Học sinh làm bài trên tờ giấy thi do HĐCT phát.. a Chứng minh KBC đồng dạng HDC.[r]
Trang 1PHÒNG GD & ĐT ĐỀ THI HS GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011 - 2012
THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khoá ngày 02 tháng 11 năm 2011
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề)
(Chú ý: Đề này gồm có 01 trang Học sinh làm bài trên tờ giấy thi do HĐCT phát)
Bài 1: (4,5 điểm)
Cho biểu thức:
với x 0, x 1& x 9 a) Rút gọn P
b) Tìm x để
1 P 2
Bài 2: (4,5 điểm)
a) Giải phương trình: x2 + 6x + 10 = 2 2x 5
b) Cho x, y là các số thoả mãn: x2 9 x y2 9 y 9
Hãy tính giá trị của biểu thức: A x 2011y20111
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Với a, b > 0 chứng minh:
a b 4 a b Dấu “=” xảy ra khi nào?
b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn:
8
Tìm giá trị lớn nhất của
M
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vuông góc với AD (HAD); kẻ CK vuông góc với AB (KAB)
a) Chứng minh KBCđồng dạng HDC
b) Chứng minh HCKđồng dạng ABC, suy ra HK = AC.sinBAD
c) Chứng minh AB.AK + AD.AH = AC2
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho ABC vuông tại A và điểm M nằm trên cạnh huyền BC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh AB và AC Chứng minh rằng:
4
-Hết -Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD – ĐT TX QUẢNG TRỊ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9
Năm học : 2011 – 2012 Môn : TOÁN Khoá ngày: 02/11/2011
(Chú ý: Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang).
Bài 1: (4,5 điểm)
a) Với x 0, x 1& x 9 , ta có:
1
(0,75 điểm)
:
(0,75 điểm)
x 3 x 1 1
:
8
x x 1
(0,75 điểm) Vậy 8
x 3 P
x
(0,50 điểm)
b) Với x 0, x 1& x 9 , ta có:
x
(0,50 điểm) x 3 4 x 5 x 3 (0,50 điểm)
(TMĐK) (0,50 điểm) Vậy với
9 x 25
thì
1 P 2
(0,25 điểm) Bài 2: (4,5 điểm)
a) Giải phương trình: x2 + 6x + 10 = 2 2x 5
5 2x 5 0 x
(0,25 điểm)
Ta có: x2 + 6x + 10 = 2 2x 5 (x24x 4) (2x 5) 2 2x 5 1 0
(x 2) 2 2x 5 1 2 0
(1,25 điểm)
x 2 0
2x 5 1 0
(0,75 điểm)
b) Cho x, y là các số thoả mãn: x2 9 x y2 9 y 9
(*) Hãy tính giá trị của biểu thức: A x 2011y20111
Từ (*) x2 9 x x2 9 x y2 9 y 9 x2 9 x
Trang 3 9 y2 9 y 9 x2 9 x
y2 9 y x2 9 x (1) (0,75 điểm)
Tương tự ta có: x2 9 x y2 9 y (2) (0,75 điểm)
Lấy (1) cộng với (2) ta có : y = x
Suy ra A x 2011y2011 1 x2011 x2011 1 1
Vậy A = 1 (0,75 điểm) Bài 3: (4,0 điểm)
a) Với a, b > 0 chứng minh:
a b 4 a b Dấu “=” xảy ra khi nào?
Với a, b > 0 ta có: (a – b)2 0 a2 + b2 2ab ( a + b )2 4ab (0,75 điểm)
a b a b 4ab (0,75 điểm)
a b 4 a b Dấu “ = ” xảy ra a = b (0,50 điểm)
b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn:
8
Tìm giá trị lớn nhất của
M
Vì x, y, z là các số dương, áp dụng bất đẳng thức ở câu a) ta có :
2x y z x y x z 4 x y x z 16 x y x z 16 x y z (1)
(0,50 điểm)
x 2y z x y y z 4 x y y z 16 x y y z 16 x y z (2)
(0,50 điểm)
x y 2z x z y z 4 x z y z 16 x z y z 16 x y z (3)
(0,50 điểm)
Từ(1); (2); (3) suy ra
( vì
8
x y z ) Dấu “=” xảy ra x = y = z =
3 8 Vậy max
3
8
(0,50 điểm) Bài 4: (5,0 điểm) Vẽ hình đúng: (0,25 điểm)
Trang 4
N M
K
H
D C
B
A
a) Chứng minh được ∆KBC~ ∆HDC (g.g) (1,25 điểm)
b) Chứng minh được ∆HCK~ ∆ABC (c.g.c) (1,25 điểm)
Từ ∆HCK ~ ∆ABC =
KH = AC = AC.sinKBC (0,50 điểm)
Mà KBC = BAD (2 góc đồng vị) KH = AC.sinBAD (0,50 điểm)
c) Kẻ BMAC tại M (hoặc DNAC tại N ) như hình vẽ Ta có:
∆ABM~∆ACK (g.g) và ∆CMB~∆AHC (g.g)
AB.AK = AM.AC và BC.AH = AC.MC = AD.AH (Vì AD = BC)
AB.AK + AD.AH = AC(AM + MC) (0,75 điểm)
AB.AK + AD.AH = AC.AC = AC (0,50 điểm)
Bài 5: (2,0 điểm)
Ta có AB.MH + AC.MK = 2SABC (0,50 điểm)
ABC
2.S
Đặt S = SABC; S
1 = SAMB; S
2 = SAMC
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương ta có:
S S S 1 2 2 S S1 2 4S S1 2 S2 (0,50 điểm)
Do đó:
ABC
2
2.S
(Vì AB.AC = 2S)
Vậy:
4
MH MK (0,75 điểm)
B Vẽ hình đúng (0,25 điểm)
H M
A K C
*/ Ghi chú: - Học sinh làm cách khác đáp án, nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.
Trang 5- Điểm toàn bài không làm tròn.