DE THI VA DAP AN THI THU DH LAN 2 KHOI AA1LG2

Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a.. Kẻ MH vuông góc với AC tại H.[r]

http://toanhocmuonmau.violet.vn

http://toanhocmuonmau.tk

TRƯỜNG THPT

LẠNG GIANG SỐ 2

Ngày thi 10-03-2013

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 (lần thứ 2)

Môn thi: TOÁN; khối A, A1

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2 Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu

đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0

Câu II (2 điểm)

1. Giải phương trình: ( 1 sin 2 ) 1 tan

cos 4 sin 2

x x

x

x

+

= +











 π −

2. Giải hệ phương trình:













=

− + + +

+

=

− +

y x y x x

y y

x y x

2 3

2 2

6

4 1 1 3

Câu III (1 điểm) Tính tích phân :

2 3

2

1

ln( x 1)

x

+

Câu IV (1 điểm) Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x ≤ a) Trên đường

thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a Kẻ MH vuông góc với AC tại H Tính khoảng cách

từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) và tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất

Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

3 ( a2 + b2 + c2) + 4 abc ≥ 13

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I ( ) 3;3 và AC = 2 BD Điểm 4

2;

3

  thuộc đường thẳng AB,

điểm 3; 13

3

  thuộc đường thẳng CD Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : ( ) x − 12+ y2+ ( z + 2 )2 = 9 Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a có phương trình:

2 2

1

−

x

và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng 2

Câu VII.a (1 điểm) Một hội đồng chấm thi có 5 người, rút thăm trong danh sách gồm 7 cô giáo và 10 thầy giáo Tính xác suất để

trong hội đồng số cô giáo nhiều hơn số thầy giáo

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai

đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( − 1; 0;1 ) và đường thẳng

2

2 1

1 1

1

−

−

=

x

( ) P : x − + − = y z 4 0 Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A cắt d tại B và mặt phẳng (P) tại C sao cho AC = 2 ABvà A nằm ngoài đoạn BC

Câu VII.b (1 điểm) Giải bất phương trình: 8 3x+ x + 9 x+1 ≥ 9x

Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh

http://toanhocmuonmau.tk

tRƯờNG THPT

LạNG GIANG Số 2

Ngày thi 10-03-2013

Hướng dẫn, Đáp án , thang điểm THI THử ĐạI HọC NĂM HọC 2012-2013 (lần thứ 2)

Môn thi: Toán, khối: A, A1

Hướng dẫn, đáp án gồm 04 trang

(Học sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa)

1 Khi m = 1 Ta cú hàm số y = - x3 + 3x2 – 4

Tập xỏc định D = R

Sự biến thiờn

Chiều biến thiờn

y’ = - 3x2 + 6x , y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2

y’> 0 ∀ x ∈( 0;2) Hàm số đồng biến trờn khoảng ( 0; 2)

y’ < 0 ∀ x ∈(- ∞; 0) ∪ (2; +∞) Hàm số nghịch biến trờn cỏc khoảng (- ∞;0) và (2; +∞)

Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = y(2) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = y(0) = - 4

→ư∞ ư + ư = +∞ →+∞ ư + ư = ư∞

Đồ thị hàm số khụng cú tiệm cận

Tớnh lồi, lừm và điểm uốn

y’’ = - 6x +6 , y’’ = 0 ⇔ x = 1

Đồ thị

I(1; - 2)

Bảng biến thiờn

y +∞ 0

(I)

- 2

Đồ thị

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tai cỏc điểm ( 1; 0) , (2; 0) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tai điểm (0 ;

-4) Đồ thị hàm số cú tõm đối xứng là điểm uốn I(1;- 2)

Hệ số gúc của tiếp tuyến tại điểm uốn là k = y’(1) = 3

f(x)=-x^3+3x^2-4

-6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2

x y

0,25

0,25

0,25

0,25

I

(2

điểm)

