Khảo sát một bài toán không chỉnh khoá luận tốt nghiệp

Lời nói đầuBài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với điều kiện biên Cauchy là mộtbài toán đặt không chỉnh theo định nghĩa của Haramard [8] nghĩa là, nghiệm của bàitoán này là

Mục lục 1

1.1 Không gian Banach 9

1.2 Không gian Hilbert 11

1.3 Một số định lý quan trọng khác 14

2 Chỉnh hoá một bài toán không chỉnh 16 2.1 Giới thiệu lại bài toán 16

2.2 Nghiệm của bài toán (1) - (4) 17

2.3 Các kết quả chính của việc chỉnh hoá bài toán (1) - (4) 19

2.3.1 Chỉnh hoá bài toán (1) - (4) 19

2.3.2 Tính ổn định của (2.7) - (2.9) 21

2.3.3 Đánh giá sai số 25

3 Ví dụ minh hoạ 33 3.1 Mô phỏng hoá dữ liệu 33

3.2 Quá trình tính toán 35

3.3 Ví dụ số 37

1

Tài liệu tham khảo 44

Danh mục ký hiệu

1 N= {1, 2, 3, }là tập hợp các số tự nhiên

2 R là tập hợp các số thực

3 C là tập hợp các số phức

4 L2(Ω) là tập hợp họ các hàm f : Ω → K(K = C hoặc K = C) có lũy thừa bậc2

của môđun khả tích Lebesgue trênΩ

5 ∆ulà khai triển Laplace dạng 3 chiều của hàmu

6 δzulà đạo hàm riêng theo biếnz của hàmu

7 (g, h)|z=0làg vàhtại giá trịz = 0

8 H1(Ω)là không gian chứa tất cả các hàm trongL2(Ω)khả vi tới cấp 1

9 ∂Ωlà biên của miền giới hạnΩ

10 H01(Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong H1(Ω) mà vết của chúng bị triệttiêu trên∂Ω

11 ||·||X là chuẩn cảm sinh trong không gianX

12 |||·|||X là chuẩn supremum trong không gian X

13 C([0, c], X, ||·||X) là không gian các ánh xạ liên tục đi từ [0, c] vào X với chuẩn

||·||X

14 C([0, c], X, |||·|||X) là không gian các ánh xạ liên tục đi từ [0, c] vào X với chuẩn

|||·|||X

15 D(A)là miền xác định củaA

16 h·, ·iH là tích vô hướng trênH

Danh sách hình vẽ

3.1 Hình minh hoạ cho hàmU (x, y, c) 39

3.2 Hình minh hoạ nghiệm chính xác với lướiM × N × K = 101 × 101 × 101 40 3.3 uαvớiε = 1.0 × 10−1,α(ε) = εt,t = 1.0 × 10−1 40

3.4 uαvớiε = 1.0 × 10−2,α(ε) = εt,t = 1.0 × 10−1 40

3.5 uαvớiε = 1.0 × 10−4,α(ε) = εt,t = 1.0 × 10−1 41

3.6 uαvớiε = 1.0 × 10−6,α(ε) = εt,t = 1.0 × 10−1 41

3.7 uαvớiε = 1.0 × 10−2,α(ε) =  ε ln ε 0.05 41

3.8 uαvớiε = 1.0 × 10−4,α(ε) = ε ln ε 0.05 42

3.9 uαvớiε = 1.0 × 10−6,α(ε) =  ε ln ε 0.05 42

3.10 uαvớiε = 1.0 × 10−8,α(ε) =  ε ln ε 0.05 42

Lời nói đầu

Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với điều kiện biên Cauchy là mộtbài toán đặt không chỉnh theo định nghĩa của Haramard [8] nghĩa là, nghiệm của bàitoán này là không tồn tại; ngay cả khi nghiệm của bài toán tồn tại thì nghiệm đó cũngkhông phụ thuộc liên tục vào dữ liệu dạng Cauchy Một ví dụ cho tính không chỉnh củabài toán nói trên là bài toán được tác giả Faker Bin Belgacem xét trong bài báo [4] Mặc

dù tính không chỉnh của bài toán trên gây ra sự khó khăn trong việc tính toán số, nhưngbài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với dữ liệu Cauchy là bài toán đượcứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật như là các bài toán truyền sóng

