Sự hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach, Luận văn TGT, Toán Giải tích, Luận văn thạc sĩ TGT Trình bày các định nghĩa về các dang hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach, bao gồm: hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ mômen đầy đủ, hội tụ mômen đầy đủ cấp r, hội tụ theo xác suất, hội tụ trung bình cấp p. Trình bày các ví dụ minh họa cho các định nghĩa. Chứng minh chi tiết các tính chất về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ.
Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
1.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach
Chương 2 Sự hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach
2.1 Sự hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên
2.2 Dãy cơ bản các phần tử ngẫu nhiên
CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ bản về giải tích hàm và các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đề cập đến một số vấn đề liên quan đến phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach Nội dung chính của chương được xây dựng dựa trên các tài liệu tham khảo như [1], [3], [5], [6], và [10].
Giải tích hàm là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, trong đó không gian vectơ (hay không gian tuyến tính) trên K được định nghĩa là một tập E không rỗng, với phép cộng E × E.
→E và một phép nhân vô hướng K×E → E thoả mãn các điều kiện:
Các phần tử trong không gian vectơ được gọi là vectơ, và không gian vectơ trên trường K thường được ký hiệu là K - không gian vectơ Định nghĩa 1.1.2 (xem [1], trang 8) nêu rằng cho X là một tập, một mêtric trên
X là một hàm d : X ×X → R thỏa mãn các tính chất:
Không gian mêtric (X, d) là một tập X cùng với một mêtric d trên nó. Trường K là không gian mêtric với mêtric d(x, y) = |x−y|. Định nghĩa 1.1.3 (xem [3], trang 161) Không gian vectơ E trên trường số
K (K = C hoặc K = R) được gọi là không gian định chuẩn nếu với mọi x, y ∈ E, mọiλ ∈ K tồn tại ánh xạ k.k : E → R thoả mãn các điều kiện sau: (i) kxk ≥ 0, kxk = 0 nếu và chỉ nếu x = 0;
(iii) kx+yk ≤ kxk+kyk.
Nếu đặt d(x, y) = kx −yk, (x, y ∈ E) thì (E, d) là không gian mêtric. Khi đó, d được gọi là mêtric sinh bởi chuẩn k.k.
Không gian định chuẩn (E,k.k) được gọi là không gian định chuẩn thực nếu E là không gian vectơ thực Theo định nghĩa, không gian Banach là không gian định chuẩn (E,k.k) mà trong đó (E, d) là không gian đầy đủ, với d là mêtric sinh bởi chuẩn k.k Nếu E là không gian vectơ thực và (E,k.k) là không gian Banach, thì (E,k.k) được gọi là không gian Banach thực.
Ví dụ 1.1.5 (xem [1], trang 20) (R n ,k.k) là không gian Banach thực với chuẩn kxk 2 n
Không gian Banach khả ly được định nghĩa là một không gian Banach \((E, k.k)\) trong đó tồn tại một dãy \(\{x_n, n \geq 1\} \in E\) với \(x_n \neq 0\) sao cho dãy này trù mật trong \(E\).
Hệ quả 1.1.7 (xem [3], trang 13) Giả sử E là không gian Banach thực và khả ly, khi đó, với mọi x ∈ E, tồn tại dãy {f n , n ≥ 1} ⊂ E ∗ sao cho kxk = sup n |f n (x)|.
Mệnh đề 1.1.8 xác định tập hợp L(E,F) là tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian E vào không gian F Đối với ánh xạ Λ thuộc L(E,F), ta có bất đẳng thức kΛxk F ≤ kΛk L(E,F) kxk E Định nghĩa 1.1.9 nêu rõ rằng một dãy {x_n} thuộc E được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n_0 sao cho với mọi n ≥ n_0 và m ≥ n_0, điều kiện kx_n − x_m k < ε được thỏa mãn.
Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy, nhưng điều ngược lại không đúng Không gian l p (với p ≥ 1) được định nghĩa là không gian các hàm khả tích đo được.
Nhận xét 1.1.12 Vớip > 0,ta xét tập hợp l p gồm các dãy số x = (x n ) các phần tử trong K thoả mãn
Nếu x = (x1, x2, ) ∈ lp thì với mọi số λ, ta có λx = (λx 1 , λx 2 , ) ∈ l p Lấy x = (x1, x2, ) ∈ lp và y = (y1, y2, ) ∈ lp Với n= 1,2, ta có
Với phép cộng và phép nhân như trên, l p là một không gian vectơ.
