de thi hoc sinh gioi toan 9 2012

Cho tam giác ABC có góc B bằng 3 lần góc C và đường phân giác của góc A chia tam giác thành hai phần có diện tích gấp đôi nhau.. Tính độ lớn các góc của tam giác.[r]

TR: THCS NGUYỄN CHÍ THANH

TỔ : TOÁN -LÝ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

MÔN : TOÁN

THỜI GIAN: 120Phút

Câu 1 (2,0 điểm)

Cho các số nguyên a1, a2, a3, , an Đặt S = a13  a32   a3n

và P  a1  a2   an

Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6

Câu 2 : (2,0 điểm).

Cho A = n6  n4 2n3 2n2 (với n  N, n > 1) Chứng minh A không phải là số chính phương

Câu 3: (2,0 điểm).

Cho

  Tính px3 4x12012

Câu 4 (2,0 điểm)

Giải phương trình: x2 4x+5 = 2 2x+3

Câu 5 (2,0 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2

4x+3 A

x 1





Câu6: (2,0 điểm) Chứng minh rằng:

)

với a, b  0

Câu 7: (4,0 điểm).

Cho tam giác ABC có góc B bằng 3 lần góc C và đường phân giác của góc A chia tam giác thành hai phần có diện tích gấp đôi nhau Tính độ lớn các góc của tam giác

Câu8 : ( 4,0 điểm)

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A lên đường chéo BD của hình chữ nhật ABCD Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BH và CD Chứng minh rằng 4 điểm A, P, Q và D cùng nằm trên một đường tròn

… HẾT…

ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM

Câu 1 : (2,0 điểm).

Với aZ thì a3-a =(a-1).a.(a+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và

3 Mà (2.3)=1 (1đ)

 a3- a6 S – P = (a13 a1) ( a23 a2) ( a3n a n) 6 (1đ)

Vậy S 6   P 6 

Câu 2: (2,0 điểm).

n  n 2n 2n n (n1) (n  2n2) (1đ)

với nN, n > 1 thì n2-2n+2=(n-1)2 +1 >(n-1)2

và n2 – 2n+2= n2-2(n-1) < n2 (0,5đ)

Vậy(n -1)2 < 2

n  2n2< 2

n  n2  2n  2 không là số chính phương  đpcm (0,5đ)

Câu 3: (2,0 điểm).

Ta có:

3 3

2

( 3 1) ( 3 1)

2

Suy ra : P = (8-8+1)2012 =1 (0,5đ)

Câu 4: (2,0 điểm).

Giải phương trình x2 4x+5=2 2x+3 (1)

Điều kiện:

3 2x+3 0 x

-2

(1)  x2 4x+5-2 2x+30

 x2 2x+1+2x+3 - 2 2x+3 1 0 

(x 1) ( 2x+3 1) 0

     (1,5đ)

x 1 0

2x+3 1 0

 



 

 



x 1

2x+3=1





 

  x  1 thỏa mãn điều kiện (0,5đ)

Câu 5: (2,0 điểm).

Tìmgiá trị nhỏ nhất của 2

4x+3 A

x 1





Ta có:

2



  (1đ)

2 2

(x 2)

x 1





Dấu "=" xảy ra  x  2   0 x  2

Vậy Amin  1 khi x = -2 (1đ)

Câu 6: (2,0 điểm).

2

2

a) Ta có :

mà ,

a b b a

(2đ)

Câu 7: (4,0 điểm)

Lời giải

Ta có dt(ADC) = 2dt(ABD) (gt) , mà hai tam giác có đường cao hạ từ D bằng nhau

(vì AD là phân giác của góc A nên D cách đều hai cạnh AB và AC)

Cho nên AC = 2.AB

D

A

B

Ta có A B C     1800

và B 3C cho nên A 1800  4C

(2đ)

Gọi N là trung điểm của AC , ta có ABN là tam giác cân  ABN ANB2C

Mà NBC ABC ABN     3C  2C C  Cho nên NBC là tam giác cân  NB = NC

Từ đó suy ra AN = NC = BN  ABC vuông tại B , nên C 300 ; A600(2đ)

Câu 8: (4,0 điểm)

Lời giải

Gọi I là trung điểm của AH Chứng minh IP AD từ đó suy ra I là trực tâm của tam giác APD Suy ra DI AP (1). (2đ)

Chứng tỏ được tứ giác DIPQ là hình bình hành, suy ra DI // PQ (2). (2đ)

Từ (1) và (2) suy ra AP PQ , suy ra đ.p.c.m

L

Q

P

H

B A