TIỂU LUẬN BÀI TOÁN KHÔNG CHỈNH

GIỚI THIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Bài toán không chỉnh

Một bài toán được gọi là chỉnh (well-posed) nếu thỏa mãn 3 tính chất sau: i.) Tính tồn tại nghiệm ii.) Tính duy nhất nghiệm iii.) Tính ổn định nghiệm

Về mặt toán học, sự tồn tại nghiệm được dựa vào sự mở rộng của không gian nghiệm

VD 1.1.1: Xét phương trình x 2  1 0 , phương trình này vô nghiệm trong  2,   nhưng nếu ta xét trong  0, thì pt sẽ có nghiệm x 1.

Nếu bài toán có nhiều hơn một nghiệm, điều này cho thấy mô hình toán học đang thiếu thông tin Để khắc phục, cần bổ sung các điều kiện cần thiết, chẳng hạn như điều kiện về dấu.

VD 1.1.2: Xét pt x 2  1 0, pt này có 2 nghiệm trên là x1,x 1, nhưng nếu thêm điều kiện 0 x thì pt chỉ có 1 nghiệm là x1

Tính ổn định nghiêm là yêu cầu quan trọng nhất trong bài toán, vì nếu thiếu tính ổn định, nghiệm thực tế sẽ không thể tính toán được Mọi phép đo hay tính toán đều có sai số, dẫn đến dữ liệu bài toán bị nhiễu Khi nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu, nghiệm tính toán sẽ không thể so sánh với nghiệm chính xác trong trường hợp tổng quát.

Cho Xvà Y là các không gian định chuẩn K X:  Ylà một ánh xạ (tuyến tính hoặc không tuyến tính)

Phương trình Kx = y được coi là chỉnh khi thỏa mãn ba tính chất cơ bản: Thứ nhất, tính tồn tại nghiệm yêu cầu rằng với mọi y thuộc Y, phải tồn tại ít nhất một x thuộc X sao cho Kx = y Thứ hai, tính duy nhất nghiệm chỉ ra rằng với mọi y thuộc Y, có nhiều nhất một x thuộc X sao cho Kx = y Cuối cùng, tính ổn định nghiệm xác định rằng nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y.

Với mọi dãy ( )x n  X với Kx n n Kx

 Bài toán không thỏa (ít nhất) một trong những tính chất trên được gọi là không chỉnh

Một số ví dụ về bài toán không chỉnh

VD 1.1.3 (Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace [1, Example 1.14 (Cauchy’s problem for the Laplace equation), page 10]

Tìm một nghiệm u cho phương trình Laplace

 , trong đó f vàg là các hàm cho trước

Khi f x n    0 và g n   x  1 sin   nx n thì   2    

Sai số dữ liệu  n , n   ,  sup 1 sin   0 1 n 0 x f g f g nx n n

Sai số nghiệm 2     sup 1 sin sinh 0

Sai số dữ liệu tiến về 0, trong khi sai số nghiệm u tiến về  nên nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu Vậy bài toán này không chỉnh

Cho x là hàm liên tục trên  0,1  Tìm nguyên hàm của x, tức là tính

Cho y là hàm khả vi, liên tục trên  0,1  với y   0  0 Tìm x  y '

Giải phương trình tích phân: Kx y

  với t    0,1 , ta trang bị chuẩn  

Vì sai số dữ liệu tiến về 0, trong khi đó sai số nghiệm x tiến về  nên nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu

Vậy bài toán  K C ,     0,1 , C 0,1  là bài toán không chỉnh

Suy ra nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu

Vậy bài toán  K C ,   0,1 , Y  là bài toán chỉnh Định lí 1.1.1 [1, Theorem 1.17, page 12]

Cho X Y, là những không gian định chuẩn và K X:  Y là toán tử tuyến tính compact và N K   là không gian nhân N K    xX Kx : 0 

