PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I.. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC III... Giải các phương trình lượng giác sau... Giải các phương trình lượng giác sau... Giải các phương trình lương giác sau...
Trang 1BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
tan
x
sin cos sin cos 1 sin cos
sin cos sin cos 1 sin cos
II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
Hai cung đối nhau
cos x cosx sinx sinx
tan x tanx cotx cotx
Hai cung bù nhau
sin x sinx cos x cosx
tan x tanx cotx cotx
Hai cung phụ nhau
Hai cung hơn nhau
sin x sinx cos x cosx
tan x tanx cot xcotx
Hai cung hơn nhau
2
Trang 2
sin cos
Với k là số nguyên thì ta có:
sin xk2 sinx cosxk2cosx
tan xk tanx cotxkcotx
IV CÔNG THỨC CỘNG
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan tan
1 tan tan
x y
sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin
tan tan tan
1 tan tan
x y
Đặc biệt:
2
sin 2 2sin cos cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2sin
2 tan tan 2
1 tan
x x
x
Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: sin2 1 cos 2 ; cos2 1 cos 2
TH2: Công thức góc nhân ba:
3
3
sin 3 3sin 4 sin
V CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG
cos cos 2 cos cos
cos cos 2 sin cos
sin sin 2sin cos
sin sin 2 cos sin
1
2 1
2 1
2 1
2
Chú ý:
Trang 3 sin sin 2
2
2
u v k
tan tan
2
u v k
cotu cotv u v k
u k
Đặc biệt:
2
2
2
Chú ý:
Điều kiện có nghiệm của phương trình sin xm và cos xm là: 1 m1
Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau về phương
trình cơ bản:
2
2
sinu sinvsinusin v cosu cosvcosucosv
Đối với phương trình
2
2
x x
không nên giải trực tiếp vì khi đó phải giải 4 phương trình
cơ bản thành phần, khi đó việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn Ta nên dựa vào công thức sin2 xcos2x1 để biến đổi như sau:
2
2
x x
x
Tương tự đối với phương trình
2
2
2 2
1 cos
2 cos 1 0 2
cos 2 0
sin
2
x
x
x x
x
Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản
2
2
u v k
tan tan
2
u v k
cotu cotv u v k
u k
Trang 4Bài 1 Giải các phương trình lượng giác sau
x
6
x
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
c) 2 cos 2 0 3 x d) 3 tan 3 x 3 ………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Bài 2 Giải các phương trình lượng giác sau a) sin sin 2 4 x x b) sin cos 2 6 4 x x ………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Trang 5………
………
………
………
………
………
………
………
c) tan 3 tan 4 6 x x d) cot 2x 4 tan 6 x 0 ………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Dạng 2 Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác
Là phương trình có dạng :
2
sin ( ) sin ( ) cos ( ) cos ( )
0 tan ( ) tan ( )
cot ( ) cot ( )
Cách giải: Đặt
sin ( ) cos ( ) tan ( ) cot ( )
u x
u x t
u x
u x
ta có phương trình : at2bt c 0
Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được x
Khi đặt sin ( )
cos ( )
u x t
u x
, ta co điều kiện: t 1;1
Bài 3 Giải các phương trình lượng giác sau
Trang 6a) 2
4 cos x2 3 1 cos x 3 0 b) 2 cos2x5sinx 4 0
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
c) 2 3 tan x 1 3 tanx 1 0 d) 4 sin2 x12sinx 7 0 ………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Trang 7DẠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình: asinx b cosxc
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 2 2
a b
C1: Đặt
a b
C2: Đặt
Khi đó PT cosx 2c 2 x ?
a b
Điều kiện có nghiệm của phương trình: 2 2 2
a b c
Chú ý: Khi phương trình có a c hoặc b c thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng phép nhóm nhân tử chung
Bài 4 Giải các phương trình lương giác sau
a) cosx 3 sinx 2 b) 2 sinx2 cosx 6
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Trang 8……… ………
c) 3 cos 3xsin 3x 2 d) sinxcosx 2 sin 5x ………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
DẠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX
a x b x x c xd với a b c , , 0
Cách giải:
Cách 1:+ Xét cosx 0 có là nghiệm phương trình không? (Nếu cosx 0 có nghiệm thì suy ra
,
2
x k k
+ Xét cosx 0, chia hai vế phương trình cho cos x2 ta được:
a x b x c d x xx
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1)
Bài 5 Giải phương trình lượng giác sau
a) 2 sin2 xsin cosx x3cos2x0 b) 2 sin2 x3sin cosx xcos2x0
Trang 9………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
c) sin2x10sin cosx x21cos2x0 d) 2 sin2 x5sin cosx x3cos2 x0 ………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Trang 10………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
e) 2 2 sin x 1 3 sin cosx x 3 cos x0 f) 3sin2 x2sin 2x5cos2x2 ………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
g) 3sin 22 xsin 2 cos 2x x4 cos 22 x2 h) 3sin 22 xsin 2 cos 2x x4 cos 22 x2
Trang 11………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Bài tập tự luyện
Bài 6 Giải các phương trình lượng giác sau
3
3
Bài 7 Giải các phương trình lượng giác sau
a) 3 cosxsinx2
b) cosx 3 sinx 2
c) 2 sin2x 3 sin 2x 1 0 d) cos2x 3 sin 2x 1 sin2x
Bài 8 Giải các phương trình lượng giác sau
a) sin 3x 3 cos 3x2sin 2x
Trang 12b) sin 2sin 3 cos
Bài 9 Giải các phương trình lượng giác sau
a) 2 sin2x3 3 sin cosx xcos2x 2
b) sin2 xsin cosx x2 cos2x0
c) 4 sin2x3 3 sin 2x2 cos2x 4 d) 2 cos 22 x3 3 sin 2 cos 2x x 4 4sin 22 x
Bài 10 Giải các phương trình lượng giác sau
a) sin 5xsin 3xsinx0
b) cosxcos 3xsin 4x
c) sin2xcos 2x2sin 2x1
d) 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0