Bài tập 6: Không dùng máy tính hãy tính giá trị biểu thức P =... Bài tập 3: Tính giá trị của các biểu thức.[r]
Trang 1BÀI TẬP Hàm số mũ và logarit Công thức cơ bản hàm số mũ
a0 = 1; 1a = 1; a–m = m
1
a ; (am)ⁿ = am.n;
n
m na am Các công thức cùng cơ số
am.an = am+n;
m n
a
a = am–n
Các công thức khác cơ số
am.bm = (ab)m;
m
m m
( ) b
Bài tập 1: Đơn giản biểu thức sau (giả thiết tất cả đều có nghĩa)
a A =
2
3 1
b B = (
)(a2n – b2n)
c C =
Bài tập 2: Cho a, b là các số dương Rút gọn biểu thức sau
a A =
2
b B =
c C =
( a b)(a b ab) d D =
1
e E =
3
2
2 2 2
2a
g G =
2
3 3
3
a
Bài tập 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
a A =
b B =
3 3
5
10 5
2 3 y
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức sau
a A =
{[(3 5 ) : 2 ]:[16 : (5 2 3 )]} b B =
3
4
Bài tập 5: Chứng minh a23a b4 2 b23b a4 2 ( a3 2 3b )2 3
Bài tập 6: Không dùng máy tính hãy tính giá trị biểu thức P =
Trang 2Bài tập 7: Chứng minh rằng:
8
8 8
1
Bài tập 8: Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau
a A = 5 32 2 2 b B =
11 16
a a a a : a (a > 0) c C =
5 b a3
a b (ab ≠ 0) Bài tập 9: Đơn giản biểu thức
a A = a a : aπ 4 2 4π b B = (a 2) a3 3 3 6 c C =
1
d D =
HÀM SỐ MŨ
Khảo sát hàm số y = ax
Tập xác định hàm số D = R
Đạo hàm y’ = axln a
Nếu a > 1, hàm số luôn đồng biến
Nếu 0 < a < 1, hàm số luôn nghịch biến
Giới hạn:
x
xlim a 0
nếu a > 1 và
x
xlim a 0
nếu 0 < a < 1
→ y = 0 là tiệm cận ngang
Giá trị đặc biệt: x = 0 → y = 1; x = 1 → y = a
Nhận xét: Hàm số y = ax luôn dương với mọi x
Bài tập 1: Chứng minh rằng hàm số sau đơn điệu: y =
2
Từ đó so sánh 2³ – 2–³ và 2² – 2–² Bài tập 2: Các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến
a y =
x
π
( )
x
3
3 2 c y = 5
SO SÁNH CÁC SỐ MŨ
1 Nếu a > 1: am > aⁿ <=> m > n 2 Nếu 0 < a < 1: am > aⁿ <=> m < n
3 Nếu 0 < a < b: aⁿ < bⁿ <=> n > 0 4 Nếu 0 < a < b: aⁿ > bⁿ <=> n < 0
Nếu so sánh hai căn không cùng bậc, thì đưa hai số về cùng bậc rồi so sánh
Bài tập 1: So sánh các cặp số sau
a 330 và 520 b 17 và 328 c
3
1 ( )
3 và
2
1 ( )
1,2
3 ( )
2 và
2
3 ( ) 2
e
5
2
5
( )
7
5 6
0,7 và
1 3
0,7 g 202303 và 2 Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau
a y = 3.3 x 2 x b y = 0,51–sin 2xc y = 2
x
1 x
e
BÀI TẬP LOGARIT
Định nghĩa: Hàm số y = loga x (0 < a ≠ 1) xác định khi x > 0
loga x = b <=> x = ab (b được gọi là logarit cơ số a của x)
Chú ý: Khi cơ số a = e thì loge = ln x được gọi là logarit tự nhiên
Khi cơ số a = 10 thì log10 x = log x = lg x được gọi là logarit thập phân
Công thức cơ bản
loga 1 = 0; loga a = 1; loga xα = αloga x;
a
1
β
;
a a
α
β
Công thức tích thành tổng
Trang 3loga (xy) = loga x + loga y.
