Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

Sử dụng tính đơn điệu chứng minh phương trình có tối đa 2 nghiệm : 1 Giải phương trình: Phương trình tương đương với: Rõ ràng phương trình có.. là hàm liên tục,đồng biến và nhận cả giá t[r]

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1):

2 1

x x



 

2 2

x

x



2) 7.3x1 5x2  3x4  5x3

5

x

3) 5 8 500

1





x

x

x

 !

1

1 1

5

1

log 2

2

x x

x

 





4) [  5 27 4 3 ]4 3 4 37 ) x=10

x x x x



8 2

4 8

3 3 3 5

5

5x  x  x  x  x  x

5 3

13 log 31

x

2 2 2

2

2









1 2

cos

2

x

x    

3 2 3

2x x  x x

2

5 log 3 1 2

Phưong pháp 2: 4 5 6

Đặt 1 ẩn phụ đưa về phương trình đại sô:

1) 2x2x  22 x x2  3.

 ! 4 2x2x  t t (  0)

4

3

t

t

2) 2 5 1 ) x=-1; x=-2

3 x  36.3x   9 0

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

3) 2 2 2 1 2 ) x=-2; x=1

3 x  x  28.3x x   9 0

4) 9x  6x  2.4x

 ! Chia  2 < cho 4x ta 3 2 3 ) x=0

5) 4x x25  12.2x 1 x25   8 0

 ! 4 2

2 5

2

3

4

x

t t

 









6)  7  5 2 x  ( 2  5) 3 2 2   x  3(1  2)x   1 2  0

 ! 4

2

1

x

x t





3

8)

4

9) 4.3 9.2 5.62

x

x x

Chia 2 < cho , =4 2x 3 2

2

x

t  

   

=0  x=4

x

x x

11) (KB-2007)  2 1  2 1 2 2 0 ) x=-1,x=1

12) (KA-2006) x 4.12x 18x 2.27x 0

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

( ) 3

x

1

3

t

t

 





 



Đặt 2 ẩn phụ, phân tích thành nhân tử

1)2x 3x 16x



4 2x u,3x v u v( , 0)

1

u

v







:EF u=1 2x   1 x 0

- EF v=1 3 x   1 x 0

KL:

Tương tự

2) 4x23x2 4x26x5 42.x23x7 1 ) x   5; 1;1;2

3) 4 2 2 2 2  2 1

1

x

6 24 2

3

3

5) 12.3x 3.15x 5x1 20 )

3

5 log 3

x 

2x  x 2x 2.2  x 1 x  1;1;2;3

7) (KD-2006) 2x2x 4.2x2x 22x  4 0

2x x u,2x x v u4 1 v0

2

2x x 2  x x 3

Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

1) 3.16x2  (3 x  10)4x2  3 x=0

 ! :

4 2 Pt 8 thành :

4x  t t (  0).

2

4 2

2

1 1

2

x

x

x t

x













2) 32x 2x 9.3x 9.2x 0 ) : x=0,x=2

3) 2 32x 2.12x0

x x

4) 9x 2.x2.3x 2x50 ) : x=1

5) 3.25 2 3 10.5 2 3 0

x

x

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

Phương pháp 3: lôgarit hoá:

1) 5 x x18x  100

2

2 2

5

2

1 log 2( )

x





2)

2x  3x  x  3x  x  2x

 !

2 ( 2)( 4)

2

3

2

x

x





3) 5 8 500

1





x

x

x

Lôgarit hóa 2

5

x = 3 1

x - 3 log 5 + = 0

x = -log 2 x



 

2 3

2

x

x

x  

3 4; 2 log 2

x  x   

Phương trình dạng f(x)=g(x) với f(x) ĐB, g(x) NB hoặc f(x) đơn điệu g(x)=const

1)  PT : sin os 1 (1)(SGK  tích NC trang 127)

c

 Do 0 sin 1; 0 os 1 nên là hàm  S  T< trên

f x    c  

OR<G x>2 thì

OR<G x<2 thì

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

(2) (SGK  tích NC trang 127)

1

4 3

x

x

   

 

 



+Xét hàm  ( ) 1 ; ( ) 4 trên

3

x

f x   g x  x

 

