Đề thi thử đại học lần 2 môn Toán năm 2014 trường Lương Thế Vinh, đề chuẩn trường Lương Thế Vinh, đáp án chi tiết
Trang 1SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐÈ THỊ THỨ ĐẠI HỌC LÀN II NĂM 2014
mm Thời gian làm bài: 180 phái, không kế thời gian phái đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm sỐ y = — () và đường thăng đ: y= x +7 x+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đỗ thị (C) của hàm số (1)
b) Tim m để đường thắng đ cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt 44, 8 Chứng minh rằng khi đó tích các hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại 4 và Z không đổi
Câu 2 (1,0 điển) Giải phương trình 2sin” x—eos2x + cos x =0
Câu 3 (1,0 điển) Giải phương trình
2x!~0x+3-+AJ3x” +7x—1+AJ3x~2 =0 (xe RR)
3
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân J = [or ~2)in = dx
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.4BCŒD có đáy ABCD la hình chữ nhat, AB=a, SA = SB = SƠ
> BC =: 2a Tính thể tích của khối chóp S ABCD va tinh khoảng cách giữa hai đường thang AC và
SD theo a
Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, J, z thay đối nhưng luôn thỏa mãn điều kiện
x? dị) 4-2 + Xỹ + J2 + XZ =Ố,
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=—y+ ¬— bY 2)
Cau 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toa dO Oxy, cho tam gidc ABC cn tai dinh A Gọi là trung điểm của 4ð Gọi # và Ƒ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh 8, € của am gidc ABC Tim toa
độ của đỉnh 44 biết rằng E(;)), (2) và phương trình đường thẳng CN là 2x+ y— 13 = 0
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(4;2; 0), B(3;3;2), C(2;0;-2) va mat phẳng (P):2z~2y~z+11=0 Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua ba điểm
A, B, C va (S) tiếp xúc với mặt phang (P)
Câu 9 (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z= "| Tim môđun của số phức
3
weg 1+2,
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cắn bộ coi thi không giải thích gì thêm
In 8n : Số báo danh: -retrrersrrrres
Trang 2
SỞ GD & ĐT HÀ NỘI pk THI THU ĐẠI HỌC LÀN H NĂM 26014
TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẺ VINH Môn: TOÁN, Khối Ð
Thời gian làm bài: 180 phút, không kế thời gian phát đề
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm sé y= a (1) va đường thẳng đ:y=~x+m xe
a) Khao sát sự biến thiên và vẽ đô thị (C) của ham số (1)
b) Tìm m để đường thắng đ cắt đỗ thị (C) tại hai điểm phân biệt 44, 8 đồng thời các tiếp tuyến của
(©) tại 4 và 8 có cùng hệ số góc
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình — 1+sinx+(1+sin x).sin 2x = cos 2x,
Câu 3 (1,0 điển) Giải phương trình
2x? —4x—94+x/Sx+6+^AJ7x+11=0 — (xe§)