âm, bài toán truyền sóng thuỷ động lực học và bài toán sóng điện từ (xem trong bài báo[10], [11]) Ngoài ra, hầu hết các bài toán này đều được xét trong miền không gian 3chiều (3D) với nguồn không thuần nhất Trong thực tế, hàm nguồn còn phụ thuộc vàohàmuchưa biết Do đó, bài toán nêu trên cần được khảo sát và chỉnh hoá

Trong khoá luận này, chúng tôi chứng minh chi tiết lại các bổ đề, định lý được nêutrong bài báo [23], đồng thời hệ thống lại một số các kiến thức liên quan Cụ thể, chúngtôi khảo sát bài toán như sau

Cho a, b, c > 0 và Ω = (−a, a) × (−b, b)là một hình chữ nhật trong R2 với biên∂Ω.Chúng ta tìm một hàmuthoả mãn

∆u = f (u, x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω × [0, c], (1)

k gε − u(·, ·, 0) k + k hε− ∂zu(·, ·, 0) k≤ ε, (3)trong đó∆là toán tử Laplace dạng ba chiều, ∂z là đạo hàm riêng theo biếnz,f là mộthàm cho trước phụ thuộc vào biến uchưa biết, hai hàm gε vàhε là hai hàm được chotrong không gianL2(Ω) vớik · k là chuẩn trongL2(Ω),εlà sai số nhiễu của(gε, hε)sovới dữ liệu Cauchy chính xác

Trong suốt khoá luận này, chúng tôi sẽ sử dụng những kí hiệu dưới đây Không gianSobolev Hm(Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong L2(Ω) khả vi đến cấp s với

s ≤ m.H01(Ω)là không gian chứa tất cả các hàm trongH1(Ω)mà vết của chúng bị triệttiêu trên∂Ω Chúng ta sẽ dùng kí hiệuC([0, c], L2(Ω)), |||·|||cho các ánh xạ liên tục

đi từ[0, c]đếnL2(Ω)trong không gian Banach, trong đó|||·|||là chuẩn supremum.Đặt λmnvàψmn là giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của toán tửA := −∆đượcxác định trên miềnD(A) ⊂ H01(Ω), với

λmn= π

2

r

m a

2

+

n b

2

, ψmn= sin

mπ(x + a) 2a



sin

nπ(y + b) 2b



(5)với mọi (m, n) ∈ N2 Sau đây, chúng tôi ký hiệu khai triển Fourier của các hàm v = v(x, y), w = w(x, y, z), f = f (w, x, y, z) và ∂zw ˆmn(z) lần lượt là v ˆmn = κhv, ψmni,

- (8) trong thực tế còn nhiều hạn chế, kể cả khi hệ số khai triển Fourier(bgmn,bhmn, fbmn)

tiến nhanh về 0 Bài toán Cauchy đối với các phương trình elliptic là không chỉnh theođịnh nghĩa của Hadamard, nghĩa là một sự biến đổi nhỏ trong dữ liệu Cauchy đã có thểgây ra một sự sai khác rất lớn trong kết quả nghiệm của u(x, y, z) với z ∈ [0, c] Việckhông ổn định trên tỉ lệ thuận với khoảng cách từ z đến biên z = 0 Vì vậy, rất khó

để giải quyết bài toán trên bằng cách sử dụng các phương pháp số đảo ngược cổ điển

Để khắc phục tình trạng không chỉnh này, các phương pháp chỉnh hoá được đề xuất đểchỉnh hoá cho bài toán là thật sự cần thiết

