Trong vai trò của cả người đi dạy và người đi học, tôi cũng muốn tìm hiểu một số hướng và bắt tay vào giải quyết câu hỏi này, với một suy nghĩ đơn giản là có thể tổng quát hóa được khô[r]
Trang 1Về một bài toán giới hạn hàm số lạ và hay
Đỗ Ánh Linh
Trên tinh thần Dạy học đáp ứng đổi mới hình thức kiểm tra đánh giá, tôi muốn giới thiệu với các bạn học sinh một dạng toán mới, khá lạ thuộc chủ đề Giới hạn hàm số lớp 11
Đó là một dạng toán xuất hiện trong một số đề kiểm tra trắc nghiệm gần đây
Nội dung câu hỏi như sau
Một vài cảm nhận ban đầu của tôi
Thứ nhất, đây là cách hỏi khá lạ, lạ với cả người dạy và người học Học sinh vẫn quen với các dạng bài tập tính giới hạn mà ở đó hàm số đã cho “công khai” chứ không “ẩn” như ( )hay
( ) như thế này
Thứ hai, người ra đề đã giải quyết được vấn đề Casio theo cách nói hàng ngày Thực tế là có người học nào đủ tự tin hay ít ra là nghĩ đến việc cầm máy tính lên khi đọc đề bài này hay không ? Tôi e là không
Thứ ba, đây là một câu hỏi trắc nghiệm khách quan Vì thế, sẽ có cách giải đặc biệt cho câu hỏi này hay có cả một phương pháp giải đầy đủ cho dạng toán này ?
Trong vai trò của cả người đi dạy và người đi học, tôi cũng muốn tìm hiểu một số hướng và bắt tay vào giải quyết câu hỏi này, với một suy nghĩ đơn giản là có thể tổng quát hóa được không
Hướng thứ nhất, tôi tạm gọi là phương pháp phân tích cổ điển
Từ hai giả thiết
2
( ) 3
2
x
f x
( ) 1
2
x
g x
x ta suy ra f(2) 3 và g(2) 1 Bằng cách phân tích ( ) ( ) f x g x f x( ) 3 ( )g x 3 ( ) 1g x 3, ta được
g x
Từ đó
Cho biết
2
( ) 3
2
x
f x
( ) 1
2
x
g x
x Tính 2
( ) ( ) 1 2 lim
2
x
f x g x
A 15
4
Trang 2Hướng thứ hai, tôi tạm gọi là phương pháp chọn hàm số
Ta tìm cặp hàm số ( ), ( ) thỏa mãn hai hệ thức trong giả thiết (kết quả không duy nhất)
Chẳng hạn, từ
2
( ) 3
2
x
f x
x ta suy ra tử số có nghiệm bằng 2, ta viết
f x x x a , thay vào ta được
( ) 3
2
f x
1
a , tức là f x( ) (x 2)(x 1) 3 x2 x 1
Tương tự,
2
( ) ( 2)( 2) 1 3
Từ đó
lim
x
lim
4
x
Hướng thứ ba, tôi tạm gọi là phương pháp xấp xỉ gần đúng
Vì
2
( ) 3
2
x
f x
x nên khi x 2 thì
( ) 3
3 2
f x
x hay f x( ) 3x 3
Hoàn toàn tương tự, vì
2
( ) 1
2
x
g x
( ) 1
4 2
g x
x hay g x( ) 4x 7 khi x 2 Khi đó
2
( ) ( ) 1 2 (3 3)(4 7) 1 2 12 33 22 2
2
2 2
Từ đó
Với tính chất của một câu hỏi trắc nghiệm, máy tính cầm tay được sử dụng sau khi các hàm số đã được công khai Việc sử dụng máy tính cầm tay trong bài toán này thực sự giúp cho người học đi đến kết quả nhanh hơn
Một vài hướng giải quyết có thể còn mang tính chủ quan, có thể còn nhiều hướng tiếp cận khác đặc sắc hơn, thuyết phục hơn Với vai trò người dạy, tôi vẫn muốn tìm kiếm thêm nhiều câu hỏi dạng này để có thể tổng hợp được một phương pháp giải chung, giúp cho học sinh của chúng ta khỏi bỡ ngỡ khi bước vào vườn hoa giới hạn
Facebook: Đỗ Linh