Không gian tôpô
1.1.1 Không gian tôpô, tập mở và tập đóng, bao đóng và phần trong, lân cận 1.1.1.1 Định nghĩa
Cho X là tập hợp ( ≠ ∅ ) và là một họ các tập con của X sao cho: i ∅,X∈ ii U V, ∈ ⇒ U V∈ iii ,
∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ , I là tập chỉ số tùy ý
Khi đó gọi là một tôpô trên X và ( X , ) là một không gian tôpô
Mỗi phần tử của được gọi là - mở hay đơn giản là tập mở
Trong không gian tôpô (X, ), một điểm x thuộc X được xem xét Tập con V của X được định nghĩa là lân cận của x nếu có tồn tại một tập mở U thuộc sao cho x nằm trong U và U hoàn toàn nằm trong V.
Một tập A X⊂ là mở khi và chỉ khi với mỗi x ∈ A tồn tại một lân cận mở U x của điểm x sao cho U x ⊂ A
Giao của hữu hạn các tập mở là tập mở
Cho X là không gian tôpô
Một tập A⊂ X được gọi là đóng trong X nếu phần bù X \ A là mở
Tập rỗng và toàn bộ không gian X là các tập đóng trong X
Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng
Giao của bất kì các tập đóng là tập đóng (bao gồm cả giao vô hạn các tập đóng)
Cho U là một tập mở của không gian tôpô X , A là một tập con bất kì của X Khi đó:
1.1.1.8 Định nghĩa x 0∈A là điểm trong nếu tồn tại tập mở U chứa x 0 nằm trong A
Tập tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A, kí hiệu là Int A ( ) hay A o
Phần trong của A là hợp tất cả các tập con mở của X mà chứa trong A (nghĩa là tập mở lớn nhất trong A), kí hiệu là Int ( ) A hay Int A ( )
Bao đóng của tập A, ký hiệu là Cl A, là tập hợp tất cả các điểm dính của A, tức là tập nhỏ nhất chứa A Điểm x₀ thuộc A được gọi là điểm dính nếu mọi tập mở chứa x₀ đều có giao với A Tập hợp tất cả các điểm dính của A được ký hiệu là Cl A Điểm x₀ được xem là điểm tụ của A nếu mỗi lân cận của x₀ (không tính x₀) có giao với A không rỗng Nếu mỗi lân cận của x₀ chứa vô hạn điểm của A, x₀ được gọi là ω-điểm tụ Ngược lại, x₀ là điểm cô đọng của A nếu mỗi lân cận chứa không đếm được các điểm thuộc A Cuối cùng, x₀ là điểm biên của A nếu mỗi lân cận của x₀ có giao không rỗng với A.
X A x 0∈A được gọi là điểm cô lập của A nếu x 0 không là điểm tụ của A
Nếu A⊆ X là một tập con đóng của X thì A chứa tất cả các điểm tụ (nếu có) của các dãy trong A
1.1.2 Cơ sở, đặc trưng, không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất, không gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai
Một họ con của tôpô (trên X ) gọi là cơ sở của nó nếu với mọi x chứa trong
V (với V là tập mở bất kỳ của ) đều có một tập mở G của sao cho x∈ ⊂G V
Một họ các tập con mở chứa x gọi là cơ sở địa phương tại x nếu mọi tập mở chứa x đều có chứa một phần tử của họ
1.1.2.2 Định nghĩa Đặc trưng của một điểm x trong một không gian tôpô X được kí hiệu là χ ( x X , ) với
( x X , ) min { : χ = là cơ sở địa phương tại x của X }
Tương tự, đặc trưng của một tập F được kí hiệu là χ ( F X , ) với
( F X , ) min { : χ = là một cơ sở lân cận tại F của X } Đặc trưng của X được kí hiệu là χ ( ) X
Không gian tôpô X được xem là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất khi tại mỗi điểm trong X tồn tại một cơ sở địa phương đếm được hoặc không quá đếm được.
X là không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất khi và chỉ khi χ ( ) X ≤ m
Mọi không gian con của không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất cũng thỏa tiên đề đếm được thứ nhất
Tích của đếm được các không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất là không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất
Nếu X là không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất thì tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở địa phương chính quy x =( ) U n n theo nghĩa:
(1) Mỗi U n là một tập mở chứa x
(3) Nếu x n ∈U n , với mọi n thì dãy ( ) x n n h ội tụ về x
Nếu X là một không gian tôpô thỏa tiên đề đếm được thứ nhất và tập A ⊆ X chứa tất cả điểm tụ (nếu có) của các dãy trong A thì A là đóng
Không gian tôpô X là không gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô trên X có một cơ sở đếm được (hay không quá đếm được)
Không gian con của không gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai cũng là không gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai
Tích của đếm được các không gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai
Không gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai cũng thỏa tiên đề đếm được thứ nhất
1.1.3 Ánh xạ liên tục, ánh xạ đóng, ánh xạ mở, đồng phôi
Trong lý thuyết không gian tôpô, cho hai không gian tôpô (X, ) và (X′, ), ánh xạ f từ X đến X′ được coi là liên tục tại điểm x₀ ∈ X nếu với mọi tập mở V chứa f(x₀), tồn tại một tập mở U chứa x₀ sao cho f(U) ⊆ V Nếu f liên tục tại mọi điểm trong X, thì f được gọi là liên tục trên X.