Trước đây, đã có nhiều nghiên cứu về bài toán Cauchy cho các hình thức cụ thể củaphương trình elliptic (1) Trong trường hợp không có hàm ban đầu, nghĩa là f = 0,bài toán trên được gọi là bài toán Cauchy cho phương trình Laplace (xem [5], [6]) Với

f = −k2u (k là hằng số), (1) tiêu biến thành phương trình Helmholtz thuần nhất; đãđược nghiên cứu rộng rãi và nhiều kết quả liên quan đến các phương pháp định chế đãđược điều tra, ví dụ: nghiên cứu gần đây của Reginska và nhóm của cô [14], [15].Gần đây, Nguyễn et al [21] đã xét phương trình (1) trong không gian 2 chiều chophương trình Helmholtz đã được sửa đổi (hoặc phương trình Yukawa) với một hàmnguồn thuần nhất, nghĩa là hàm nguồn là dạngf = k2u + r(rlà một hàm) Sau đó, Trần

et al [17] đã mở rộng kết quả của nhóm [21] để giải quyết bài toán trong mô hình 3Dcho phương trình Helmholtz, tức là phương trình (1) với hàm nguồnf = ±k2u + r kếthợp với điều kiện biên Dirichlet và Neumann thuần nhất

Các phương trình nói trên cũng được tổng quát hóa thành các giả thiết trừu tượng, ví

dụ [7], [21], [22] đã đề xuất nhiều sơ đồ chỉnh hoá cho phương trình toán tử Trong [7],Elden et al đã áp dụng phương pháp chặt cụt để có được nghiệm ổn định và xử lý bàitoán xấp xỉ bằng phương pháp Krylov Trong [22], các tác giả đề xuất một phương phápbiến đổi bằng cách xây dựng mới những hàm hạch bị chặn để thay thế các đại lượngkhông bị chặn của phần tử đại diện nghiệm và thu được các ước lượng sai số khác nhautương ứng với một số điều kiện tiên nghiệm của nghiệm chính xác

Trong quá trình tìm hiểu, có rất ít kết quả về bài toán Cauchy cho các phương trìnhelliptic phi tuyến trong không gian ba chiều Trong khoá luận này, chúng tôi xem xétbài toán (1) - (4) trong trường hợp hàmf thỏa mãn điều kiện Lipschitz

∃K > 0, ∀u, v ∈ L2(Ω), ∀z ∈R, ||f (w, z) − f (v, z)||≤ K||w − v||. (9)Trong bài luận này, ngoài việc dùng phương pháp tựa giá trị biên để chính hoá chobài toán (1) - (4), chúng tôi còn dùng máy tính để khảo sát tính hiệu quả của phươngpháp chỉnh hoá được dùng để giải quyết tính không chỉnh của bài toán thông qua cácbài toán trong phần ví dụ minh hoạ

Khoá luận này được trình bày qua các chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày một số kiến thức cần thiết như các định nghĩa,định lý, mệnh đề liên quan đến các không gian hàm

Chương 2: Chỉnh hóa một bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với dữ

liệu Cauchy

Chương này trình bày việc chỉnh hoá bài toán (1) - (4), tính tồn tại nghiệmduy nhất và tính ổn định của nghiệm chỉnh hoá

Chương 3: Ví dụ minh họa

Chương này đưa ra các mô phỏng dữ liệu, thủ tục tính toán và ví dụ để minhhoạ cho bài toán

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương 1, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cần thiết cho khoá luận này

1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một không gian vectơ trên trường K (với K = R

hoặc K =C) và ánh xạ k·kX : X → R Ta nói k·kX là một chuẩn trên X, nếu nó

có các tính chất sau

i) kxkX ≥ 0, với mọi x ∈ X và kxkX = 0 khi và chỉ khi x = 0,

ii) ktxkX = |t|kxkX, với mọi t ∈ K, với mọi x ∈ X,

iii) kx + ykX ≤ kxkX + kykX, với mọi x, y ∈ X

Không gian vectơ X cùng với chuẩn k·kX được gọi là không gian định chuẩn

và ký hiệu là (X, k·kX)