Trong không gian \( l^p \), chuẩn \( l^p \) được định nghĩa và trở thành một không gian định chuẩn Theo định nghĩa 1.1.13 (xem [10], trang 280), một hàm \( x(s) : S \to E \) được gọi là khả tích Pettis trên tập \( A \subset E \) nếu và chỉ nếu tồn tại \( x_A \) sao cho \( f(x_A) \) thỏa mãn điều kiện tích phân.
A f(x(s))dà với mọi f ∈ E ∗ , trong đó f(x(s)) phải khả tích Lebesgue.
1.2 Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2.1 (xem [3], trang 71) Giả sử {X, X n , n ≥ 1} là họ biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω,F,P) Ta nói:
• Dãy {X n , n ≥1} hội tụ hầu chắc chắn đến X khi n→ ∞ nếu tồn tại tập
N ∈ F sao cho P(N) = 0 và Xn(ω) →X(ω) khi n→ ∞ với mọi ω ∈ Ω\N.
• Dãy {X n , n ≥ 1} hội tụ đầy đủ đến X khi n→ ∞ nếu với mọi ε > 0 thì
•Dãy {X n , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất đếnX khi n→ ∞ nếu với mọi ε > 0 thì n→∞lim P(|X n −X| > ε) = 0.
• Dãy {X n , n ≥ 1} hội tụ trung bình cấp p > 0 đến X khi n → ∞ nếu
X, X n (n ≥ 1) khả tích bậc p và n→∞lim E|X n −X| p = 0.
Dãy {X n , n ≥ 1} hội tụ theo phân phối đến X khi n → ∞ nếu giới hạn của hàm phân phối Fn(x) bằng F(x) với mọi x thuộc tập hợp C(F) Trong đó, Fn và F là hàm phân phối tương ứng của các biến ngẫu nhiên X n.
X, C(F) là tập hợp các điểm mà tại đó F liên tục.
Ký hiệu X n −→ D X Định lý 1.2.2 (xem [3], trang 74) X n −−→ h.c.c X khi và chỉ khi với mọi ε > 0, n→∞lim P(sup m≥n
Hệ quả 1.2.3 (xem [3], trang 75) Nếu X n −→ c X thì X n −−→ h.c.c X.
Hệ quả 1.2.4 (xem [3], trang 75) Nếu
E|X n −X| p < ∞ với p > 0 nào đó thì Xn h.c.c
−−→ X. Định lý 1.2.5 (xem [3], trang 75) Giả sử (Xn, n ≥ 1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập Nếu X n −−→ h.c.c C thì X n −→ c C. Định lý 1.2.6 (xem [3], trang 76) Nếu X n −−→ h.c.c X hoặc X n −→ L r X với p
> 0 nào đó thì Xn −→P X. Định lý 1.2.7 (xem [3], trang 76) Nếu Xn −→P X thì Xn
−→D X. Định lý 1.2.8 (xem [3], trang 77) Nếu Xn
Tính chất 1.2.9 (xem [3], trang 151) Giả sử P(X n+1 ≤ X n ) = 1 với mọi n= 1,2, và nếu X n −→ P X thì X n −−→ h.c.c X khi n → ∞.
Tính chất 1.2.10 (xem [3], trang 151)NếuX n −→ P X,Y n −→ P X vàP(X n ≤
Tính chất 1.2.11 (xem [3], trang 152)NếuX n −→ P X,Y n −→ P X vàP(X n ≤
Nhận xét 1.2.12 Tính chất 1.2.9, Tính chất 1.2.10 và Tính chất 1.2.11 không còn đúng trên không gian Banach.
Sự hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach 16 2.1 Sự hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên
Dãy cơ bản các phần tử ngẫu nhiên
CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ bản về giải tích hàm và các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đề cập đến một số vấn đề liên quan đến phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach Nội dung chính của chương được xây dựng dựa trên các tài liệu tham khảo như [1], [3], [5], [6], và [10].