Hợp của hai ánh xạ liên tục là ánh xạ liên tục
Cho ( X , ) , ( X ′ ′ , ) là hai không gian tôpô và ánh xạ f X: → X′ Khi đó các mệnh đề sau tương đương
(2) Ảnh ngược của tập mở là tập mở
(3) Ảnh ngược của tập đóng là tập đóng.
Ánh xạ f từ không gian tôpô X đến X′ được gọi là ánh xạ mở khi ảnh của tập mở là tập mở Ngược lại, f được xem là ánh xạ đóng khi ảnh của tập đóng cũng là tập đóng Hơn nữa, f là phép đồng phôi nếu nó là một ánh xạ song ánh liên tục và có ánh xạ ngược liên tục.
Một song ánh liên tục là một phép đồng phôi khi và chỉ khi nó là ánh xạ đóng (hay ánh xạ mở)
Cho ( X , ) , ( X ′ ′ , ) là hai không gian tôpô và ánh xạ f X: → X′ Khi đó các phát biểu sau tương đương
(2) Với mọi tập con A của X thì f A ( ) ⊂ f A ( )
(3) Với mọi tập con B của X ′ thì f − 1 ( ) B ⊂ f − 1 ( ) B
Không gian tôpô (X, ) được gọi là T0-không gian nếu với mọi cặp điểm phân biệt x và y trong X, luôn tồn tại một -lân cận của một trong hai điểm mà không chứa điểm còn lại T0-không gian còn được biết đến với tên gọi không gian Kolmogorov.
Không gian tôpô (X, ) được gọi là T1-không gian nếu với mọi cặp điểm phân biệt x và y trong X, tồn tại một -lân cận của x không chứa y và một -lân cận của y không chứa x T1-không gian cũng được biết đến với tên gọi không gian Fréchet.
X là T 1 - không gian khi và chỉ khi mọi điểm x ∈ X là giao của tất cả các lân cận chứa nó
Không gian T 1 cũng là không gian T 0
Trong không gian T 1 , tập một điểm là tập đóng Ảnh của không gian T 1 qua ánh xạ đóng cũng là không gian T 1
Không gian tôpô ( X , ) được gọi là T 2- không gian nếu với mọi cặp điểm phân biệt ,x y của X, tồn tại - lân cận U của x và - lân cận V của y sao cho
Không gian T 2 còn được gọi là không gian Hausdorff
Không gian Hausdorff cũng là không gian Fréchet
Cho ( X , ) là không gian tôpô Khi đó các mệnh đề sau tương đương
(2) Với mọi điểm x thuộc X , giao của một họ các lân cận đóng của x là { } x
(3) Nếu một cái lọc trong X hội tụ về một điểm x thì x là điểm tụ của
(4) Một cái lọc trong X có nhiều nhất một điểm giới hạn
Một không gian X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất là không gian Hausdorff nếu và chỉ nếu mọi dãy trong không gian X có không quá một điểm giới hạn.
Không gian tôpô (X, T) được xem là chính quy (T3-không gian) nếu với mọi điểm x ∈ X và mọi tập con A không chứa x, tồn tại các tập T-mở U và V rời nhau sao cho x thuộc U và A nằm trong V.