2 Ta cú y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2m

Hàm số cú cực đại , cực tiểu ⇔ phương trỡnh y’ = 0 cú hai nghiệm pb ⇔ m ≠ 0

Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1) Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1) Vectơ AB = (2 ; 4 m m3); Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u = (8; 1) ư

0,25

0,25 0,25

http://toanhocmuonmau.violet.vn

http://toanhocmuonmau.tk

Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d ⇔ I d

∈





⊥

3

AB u





=

0,25

1 Điều kiện cos x 0 x k , k

2

π

≠ ⇔ ≠ + π ∈ ℤ

Ta có (1) cos x sin x ( )2 cos x sin x

cos x sin x

( cos x sin x ) (  cos x sin x )( cos x sin x ) 1  0

( cos x sin x )( cos 2 x 1 ) 0

, m 4

m

x

π



ℤ

Dễ thấy họ nghiệm trên thỏa mãn điều kiện Đáp số: x m

, m 4

m

x

π

 = − + π



= π



ℤ

0,25 0,25

0,5

II

(2

®iÓm)

2













=

− + + +

+

=

− +

) 2 ( 6

) 1 ( 4 1

1 3

2 3

2 2

y x y x x

y y

x y x

2 2

2 2

−

=

⇔

=

−

⇔

=

−

⇔

=

−

− +

−

y

x y

x y

x y

x

Thay vào (2) ta được 3 x + 6 + x − 1 = x2 − 1 ⇔3 x + 6 − 2 + x − 1 − 1 = x2 − 4

2 3 3

2 3 3

− +

 =





⇔



Với đk x ≥ 1 suy ra VT(3)<3 , VP(3) ≥ 3 Suy ra (3) vô nghiệm

0,5

0,25

0,25

III

(1

®iÓm) Đặt

2

2

3

2

2

1 1 2

x

x dx

dv

v x

x



=

Do đó I =

2 2

1

2 ln( 1)

1

+

+

∫

2

2 1

x dx

+

+

+

ln | | ln | 1 |

1

5

2 ln 2 ln 5

8

−

0,25

0,25

0,25

0,25

IV

(1

®iÓm)

⊥





⊂



Lại có :MH ⊥ AC = ( SAC ) ∩ ( ABCD )

0,25

http://toanhocmuonmau.tk

2

0

AH = AM cos = ⇒ HC = AC − AH = a −

MHC

∆

∆

2

2

SMCH

a

⇔ M trïng víi D

0,25

0,25

0,25

V

(1

®iÓm)

Đặt

2

; 13 4

) (

3 ) , ,

*Trước hết ta chưng minh: f ( a , b , c ) ≥ f ( a , t , t ):Thật vậy

Do vai trò của a,b,c như nhau nên ta có thể giả thiết a ≤ b ≤ c

3

f ( a , b , c ) − f ( a , t , t ) = 3 ( a2 + b2 + c2) + 4 abc − 13 − 3 ( a2 + t2+ t2) − 4 at2 + 13

= 3 ( b2 + c2 − 2 t2) + 4 a ( bc − t2)= 









+











2 2

4

) ( 4

4

) ( 2

2

) ( 2

) (

3

c b a c b

−

−

2

) )(

2 3

≥

−

− a b c

do a≤ 1

*Bây giờ ta chỉ cần chứng minh: f ( a , t , t ) ≥ 0 với a+2t=3

Ta có f ( a , t , t ) = 3 ( a2 + t2 + t2) + 4 at2 − 13 =3 (( 3 − 2 t )2 + t2 + t2) + 4 ( 3 − 2 t ) t2 − 13

= 2 ( t − 1 )2( 7 − 4 t ) ≥ 0 do 2t=b+c < 3

Dấu “=” xảy ra ⇔ t = 1 & b − c = 0 ⇔ a = b = c = 1

0,25

0,25

0,25

0,25

VI.a

(2

®iÓm)