1.1 Một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm Định nghĩa 1.1.1 (xem [1], trang 5) Một không gian vectơ (hay không gian tuyến tính) trên K là một tập E 6= ∅, trong đó có một phép cộng E ×E
→E và một phép nhân vô hướng K×E → E thoả mãn các điều kiện:
Các phần tử trong không gian vectơ được gọi là vectơ, và không gian vectơ trên trường K thường được ký hiệu là K - không gian vectơ Định nghĩa 1.1.2 (xem [1], trang 8) nêu rằng cho X là một tập, một mêtric trên
X là một hàm d : X ×X → R thỏa mãn các tính chất:
Không gian mêtric (X, d) là một tập X cùng với một mêtric d trên nó. Trường K là không gian mêtric với mêtric d(x, y) = |x−y|. Định nghĩa 1.1.3 (xem [3], trang 161) Không gian vectơ E trên trường số
K (K = C hoặc K = R) được gọi là không gian định chuẩn nếu với mọi x, y ∈ E, mọiλ ∈ K tồn tại ánh xạ k.k : E → R thoả mãn các điều kiện sau: (i) kxk ≥ 0, kxk = 0 nếu và chỉ nếu x = 0;
(iii) kx+yk ≤ kxk+kyk.
Nếu đặt d(x, y) = kx −yk, (x, y ∈ E) thì (E, d) là không gian mêtric. Khi đó, d được gọi là mêtric sinh bởi chuẩn k.k.
Không gian vectơ thực E được gọi là không gian định chuẩn thực khi nó được trang bị một chuẩn k.k Định nghĩa 1.1.4 cho biết không gian định chuẩn (E,k.k) là không gian Banach nếu (E, d) là không gian đầy đủ, với d là mêtric sinh bởi chuẩn k.k Nếu E là không gian vectơ thực và (E,k.k) là không gian Banach, thì (E,k.k) được gọi là không gian Banach thực.
Ví dụ 1.1.5 (xem [1], trang 20) (R n ,k.k) là không gian Banach thực với chuẩn kxk 2 n
Không gian Banach khả ly được định nghĩa là một không gian Banach \((E, k.k)\) nếu tồn tại một dãy \(\{x_n, n \geq 1\} \in E\) với \(x_n \neq 0\) sao cho dãy này trù mật trong \(E\).
Hệ quả 1.1.7 (xem [3], trang 13) Giả sử E là không gian Banach thực và khả ly, khi đó, với mọi x ∈ E, tồn tại dãy {f n , n ≥ 1} ⊂ E ∗ sao cho kxk = sup n |f n (x)|.
Mệnh đề 1.1.8 xác định tập hợp L(E,F) là tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian E vào không gian F Đối với ánh xạ Λ thuộc L(E,F), ta có bất đẳng thức kΛxk F ≤ kΛk L(E,F) kxk E Định nghĩa 1.1.9 nêu rõ rằng một dãy {x_n} thuộc E được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n_0 sao cho với mọi n ≥ n_0 và m ≥ n_0, điều kiện kx_n − x_m k < ε được thỏa mãn.
Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy, nhưng điều ngược lại không đúng Không gian \( l^p \) (với \( p \geq 1 \)) được định nghĩa là không gian các hàm khả tích đo được.
Nhận xét 1.1.12 Vớip > 0,ta xét tập hợp l p gồm các dãy số x = (x n ) các phần tử trong K thoả mãn
Nếu x = (x1, x2, ) ∈ lp thì với mọi số λ, ta có λx = (λx 1 , λx 2 , ) ∈ l p Lấy x = (x1, x2, ) ∈ lp và y = (y1, y2, ) ∈ lp Với n= 1,2, ta có
Với phép cộng và phép nhân như trên, l p là một không gian vectơ.
Trong không gian \( l^p \), chuẩn \( l^p \) được định nghĩa và trở thành một không gian định chuẩn Một hàm \( x(s) : S \rightarrow E \) được gọi là khả tích Pettis trên tập \( A \subset E \) nếu và chỉ nếu tồn tại \( x_A \) sao cho \( f(x_A) \) thỏa mãn điều kiện tích phân.
A f(x(s))dà với mọi f ∈ E ∗ , trong đó f(x(s)) phải khả tích Lebesgue.
1.2 Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2.1 (xem [3], trang 71) Giả sử {X, X n , n ≥ 1} là họ biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω,F,P) Ta nói:
• Dãy {X n , n ≥1} hội tụ hầu chắc chắn đến X khi n→ ∞ nếu tồn tại tập
N ∈ F sao cho P(N) = 0 và Xn(ω) →X(ω) khi n→ ∞ với mọi ω ∈ Ω\N.
• Dãy {X n , n ≥ 1} hội tụ đầy đủ đến X khi n→ ∞ nếu với mọi ε > 0 thì
•Dãy {X n , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất đếnX khi n→ ∞ nếu với mọi ε > 0 thì n→∞lim P(|X n −X| > ε) = 0.