T 3 - không gian cũng là không gian Hausdorff
Cho không gian tôpô ( X , ) Các m ệnh đề sau tương đương:
(2) Mọi điểm x thuộc X và với mọi - mở U chứa x , tồn tại một tập - mở U ′ chứa x thỏa mãn Cl U ( ) ′ ⊆ U
1.1.5 Tập trù mật, tập không đâu trù mật, tập gầy, phạm trù thứ nhất, phạm trù thứ hai
Cho ( X , ) là không gian tôpô, A là tập con của X
A được gọi là trù mật khắp nơi (hay đơn giản là trù mật) nếu Cl A ( ) = X
A được gọi là không đâu trù mật nếu Int Cl A ( ( ) ) = ∅
A được gọi là gầy nếu nó là hợp của một họ các tập không đâu trù mật
Các tập gầy cũng là các tập thuộc phạm trù thứ nhất
Các tập không thuộc phạm trù thứ nhất thì gọi là các tập thuộc phạm trù thứ hai
Tập A là trù mật khi và chỉ khi với mọi tập con U mở khác rỗng của X thì
X là không gian tách được nếu nó chứa tập con trù mật đếm được
Cho một không gian tôpô ( X , ) và một tập M ⊂ X
Họ M ={ M ∩U U : là mở trong X } là họ các tập mở trong M
Khi đó, M được gọi là tôpô trên M cảm sinh từ tôpô trên X
Không gian tôpô ( M , M ) được gọi là không gian con của không gian ( X , )
Cho X là không gian tôpô và M là không gian con của X
Tập A M⊂ là tập mở trong M khi và chỉ khi tồn tại tập U mở trong X sao cho
Tập B M⊂ là tập đóng trong M khi và chỉ khi tồn tại tập V đóng trong X sao cho B= ∩V M
Bao đóng của một tập A M⊂ trong không gian M là A = ∩A M , với A là bao đóng của A trong không gian X
Cho ( X , ) là không gian tôpô, hai tập con , A B của X được gọi là tách biệt nếu
Tập con A của không gian tôpô X gọi là liên thông nếu không tồn tại hai tập mở ,
Nếu tập X là liên thông, thì X được gọi là không gian liên thông Điều này tương đương với các mệnh đề sau: X là không gian liên thông, X không thể biểu diễn dưới dạng hợp của hai tập mở khác rỗng rời nhau, và X cũng không thể biểu diễn dưới dạng hợp của hai tập đóng khác rỗng rời nhau.
Nhận xét: A là tập liên thông nếu và chỉ nếu không gian con A là không gian liên thông
Một không gian tôpô (X, T) được xem là liên thông địa phương nếu với mọi điểm x thuộc X và mỗi lân cận mở V của x, luôn tồn tại một lân cận mở liên thông của x nằm trong V.
Trong không gian tôpô (X, ), với x là một điểm thuộc X, hợp của tất cả các tập con liên thông chứa x sẽ luôn là liên thông Tập con liên thông lớn nhất của X mà chứa điểm x được gọi là thành phần liên thông của x.
Cho ( X , ) là không gian tôpô Khi đó, các điều kiện sau được thỏa:
(2) X là hợp của hai tập con tách biệt không rỗng
(3) X là hợp của hai tập con đóng khác rỗng rời nhau
(4) X là hợp của hai tập con mở khác rỗng rời nhau
Cho ( X , ) là không gian tôpô, cho A là một tập con liên thông của X Khi đó với mỗi tập B sao cho A⊆ ⊆B Cl T ( ) A là liên thông
Cho ( X , ) là không gian tôpô, ( ) A i i I ∈ là m ột họ các tập con liên thông của X và i I ∈ A i
là không rỗng thì A = i I ∈ A i liên thông
1.2.8 Định lý Ảnh liên tục của một tập liên thông là tập liên thông
Nếu A là tập liên thông thì A cũng là tập liên thông
Cho X là một tập khác rỗng, A là tập con của X Một phủ (cover) của A là một họ các tập con của X mà hợp của chúng chứa A
Một phủ con (subcover) của phủ của A là một họ con của phủ sao cho nó cũng là một phủ của A
Trong không gian tôpô (X, T), một tập con A được gọi là có một phủ mở nếu tất cả các tập con trong phủ đều là tập T-mở.
Một không gian tôpô ( X , ) được gọi là một không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều có chứa một phủ con hữu hạn
Cho ( X , ) là không gian tôpô Một tập con A của X được gọi là tập compact nếu mọi phủ - mở của A đều có một phủ con hữu hạn
1.3.2.3 Tính chất giao hữu hạn của một họ các tập
Một họ ( ) F i i I ∈ c ủa các tập con của X được gọi là có tính chất giao hữu hạn nếu mỗi tập con hữu hạn J của I ta có giao i J ∈ F i là khác r ỗng
Trong không gian tôpô (X, T), một tập con A được gọi là compact nếu và chỉ nếu với mọi họ các tập con F_i (i thuộc I) của A, mà đều là tập đóng trong A và có tính chất giao hữu hạn, thì giao của chúng luôn khác rỗng.
Nếu không gian con A của không gian tôpô X là không gian compact, thì với mọi họ các tập con mở {U_i | i ∈ I} của X sao cho A thuộc trong hợp của các U_i, tồn tại một tập hữu hạn U_j với j thuộc I sao cho A thuộc trong hợp của các U_j.
Tập con đóng của tập compact là tập compact
Tập compact trong không gian T 2 là tập đóng
1.3.2.7 Định lý Ảnh liên tục của một không gian compact cũng là tập compact
Cho X là không gian T 2 Khi đó, các phát biểu sau là tương đương
(1) Nếu X là compact thì mọi tập con vô hạn của X đều có một điểm tụ
(2) Nếu mọi tập con vô hạn của X đều có ít nhất một điểm tụ thì mọi phủ mở đếm được của X đều có chứa một phủ con hữu hạn
Không gian mêtric
Trên tập hợp X khác rỗng, giả sử có ánh xạ d X : × X → thỏa:
Khi đó d được gọi là một khoảng cách trên X và ( X d , ) là không gian mêtric
Cho không gian mêtric ( X d , ) , với mỗi điểm x 0∈X và số thực r > 0, quả cầu mở tâm x 0 bán kính r là tập hợp B x r ( 0, )={ x∈X d x x/ ( , 0 ) 0 là một số phần tử, một tập con A của không gian X được gọi là κ−phạm trù thứ hai trong X nếu A không nằm trong hợp của các tập con ≤κ không đâu trù mật của X Điều này có nghĩa rằng ω−phạm trù thứ hai tương đương với phạm trù thứ hai, trong khi 1−phạm trù thứ hai có nghĩa là bao đóng có phần trong khác rỗng.
