Môn Toán Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.. Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.. 2.Trong không gian với hệ t
Trang 1Trờng thpt trần nhân tông
đề thi thử đại học - NĂM 2009 - LầN II.
Môn Toán
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH
Câu I Cho hàm số
1
1 2
x
x
y có đồ thị (C).
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất
cos 2 sin
2sin x
-2x 3sin
x x
2 Giải hệ phơng trình :
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x
y x
y y x x
.
0
sin 2
x x
2 Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3 Chứng minh rằng:
4 625
z
x
y
Tìm để thể tích của hình chóp đạt giá trị lớn nhất.
II, PHầN RIÊNG (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần 1( Dành cho thí sinh theo chơng trình chuẩn )
Câu Va 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(
2
1
; 0) Đờng thẳng chứa cạnh AB có phơng trình x-2y+2= 0 , AB =2AD
Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết A có hoành độ âm
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng (d1) và (d2)có phơng trình
Lập phơng trình mặt phẳng chứa (d1) và (d2)
.Câu VIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
10x 2 8 4 ( 2 1 ) 2 1
Câu Vb 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông.
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng ( ) và ( ' ) có phơng trình
4t' 2 t' 2 y t' 2 -2 x :
; 4
2t -1 y t 3 x
z z
Viết phơng trình đờng vuông góc chung của ( ) và (')
x m
******** Hết ********
Trờng THPT
năm 2009 (lần II)
Hớng dẫn chấm môn toán
I.1
Khảo sát hàm số y=
1
1 2
x
1 Tập xác định: R\{1}
2 Sự biến thiên:
) 1 (
3 )
1 (
) 1 2 ( ) 1 ( 2 '
x x
x x
y
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1;+∞)
Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị
0,25
3
3 9
1 6
4 -x : ) (d
; 1
2 -z 3
1 y 2
1 );
( 1 x 2 y z d
đề chính thức
Trang 2Câu Nội dung Điểm
1 2 lim lim
1
x y
x x
1 2 lim lim
1
x y
x x
Do đó đờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng
1
1 2 lim
x y
x x
Vậy đờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang
0,25
* Bảng biến thiên:
-∞
+∞
2
3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số.
0,5
I.2 Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B Tìm M để chu vi tam
1
3 2
;
0 0
x
* Tiếp tuyến tại M có dạng:
1
3 2 ) ( ) 1 (
3
0 0
2
x x
x x
y
Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A
1
6 2
;
1
0
x
B(2x 0 -1; 2) ; I(1; 2)
* Ta có: S IAB =
2
1
1
6 2
1
0 0
0,25
0,25
* IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi
IA= IB (HS tự chứng minh)
3 1 1
2 1 6
0
0 0
x x
x
* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện
M 1 (1 3 ; 2 3)
M 2 (1 3 ; 2 3)
Khi đó chu vi AIB = 4 3 2 6
0,5
II.1
cos 2 sin
sin 2 2 sin 3
x x
x
Trang 3Câu Nội dung Điểm
cos 2 sin
sin 2 2 sin 3
x x
x x
Điều kiện: sin2x 0 =>
0 cos
0 sin
x x
* Từ phơng trình => 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx
(2sin2x – 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0
2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= 0
0,5
* 2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0
0 ) 1 cos 2 ( sin 0 sin 2 sin
0 sin 1 cos
x x
x x
x x
* 2cosx -1 =0 (do sinx 0)
3 3
cos 2
1 cosx x k (kZ)
0,5
II.2
Giải hệ phơng trình:
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x
y x
y y
x x
* Hệ phơng trình tơng đơng với
0 22 )
2 (
4 ) 3 ( ) 2 (
2 2
2 2
2
x y x
y x
Đặt * Thay vào hệ phơng trình ta có:
hoặc
thế vào cách đặt ta đợc các nghiệm của hệ là : ; ; ;
1,00
0,25
0,25
0,5
III.1 Tính tích phân
2 /
3 sin2 sin cos
xdx x
e x
1,00
(loại)
Trang 4Câu Nội dung Điểm
Đặt sin 2 x= t => dt= 2sinx cosxdx
Đổi cận: x=0 => t=0; x= 1
2 t
Khi đó I=
1
0
) 1 ( 2
1 e t t dt
0,5
t
dt du dv dt e u t
2 2
1
Dùng tích phân từng phần ta có I= e
2
1
III.2 Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3 Chứng minh rằng: 3xy
4
625 4
1,00
Bất đẳng thức
2 42
x
9
4 9
y
2
2
25
4 25
z
5
2 3
2 2 ( ) 5 3 (
z y x z y x
2 3
) 5 3 (
36 )
5 3 (.
