DE THI HS GIOI TOAN 9[2]

Vẽ đường cao BE và AD.. Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC.

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀLẠT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG PTCS PHAN CHU TRINH VÒNG TRƯỜNG LỚP 9 THCS

Năm học 2006-2007

Đề Thi Môn : TOÁN

Ngày thi: 16/11/2006 (Phần Số Học Và Đại Số) Bài 1(4đ)

1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có 2.7n + 1 là bội của 3

2) Số 19k +5k +1995k +1996k với k là số chẵn có phải là số chính phương không? Vì sao? Bài 2(4đ)

1) Phân tích thành nhân tử: a3 +b3 +c3 -3abc

2) Cho 1 1 1 0

a b c   và abc ≠ 0 Chứng minh rằng biểu thức:

bc ac ab

M

a b c

   không phụ thuộc vào a,b,c

Bài 3 (4đ)

1) Cho:

A

B

Hãy so sánh A và B

3) Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

p a  p b  p c  a b c  với p là nửa chu vi tam giác đó

Bài 4 (8đ):

1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đường cao BE và AD Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC

a) Chứng minh rằng : tgB.tgC = AD

HD

b) Chứng tỏ rằng HG//BC  tgB.tgC = 3

2) Cho hình bình hành ABCD, qua đỉnh D kẻ một đường thẳng cắt các đường thẳng AC,

AB, BC tại M,N,K Chứng minh rằng :

a) DM 2 = MN MK

DN  DK 

 Hết 

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC 06-07

(Phần Số Học Và Đại Số)

Bài 1(4đ)

1) 7  1(mod 3) =>7n  1 (mod 3)

=>2.7n  2 (mod 3)

=>2.7n

+1  3 (mod 3) 0(mod 3)

=>2.7n +1 = 3k=> 2.7n +1 là bội của 3

2) 19  -1(mod 4)=>19k

 (-1)k (mod 4)

19k  1(mod 4) (do k chẵn)

5  1(mod 4)=> 5k  1(mod 4)

1995  -1(mod 4)=>1995k  (-1)k (mod 4)

1995k  1(mod 4) (do k chẵn)

1996  0 (mod 4)=> 1996k

 0(mod4)

=>19k +5k +1995k +1996k

 3(mod 4)

19k +5k +1995k +1996k = 4k+3 (kZ)

=>19k +5k +1995k +1996k không thể là

số chính phương

Bài 2(4đ):

1) a3 +b3 +c3 -3abc =

=(a3+3a2b+3ab2+b3) +c3

-(3abc+3a2b+3ab2)

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

(a b) (a b c c) 3ab

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

2) Theo câu a nếu ta có a+b+c = 0 thì

a3 +b3 +c3 -3abc = 0=> a3 +b3 +c3 = 3abc

áp dụng kết qủa trên nếu

a b c   a b c  abc

ta có:

bc ac ba abc abc abc

M

=>Kết luận

0.5 0.25

0.5 0.25 0.5

0.25

0.5 0.25 0.5 0.5

0.5 0.5 0.5 0.5

0.5 0.5

0.75 0.25

Bài 3(4đ)

1

121 1 10





2(6 1) 10

B

B B

Vậy B >A 2) Chứng minh được :1 1x y x y4

 Aùp dụng bđt trên ta có:

2

p a  p b  p a b  c

2

p b  p c  p b c  a

2

p c  p a  p c a  b

p a  p b  p c  a b c 

p a  p b p c  a b c 

(Học sinh có thể chứng minh bằng cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)

Bài 4 (8đ):

0.5

0.5

0.25 0.25

0.5 0.5

0.75 0.5 0.25

a) tìm được tgB= AD

BD ,tgC= AD

CD

=> tgB.tgC= 2

AD

BD CD

=>tgB.tgC= AD

DH

b) cm được : AM 3

GM  ( M là trung điểm của BC)

 ADM có HG//BC

//

HG DM

AM AH

GM HD

tgB tgC



 

(nếu học sinh chứng minh hai chiều thì chiều thứ nhất 0.75đ, chiều ngược lại 0,75đ) 2)

a) cmđược

2

MD AM MD CM

MK MC MN MA

MD DM MA CM

MK MN MC MA

MD MK MN



Từ (1) =>

(1')

MK MD AM MC  KD AM MC Từ (2)=>

(2')

MN MD AM MC  ND AM MC

Từ (1’,2’) => MK DM

DK DN

1

DM DM MK DM DK

DN DK DK DK DK