Chỳ ý rằng điều kiện à ( ) H ≤ ω là tương đương định nghĩa H là ω−thu hẹp, được cho trong Định nghĩa 2.2.2.6
Cho U là một lân cận mở của e
Cho D là một tập con trù mật của S sao cho D = d S ( )
Cho s∈S Tồn tại một lưới { } d α trong D hội tụ đến s Do đó { } d s α − 1 hội tụ đến e và tồn tại α để d s U α − 1 ∈ Vỡ thế, s ∈ d U α Từ đú S ⊆ DU Do đú à ( ) ( ) S ≤ d S
Các tập mở sU s, ∈S, phủ S Do đó, tồn tại một phủ con { } s U ′ s S ′ ′ ∈ với S ′ ≤ L S ( )
Nếu H là Lindelửf hay tỏch được thỡ nú là ω−hẹp
Cho ( H X , ) là một nhóm biến đổi tôpô, p∈X , E p :H →X là ánh xạ ước lượng tại p E : p ( ) h =hp Do đó E p ( ) H =Hp là quỹ đạo của p
Nếu H cú tập con S sao cho E p ( ) S là à ( ) S − ph ạm trự thứ hai trong X, khi đú
E p là ánh xạ hầu mở
Nếu H cú một khụng gian con S hoặc tỏch được hoặc Lindelửf và sao cho E p ( ) S là phạm trù thứ 2 trong X , khi đó E p là hầu mở
Nếu H là ω−hẹp và E p ( ) H là phạm trù thứ hai trong X (hoặc tương ứng trong
E p H ), khi đó E p là hầu mở với H (hoặc tương ứng với E p ( ) H )
Các kết quả này cung cấp các định lý ánh xạ hầu mở cho các nhóm đồng cấu Một đồng cấu liên tục f từ H đến K tạo ra một tác động liên tục của H trên K, được định nghĩa bởi h k ⋅ = f(h) k Đối với tác động này, E e K = f.
Cho f: X → Y là một đồng cấu liên tục giữa các nhóm tôpô Nếu X có một không gian con S là Lindelöf hoặc là tách được, và f(S) là phận trực thứ hai trong Y, thì f được coi là hầu mở.
Nếu f: X → Y là một đồng cấu liên tục giữa các nhóm tôpô, với X là ω-hẹp và f(X) là phạm trù thứ hai trong chính nó và trù mật hầu khắp trong Y, thì f được coi là hầu mở.
Theo Hệ quả 2.2.3.10 và tổ hợp dãy con, ánh xạ f X : → f X ( ) là hầu mở Cho N là một lân cận mở của e ∈ X , khi đó e Y ∈ Int f X ( ) ( Cl f X ( ) ( f N ( ) ) ) ⊆ f N ( ) Do đó
( ) f N chứa một tập V ≠ ∅, e Y ∈ ⊆V f X ( ) sao cho V là mở tương đối trong f X ( )
Vì f X ( ) là một nhóm tôpô, nó được phủ bởi các tập f x V ( ) Theo Bổ đề 2.1.2.1, tồn tại một tập f x V ( ) trù mật hầu khắp trong G Do đó, f N ( ) cũng là trù mật hầu khắp trong G Từ Bổ đề 2.2.2.3, ta suy ra điều cần chứng minh.
Nếu f: X → Y là một đồng cấu liên tục giữa các nhóm Polish, với f(X) là một phạm trù thứ hai trong chính nó và trù mật hầu khắp trong Y, thì f được coi là một ánh xạ mở.
Điều này được chứng minh từ Định lý 2.2.2.7, với các điều kiện rằng X và Y là Čech hoàn toàn, điều này đã được xác nhận bởi Định lý 2.2.2.8 Hơn nữa, hàm f là hầu mở, và từ Bổ đề 2.2.3.13, ta có thể suy ra điều cần chứng minh.
Cho B là một continuum Tập G B gồm các hàm liên tục f B: →G là một nhóm tôpô (theo Định lý 2.2.2.9) dưới tôpô compact mở và phép toán nhóm:
Vì B là compact nên tôpô compact mở là tương đương với tôpô của hội tụ đều
Ta ký hiệu e ˆ cho phần tử đơn vị: e b ˆ ( ) = e
Cho q∈B và T = { f ∈ G B f q ( ) = e } Khi đó T là nhóm con đóng của G B b :
Mỗi T b là đồng cấu liên tục của các nhóm tôpô
Nếu G thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai và tồn tại một b ∈ B sao cho T(b) là phạm trù thứ hai trong chính nó và trù mật hầu hết trong G, thì G sẽ là liên thông địa phương.