9
z y x z
y
0,5
Đặt t = 3 (x 3y 5z) 2
3
5 3 )
5 3 (
3
z y
Điều kiện 0 < t 1 Xét hàm số f(t)= 9t+
t
36
=45
Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y=
3
1
; z=
5
1
IV
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a,mặt bên hợp với đáy góc
Tính để thể tích V của hình chóp đạt giá trị lớn nhất.
1,00
) tan 2 (
tan
3
4
2 3
2
) tan 2 (
tan
2
2
tan 2
tan
1
1
1
Vmax
27
3
a
khi đó tan2 =1 = 45o
0,5 0,5
Va.1
Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I
; 0 2
1
; AB có phơng trình: x- 2y+2= 0; AB=
2AD Tìm tọa độ A; B; C; D biết A có hoành độ âm
1,00
Trang 5Câu Nội dung Điểm
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB ,khi đó IH=
2 5
Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (C) có tâm I và bán kính R= IA đờng
tròn (C) có phơng trình là:
4
25 2
2
B(2; 2) Do C đối xứng với A qua I qua đó C(3; 0)
Do D đối xứng với B qua I qua đó D(-1;-2)
0, 5
0, 5
Va.2
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 )có phơng trình:
d 1 :
t z
t y
t x
2
3 1
2 1
; d 2 :
3
3 9
1 6
x
Hãy lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và (d 2 )
1,00
0,25 Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).Hai véc tơ không cùng phơng có giá song song
hoặc nằm trên mặt phẳng (P) là: u1(2;3;1) và M1M2 (3;2;1).Vậy (P) có véc
tơ pháp tuyến là: nu1,M1M2(1;1;5)
Mặt phẳng (P) qua M 1 (1; -1; 2) Vậy phơng trình (P) là: x+ y- 5z +10 =0
0,25
0, 5
VIa Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt:
m( 2x+1). 2 1
x
1,00
Nhận xét : 10x2 8 4
x = 2(2x+1)2 +2(x2 +1)
1
1 2 ( ) 1
1 2
2 2
x
x m x
x
x
x
1
1 2
2 Điều kiện : -2< t 5 Rút m ta có: m=
t
t 2
2 2
Lập bảng biến thiên của hàm số trên 2 , 5 , ta có kết quả của m để phơng
trình có hai nghiệm phân biệt là:
5
12
4 m hoặc -5 < m 4
0,25
0,75
Vb.1 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4;
-2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD Hãy lập phơng trình
các cạnh của hình vuông trên.
1,00 + Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là n(a;b)
(a 2 + b 2 0) => véc tơ pháp tuyến của BC là:n 1( b;a).Phơng trình AB có
dạng: a(x-2) +b(y-1)= 0
ax + by -2a-b =0
BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 - bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)
0,5
a b
a b b
a
a b b
a
2 2 2
2
Tr
ờng hợp 1 : b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là:
Trang 6Câu Nội dung Điểm
BC: 2x +y – 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0 6= 0; AD: 2x + y -4 =0
Tr
ờng hợp 2 : b= -a Khi đó
AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x – 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0y + 2= 0
AD: -x – 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0
0,25
Vb
2
Cho ():
4
2 1
3
z
t y
t x
u z
u y
u x
4 2
2 2
0
+ Gọi đờng vuông góc chung của () và ( ) là d’)
Khi đó , ' ( 4 ; 2 ; 1 )
2
1
u u
ud
+ Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp
tuyến: n1 u,ud (2;1;10)
Vậy phơng trình của () là: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gọi () là mặt phẳng chứa ( ) và (d) thì (’) ) qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp
tuyến: n2 u' ,ud ( 6 ; 18 ; 12 )
Vậy phơng trình của () là: x + 3y- 2z + 6 =0
Do đó đờng vuông góc chung của và là giao tuyến của hai mặt phẳng: ’)
2x – 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0 y + 10z – 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0 47 = 0 và x + 3y – 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0 2z + 6 =0
+Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm)
0,25
0,25
0,25
0,25
0
* Phơng trình tơng đơng với: ( 1 ) 3 1 ( 1 ) 3 ( 1 )
mx
Xét hàm số: f(t)=t 3 t, hàm số này đồng biến trên R.
f(mx 1 ) f(x 1 ) mx 1 x 1
* Giải và biện luận phơng trình trên ta có kết quả cần tìm.
+ 1 m 1 phơng trình có nghiệm x=
1
2
m
+m=-1 phơng trình nghiệm x 1
Các trờng hợp còn lại phơng trình vô nghiệm
0,5
0,5
Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng vẫn đợc điểm tối đa