Cho số chiều của không gian thương X N K /  vô hạn chiều

Khi đó có tồn tại dãy   x n  X sao choKx n 0nhưng   x n không hội tụ

Cụ thể nếu Klà đơn ánh thì ánh xạ ngược K  1 : Y     x  X là không bị chặn Ở đây

 là miền giá trị của K

 N N K   là một không gian con đóng của X

* N K  là không gian vectơ con của X

Vậy N K  là không gian vectơ con của X

Giả sử x n xKx n K x   (Klà toán tử tuyến tính compact nên Kliên tục)

Vậy : N K   là không gian con đóng của X

Suy ra K x   y   0 ( do K tuyến tính ) x y N x y

 Chứng minh K là toán tử compact

Do K là ánh xạ tuyến tính nên K cũng là ánh xạ tuyến tính

Klà toán tử compact nên K bị chặn, nghĩa là M 0 sao cho K x   Y  M x X , x  X

Xét A  X\sao cho A bị chặn, nghĩa là  M  0 :   x X \   M ,    x  A

Suy ra v x : x v x M1,   x A Đặt B x v x : xX  Suy ra Bbị chặn trong X màK là toán tử compact

Suy ra K B   là tập compact

Vậy K là một toán tử compact

Chứng minh tồn tại dãy   x n  X sao choKx n 0 nhưng   x n không hội tụ

Sai số trong trường hợp xấu nhất (The Worst – Case Error)

Cho y và ylà hai hàm khả vi liên tục, cho một số E0 sao cho y '' E

Cho K X: Y là toán tử tuyến tính bị chặn giữa hai không gian Banach, X 1 X là không gian con và

.1 là chuẩn mạnh hơn trên X 1 Nghĩa là, tồn tại c  0 sao cho x  x 1 , x X 1 Khi đó ta định nghĩa:

Và gọi F , , E 1  là sai số trong trường hợp xấu nhất với sai số dữ liệu là  và điều kiện cho trước x 1E

Cho K X: Ylà toán tử tuyến tính compact và giả sử rằng X M K \   là không gian vô hạn chiều Khi đó, với mọi E 0, tồn tại c 0 và  0 0 sao cho F , , E 1 c với mọi 0, 0 

Xét dãy   x m X có tính chất : 0

Chọn được dãy con   x m n Xcó tính chất

Khi n đủ lớn, z n sẽ tiến gần đến 0 nhưng không bằng E, từ đó suy ra n m n z = x Kết luận này đúng cho mọi dãy con của (x m), dẫn đến K° - 1 bị chặn trên B K(x) Điều này mâu thuẫn với việc K° - 1 không bị chặn theo định lý 1.17.

C   không gian các hàm khả vi liên tục vô hạn lần

C C   không gian các hàm khả vi liên tục vô hạn lần có giá compact

C C   a b không gian các hàm khả vi liên tục vô hạn lần có giá compact trong a b , 

Ví dụ 1.2.1 [1, Example 1.20, page 14] Cho X  Y  L 2   0,1

L x  x t x t dt BĐT Schwarz  x y ,   x y ,  x y ,  H Đặt ux t  dux t dt '  

Vậy : F , , E 2  2 3 E 1 3 Định nghĩa1.2.2 [1, Definition A.52, page 275]

Cho X và Y là không gian Hilbert và K X:  Ylà toán tử compact với toán tử liên hợp K*:Y  X

Giá trị kỳ dị của toán tử tự liên hợp K, ký hiệu là  j, với j thuộc tập J, được xác định bởi mối quan hệ j =  j Tập J có thể là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được Định lý 1.2.1 liên quan đến phân rã các giá trị kỳ dị của K, được trình bày trong tài liệu tham khảo [1, Định lý A.53, trang 276].