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 7 = | dân In(x + + Ddx
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.4BCD 6 day ABCD là hình chữ nhật, 4B =a, S4 = BC = 2a Biết rằng hai mặt phẳng (S4C) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (4BCP) Tính thể tích của khối chóp % 4BŒĐD và tính khoảng cách giữa hai đường thang AC va SD theo a
Câu 6 (1,0 điển) Cho ba số thực dương x, y, z thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện
Vay +a? expt yorxz = 6,
“Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu mức
v2 +9ln(x+ y+z)+—————————- 54
Ố+xy+ JZ + xZ
y
` 5
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho tam giác 48C Gọi # và lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh Ö, C của tam giác ABC Tìm tọa độ của đỉnh A biết rằng
II ETA, rs 2) , phuong trình đường thăng ĐC là x+3y—4= 0 và điểm Ø có tung độ dương
Câu 8 (1;0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm 4G;3;2), B(-b3;2),
Œ(3;3;—2) và mặt phẳng (P):2xz~2y—z+L1= 0 Viết phương trình của mặt cầu (9) đi qua ba điểm
A, B,C va (S) tiép xúc với mặt phang (P)
Câu 9 (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện zz+2.Z=19~—4i¡, Tìm môđun của số phức
3
w*zZz 1z+l
T1“ sinh không được sử dụng tài liệu Cẩn bộ coi thi không giải thích gì thêm
Ho và tên thí sinh: các HH nhau n2 re hàn ; Số báo danh: .«-errreeerere
Trang 3
80 GD & DT HA NOI ĐÁP ÁN - THANG ĐIỄM MÔN TOÁN KHÓI A
TRUONG THPT LƯƠNG THẺ VINH ĐÈ THỊ THỨ ĐẠI HỌC LÀN 2 NAM 2014
NOI DUNG ĐIỂM
: ` Ä 4h bạ k x1 1 diém
a) Khao sat va vé do thi ham so y= et x+
* Tập xác định: 2=I§\{-l}
* Chiều biến thiên: „'= a >0 VxeDdD
¬ SED 0,25đ
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó, do đó hàm số không có cực trị , q
*# Tiệm cận: lim y=+s, lim y=~œ; lim y=l
| => Do thi (C) cd tiệm cận đứng x = — và tiệm cận ngang „= l >
* Bang bién thién
x |» Ä too |
y` + +
b) Tìm để đường thing d:y=x-+m cat đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Chirng
minh ring khi đó tích các hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại 4 và B khong đỗi 1 điểm
- x#-]
Đường thắng ở cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt > phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x#—Ì
A>0 wÊ 4(m+1)>0 m>2+2V/2
| Goi A(a,a+m), B(b,b +m) trong dé a, b là hai nghiệm của phương trình (2)
Tích các hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại A va Bla
POL 0) = PT ng:
Theo Định lý Viết ta có a+b mm
ab=m +]
Ay 4
Suy ra Z9/®)=z—=——ry=l (m+i-m-+l) 025đ
Phuong trinh é> Asin? xsinx+1—-2cos*x+cosx=0
| 2sinz(I+cosx)+l+2eosx=0 — (2) 0,25đ
Ta có (2) ©sin” x + cos” x +2sin xcosx + 2(sin x + cosx) = 0 <> (sinx +.cos x)’ +2(sin x +cosx) =0
