Chương II. §1. Mặt cầu, khối cầu

Quy tr×nh t×m t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp §Æc biÖt: *Nếu tất cả các đỉnh của hình chóp nhìn một đoạn thẳng cố định dới một góc vuông => hình chóp nội tiếp mặt cầu đờ[r]

KÝnh chµo c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o vÒ dù

giê th¨m líp

KiÓm tra bµi cò

Khái niệm đường tròn

trong mặt phẳng?

Vị trí tương đối của một điểm và một đường tròn trong mặt phẳng?

Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm

trong mặt phẳng cách đều một điểm O cố

định cho trước một khoảng không đổi

M là một điểm trên đường tròn khi đó OM gọi là bán kính của đường tròn (bằng r).

. r M O

. r M O

Cho M là một điểm trong mặt phẳng Khi đó giữa M

và đường tròn có 3 vị trí tương đối xảy ra :

 Nếu OM = r thì M nằm trên đường tròn

 Nếu OM > r thì M nằm ngoài đường tròn

 Nếu OM < r thì M nằm trong đường tròn

M2 M1

Chúng ta quan sát một số hình ảnh sau :

Hình ảnh trái đất Hình ảnh mặt trăng Hình ảnh quả bóng

Một số hình ảnh về hình cầu:

§1 MÆt cÇu – khèi cÇu

trô, mÆt nãn

khoảng bằng R không đổi.

- Dây cung AB đi qua tâm

O của mặt cầu được gọi là

đường kính của mặt cầu

(bằng 2R).

- Dây cung AB đi qua tâm

O của mặt cầu được gọi là

đường kính của mặt cầu (bằng 2R).

* Các thuật ngữ

- Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu S(O ; R) thì đoạn thẳng CD được gọi là

dây cung của mặt cầu đó

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O ; R) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó

được gọi là khối cầu S(O ; R) hoặc hình cầu S(O ; R)

M

O

B A

Nói cách khác, khối cầu S(O ; R)

là tập hợp các điểm M sao cho

OM ≤ R.

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC đều cạnh a Tìm tập

hợp các điểm M trong không gian sao cho:

MA 2 + MB 2 + MC 2 = 2a 2

Ví dụ 2:Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Tìm tập hợp

các điểm M sao cho:

MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 2a 2

33

33

23

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

a MG

a MG

a GC

GB GA

a GC

GB GA

MG MC

MB MA

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC đều cạnh a Tìm tập

hợp các điểm M trong không gian sao cho:

Ví dụ 2:Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Tìm tập

hợp các điểm M sao cho:

MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD2 = 2a 2

4

2 2

4

4 6 4

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

a MG

a MG

a GD

GC GB

GA

GD GC

GB GA

MG MD

MC MB

Vậy tập hợp hợp điểm M là mặt cầu tâm G ,bán kính R= a 2

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có

2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu

Cho mặt cầu S(O ; R) và mặt phẳng (P).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mp( P ).

Hãy cho biết giữa mặt cầu và mặt phẳng có thể có những vị trí tương đối nào xảy ra ?

Nếu M là một điểm thuộc (P)

H

.

M

.

R

P

O

H

.

M

.

R

.

O

H R

tiếp xúc với mặt cầu tại H.

Mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại điểm H Điểm H gọi

là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm ) của (P) và mặt cầu

.

.

O R

H M

Khi d = 0 thì tâm của mặt cầu thuộc mặt phẳng

(P) Ta có giao tuyến của (P) và mặt cầu là đường tròn tâm O bán kính r Đường tròn này gọi là

đường tròn lớn của mặt cầu.

O



Ta ph¶i chøng minh c¸c gãc nµo vu«ng?

DA

Khi đó ta nói rằng mặt cầu

đường kính SC ngoại tiếp

BC

A’

B’

C ’D’

 OD

Bài 2 : CMR tất cả các đỉnh của một hình hộp chữ nhật đều nằm trên một mặt cầu

• Bài toán 1 (SGK trang 41)

Chứng minh rằng hình chóp nội tiếp một

mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác nội tiếp một đường tròn

Mặt cầu gọi là ngoại tiếp hình đa diện H và hình đa

diện H gọi là nội tiếp một mặt cầu khi nào ?

Mặt cầu gọi là ngoại tiếp hình đa diện H và hình đa

diện H gọi là nội tiếp một mặt cầu khi mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện H

Một hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi nào ?

Quy tr×nh t×m t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp

DA

B

C

S 

 H

Quy trình tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

DA

B

C

S 

 H

*) Trong (P) dựng một đ ờng trung trực

của SA => cắt d tại O là tâm mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp đã cho

Quy trình tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

DA

B

C

S 

 H

+)d: Trục đ ờng tròn đáy

+): Trục đ ờng tròn của một mặt bên

Tâm mặt cầu ngoại tiếp chop là

O = d  

Bài 1::Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a,

 S

M 

Bài 2:Chóp tứ giác đều.Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

D

C B