1

Tọa độ điểm N’ đối xứng với điểm N qua I là 5

' 3;

3

Đường thẳng AB đi qua M, N’ có phương trình: x − 3 y + = 2 0

,

IH d I AB − +

Do AC = 2 BD nên IA = 2 IB Đặt IB = > x 0, ta có phương trình

2

x + x = ⇔ = ⇔ =

0,25

0,25

http://toanhocmuonmau.violet.vn

http://toanhocmuonmau.tk

( ) (2 )2 2

14

4 3

5 18 16 0

3 2

3 2 0

5

x

x

y

x y



=



=



Do B có hoành độ nhỏ hơn 3 nên ta chọn 14 8

;

5 5

Vậy, phương trình đường chéo BD là: 7 x − − = y 18 0

0,25

0,25

2 (S) có tâm J ( 1 , 0 , − 2 ) bán kính R = 3

+ đt a có vtcp →u ( 1 , 2 , − 2 ), (P) vuông góc với đt a nên (P) nhận

→

u làm vtpt

Pt mp (P) có dạng : x + 2 y − 2 z + D = 0

+ (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = 2 nên d( J , (P) ) = R2− r2 = 5

3

) 2 (

2 0 2 1

= +

−

−

 = − +



⇔ 

= − −



KL: Có 2 mặt phẳng: (P1):x + 2 y − 2 z − 5 + 3 5 = 0 và (P2):x + 2 y − 2 z − 5 − 3 5 = 0

0,25

0,25 0,25

0,25

VII.a

(1

®iÓm)

Số cách chọn 5 thầy cô trong số 17 người là : C175

Số phần tử của không gian mẫu Ω = C175 = 6188

Hội đồng 5 người có số cô nhiều hơn số thầy chỉ có thể số cô là 3 hoặc 4, hoặc 5

Gọi A là biến cố “ hội đồng 5 người trong đó số cô nhiều hơn số thầy”

⇒ A = C37.C102 + C47 C110+ C57.C100 = 1946

Suy ra P(A) =

Ω

A

= 6188

1946 = 442 139

0,25 0,25

0,25

0,25

1 Giả sử B x ( B; yB) ∈ d1⇒ xB = − − yB 5; C x ( C; yC) ∈ d2 ⇒ xC = − 2 yC + 7

Vì G là trọng tâm nên ta có hệ: 2 6

3 0

+ + =





+ + =

Từ các phương trình trên ta có: B(-1;-4) ; C(5;1)

Ta có BG (3; 4) ⇒ VTPT nBG(4; 3) − nên phương trình BG: 4x – 3y – 8 = 0

Bán kính R = d(C; BG) = 9

5 ⇒ phương trình đường tròn: (x – 5)2 +(y – 1)2 = 81

25

0,5

0,5

VI.b

(2

®iÓm)

2 Vì A,B,C thẳng hàng và AC=2AB và A nằm ngoài đoạn BC nên AC = 2 AB

Do B∈(d) nên B(1+t; 1-t;2+2t)

2

2

= −





= ⇒  = − ⇒ + − +



Vì C∈(P) nên t=0

Vậy B(1; 1; 2); C(3; 2; 3), đường thẳng ∆ đi qua B, C có phương trình: 1 1 2

x − = y − = z −

0,25

0,25

0,55

VII.b

(1

®iÓm)

ĐK : x ≥ 0

Đặt t = 3 x x− > 0.Khi đó ta có :( ) 2 ( )

1

9

t loai

t t

t

≤ −





≥



9

x x

t ≥ ⇒ − ≥ − ⇔ x − ≥ − ⇔ x x ≥ − x

0,25

0,25

0,25

0,25

http://toanhocmuonmau.tk

HÕt

2

2

5 4 0

x x

x x

≤ ≤





≥

⇔  





⇔ ≤ ≤ 0 x 4 Vậy nghiệm BPT là x ∈ [ ] 0; 4