Trang 4: z
sin x.+- cos x =0 V2.sin(x-+ 2 =9
|, sinx+cosx+2=0 V2.sin(x + 7 =-2
&> sỉn(x +: ” =- 2 (Loại) hoặc sinœ+ 2 =0€<x+=k# €(éx= i+ kn (ke@)
4
0,25d
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=2kz hoặc x= ake (ke Z)
~~ 1 điểm |
Câu 3 Giải phương trình 2x”—9x+3+ 3x? +7x—1+43x—2 =0 (eR)
Điều kiện x> 2-Phương trình đã cho trở thành:
20+) =3x+2)=(2x+ ¡On thị Œœ-3x~2) 0/254
«<>2@?~3x+2)= Qx +l Gx ' z=@x-2)
2x+1+43x?+7x— x+43x~ 2
x=
@[ | 1 Cà 1 22 «| 1 1
(2x+l+ đt L xe 2 ———-—'-——~—-=2 Œ 2x+l+AJ3x?+7x-l x+e3x— 0,254
Với x> : ta có
! + ! < ! "
2x+l+tV3x2+7x—1 xtV3x-2 924, 2 7 2 ^
3
Do đó phương trình (*) vô nghiệm, Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1;x=2 0,254
Dat w= “In a, dv = (3x? + 2)dx => du = zit vax’ —2x 0,25d |
=21.In2=4.In3+ ale = le
3 x]
3
=21.In2~4,1n3 +(x? = In]x? 1) + 2 0,25d
CAu 5 Cho hinh chép S.ABCD c6 day ABCD là hình chữ nhật, 4B = a, SA = SB=SC = BC = 2a Tính
thể tích khéi chép S ABCD va tinh khodng cach gitta hai dwong thang AC va SD theo a 1điểm
Hạ SỐ 1 (ABCD), Vi SA = SB = SC nén ta cé ASAO = ASBO = ASCO => OA = OB = OC :
| Vay O la tam đường tròn ngoại tiếp của tam giác 48C Từ đó suy ra Ở là trung điểm của 4C 0,25đ
Ta có AC? = AB? + BC? = 5a? = AC =aJS = OA= ws => SO=VS8A°—04' = aft
vực
Từ đó Vy ane = 5 50S ABCD TT TT! 2 av ala =——-—- 2 a vl
Trang 5
A
Gọi M là trung điểm của SB Ta có OM song song voi SD Do dé mat phang (ACM) song song voi SD Tir do
Vy ac d(AC,SD) = d(SD,(ACM)) = d(D,(ACM )) = AM,
ACM
1 11 _@ 11
Taco Vy gene = Vay acy = 2 Veen = 2 2 Vs ABCD = 127 0/256
Ta có tam Biác SBC déu, dodé CM = am =ay3
Trong tam giác SAB tacé AM? = 4S = _ AM =——— ws , Từ đó
— 2 - 2 _ 2 _— "—————
cos ANC = MA AMC 2.MA.MC = AC” Š —; sin4MC =xÍI —cos" AMC = Ý 2 12
> Saget 5-MA.MC.sin AMC -1 au a3 Ne ee
3 a vil I
Vậy d(AC, sp) = Maen 2 12_ dav
ICâu 6 Cho ba số đương x, ÿ, ¿ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện
x” + y? +2” +xU + 2 + xz = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Áp dụng bât đăng thức Cô-si ta có
apt yptyrytd 25.5 Spy = $x => = 2 Sx—3y-1,
y lẻ y
Tương tự fa có
2 5y-32-h a3 252-3x-1
Từ đó suy ra
P>2(x+y+z)—12Inœ+ yea) + —B_—_-3,
Đặt (£=x+ y+z VÌ x, y,z> 0 nên ta có
=3” ý? +22 +2(Xy+ J2 + X2) >x) +? 4:22 + + yế + xe = 6m > |6,
Trang 6
Mặt khác ta có
(Œœ—y#' (yz) ten zy 20x? ty? 427 > xy ye tz
Suyra 2 = 26x? + y? 42°) 4 Mop + yo + xz) S3(x? ty? 2? bay t2 tx2) = L8 => <3,
“Vay
P3 ƒ@)534<12Inr= +3
vol f=xbytze (Vo:3 |
Tacé +
py-a-12,22 18 2 0~6Ê+1t <6 0=DŒ=2=3) sa vye( V63] f v £ là
l