Cho K X: Ylà toán tử tuyến tính compact

K Y  Xlà toán tử liên hợp của K

Và  1  2  3  0 là dãy có thứ tự các giá trị kỳ dị dương của K Khi đó hệ trực chuẩn

  x j  X và   y j Y với các tính chất K x   j  j y j và K *   y j  j x j , j J

*Hệ  j , x y j , j được gọi là hệt kỳ dị cho toán tử K

*  x X,có 1 phân rã giá trị kỳ dị 0  , j  j j J x x x x x

Cho X và Y là không gian Hilbert

K X  Ylà toán tử tuyến tính, compact và đơn ánh với R K  là giá trị trù mật

Cho K*:Y  X là toán tử tuyến tính liên hợp nghĩa là  Kx y ,  Y  x K y , *  X với mọi  x y ,   X Y 

Hơn thế nữa, với mọi E0tồn tại dãy  n 0 sao cho F  n , , E 1   n E, nghĩa là tiệm cận tới tốt nhất Đặt X 2 R K K  *  và 2  *  1

X x  K K  x với xX 2 Khi đó, F , , E 2  2 3 E 1 3 và với mọi E 0tồn tại 1 dãy  n 0 sao cho F  n , , E 2  n 2 3 E 1 3

Chứng minh a) Cho xK z* X 1 với Kx Y  và x 1 E

Khi đó, 2  ,   * ,  lien hop  ,  Cauchy Schwartz

Bây giờ cho   n , x y n , n là một hệ kỳ dị của K Đặtx n EK*y n  n Ex n và  n  n 2 E0

Ta có :    n là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên lim n inf k n  k n 

Do K đơn ánh nên   y R K  ,tồn tại duy nhất x  K  1   y  X

K  1 bị chặn và KcompactIcompact mà dim n X

Suy ra  0 0 n    n   0 n    n   0(đpcm) b) Cho xK Kz* X 2 với Kx Y  và x 2 E Do đó, z X E

X Y Y Y x  K Kz x  Kz Kx  Kz Kx  Kz

Kz  Kz Kz  z K Kz  z K Kz E x

Suy ra ước lượng thứ hai :  

Chứng minh: với mọi E0, tồn tại dãy  n 0sao cho Ƒ  n , , E 2  n 2 3 E 1 3

Cho  n , x y n , n là một hệ kì dị của K Đặt  x n  E K K  *    x n

Khi đó : x n EK *   n y n E  n 2 x n và đặt  n  n 3 E0 khi n 

Tiểu luận môn Bài toán không chỉnh Trang

LÝ THUYẾT CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH LOẠI I

Lý thuyết chỉnh hóa tổng quát

Sơ đồ chỉnh hóa là 1 họ các toán tử tuyến tính bị chặn

Nghĩa là: toán tử R K  hội tụ từng điểm về toán tử đồng nhấtI,với R K  là ánh xạ hợp Định lý 2.1.1 [1, Theorem 2.2, page 24]

Cho Rα là một sơ đồ chỉnh hóa của toán tử compact K: X → Y với dimX = ∞ Toán tử Rα không bị chặn đều, tức là tồn tại một dãy (Rαj) mà Rαj → ∞ khi j → ∞ Hơn nữa, dãy (RKxα) không hội tụ đều trên các tập con bị chặn của X, điều này có nghĩa là RKα không hội tụ về toán tử đồng nhất Id theo chuẩn toán tử.

Chứng minh i) Dùng phương pháp phản chứng

Giả sử R  bị chặn đều, nghĩa là  c 0 sao cho R  c,  0

Theo giả thiết, R  là 1 sơ đồ chỉnh hóa của toán tử compactK X:  Y nên theo định nghĩa 2.1.1, ta cóR Kx     0 x, x X

Do R  tuyến tính và bị chặn nên R  liên tục

Do đó,K  1 bị chặn, mà K  1 tuyến tính nên K  1 liên tục

Do K compact nên I K K  1 compact (mâu thuẫn với dimX  )