OLU VM f x( ) S  T< trên , còn g(x) =] T< trên  

+x=-1 là

OR<G x>-1 thì

1



          

OR<G x<-1 thì

1



          

EYM x=-1 là JK C PT (2)

3)

(3) (SBT  tích 12 NC)

x

         



-Xét hàm  ( ) 3 1 2 1 1 ; ( ) 2 6 trên

f x         g x   x

2 3 6

  '( ) 3 ln 3 1 ln1 2 ln 2 1 ln1 1 ln1 0,

T< trên ,

nên g(x) S  T< trên và f(1)=g(1)=4 '( ) 2 0,

:EF x>1 ta có f x  f  1 g(1)g x( )

:EF x<1 ta có f x  f  1 g(1)g x( )

EYM x=1 là JK duy V C PT (3)

4)  3  2 x  ( 3  2)x  ( 5)x

 ! :

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

OR<G x  0 : ux  0; vx   1 VT  1

OR<G x  0 : ux  1; vx   0 VT  1

EYM pt vô JK

5) Cho a, b, c là các x+bx=cx có K^ và c K^ JK

 ! : ( ) a x ( ) b x 1 0

4 VT=f(x) Ta có f(x) là hàm  liên 6 trên R, f(x) là hàm S  T< trên R

hay pt có JK duy V

6) 2 32 1

x

7)   x   x x

5 2 2 3 5

Pt dạng f u( )f v( )trong đó f là hàm số đơn điệu

1 2

4   2  

x

x x

4 x 1 u x, 2 1 v pt 8 thành : 2u2v   v u 2u  u 2v v

Xét hàm f t( )2t t trên , HSDDB trên nên => u=v

.e =I  ra JK C pt là x=1

 :

2x  x 2x  x  7 cos 3x  2x  x 2x  x 7(4 cos x3 cos )x

(10’)

2x  x 7 x 3 cosx 2x  x 7 x 4 cos x

Xét hàm  f t( )2t 7 ,t tR f t, '( )2 ln 2t  7 0 Hàm f(t) =] T< trên R

6

Có thể gặp cả trong đề thi HSG các tỉnh các ví dụ tương tự

3) 2 3 2 3 2 3 ";h =^ GMi c Ninh Bình)

3 x x 3x xx 3x 2 0



3 x x 3x xx 3x  2 0 3 x x 2x   x 2 3x xx 2x

Xét hàm  ( ) 3f t  t t t,  

nên f(t) là HS B trên '( ) 3 ln 3 1 0,t

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

2 3

2

1

x

x

 





x

x

x x

x

1 2

1 2

2 1 2

1











1 2

x  5) 2 3 x1  74 3x  x1

Sử dụng tính đơn điệu chứng minh phương trình có tối đa 2 nghiệm :

Ta có

F

; Suy ra là hàm liên

có JK duy V

.e T T< thiên C hàm có không quá hai JK

Ta có :

2) 32x 22x 2x 3x12x1 x 1 (13)

 : Xét hàm sô ( ) 3t 2t trên

f t   t 

Ta có f t'( )3 ln 3 2 ln 2 1 0t  t   F Kh t  nên hàm  =] T< trên 

(13’)

f  f x    x   x

Xét hàm  ( ) 2u 1 trên

Ta có '( )g u 2 ln 2 1u 

F Kh nên là hàm  =] T< trên , do =I có  = K^ 2

''( ) 2 (ln 2)u 0

JK /  e T T< thiên Cg u( )

Suy ra g u( )0 có  = 2 JK /

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

0, 1

x x

3) Cho hàm  ( ) sin 2 Tìm GTNN C hàm  và CMR: f(x)=3 có =o 2 JK

2

f x e  x

 Ta có '( )f x e xcosx   x, x

"( ) x sin 1 0,

f x e  x    x

Suy ra f x'( ) =] T< trên , f’(0)=0 

f x e  x e    x e  

Mà

2

2

2

2

x

x

x

x

Ta có BBT

.e BBT ta có min ( )f x  f(0) 1 và



CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ.