Định nghĩa 1.1.2 Cho (X, k·kX) là một không gian định chuẩn, dãy {xn}+∞n=1

trong X được gọi là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồntại một số nguyên dương Nε (phụ thuộc vào ε) sao cho kxm− xnkX < ε, với mọi

Định nghĩa 1.1.4 Họ các hàm f : Ω → K có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < +∞) củamôđun khả tích Lebesgue trên Ω, nghĩa là

≤



Z

+



Z

·

Trong không gian hàm Lp(Ω),1 ≤ p ≤ +∞, các hàm bằng nhau hầu khắp nơi đượcxem là như nhau Ta có định lý sau khẳng định rằng không gian hàm Lp(Ω) là khônggian tuyến tính định chuẩn

Định lý 1.1.7 Không gian Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ +∞ cùng với các phép toán cộng cáchàm và phép nhân vô hướng một hàm với một số là một không gian vectơ địnhchuẩn, với chuẩn được cho như sau

kf kp =



Z

Cho (X, d)là một không gian metric, một ánh xạf : X → X được gọi là một ánh xạLipschitz nếu tồn tại một hằng số không âmαsao cho

d(f (x), f (y)) < αd(x, y), với mọi x, y ∈ X. (1.1)Hằng sốα nhỏ nhất thoả mãn (1.1) được gọi là hằng số Lipschitz đối vớif, kí hiệu là

L NếuL < 1thì ta nóif là ánh xạ co, nếuf = 1thì ta nóif là ánh xạ không dãn.Khái niệm không gian mêtric đầy đủ: Không gian mêtric X gọi là đầy đủ nếu chomột dãy x n gồm các phần tử sao cho nếu n, m càng lớn thì x n và x m càng gần nhau(tính chất này được gọi là tính chất Cauchy) thì tồn tại một phần tử xtrongX sao cho

xn càng ngày càng gần vớix(tính chất này gọi là hội tụ vềx)

Định lý 1.1.9 Định lý ánh xạ co: Cho không gian mêtric đầy đủ X Cho f : X →

X Nếu tồn tại 0 ≤ α < 1 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y).Khi đó tồn tại duy nhất x0 thỏa mãn f (x0) = x0, và nếu ta xét dãy xn như sau

x1 = f (x0), xn = f (xn−1) với mọi n ∈ N, n ≤ 2 thì xn hội tụ về x

1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 Cho H là một không gian vectơ tuyến tính Ánh xạ h· , ·iH :

H × H →K (với K=R hoặc K=C) được gọi là tích vô hướng trên H nếu

i) hx, yiH = hy, xiH, với mọi x, y ∈ H,

ii) hx + y, ziH = hx, ziH + hy, ziH, với mọi x, y, z ∈ H,

iii) hαx, yiH = α hx, yiH, với mọi x, y ∈ H, với mọi α ∈K,

iv) hx, xiH ≥ 0, với mọi x ∈ H và hx, xiH = 0 khi và chỉ khi x = 0

hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y

Không gian vectơ tuyến tínhH cùng với tích vô hướng h· , ·iH được gọi là khônggian tiền Hilbert

Hơn nữa, khi K =R thì h· , ·iH là một dạng song tuyến tính xác định dương

Bây giờ, chúng ta đặt kxkH = phx, x.iH, với mọi x ∈ H Thì (H, k·kH) là mộtkhông gian định chuẩn Chuẩn k·kH này là chuẩn cảm sinh bởi tích vô hướng

h· , ·iH trên H

Định nghĩa 1.2.2 ChoHlà một không gian tiền Hilbert với tích vô hướngh· , ·iH

và chuẩn cảm sinh k·kH Khi đó, ta gọi H là không gian Hilbert nếu (H, k·kH) làkhông gian Banach