Các thành ph ần liên thông đường
Phần này sẽ trình bày các điều kiện liên quan đến liên thông đường và liên thông đường địa phương trong lý thuyết tôpô Những định lý quan trọng như Định lý 2.3.2.1, Định lý 2.3.2.5, Định lý 2.3.2.6, Định lý 2.3.2.7, Định lý 2.3.2.10 và Định lý 2.3.2.13 sẽ được thảo luận Để hiểu rõ hơn về các định lý này cũng như các chứng minh, bạn đọc có thể tham khảo các tài liệu liên quan như [2], [4], [6], [7], [8], [9], [10], [12], [13].
2.3.1 Một số khái niệm liên quan
Cho p∈ ⊆S H , với H là một nhóm tôpô Ta sẽ dùng [ ] p S để định nghĩa thành phần liên thông đường của S chứa p Đây là một phép đồng nhất [ ] p S = p e [ ] p S − 1
H là liên thông đường địa phương nếu các thành phần liên thông đường của các tập mở là mở Để chứng minh điều này, giả sử C là một thành phần liên thông đường của tập mở W và x thuộc C Khi đó, tồn tại U thuộc e sao cho xU nằm trong W, dẫn đến x thuộc e Nếu [ ] e U là một lân cận của e, thì x thuộc e và [ ] U sẽ là một lân cận của x nằm trong C.
Một tập con của không gian tôpô X được gọi là không gầy hoặc là phạm trù thứ hai trong X nếu nó không phải là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật Tập A ⊆ X được xem là hầu mở hoặc có tính chất Baire nếu tồn tại một tập gầy B sao cho hiệu (A \ B) ∪ (B \ A) là mở Tất cả các tập Borel đều là hầu mở Một kết quả quan trọng trong lý thuyết này là định lý Banach – Kuratowski – Pettis.
Nếu A ⊆ H với H là nhóm tôpô và A chứa một tập hầu mở không gầy (đối với H ) thì A A − 1 là một lân cận của phần tử trung hòa
Nếu H là một nhóm tôpô và là phạm trù thứ hai, thì mọi tập mở khác rỗng của H cũng là phạm trù thứ hai Cụ thể, với U là một tập mở không rỗng, H được bao phủ bởi một tập tịnh tiến của U Nếu U là phạm trù thứ nhất, thì mọi tịnh tiến cũng sẽ là phạm trù thứ nhất, điều này mâu thuẫn với định lý Banach Category.
Chúng ta có thể sử dụng những định lý thông thường trong một nhóm tôpô, nếu V là một lân cận đối xứng của phần tử trung hòa thì V ⊆ V 2
2.3.1.3 Định lý (Mazurkeiwicz-Moore-Menger) [9, p 254]
Mỗi không gian liên thông địa phương hoàn toàn là liên thông đường địa phương
Cho G là một nhóm liên thông đường địa phương hữu hạn chiều Khi đó G là compact địa phương
Nhóm G là một nhóm Lie nếu và chỉ nếu cấu xạ ι là toàn ánh
Với mỗi thành phần liên thông đường S của G thì
2.3.2 Một số điều kiện cho một nhóm tôpô là liên thông đường, liên thông đường địa phương
Nếu mỗi U ∈ e chứa một tập liên thông đường, hầu mở, không gầy, thì G là liên thông đường địa phương
Cho U∈ e và V là một lân cận đối xứng của e sao cho V 2 ⊆U Nếu V chứa một tập S liên thông đường, hầu mở, không gầy, thì S S − 1 là một lân cận của e nằm trong U theo Định lý 2.3.1.1 Hơn nữa, S S − 1 cũng là liên thông đường vì nó là hợp của các tập liên thông đường s S − 1 mà chứa e.
Trong không gian tôpô Hausdorff (X, τ), các thành phần liên thông đường của các tập mở tạo thành một cơ sở cho tôpô τα, và tôpô này được coi là tốt hơn τ Hơn nữa, không gian (X, τ α) là liên thông đường địa phương, và các thành phần liên thông đường của bất kỳ tập mở U trong (X, τ) sẽ trở thành các thành phần liên thông của U trong không gian (X, τ α).
Các không gian (X, τ) và (X, τα) có cùng các đường liên thông Nếu (X, τ) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, thì nó tương đương với (X, τα) Ngoài ra, nếu (X, τ) là một nhóm tôpô, thì nó cũng tương đương với (X, τα), và trong trường hợp này, hàm đồng nhất i: (X, τα) → (X, τ) là một đơn cấu liên tục.