P>/@>~ =12In3, Khix=y=z=1 thì P=— L~12In3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bả hix=y=z= 1 thì aT n3 Vậy giá trị nhỏ nhât của P bằng 3” LÍ 12in3 n3 0,254 Câu 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác 4BC cân tại đỉnh 44 Gọi N là trung điểm của AB 1 điể Gọi E và Ƒ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh Ø, C của (am gidc ABC Tim toa độ của đỉnh 44 tem
1 biết rằng #(7;1), & | và phương trình đường thắng CN là 2x+ y—13 =0
Gọi Gia trong tim ca tam giae ABC Vi Ge CN = G(G13- 28) Do tam gidc ABC can tại 4 nên tacd
G2 =GŒF? @(1~7)” +(3—2/— =t~Ÿ +(3-2~-7Ÿ ©i=5> G3) 0.25đ
x=5+t,
Tacé AG + EF = uụy =(53) Phương trình đường thang AG la Ù 3343 = A5+a;3+34) yu +
CeECN > C(e,13—-2c)
rican Xp 3 3X%q—¥y Xe =10-a-e
sms 3a =3W¿ — Và ~c =—T—3a+2e
Ta có
<>1.(a+2e—10)+3(3a — 4e+-20)= 0© a=e—~5,
Suyra 2(5—2€;8—e) Ta có EB=(8—2eœ;7—e), C =(e—7,12—2e) Vì #B L EC nên ta có 0254
& (8-2¢).(e- 7) + (7 - e)U2 —2¢) = 0 @ 28~ 4e=0 c>e=7,a=e~=5 = 2
Câu 8 Trong không gian với bệ tọa độ Øxz, cho ba điểm 4(4;2;0), BQ;3;2), C(2;0;—2) và mặt 1 điểm
phẳng (?):2x-~2y—z+11= 0, Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua ba diém A, B, C va (S) tiép
Goi /{a,b,c) là tâm của mặt cầu (5) Ta có
20 py _he ae
- A!?=CU a+b+e=3 (2)
| Cong (1Ð) với (2)ta được 2a—~ec<=2<>c=2a—2—>b=3—da—ec=5 —3a => (4:5 = 34:24 — 2) 0,25đ
|0) tiếp xúc với mặt câu (S) khi và chỉ khi
lÊa~26~34)— Oa:
Trang 7
a=l
<> 10a? 38a4+28=0 14
aan
© Voi a=1 tacé 1(1;2;0), R= JA=3 Phuong trinh (S) la (e—1)? +(v- 2) +2? = 9
© Véi a=— tacd (—; >;—), R= aan (Sores) JA == Phuong trinh (8) la 2 - Phương trình (5) là (xy + (yt 2) + (2-3 = 5) tt SY +e 3) = 56 0,254
Câu 9 Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z = 2” Tìm môđun của sô phức w = zˆ+z-t] 1 điểm
zt Điều kiện z#~2 Goi z=at+bi (a,beR) Từ giả thiết ta có phương trình
Z.2+2.2=19 =4i c a? +bˆ +2(a— bì) =19 ~ 4i
2 Tủ =
> (a? +b" +2a)~2bi = 194i off + bi 4 2a=19 ~2b =-4 0/25đ-
> a3 2 a=3 -
Trường hợp l z=3+2¡ Ta có
w=(+20?++20+1=9+14i=>|w|= v9? +142 =.J277, 0,25đ
Trường hợp 2 z=—5+2/ Ta có
w=(~5+20” +(~5+27)+l=17—18i=>|w|=aj1?? +(18)? =x/613 0,25đ
Trang 8SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐÁP AN — THANG DIEM MON TOAN KHOI D
TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẺ VINH DE THI THU DAI HQC LAN 2 NĂM 2014
Cầu 1
2 điểm |
* Tập xác dinh: D=IR\{-}
` 2
* Chiêu biên thiên: „*=-——>>0 WVxeÐ G+)
Hàm số đồng biến trên tùng khoảng xác định của nó, do đó hàm số không có cực trị
0,25đ
*Tiệm cận: lim y=+too, lim y=-œ; lim y=l
xo xe(T-Dt X-yde
= Đồ thị (C) có tiệm cận đứng x = ~l và tiệm cận ngang y = 1 0,25d
* Bang bién thién
b) Vim m để đường thẳng đ:y==x+ø cắt đỗ thị (C) tại hai điểm phân biệt 44, B đẳng thời | 1 điểm các tiếp tuyến của (C) tại 4 và H có cùng hệ SỐ góc,