Chúng ta có thể thấy, không gian L2((−a, a) × (−b, b)) với tích vô hướng cho bởicông thứchf, giL2 ((−a,a)×(−b,b)) =

bZ

−b

aZ

ii) kx ± yk2H = kxk2H + kyk2H ± 2Re hx, yiH, với mọi x, y ∈ H,

iii) kx + yk2H + kx − yk2H = 2kxk2H+ 2kyk2H, với mọi x, y ∈ H (Đẳng thức hình bìnhhành)

Định nghĩa 1.2.6 Hai vectơx, y ∈ Hđược gọi là trực giao với nhau nếuhx , yiH =

0 và ký hiệu là x⊥y Một họ các vectơ S = {x i }i∈I ⊂ H được gọi là hệ trực giaotrong H nếu các phần tử trong S trực giao với nhau từng đôi một Ta nói S là hệtrực chuẩn nếu mọi phần tử thuộc S đều có chuẩn bằng 1

Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2.7 Mọi họ các vectơ gồm các vectơ khác vectơ không và là hệ trựcgiao trong H đều là hệ độc lập tuyến tính

Định lý 1.2.8 (Đẳng thức Pythagore) Nếu {x1, x2, , xn} là một hệ trựcgiao trong H thì

nX

i=1

kxik2H.

Từ đây ta có

Định lý 1.2.9 Cho {x1, x2, , xn} là một hệ trực chuẩn gồm n vectơ của H.Khi đó, mỗi phần tử x ∈ H có hình chiếu trực giao lên không gian vectơ con sinhbởi {x1, x2, , xn} là

y =

nX

+∞Pn=1

x nhội tụ nếu và chỉ nếu chuỗi

+∞

Pn=1

Định lý 1.2.13 Cho {xn}n∈N là một hệ trực chuẩn trong H Khi đó, các mệnh

đề sau là tương đương

i) {xn}n∈N là cơ sở trực chuẩn

ii) Với mọi x ∈ H, ta có x =

+∞

Pn=1

hx, xniHxn.

iii) Với mọi x, y ∈ H, ta có hx, yiH =

+∞

Pn=1

hx, x n iHhy, x n iH.

iv) Với mọi x ∈ H, ta có kxk2H =

+∞

Pn=1

|hx, xniH|2 (Đẳng thức Parseval)

1.3 Một số định lý quan trọng khác

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số định lý của giải tích hàm nhiều biến

Định lý 1.3.1 (Bất đẳng thức Gronwall) Nếu¨ u, k : [α, +∞) → [0, +∞) thoảmãn

u(t) ≤ a +

tZ

ii) Tính duy nhất: với mọiy ∈ Y, có nhiều nhất mộtx ∈ X sao choKx = y,

iii) Tính ổn định: nghiệm xphụ thuộc liên tục vào y, nghĩa là với mọi dãy (xn) ⊂ X

thỏa Kxn −→ Kx (n −→ ∞)thìxn −→ x (n −→ ∞).

Bài toán không thỏa ít nhất một trong các tính chất trên gọi là bài toán không chỉnh

Về mặt toán học, việc tồn tại nghiệm có thể đạt được bằng cách mở rộng không giannghiệm Nếu bài toán có nhiều hơn một nghiệm thì thường là thông tin về nghiệm bịthiếu và bằng những thông tin bổ sung ta sẽ thu được nghiệm duy nhất Yêu cầu quantrọng nhất là sự ổn định nghiệm, bởi vì nếu thiếu điều này thì dù một sai số nhỏ của dữliệu cũng có thể dẫn đến một sai số lớn của nghiệm Điều này làm cho chúng ta khôngthể nào tính được nghiệm (dù là xấp xỉ), bởi mọi dữ liệu có được do đo đạc đều phải đikèm với sai số