Vậy R  không bị chặn đều ii) Dùng phương pháp phản chứng

Giả sử  R Kx   hội tụ đều, nghĩa là R K  I trong L X X  ,  ,    0

Do R  tuyến tính và bị chặn nên R  liên tục, mà K compact nên R K  compact

Xét I X: X trên các tập con bị chặn của X thì Ilà ánh xạ bị chặn

R K       0I theo chuẩn toán tử trong L X X  ,  ,    0

Suy ra I compact, nên dimX (mâu thuẫn với giả thiết với dimX  )

Vậy  R Kx   không hội đều Định nghĩa 2.1.2 [1, Definition 2.3, page 26]

Một sơ đồ chỉnh hóa với cách chọn      gọi là chấp nhận được nếu      0 và

 Định nghĩa trên đảm bảo tính ổn định, nghĩa là khi Kx gần y  thì R     y  đủ gần x(Do đó chúng ta cần xấp xỉ x)

 Một phương pháp thuận lợi để xây dựng các sơ đồ chỉnh hóa chấp nhận được là bằng hệ kì dị và hàm lọc

K X Y là toán tử tuyến tính compact và  j , x y j , j là hệ kì dị của K thì nghiệm của phương trình Kxy là  

 Ta đã chứng minh  j 0 khi j  (Định lí 1.2.2) Do đó, ta cần xây dựng 1 sơ đồ chỉnh hóa để giảm bớt 1

Cho K X: Y là toán tử compact với hệ kỳ dị  M j , x , j y j  và q : 0,      0, K     là 1 phiếm hàm thỏa các tính chất sau

Khi đó toán tử R  :Y  X với  0 định nghĩa bởi

Là 1 sơ đồ chỉnh hóa với R   c   

Cách chọn       được gọi là chấp nhận được nếu      0 và  c        0 khi   0

Khi đó hàm q được gọi là lọc chỉnh hóa của toán tửK

 do   x j là hệ trực chuẩn của X nên x j 1,  j 1,

 R  hội tụ điểm nghĩa là R Kx       0 x , x X

Do x j 1 Ở đây, K * là toán tử liên hợp của K

Với A được gọi là tổng hữu hạn và B là phần dư

 Ta chứng minh phần dư B tiến về 0 khi x tiến về 0

Lấy xX bất kỳ nhưng cố định, ta có:

Suy ra   0, N ( chọn nN ) sao cho 2   2   2 2

 Ta chứng minh tổng hữu hạn A tiến về 0

Theo giả thiết (3a) là   lim0 q , 1

Tức là với mỗi  , 0 sao cho

Do đó R  là 1 sơ đồ chỉnh hóa Định lý 2.1.3 [1, Theorem 2.7, page 33]

Với các giả thiết (1) và (2) của định lý 2.1.2,

(i) Ý (3a) được thay thế bởi giả thiết mạnh hơn:

     và 0 K Hơn nữa, nếu x  R K   * thì R Kx   x  c 1  z với xK z *

(ii) Ý (3a) cũng được thay thế bởi giả thiết mạnh hơn cả (3b):

Hơn nữa, nếu x  R K K  *  thì R Kx  x c 2 . z với xK Kz *

Ta có từ định lí 2.1.2:

Ta có từ định lý 2.1.2:

   với xK Kz * (ĐPCM) Định lý 2.1.4 [1, Theorem 2.8 page 34]

Ba hàm q sau thỏa mãn (1) , (2), (3) của định lý 2.1.2 và (3b), (3c) của định lý 2.1.3 a q    ,    2 /     2  thỏa (2) với   1 c  2

  thỏa (3b) và (3c) với c 1 c 2 1 Khi đó các hàm q được định nghĩa ở (a), (b), (c) là các hàm lọc chỉnh hóa dẫn đến các lược đồ chỉnh hóa tối ưu

( do giả thiết và tính chất 1 của định lý 2.1.2)

- Thỏa (2) của định lý 2.1.2 vì

Áp dụng định lý Bernouli ta có  1 a  2  1/  1 a  2

- Thỏa (3a) của định lý 2.1.3 vì  lim  0 q    ,   lim 1   0      1  a  2  1/      1