Phương trình hoành độ giao điểm: =X + <> 2 0.254
Đường thẳng đ cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt © phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x#—]
đúng với mọi m "
Gọi A(a,—a + m), BÉ,—b + m) trong đó a, b là hai nghiệm của phương trình (2)
Theo để bài ta có
[ Trường hợp a = ö không xảy ra Theo Định lý Viết ta có a+b=im—2,Do đó m—2=~2€©>m =0, _
| Phuong trinh -
© |-cos2x+sinx-+(1+sin x).2sinxcosx =0< 2sin’ x +sinx +(1+sinx).2sin xcosx =0 0,25d
(2) © sin” x + cos” x + 2sin xeos x + 2(sin x + cos x) = 0 ©> (sỉn x + cos x)” + 2(sin x + eos x) = 0
z
sinx+cosx+2=0
Trang 9€> sin(y + 2 ==/2 (Loại) hoặc sinœ+ 2 =0@x a =: kƑ C x= i+ kn (ke2)
Vậy phương trinh da cho cé cac nghiém 1a x = 2&z hoặc x= 4 thr (keZ®)
0,25đ
Câu 3 Giải phương trình 2x2~4x-9+A/5x+6+AJ7xtll=0— (xe) 1 điểm
Điều kiện x> _ Phương trình đã cho trở thành:
« 2(x°—x=2 ~ G42 weet > U(x? — 2) = — ——— nh —==| n2
( ai dsx+6 7 x131//XEHI Œ )ZYš2+ t6 xr34V7xil1| 0/254
Với x> ~$ ta có
+ 1 < ! + Am S2 <2,
x+2+v5x+6 x434V7x+11 9,2 _ 4.9
- 5
Do đó phuong trinh (*) v6 nghiém Vay phương trình đã cho có hai nghiệm là x = -];x = 2 0,25đ-
Đặt f=x+lox=f-lodv=dt va a x=e-l>=e
ae dt fia =1, +1,
Tính =f ar=fineating 202] =, J i J nrZ@n) 2 2
Tính 7, - [tai Đặt ø =In¿, yo tg an yeh, 'Ta có
a 3 2
Câu 5 Cho hình chóp $S.4BCĐ có đáy ABCD 1a hinh chir nhật, 4Ö = a, SA = BC = 2a
Biết răng hai mặt phẳng (SAC) va (SBD) citing vuéng géc với mặt phẳng (ABCD) Tinh thé tich
của khối chóp S ABCD va tinh khodng cach giita hai dwong thang AC va SD theo a 1diém Gọi Ø là tâm của hinh chit nhat ABCD, Vi hai mat phang (SAC) va (SBD) eting vuéng goc voi mat 0,254
| phaing (ABCD) va (SAC)A(SBD) = SO nén ta cé SO | (ABCD)
Ta có AC? - AB’ + BC? =5a’ => AC =a\5 = OA= SẼ s so- Vs#-O# 7 avi
2
Tp du 1 J avi a1
Từ đó Vs ane = 3550 Sascy = 3" 2 a.2a= 3 ï
Trang 10
Goi M {a tning diém ctia SB Ta c6 OM song song voi SD Do dé mat phang (ACM) song song voi SD, Do dé
3Ÿ,
d(AC, SD) = d(SD,(ACM)) = d(D,(ACM)) = —-?2⁄21,
ACM
Ta C6 Vy se = mg xep = 3”tacp =2-2Tanep 1” 0/25đ
Ta có Ø4= OB = oc=®ŠŠ = sp= SC =SA=2a Tam giác SBC đều, do đó CM —— = av3
‹ 2 2 2 2
Trong tam giác %4 tacé AM? = ae - = 3a" => AM = “ Tir dé
2 „2 2 /
cosAMC = MA’ + MC =ÁC, = 2 => sin AMC = \Ì ~ cos 2 AMC = 12
= 8= L,MALMC.sìn ẨMC =2, sử, a3 a =o NI)
ol tag
Vậy d(AC, SD) =~ 2 = Suen 4đ j119 — V19 0,254 ,
16
Câu 6 Cho ba số dương x, p, ¿ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện
x°+cty? +?! Exy+ y2 + xz = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P= + Tư: +9ln(x+y+z) tt
Áp dụng bất đăng thức Cé-si ta cé
Trai eos =3x => >3x—2
Tương tự ta có
on Ay ee ya 232 2x
Từ đó suy ra
54