Hầu hết các bài toán ngược trong thực tế đều không chỉnh do không thỏa tính chất

ổn định của nghiệm và dẫn tới nghiệm tính được (trên dữ liệu bị nhiễu) thường "khácxa" với nghiệm chính xác Để khắc phục điều này, người ta xét bài toán khác, "tươngtự" bài toán gốc, sao cho đó là bài toán chỉnh, đồng thời nghiệm của bài toán chỉnh xấp

xỉ với nghiệm của bài toán gốc

Việc làm đó được gọi là chỉnh hóa Phương pháp chỉnh hóa càng tốt nếu sai số củanghiệm thu được so với nghiệm của bài toán gốc càng nhỏ

Chương 2

Chỉnh hoá một bài toán không chỉnh

Trong chương 2, chúng tôi trình bày lại việc tìm nghiệm của bài toán, chứng minhnghiệm đó không chỉnh theo định nghĩa Haramard [8] và chỉnh hoá bài toán bằngphương pháp tựa giá trị biên (quasi-boundary value)

2.1 Giới thiệu lại bài toán

Cho a, b, c > 0 và Ω = (−a, a) × (−b, b) là một hình chữ nhật trong R2 với biên ∂Ω.Chúng ta tìm một hàmuthoả mãn:

∆u = f (u, x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω × [0, c], u(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ Ω × [0, c],

k g ε − u(·, ·, 0) k + k h ε − ∂zu(·, ·, 0) k≤ ε,

trong đó∆là toán tử Laplace dạng ba chiều, ∂z là đạo hàm riêng theo biếnz,f là mộthàm cho trước phụ thuộc vào biếnu chưa biết sao chof thoả mãn điều kiện Lipschitz(9), hai hàmgε vàhε là hai hàm được cho trong không gianL2(Ω) với chuẩnk · ktrong

L2(Ω),εlà sai số nhiễu của(gε, hε)so với dữ liệu Cauchy chính xác

(g, h) = (u, ∂zu)|z=0.

Trong suốt khoá luận này, chúng tôi xét tích vô hướng hf, gi với mọi f, g ∈ L2(Ω),

Ω = [−a, a] × [−b, b]như sau

hf, gi =

bZ

−b

aZ

−a

Tiếp sau đây chúng tôi sẽ đi tìm nghiệm chính xác của bài toán (1) - (4)

2.2 Nghiệm của bài toán (1) - (4)

Áp dụng phương pháp tách biến, ta có

∆u = f (u, x, y, z).

Lấy tích vô hướng 2 vế vớiψ mnđược nêu ở (5) ta thu được

huxx, ψmn(·, ·)i + huyy, ψmn(·, ·)i + huzz, ψmn(·, ·)i = hf (u, ·, ·, z), ψmn(·, ·)i. (2.2)Xét

−b

aZ

−a

uxx(x, y, z)ψmn(x, y)dxdy

=

bZ

−b

aZ

−b

aZ

−b

aZ

−b

aZ

−a

uyy(x, y, z)ψmn(x, y)dxdy

=

bZ

−b

aZ

−b

aZ

= − nπ

2b

!2 bZ

−b

aZ

Giải phương trình vi phân (2.6), ta thu được nghiệm

umn(z) = e

λ mn z

2λmn

zZ

2.3 Các kết quả chính của việc chỉnh hoá bài toán (1) - (4)

2.3.1 Chỉnh hoá bài toán (1) - (4)

Cho T là một hằng số với T ≥ c Với mỗi tham số chỉnh hoá α > 0 phụ thuộc vào ε,chúng tôi xây dựng một hàmuε,α thoả mãn

0

 e−(T −z+s)λmn

αλmn+ e−T λmn − e(s−z)λmn

b

với mọi λ > 0 và α ∈ (0, D), trong đó B = max{1, q}, D = min{1, q}.