Thật vậy   0,   0 sao cho  suy ra 1 1

0 a Chứng minh Bất đẳng thức (*) Đặt f x    x  1  ax 2   với 0 x 1

Kẻ bảng biến thiên ta dò được giá trị lớn nhất của f x   là

Kẻ bảng biến thiên ta dò được giá trị lớn nhất của f x   là

Từ TH1 và TH2 suy ra   1 f x 2 a

Ta có q    ,    1  1  a  2  1/  Ý tưởng:Cần chứng minh

Vẽ bảng biến thiên, ta có f t   đạt GTLN tại

 Thỏa (1) vì theo định nghĩa q    ,   1,    0,0    K

Các phương pháp chỉnh hóa chọn q theo hai cách đầu (câu (a) và câu (b)) thể hiện một đặc tính quan trọng, giúp tránh xa việc sử dụng kiến thức về hệ kì dị.

Cách chọn q theo (c) được gọi là chặt cụt phổ “ spectral cutoff” Nghiệm chặt cụt phổ “ spectral cutoff” x      , X được định nghĩa bởi:  

  , với yKx là vế phải chính xác

(a) Cho K : X Y là toán tử compắc đơn ánh với hệ kì dị   j , x j ,y j  Toán tử

Xác định một sơ đồ chỉnh hóa với 1

  sơ đồ này là chấp nhận được nếu:

(b) Cho xK z * R K( * ), với z E và c0 với cách chọn   c

    , ta có đánh giá sau:

(c) Cho xK Kz * R K K( * ) với z E và c0 với cách chọn  

  thì ta có đánh giá:

Do đó, chặt cụt phổ “ spectral cutoff” là tối ưu với dữ kiện   K *  1 x  E hoặc  K K *   1 x  E tương ứng (nếu K * là đơn ánh)

(a) Áp dụng định lí 2.1.2 với hàm  

Chứng minh R  là tuyến tính

    (do ( ) x j là hệ trực chuẩn của X nên

 Chứng minh R  hội tụ điểm về toán tử đồng nhất I nghĩa là R Kx      0 x ,   x X

 (định lí phân rã các hệ kì dị A.53)

Khi đó toán tử R  :YX ,  0 được định nghĩa theo định lí (2.1.2)

   là một sơ đồ chỉnh hóa với R  c   1

  và cách chọn là chấp nhận được nếu      0 và

(b) Cho y  R K   là các giá trị chính xác ở vế phải và y  Y là dữ liệu đo với yy   Ta định nghĩa x      , R     y  là xấp xỉ của nghiệm đúng x của Kx y

Khi đó sai số phân làm 2 phần như sau:

Suy ra x      , x  R      R     Kxx với Kxy

Theo Định lý 2.1.2 đã chỉ ở câu a ta có: R      c     (1)

Theo Định lý 2.1.4c đã chỉ ở câu a ta có:    

Theo Định lý 2.1.3a (công thức 2.9a): R     Kxx c 1    z

(c) Cho xK Kz * R K K( * ) với z E và c0 với cách chọn  

Cho y  R K   là các giá trị chính xác ở vế phải và y  Y là dữ liệu đo với yy   Ta định nghĩa x      , R     y  là xấp xỉ của nghiệm đúng x của

Khi đó sai số phân làm 2 phần như sau:

Suy ra x      , x  R      R     Kxx với Kx y

Trong đó theo Định lý 2.1.4 c:    

Theo Định lý 2.1.3(b): R     Kxx c 2   z Ta chọn c 2 1 với c0

Do đó điểm chặt cụt phổ “spectral cutoff” là tối ưu với dữ kiện   K *   1 x   E hoặc

  tương ứng ( nếu K*là đơn ánh)

Vậy có điều phải chứng minh

Tiểu luận môn Bài toán không chỉnh Trang