Nhóm ( ,Gτ α ) được gọi là nhóm liên thông đường địa phương tương thích của G
Vì G là T 0 nên ( ,Gτ α ) cũng là T 0
Mặc dù các phát biểu không rõ ràng, nhưng từ Bổ đề 2.3.1.6 có thể dễ dàng suy ra rằng: Mỗi thành phần liên thông đường S của G đều có những đặc điểm quan trọng.
Nếu G thỏa tiền đề đếm được thứ hai và là liên thông đường thì ( , G τ α ) thỏa tiên đề đếm được thứ hai
Theo Bổ đề 2.3.1.6, d G (( ,τα ))≤ w G ( ), do đó ( , G τα ) là tách được Vì G thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, nên ( , G τα ) cũng thỏa mãn tiên đề này, dẫn đến cả hai đều là mêtric Hơn nữa, với việc ( ,Gτ α ) là mêtric và tách được, điều này chứng minh rằng nó thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai.
Nếu G là liên thông đường, thỏa tiên đề đếm được thứ hai và phạm trù thứ hai thì
G là liên thông đường địa phương khi và chỉ khi với mỗi U∈ e , [ ]e U là hầu mở
Để chứng minh G là liên thông đường địa phương, giả sử mỗi [ ] e U là hầu mở Theo Định lý 2.3.2.1, cần chứng minh rằng mỗi [ ] e U là phạm trù thứ hai.
Giả sử rằng [ ] e U là phạm trù thứ nhất Chọn V ∈ e đối xứng sao cho V 2 ⊆ U Khi đó, mỗi thành phần liên thông đường của V sẽ là phạm trù thứ nhất, tức là nếu p V∈ thì
Vì G là một nhóm thỏa mãn điều kiện của phạm trù thứ hai, nên tất cả các tập mở khác rỗng cũng thuộc phạm trù thứ hai Điều này dẫn đến việc V có các thành phần liên thông không đếm được Do đó, ( , G τα ) không thể tách rời, điều này mâu thuẫn với Bổ đề 2.3.2.2 Kết luận rằng, [ ] e U là phạm trù thứ hai.
Ngược lại, nếu G là liên thông đường địa phương, khi đó mỗi [ ] e U là mở và do đó là hầu mở
Tập G I bao gồm tất cả các đường trong G, được xem như một nhóm tôpô dưới tôpô compact mở, tương đương với tôpô của hội tụ đều Phép nhân theo chiều kim đồng hồ được định nghĩa là fg(t) = f(t)g(t) Ký hiệu ê đại diện cho phần tử trung hòa, với ê(t) = e Nếu G là mêtric hoàn toàn, tương ứng với phạm trù đếm được thứ hai, thì G sẽ là G I.
Cho C là tập các đường σ∈G I sao cho ( )σ O =e Khi đó C là một nhóm con đóng của G I Ta có C ( ) 1 = [ ] e G là thành phần liên thông đường của đơn vị trong G
Nó là một nhóm con thông thường của G và hàm toàn ánh ( )T σ =σ(1) là một đồng cấu nhóm liên tục từ C vào [ ]e G
Cho U∈ e và x ∈ [ ] e U Khi đó tồn tại một đường σ trong U từ e vào x sao cho với mỗi t ∈ [ ] 0,1 , σ ( ) t ∈ U thì ( e ,σ( ) t )∈U L Do đó, σ∈W U L [ ] e ˆ và x T W∈ ( U L [ ] e ˆ ) Điều này chứng tỏ rằng [ ] e U ⊆T W ( U L [ ] e ˆ )
Tương tự, nếu x T W∈ ( U L [ ] e ˆ ) thì x = σ ( ) 1 với σ∈W U L [ ] e ˆ , do đó x ∈ [ ] e U
Các phát biểu sau đây là tương đương:
(2) i G : ( ,τ →α ) G là mở (do đó là một đồng cấu)
(3) G là liên thông đường địa phương (do đó là liên thông đường)
(4) T là toàn ánh và ánh xạ tự nhiên từ C / Ker T ( ) vào G bi ến σ Ker T ( ) thành ( )
Giả sử có ( ) 1, theo Bổ đề 2.3.2.4, các tập [ ] e U tạo thành một cơ sở lân cận tại e và G là liên thông đường địa phương Vì vậy, ta có ( ) 3.