Chứng minh.Xem phần phụ lục trang 47

Bổ đề 2.3.2 Cho φ, ϕ, σ, ς ∈ L2(Ω) và ω, v ∈ C([0, T ], L2(Ω)) tuỳ ý Khi đó ta cócác bất đẳng thức sau đây

| Gbαmn(ϕ, ς, z) − Gbαmn(φ, σ, z)|2≤ C1(α lnD

α)

−2z

T (| ϕbmn− φbmn|2+|bςmn−bσmn|2) (2.10)và

− 2z T

, ∀α ∈ (0, D), (2.13)

do e−2zλmn ≤ 1 ≤



α lnDα

− z T

≤ B



α lnDα

2

≤ 2B2



α lnDα

− 2z T

| ˆ ϕmn− ˆ φmn|2+ |ˆ ς mn − ˆ σ mn |2

λ 2 mn

2

≤ C1



α lnDα

− 2z T

| ˆ ϕmn− ˆ φmn|2+|ˆ ςmn− ˆ σmn|2

!

,

(2.14)trong đóC1= B2max{1, λ−2min}

Bên cạnh đó, để chứng minh (2.11), bằng cách thếwvàv vào (2.9), ta thu được

ˆ

Jmnα (wα, z) − ˆ Jmnα (vα, z) = 1

2λmn

zZ

4λ 2 mn

zZ

zZ

λ 2 mn

zZ

2.3.2 Tính ổn định của (2.7) - (2.9)

Định lý 2.3.3 Với mỗi α ∈ (0, D) và φ, σ ∈ L2(Ω), bài toán (2.7) - (2.9) kết hợpvới dữ liệu (φ, σ) có nghiệm duy nhất wα ∈ C([0, T ], L 2 (Ω)) Hơn nữa, nếu vα lànghiệm chính xác ứng với dữ liệu (ϕ, ς) ∈ L2(Ω) × L2(Ω), thì khi đó

||wα(z) − vα(z)||≤ Q1



α lnDa

−2zT

(||ϕ − φ||+||ς − σ||), (2.16)trong đó Q1 là một hằng số dương, bài toán (2.7) - (2.9) là bài toán chỉnh

Chứng minh

Việc chứng minh định lý được chia làm các bước như sau

- Bước 1: Chứng minh bài toán (2.7) - (2.9) có nghiệm duy nhất.

- Bước 2: Chứng minh tính ổn định của nghiệm của bài toán (2.7) - (2.9)

Sử dụng (2.11), ta được

||F [w](z) − F [v](z)||2 = ||Jα(w, s) − Jα(v, s)||2

λ 2 mn

zZ



α lnDα

− 2T z

zZ

0

||w(s) − v(s)||2ds

≤ Q2z

zZ

||Fk+1[w](z) − Fk+1[v](z)||2 = kF [Fk[w]](z) − F [Fk[v]](z)k2

≤ Q2z

zZ

0

||Fk[w](s) − Fk[v](s)||2ds

≤ Q2z

zZ

0

(Qs)2k1.3.5 (2k − 1) |||w − v|||2ds

2l

1.3.5 (2l − 1) < 1 Khi đóFl0

là ánh xạ co Áp dụng định lý điểm bất động trong không gian Banach, phương trình

Fl0 [w] = wcó nghiệm duy nhất làwα ∈ C([0, T ], L2(Ω)) Hơn nữa, ta cóF (Fl0 (wα)) =

F (wα) hay Fl0 (F (wα)) = F (wα) Áp dụng tính duy nhất của điểm bất động ta suy

ra F (wα) = wα Nói cách khác, bài toán (2.7) - (2.9) có nghiệm duy nhất wα thuộc

C([0, T ], L2(Ω))

Bước 2 Chứng minh tính ổn định

Trong bước này, chúng tôi chứng minh tính ổn định nghiệm của bài toán (2.7) - (2.9)thông qua đánh giá (2.16) Bằng việc thay thế (ϕ, ς) bởi (φ, σ)trong (2.7), sau đó lấytích vô hướng vớiψ mn, chúng tôi thu được