Đường vuông góc với BC tại O cắt BA kéo dài tại P.. Chứng minh các góc HAB, góc OPB, góc ACB bằng nhau.[r]
Trang 1ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2010-2011
- Môn thi: TOÁN 9
- Ngày thi: 16-01-2011
- Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)
Bài 1: (4 điểm)
Cho A = ( √x −1 x −2 −
√x+2
x +2√x +1).(1− x√2 )2
a Rút gọn A
b Tìm x để A > 0
c Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 2: (4 điểm)
a Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: P = 2a2 + 2b2 – a2c + c – b2c -2
b Cho a > 1 Chứng minh rằng:
5 (a -1) < a5 -1 < 5a4 (a -1)
Bài 3: (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CB O là giao điểm của AM và DN Biết OAOM=4 và ODON=2
3 Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành
Bài 4: (3,5 điểm)
Giải phương trình x = √1−1
x+√x −1
x
Bài 5: (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, đường cao AH kẻ từ A xuống cạnh BC, O
là trung điểm của cạnh BC Đường vuông góc với BC tại O cắt BA kéo dài tại P
a Chứng minh các góc HAB, góc OPB, góc ACB bằng nhau
b Cho AB = c, BC = a, AC = b Tính AH theo a, b, c
c Tính diện tích hình thang OHAP theo a, b, c
HẾT
Trang 2-ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm học 2010-2011
Môn thi: TOÁN 9
1
(4đ) a- Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 1
A =
√x+1¿2
(¿¿)(1− x√2 )2
√x − 2
(√x+1)(√x − 1) −
√x +2
¿
¿
=
√x +1¿2(√x −1)
¿
√x −1¿2
¿
√x +1¿2¿
¿
¿
(√x −2)(√x+1)−(√x +2)(√x+1)
¿ = −√x (√x −1)=√x − x
b Vì A = √x(1 −√x ) nên A > 0 ⇔ √x − x > 0 ⇔ x > 0 và 1 - √x > 0
⇔ 0 < x <1 (thỏa mãn)
c Ta có A = √x − x = ¼ - ( √x - ½)2 ¼
Từ đó Pmax = ¼ tại √x = ½ ⇔ x = ¼
0.5 0.5 0,5 0.5
0.5 0.5
0.5 0.5
2
(4,0
) a P = 2a
2 + 2b2 – a2c + c – b2c -2
P = 2(a2 + b2) – c(a2 + b2) + c – 2
P = (a2 + b2) (2 – c) – (2 – c)
P = (2 – c) ((a2 + b2 -1)
b Ta có: a5 – 1 = (a-1) (a4 + a3 + a2 +1)
Và do a > 1 Cho nên:
5(a-1) < a5 -1 < 5a4 (a-1) ⇔ 5 < a4 + a3 + a2 +1 < 5a4
Mặt khác: a > 1 ⇒ a2 > a ⇒ a3 > a2 ⇒ a4 > a3
Cho nên: 5 < a4 + a3 + a2 +1 < 5a4 (đpcm)
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0.5
3
(4,0
)
A B
N
O K
D H M C
Kẻ OH // AD, MK // BC (H CD, K DN)
Vì ODON=2
3 nên ODDN=2
5
Vì MK // BC và M là trung điểm CD nên K là trung điểm DN
0,5 0,5 0,5
Trang 3Suy ra ODDK=4
5
Mặt khác, vì OH // AD nên:
DHHM=OA
OM=4 ⇒ DH
DM=
4 5
Do đó DODK=DH
DM Suy ra OH // MK
Mà OH // AD, MK // BC nên AD // BC
Tương tự AB // CD, ta có điều phải chứng minh
0,5
0,5 0,5 0.5 0.5
4
(3,5
)
Giải phương trình x = √1−1
x+√x −1
x (1) Khi x là nghiệm của (1) thì x ≥ 0 (vì VP (1) ≥ 0)
Suy ra điều kiện để VP (1) có nghĩa là x > 0 Từ đó: x ≥ 1
Đặt u = √1−1
x ; v = √x −1
x ( u, v ≥ 0) Suy ra u2 – v2 = 1- x hay (u + v)(u - v) = 1 – x
Kết hợp với (1) ta được: u – v = 1 − x x
Từ đó ta có hệ phương trình:
¿
u+v=x
u − v= 1 − x
x
¿{
¿
⇔
¿
u= x
2
− x+1
2 x (2)
v = x
2
+x −1
2 x (3)
¿{
¿
Vì v2 = x −1
x nên (3) ⇔ v = ½(x – 1x +1) ⇔ v = ½ (v2 + 1) ⇔ (v – 1)2
= 0 ⇔ v = 1
Do đó: x – 1/x = 1 ⇔ x2 – x – 1 = 0 ⇔ x = 1+√5
2 (vì x ≥ 1) thử lại thỏa mãn
0,5 0,5 0,5 0,25
0,75
0,5 0.5
5
(4,5
) C
O
H
P A B
a Chứng minh ∠ HAB = ∠ OPB = ∠ ACB:
Dùng tính chất đồng dạng của 3 tam giác vuông: HAB, ACB và OPB, suy ra sự
bằng nhau của các trên
b Tính AH theo a, b, c:
Tìm ra được AH.BC AB.AC = 2 SABC
Vậy AH.a = bc, suy ra : AH = bc/a
c Tính S OHAP theo a ,b, c:
Theo chứng minh trên ABC ~ HBA nên AB/AC = HB/HA
0.75 0,5 0,5
Trang 4Suy ra: HB = HA.AB/AC = (bc/a).c / b = c2 / a
Tương tự: ABC ~ OBP nên AB/AC = OB/OP
Suy ra: OP = AC.OB/AC = b(a/2)/c = ab / 2c
Vậy: SOHAP = SOPB – SHAB
= ½ (OB.OP – HA.HB)
= ½ (a/2.ab/2c – bc/a.c2/a)
= ½ (a2b/4c – bc3/a2)
0,5 0,25 0,5 0.25 0,5 0.25 0,25 0.25
Phụ ch: - Nếu học sinh có cách giải khác chính xác, lý luận chặt chẽ vẫn hưởng điểm tối đa.
- Điểm thi không làm tròn.