Bây giờ giả sử có ( ) 3 Nếu U∈ e thì [ ] e U là một cơ sở lân cận mở của e trong
( G ,τα ) và [ ] e U cũng là mở trong G vì G là liên thông đường địa phương Do đó i là mở theo Bổ đề 2.2.2.3 và ta có ( ) 2
Nếu có ( ) 2 , khi đó với mỗi U∈ e thì [ ] e U là mở và do đó T là mở theo Bổ đề 2.3.2.4 Do đó ( ) 1 suy ra từ ( ) 2 và ( ) 1 với ( ) 3 là tương đương
Nếu có ( ) 1 thì theo ( ) 3 , G là liên thông đường và vì thế T là toàn ánh Do đó vì
T là mở nên từ định lý tiêu chuẩn đồng cấu ta suy ra (4)
Cuối cùng, giả sử có ( ) 4 và cho ˆT là ánh xạ tự nhiên từ C / Ker T ( ) vào G với
C được cho là tôpô thương thông thường Phép chiếu tự nhiên
: / Ker T π C→C là mở và T = T ˆπ , do đó T là mở và ta có ( ) 1
Nếu G là Polish, các phát biểu sau đây là tương đương
(1) G là liên thông địa phương
(3) G có một thành phần liên thông đường là phạm trù thứ hai trong chính nó và trù mật hầu khắp trong G
(4) G là liên thông đường địa phương
Hơn nữa, nếu G là hữu hạn chiều, ta có thể thêm vào:
(5) G là compact địa phương và liên thông đường
Theo Định lý Mazurkeiwicz – Moore – Menger (2.3.1.3), nếu G là liên thông địa phương, thì G cũng là liên thông đường địa phương Điều này dẫn đến mối quan hệ (1) ⇒ (4) Với G là liên thông, ta có (4) ⇒ (2) Phát biểu (3) được suy ra ngay lập tức từ (2) Do đó, để chứng minh bốn phát biểu đầu tiên là tương đương, cần chứng minh rằng (3) suy ra (1).
L ớp liên hợp
Trong phần này, chúng tôi trình bày các kết quả về tính phổ biến của lớp liên hợp, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính liên thông địa phương cho G Những kết quả này cũng có thể được coi là các định lý liên quan đến lớp liên hợp trong các nhóm liên thông không địa phương.
2.4.1 Một số khái niệm liên quan
Một lân cận V của e trong một nhóm tôpô H là bất biến nếu xVx − 1 ⊆ V với mọi x∈H Nếu V là bất biến thì V ∩V − 1 là lân cận đối xứng
Một nhóm tôpô H là cân bằng (hay một SIN–nhóm ) nếu các lân cận bất biến có dạng một cơ sở lân cận tại e ∈ H
Các nhóm compact và nhóm Abel đều có tính chất cân bằng Cụ thể, một nhóm G được coi là cân bằng nếu và chỉ nếu các cấu trúc bên phải và bên trái của nó là tương đương.
Trong nhóm G, với mỗi phần tử a ∈ G, ta định nghĩa tự đẳng cấu i_a bằng công thức i_a(x) = axa^{-1} Ký hiệu I đại diện cho tập hợp các tự đẳng cấu trong G Đối với hai phần tử a và p thuộc G, phép toán a • = p i_a(p là một tác động liên tục của G lên chính nó Như vậy, (G, G) được xem như một nhóm biến đổi tôpô, với quỹ đạo tương ứng.
G•p ta ký hiệu là i G ( ) p là lớp liên hợp của p Do đó, ( G G , • p ) cũng là một nhóm biến đổi tôpô Với p∈G, ta có hai hàm sau: p :
E G→G ; E p ( ) a = • =a p i a ( ) p Ở đây được trang bị tôpô của hội tụ đều và G vẫn giữ những tính chất tôpô thông thường của nó
2.4.2 Một số tính chất của lớp liên hợp để tạo nên tính liên thông địa phương cho nhóm tôpô
Theo Hệ quả 2.2.3.17, ta có định lý sau:
Nếu G thỏa tiên đề đếm được thứ hai và có một continuum B trong G chứa e, sao cho lớp liên hợp của một điểm trong B thỏa mãn phạm trù thứ hai trong chính nó và trù mật hầu khắp trong G, thì G được coi là liên thông địa phương.
Nếu G là cân bằng và p G∈ , hàm T p : → •G p (tương ứng vào G ) là mở hoặc hầu mở nếu E p : G→ •G p (tương ứng vào G ) là mở hoặc hầu mở
Cho i a ∈ và W U L [ ] i a là một cơ sở lân cận của i a với U∈ e Vì G là cân bằng nên tồn tại một lận cận V bất biến, đối xứng của e sao cho V 2 ⊆U
Cho i Va ={ i u a |u∈V } Ta sẽ chứng minh i Va ⊆W U L [ ] i a
Do đó i Va ⊆W U L [ ] i a Từ đó E V p ( ) a =T p ( ) i Va ⊆T W p ( U L [ ] i a ) và ta có điều phải chứng minh
Nếu G là cân bằng và với p G∈ hoặc là
1 E p :G→G là hầu mở hoặc là
2 E p :G→ •G p là hầu mở và G p• là trù mật hầu khắp nơi trong G, thì G là liên thông địa phương
Chứng minh Điều này suy ra từ Bổ đề 2.4.2.2 và Định lý 2.2.3.3
Nếu G là một không gian cón bằng và ω-hẹp (ví dụ như Lindelöf hoặc tách được), và với p thuộc G, lớp liên hợp của p là phạm trù thứ hai trong G hoặc chính nó, đồng thời trù mật hầu khắp trong G, thì G được coi là liên thông địa phương.
