 1 Giả sử n là số chẵn Ta có, vì 14 ≡ −1(mod 3), nên 14n ≡ 1 (mod 3) Khi đó N = 2.1 + 1 ≡ 0 (mod 3), nên

3 | N Lưu ý rằng N ≥ 12, do đó N có nhiều hơn hoặc bằng hai ước thực sự

là 3 và một số nữa Chứng tỏ N là hợp số khi n chẵn

Xét khi n là số lẻ, ta có 14 ≡ −1 (mod 5), 14n ≡ −1 (mod 5) Khi đó

N = 1.(−1) + 1 ≡ 0 (mod 5), nên ta có 5 | N Như vậy N có nhiều hơnhoặc bằng hai ước thực sự là số 5 và số khác nữa (lưu ý N > 5) Vậy N vẫn

c) Nếu bây giờ là 9 giờ sáng, 1900 giờ nữa sẽ là mấy giờ?

d) Nếu bây giờ là 3 chiều, 4334 giờ nữa là mấy giờ?

(m, n)-thặng dư, và thiết kế hoa văn trên chăn, màn và gối.

Thiết kế ngôi sao m-cánh

Để xây dựng một ngôi sao m-cánh, ta đánh dấu m điểm cách đều nhautrên một đường tròn lớn, và đặt tên cho các điểm đó lần lượt bởi các số

0, 1, , m − 1 (thuộc hệ thặng dư không âm nhỏ nhất) môđun m Chọnmột thặng dư i (mod m) sao cho (i, m) = 1 Nối mỗi điểm x với điểm x + i(mod m) Bây giờ ta tô màu vào các miền khác nhau bên trong đường trònvới một số màu khác Bạn sẽ nhận được một ngôi sao m−cánh đẹp đẽ Hình

1 dưới đây thể hiện một ngôi sao 7-cánh và một ngôi sao 12-cánh

Hình 1 Sao 7-cánh và sao 12-cánh

Thiết kế (m, n)-thặng dư

Để xây dựng một thiết kế (m, n)-thặng dư với 1 ≤ n < m và (m, n) = 1,

ta chọn m − 1 điểm cách đều nhau trên một đường tròn, đặt tên cho cácđiểm đó bởi các số từ 1 đếnm − 1, và nối mỗi điểmx với điểm nx (mod m).Sau đó tô màu vào các miền khác nhau đó theo cách có hệ thống để tạo đượcmột thiết kế vui nhộn

Ví dụ 2.1.1 Để xây dựng một thiết kế (19, 9)−thặng dư, ta chia đườngtròn lớn thành 18 phần bằng nhau và đánh dấu điểm chia lần lượt bởi các số

từ 1 đến 18 Nhân mỗi thặng dư khác 0 môđun 18 với số 9 rồi rút gọn theomôđun 19:

9.2=18 9.6=16 9.10=14 9.14=12 9.18=10

9.4=17 9.8=15 9.12=13 9.16=11

Sau đó ta nối điểm 1 với 9, 2 với 18, 3 với 8, 4 với 17, , 16 với 11, 17 với

1, 18 với 10 Tiếp đến ta tô mầu các miền nhận được một cách có hệ thống

để nhận được một thiết kế đẹp như hình vẽ Hình 2

Một số thiết kế nữa được chỉ ra ở các hình vẽ từ Hình 3 đến Hình 4

Hình 2 Hoa văn (19,9)-thặng dư và (21,10)-thặng dư

Hình 3 Hoa văn (17,6)-thặng dư và (17,7)-thặng dư.

Hình 4 Hoa văn (17,8)-thặng dư và (17,16)-thặng dư

Thiết kế hoa văn

Ta có thể sử dụng các bảng toán cộng và nhân cho tập các các lớp thặng

dư nhỏ nhất môđun m để sinh ra các thiết kế hoa văn nghệ thuật và thú vị

Ví dụ 2.1.2 Chọn m = 9 Xây dựng bảng cộng cho tập các thặng dư nhỏnhất từ 0 đến 8 (môđun 9), như bảng dưới đây

Hình 6 Hoa văn tạo bởi bảng toán của nhóm Z9.

Từ hoa văn trên bằng cách sử dụng các phép quay các góc 90, 180, 270 độ,

ta tạo ra thêm ba hoa văn mới; Sau đó ghép chúng lại với nhau ta thu đượcmẫu hoa văn mới như hình sau.

Hình 7 Thiết kế hoa văn dựa trên các phần tử môđun 9

Ví dụ 2.1.3 Thay vì sử dụng lưới các hình vuông, ta có thể sử dụng lướicác hình chữ nhật, chẳng hạn như ở hình

Hình 8 Lưới hình chữ nhật của bảng toán (môđun 5)

và sử dụng các hình thiết kế cơ bản như hình sau để phát triển thiết kế cơbản cho môđun 5 (khi đưa các hình cơ bản vào lưới ta có thể kéo hoặc cocác chiều cho phù hợp kích thước hình chữ nhật)