• Dãy {X n , n ≥ 1} hội tụ trung bình cấp p > 0 đến X khi n → ∞ nếu
X, X n (n ≥ 1) khả tích bậc p và n→∞lim E|X n −X| p = 0.
Dãy {X_n, n ≥ 1} hội tụ theo phân phối đến X khi n → ∞ nếu giới hạn của hàm phân phối Fn(x) tiến tới F(x) với mọi x thuộc tập hợp C(F) Trong đó, Fn và F là hàm phân phối tương ứng của các biến ngẫu nhiên X_n và X.
X, C(F) là tập hợp các điểm mà tại đó F liên tục.
Ký hiệu X n −→ D X Định lý 1.2.2 (xem [3], trang 74) X n −−→ h.c.c X khi và chỉ khi với mọi ε > 0, n→∞lim P(sup m≥n
Hệ quả 1.2.3 (xem [3], trang 75) Nếu X n −→ c X thì X n −−→ h.c.c X.
Hệ quả 1.2.4 (xem [3], trang 75) Nếu
E|X n −X| p < ∞ với p > 0 nào đó thì Xn h.c.c
−−→ X. Định lý 1.2.5 (xem [3], trang 75) Giả sử (Xn, n ≥ 1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập Nếu X n −−→ h.c.c C thì X n −→ c C. Định lý 1.2.6 (xem [3], trang 76) Nếu X n −−→ h.c.c X hoặc X n −→ L r X với p
> 0 nào đó thì Xn −→P X. Định lý 1.2.7 (xem [3], trang 76) Nếu Xn −→P X thì Xn
−→D X. Định lý 1.2.8 (xem [3], trang 77) Nếu Xn
Tính chất 1.2.9 (xem [3], trang 151) Giả sử P(X n+1 ≤ X n ) = 1 với mọi n= 1,2, và nếu X n −→ P X thì X n −−→ h.c.c X khi n → ∞.
Tính chất 1.2.10 (xem [3], trang 151)NếuX n −→ P X,Y n −→ P X vàP(X n ≤
Tính chất 1.2.11 (xem [3], trang 152)NếuX n −→ P X,Y n −→ P X vàP(X n ≤
Nhận xét 1.2.12 Tính chất 1.2.9, Tính chất 1.2.10 và Tính chất 1.2.11 không còn đúng trên không gian Banach.
1.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach
Không gian xác suất (Ω,F,P) được gọi là không gian xác suất đầy đủ nếu mọi tập con của biến cố có xác suất bằng không đều là biến cố.
Từ đây, chúng ta giả định rằng (Ω,F,P) là không gian xác suất đầy đủ, E là không gian Banach thực khả ly, và G là σ-đại số con của F.
B(E) là σ-đại số các tập Borel của E Định nghĩa 1.3.1 (xem [3], trang 5) cho biết rằng nếu Ω là một tập không rỗng và F là một σ-đại số các tập con của Ω, thì cặp (Ω,F) được gọi là một không gian đo Ánh xạ P: F → R được gọi là độ đo xác suất trên F nếu thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(i) P(A) ⩾ 0 với mọi A∈ F (tính không âm);
P n=1P(A n ) (tính cộng, tính đếm được).
Bộ ba (Ω,F,P) được gọi là không gian xác suất, tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp, σ-đại số F được gọi là σ-đại số các biến cố.
Mỗi biến cố A thuộc tập hợp F được gọi là một biến cố, trong khi biến cố đối lập của A, ký hiệu là A¯, được xác định là Ω\A Biến cố Ω thuộc F được xem là biến cố chắc chắn.
∅ ∈ F được gọi là biến cố không thể có.