Giả sử G là cân bằng và ω-hẹp Nếu G•p là phạm trù thứ hai trong G thì theo
Hệ quả 2.2.3.10, E p : G→G là hầu mở và ta có được điều ( ) 1 của Mệnh đề 2.4.2.3
Mặt khác, nếu G•p là phạm trù thứ hai trong chính nó và trù mật hầu khắp trong
G thì theo Hệ quả 2.2.3.10, E p : G→ •G p là hầu mở và ta có điều ( ) 2 của Mệnh đề 2.4.2.3
"Liên thông địa phương trong các nhóm tôpô" là một chủ đề hiện nay thu hút sự chú ý của nhiều nhà Toán học, những người đang nghiên cứu và khám phá các khía cạnh của vấn đề này.
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày được các nội dung sau:
Chương 1: Nêu các kiến thức cơ sở về tôpô cần thiết và quan trọng nhằm phục vụ việc nghiên cứu luận văn, bao gồm:
- Các kiến thức về không gian tôpô
- Một số khái niệm về không gian mêtric
- Một số tính chất của nhóm tôpô
- Định nghĩa nhóm, nhóm con, nhóm Lie
Chương 2: Trình bày các điều kiện để một nhóm tôpô là liên thông địa phương và liên thông đường cùng các mối liên hệ của chúng với các kết quả cổ điển đã được đưa ra Cụ thể trong chương này tôi đã trình bày được các nội dung sau:
1 Điều kiện tổng quát cho một nhóm tôpô là liên thông địa phương
2 Ánh xạ vào tập liên thông địa phương
3 Điều kiện cho một nhóm tôpô là liên thông đường, liên thông đường địa phương
4 Tính chất của lớp liên hợp tạo nên tính liên thông địa phương cho nhóm tôpô
Với các nội dung đã trình bày thì luận văn đã đề cập đến các điều kiện để một nhóm là liên thông địa phương và liên thông đường
Tuy nhiên, luận văn vẫn còn một số vấn đề mở như:
1 Kết luận của Hệ quả 2.3.2.14 có thể làm mạnh cho tính liên thông đường địa phương hay không?
2 Có thể tìm những cách chứng minh trực tiếp cho Hệ quả 2.3.2.8 mà không dùng định lý của Rickert hay không?
Bài luận văn này giúp tôi hiểu rõ các điều kiện tổng quát để một nhóm là liên thông địa phương, cùng với các tính chất liên quan đến các ánh xạ trong nhóm tôpô Tôi cũng nắm được các điều kiện cần thiết để một nhóm tôpô có tính liên thông đường và liên thông đường địa phương, cũng như mối liên hệ giữa tính liên thông địa phương và các lớp liên hợp.
Mặc dù tôi đã nỗ lực trong việc soạn thảo và trình bày nội dung, nhưng do thời gian hạn chế và trình độ nghiên cứu còn có những hạn chế, nên luận văn của tôi vẫn còn thiếu sót Tôi rất mong nhận được góp ý để hoàn thiện hơn.
Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ các đọc giả, đặc biệt là quý Thầy Cô, để giúp tôi hoàn thiện luận văn của mình hơn nữa.
TÀI LI ỆU THAM KHẢO
1 Alexander Arhangel’skii, Mikhail Tkachenko (2008), Topological Groups and Related Structures, Atlantis Press/World Scientific Publishing Co Pte Ltd.,
Paris/Hackensack, NJ, xiv + pp 781
2 Andrew M Gleason (1950), Arcs in locally compact groups, Proc Natl Acad Sci USA 36, pp 663-667
3 Andrew M Gleason (1952), Groups without small subgroups, Ann Math, 56, pp
4 Andrew M Gleason, Richard S Palais (1957), On a class of transformation groups,
5 Deane Montgomery, Leo Zippin (1952), Small subgroups of finite-dimensional groups, Ann Math, 56(2), pp 213-241
6 Deane Montgomery, Leo Zippin (1955), Topological Transformation Groups,
Interscience Publishers, New York/London, xi + pp 282
7 John C Oxtoby (1980), Measure and Category, A Survey of the Analogies
Between Topological and Measure Spaces, 2nd edition, Graduate Texts in Mathematics, vol 2, Springer-Verlag, New York/Berlin, x + pp 106
8 John L Kelley (1955), General Topology, D Van Nostrand Company, Inc.,
Toronto/New York/London, xiv + pp 298
9 K Kuratowski (1968), Topology, vol II, New edition, revised and augmented,
Translated from the French by A Kirkor Academic Press/Państwowe Wydawnictwo Naukowe Polish Scientific Publishers, New York/London/Warsaw, xiv + pp 608
10 K Whittington (2001), Local connectedness in transformation groups, Proc Am Math Soc, 130(3), pp 903-907.