loga (x/y) = loga x – loga y
Công thức đổi cơ số
logc x =
a
a
log x
log c hay loga c logc x = loga x
loga x = x
1
log a
Công thức khác: alog x a = x
Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
a y =
1
2
x 1 log
x 5
b y =
2
5
x 3
c y = 2
x 3 log
x 1
d y = lg (–x² + 3x + 4) + 2
1
x x 6 e y =
x 1 log 2x 3
Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức
a
9
1 1
4 2
1 log 3 3log 5
c
5
1
2
72(49 5 ) d 36log 5 6 101 lg 2 3log 36 9
Bài tập 3: Tính giá trị của các biểu thức
a A = log9 15 + log9 18 – log9 10 b B =
3
1 2log 6 log 400 3log 45
2
c C =
6
1
2
d D =
4
log (log 4.log 3)
log (2sin ) log cos
12 12 f F = log ( 74 3 33) log ( 49 4 3 32139)
g G = log10 tan 2 + log10 cot 2 h H = log4 x + log4 x³ – 2log2 x + 6log4 8
Bài tập 4: Tính giá trị của các biểu thức
a A = log (aa 2 a ) b B =
a
log
a a
c C = log tan 1° + log tan 2° + + log tan 89°
d D = log3 2 log4 3 log5 4 log15 14 log16 15
Bài tập 5: Chứng minh rằng nếu a² + b² = c²; a, b, c > 0; c + b ≠ 1; c – b ≠ 1; a ≠ 1 thì logc+b a + logc–b a = 2logc+b a logc–b a
Bài tập 6: Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn a² + b² = 7ab Chứng minh rằng
a b ln a ln b ln
Bài tập 7: Tính theo a, b các logarit sau
a A = log6 16 Biết log12 27 = a b B = log125 30 Biết log 3 = a; log 2 = b
c C = log3 135 Biết log2 5 = a; log2 3 = b d D = log49 32 Biết log2 14 = a
Bài tập 8: Rút gọn biểu thức P = (loga b + logb a + 2)(loga b – logab b)logb a – 1
Bài tập 9: Biết loga b = 3; loga c = –2 Tính giá trị của các biểu thức sau
a loga (a³b² c ) b loga (
2 2 4
4 3
a c b
b a c )
HÀM SỐ LOGARIT
Khảo sát hàm số y = loga x
Tập xác định D = (0; +∞)
Đạo hàm y’ = 1/(x ln a)
Trang 4Nếu a > 1, hàm số luôn đồng biến
Nếu 0 < a < 1, hàm số luôn nghịch biến
Các điểm đặc biệt x = a → y = 1, x = 1 → y = 0
BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Trường hợp 2 số có cùng cơ số, ta áp dụng qui tắc sau:
Nếu a > 1 thì loga x > loga y <=> x > y
Nếu 0 < a < 1, loga x > loga y <=> x < y
Trường hợp 2 số khác cơ số, dùng số trung gian
Ví dụ so sánh hai số log3 4 và log4 3 Ta có: log3 4 > 1 = log4 4 > log4 3
Bài tập 1 So sánh
a 2log 3 5 và 5
1 log
2
3 b log3 2 và log2 3 c log2 3 và log3 11
5
log 3 log
11
1
2
1 ( ) 6
và 318 f log2 10 và log5 30
g log3 5 và log7 4 h 2ln e³ và 8 – ln (1/e)
Bài tập 2: Chứng minh
a
2
1
2
b 4log 7 5 7log 4 5 c log3 7 + log7 3 – 2 > 0 Bài tập 3: So sánh
a log3 (6/5) và log3 (5/6) b log1/3 9 và log1/3 7 c log1/2 e và log1/2 π
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
Công thức cơ bản
(ax)’ = ax ln a → (au)’ = u’.au ln a
(ex)’ = ex → (eu)’ = u’.eu
(ln x)’ =
1
x → (ln u)’ =
u ' u (loga x)’ =
1
x ln a → (loga u)’ =
u '
u ln a Bài tập 1: Tính đạo hàm các hàm số sau
a y = (x² – 2x)ex b y = (sin x – cos x) e2x c y =
d y = ln (x² + 1) e y =
ln x
Bài tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau
a y = x² ln x21 b log2 (x² – x + 1) c y = 23ln x2
d y = 3
x 2
log
x 3
e y = ln (
x 1
x 1
)