Tính chất 1.3.2 (Xem [3] trang 5) giả sử A, B, C, là các biến cố Khi đó
4 Nếu A⊂ B thì P(B\A) =P(B)−P(A) và đo đó P(A) ≤ P(B).
Tính chất 1.3.3 (Tính liên tục của xác suất)(xem [3] trang 5)giả sửA 1 , A 2 , A 3 , là các biến cố Khi đó
(i) Nếu (A n , n ≥1) là dãy không giảm (A 1 ⊂ A 2 ⊂ ⊂ A n ⊂ ) thì tồn tại n→∞lim P(A n ) =P(
(ii) Nếu (A n , n ≥1) là dãy giảm (A 1 ⊃ A 2 ⊃ ⊃ A n ⊃ ) thì tồn tại n→∞lim P(A n ) =P(
A n ). Định lý 1.3.4 (xem [3], trang 12) (Bổ đề Borel-Cantelli) Giả sử (A n , n ≥
1) là dãy biến cố Khi đó
P(A n ) < ∞ thì P(lim supA n ) = 0. (ii) Nếu
P(A n ) = ∞ và (A n , n ≥ 1) độc lập thì P(lim supA n ) = 1,trong đó lim supAn ∞
Tính chất 1.3.5 (xem [3], trang 23) (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |X n | ≤ Y với mọi n ≥ 1, EY < ∞ và X n → X thì X khả tích,
Tính chất 1.3.6 (xem [3], trang 24) (Bất đẳng thức Markov) Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm Khi đó, với mọi ε > 0 ta có
P(X ≥ε) ≤ EX ε Tính chất 1.3.7 (xem [3], trang 24) Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm Khi đó, với mọi p > 0 ta có
Z ∞ 0 x p−1 P(X > x)dx. Định lý 1.3.8 (xem [3], trang 27) (Bất đẳng thức Holder) Giả sử p, q ∈
(1; +∞) sao cho 1 p + 1 q = 1 và X ∈ L p , Y ∈ L p Khi đó
E|XY| ≤ kXk p kYk p Định lý 1.3.9 (xem [3], trang 28) (Bất đẳng thức Minkovski) Giả sửX, Y ∈
L p ,1 ≤p < ∞ Khi đó X + Y ∈ L p và kX + Yk p ≤ kXk p +kYk p
Tính chất 1.3.10 (xem [3], trang 44) (Bổ đề Fatou) Giả sử tồn tại Y khả tích, khi đó
Theo định lý, ta có bất đẳng thức E(limX n |G) ≤ limE(X n |G) Nếu X n ≤ Y thì limE(X n |G) ≤ E(limX n |G) (h.c.c) Định nghĩa 1.3.11 (xem [3], trang 170) cho biết rằng trong không gian xác suất (Ω,F,P), ánh xạ X : Ω → E được gọi là phần tử ngẫu nhiên G-đo được nếu X là ánh xạ G/B(E) đo được, tức là với mọi B ∈ B(E), thì X −1 (B) thuộc G.
Phần tử ngẫu nhiên F-đo được gọi là phần tử ngẫu nhiên Nếu X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được, thì X cũng là phần tử ngẫu nhiên Nếu X là phần tử ngẫu nhiên, thì họ σ(X) = X^{-1}(B) : B ∈ B(E) tạo thành một σ-đại số con của σ-đại số F, được gọi là σ-đại số sinh bởi X Hơn nữa, σ(X) là σ-đại số nhỏ nhất mà X đo được Do đó, X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G.
Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị thực được gọi là biến ngẫu nhiên.
Ví dụ 1.3.12 (xem [3], trang 170) Xét ánh xạ X : Ω → E xác định bởi
X(ω) = 0 với mọi ω ∈ Ω Khi đó X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được với
Thật vậy, với mọi B ∈ B(E) thì
Ω nếu 0 ∈ B nên X −1 (B) ∈ G. Định nghĩa 1.3.13 (xem [3], trang 171) Dãy phần tử ngẫu nhiên (X n , n ≥
1)được gọi là hội tụ đến ánh xạ X : Ω → E khin → ∞ nếuX n (ω) →X(ω) (theo chuẩn) khi n→ ∞ với mọi ω ∈ Ω.
Ký hiệu X n → X khi n→ ∞, theo Định lý 1.3.14, ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G−đo được nếu và chỉ nếu X là giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G−đo được Cụ thể, tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G−đo được (X n , n ≥1) sao cho $\limsup_{n→∞} \sup_{\epsilon∈Ω} \|X n (ω)−X(ω)\| = 0$ Theo Định lý 1.3.15, nếu X, Y là các phần tử ngẫu nhiên và ξ là biến ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω,F,P) với α ∈ R, a ∈ E, thì nếu tồn tại EX, EY, Eξ, các kỳ vọng này sẽ được xác định.
1 Tồn tại E(X +Y) và E(X + Y) = EX +EY;
5 Nếu ξ và f (X) độc lập với mọi f ∈ E ∗ thì tồn tại E(ξX) và
6 Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : E → E 0 ( E 0 là không gian Banach thực và khả ly) thì tồn tại E(T (X)) và E(T (X)) = T (E(X)).