Bài 1 : Tìm m =i pt m 2x  2x   5 0 có JK duy V

 :

4 t=2x , t>o Pt 8 thành : 1 2

t

OR<G m=0 : t=1/5 (t.m)

+ R<G Kv% :

Pt

x  0 

f’(x) - 0 +

f(x)  

1

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

1 2

0

0

m

m



 

 





   



Bài 2 : Cho pt : m 16x  2.81x  5.36x

a)  pt khi m=3

b) Tìm m =i pt có JK duy V

4

x

2 t    5 t m 0.

a) x=0 ; x=1/2

b) (2)   m 2 t2  5 t

trên (0 Ow ta => 25 ; 0

8

Bài 3 : Tìm a =i pt sau có JK duy V :

 5 1   x  a 5 1  x  2x

 ! :

1

4 t= 5 1 (t>0)

2

x

2

a

t

     

0

4

8

a

2

x

a

t

         

A( sát hs và 'Y T T< thiên

+a>16 ; pt vô JK

+a=16 (4 x% : pt có JK duy V

+0<a<16 : pt có 2 JK phân TJ

Bài 5: Tìm m 81sin2x  81cos2x  m

 !

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

t

A( sát hàm  ta => m< nG &xKx&

Bài 6: Cho 34 2 x2  2.32x2  2 m   3 0

a)

b) Xác

3 x    t t 0;9

a) x=±1

b) A( sát hàm  2 3   => :%xKx

t

Bài 7: Tìm a 91 1 t2  ( a  2).31 1 t2  2 a   1 0

 ! 4 t= 2   A( sát hs =>

1 1

7

a

 

1

 ! 4 2 1  x2     t t  1;  m t 2 1

t



  

A( sát hàm  2 1  =>

t



5x  mx  5 x  mx m  x  2 mx  m

JK G^ (0;2)

 !

4

2

2 2

2





F f(t)=5t+t

5u  5v    v u 5u   u 5v   v f u ( )  f v ( )

Pt =j cho có =o 2 JK G^ (0 ;2) khi và c khi pt (*) có =o 2 JK G^ (0 ;2) A( sát hàm 

ta => m< nG không ] s m ( mãn

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

Bài tập tổng hợp về phương trình mũ

Bài 1:

8 2 4

8

3 3 3 5 5

5x  x  x  x  x  x

2 2 2

2

2









1 2 cos

2

x

x     e) 2x4.3x2 22x1.33x2

Bài 2:  các ( trình:

a) 3 5 x  3 5x 7.2x 0 b) 8x 18x 2.27x 0  x=0

3 3 2





x

2

12 2

1 2

6

23x  x  3.(x1)  x  e) 53x 9.5x 27.(125x5x)64

Bài 3:

a) 4.33x3x1  19x b)

0 9 3 6 1 3

7 3

5 2x1 x1  x  x1 

2 2

1 2 3 2

4 x  x   x  x

Bài 4:

a) 2log 2x 1  2 log 2x 48 b)

x





x x

3 2

4 3

2 3

2 2









Bài 5:

a) 32x 2x 9.3x 9.2x 0 b) 2 32x 2.12x0

x x

c) 9x 2.x2.3x 2x50 d) 3.25 2 3 10.5 2 3 0

x

x

Bài 6:

a) 4x23x2 4x26x5 42.x23x7 1 b) 4x2 x 21 x2 2x 1  2 1

c) 8.3x 3.2x 246x d) 12.3x 3.15x 5x 1 20

e) 2x 3x 16x

Bài 7:

a) xxlog23 xlog27 2 b) 2 1 32

x

x  

c) 32 22 2 3 12 1 1 d)

x

x x x

x

x x

Bài 8:

x

x 1.2

2

4 2   2  

5 2 2 3 5

x 



cos

2

2 2

6

2 1 7

Bài 9:

1 2

4   2  

x

x x

x

x x x

x

1 2

1 2

2

2 1 1











c)2x23.cosx 2x24.cos3x 7.cos3x d) 2 3 x1  74 3x  x1

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ lơgarit

Bài tập tổng hợp phương trình mũ< /b>

Bài 1:

8... class="text_page_counter">Trang 6

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ lơgarit

OR<G x  : ux... class="text_page_counter">Trang 7

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ lơgarit

2 3

2

1

x