Lu ý: Bµi to¸n rót gän tæng hîp thêng cã c¸c bµi to¸n phô: tÝnh gi¸ trÞ biÓu thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn nhỏ hơn một số nào đó; tìm giá trị c[r]
Trang 1Chuyên đề: Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai
và một số bài toán phụ
a Lý do chọn đề tài :
Trong công tác nâng cao chất lợng của nhà trờng nói chung và của môn toán nói riêng thì công tác dạy phụ đạo là một nội dung mang tính thực tiễn
và có hiệu quả cao nhất
Điều này đặc biệt quan trọng đối với học sinh lớp 9, kết quả tuyển sinh
là một yếu tổ để đánh giá chất lợng giảng dạy cả một quá trình từ lớp 6 đến
PHOỉNG GD & ĐT huyện Mê linh TRệễỉNG THCS Tiến Thịnh
-
-Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai
và một số bài toán phụ
Tổ khoa học tự nhiờn
Giáo viên : Phựng Tuấn Đoàn
Hà Nội, thỏng 03 năm 2012
Chuyên đề
Trang 2lớp 9 Điều này không chỉ đánh giá của cấp trên mà nó còn gây đợc sự nhìn nhận của học sinh, phụ huynh học sinh, các cấp chính quyền đối với nhà tr-ờng
Sau đây là những điều tra tổng hợp các đề tuyển sinh các năm trớc chúng tôi thấy những nội dung trong chơng trình lớp 9 gồm:
07 - 08 08- 09 09 - 10 10 - 11 11 - 12
Hệ phơng trình bậc nhất có chứa tham
số
Phơng trình bậc hai có hệ số chứa
tham số
Giải bài toán bằng cách lập phơng
trình, hệ phơng trình
Cm liên quan đến các yếu tố trong đờng
tròn (T.tuyến, p.giác, góc nt)
Liên quan đến đồng dạng, hệ thức
l-ợng(tích, tỉ số)
Bài toán nâng cao (BĐT, PT vô tỉ, Pt
GTTĐ, cực trị )
Qua những điều tra trên chúng tôi thấy loại bài toán rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán phụ là một loại toán thờng gặp trong đề thi
Tuy nhiên loại bài toán này là loại bài toán khó không chỉ đối với học sinh trung bình mà ngay cả học sinh khá cũng hay mắc lỗi trong quá trình rút gọn
Trong những năm học vừa qua chúng tôi cũng đã thực hiện ôn tập cho học sinh lớp 9 theo các chuyên đề nh giải bài toán bằng cách lập phơng trình, chứng minh tứ giác nội tiếp Trong năm học này chúng tôi chọn đề tài này để nghiên cứu thực hiện nhằm bổ sung cho t liệu ôn tập học sinh lớp
9 của nhà trờng
b Nội dung
I- Kiến thức lý thuyết liên quan đến đề tài
1, Kiến thức 6, 7, 8 quan trọng cần nhớ.
Trang 3a, Tính chất về phân số (phân thức): A M B M =A
B(M ≠ 0 , B ≠ 0)
b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
+) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2
+) (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2
+) A 2 - B 2 = (A - B)(A + B)
+) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
+) (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
+) A 3 + B 3 =(A + B)(A 2 - AB + B 2 )
2, Các kiến thức về căn bậc hai
1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, √a = x x2 = a
2)Để √A có nghĩa thì A ≥ 0
3) √A2= |A|
4) √ AB=√A √B ( với A 0 và B 0 ) 5) √A
B=
√A
√B ( với A 0 và B > 0 )
6) √A2B=|A| √B (với B 0 ) 7) A√B=√A2B ( với A 0 và B 0 )
A√B=−√A2B ( với A < 0 và B 0 ) 9) √B A=
√ AB
|B| ( với AB 0 và B 0 ) 10) A
√B=
A√B
B ( với B > 0 )
A B
A B
( Với A 0 và A B 2 ) 12)
A B
A B
( với A 0, B 0 và A B )
II CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:
1 Rút gọn các biểu thức không chứa biến
1.1/Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức √A2= |A|
*)Ví dụ 1: Rút gọn:
a)
−3¿2
¿
−8¿2
¿
¿
√ ¿
; b) 3 −√5¿
2
¿
√ ¿
c)
1−√ 2 ¿2
¿
1+√2 ¿2
¿
¿
√ ¿
d)
√5− 3¿2
¿
2 −√5 ¿2
¿
¿
√ ¿
Trang 4a)
( 3) ( 8) 3 8 3 8 11
b)
2
c) (1 2) 2 (1 2) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
d)
*)VÝ dô 2: Rót gän :
a) A= √4 − 2√3 b) B = √14+8√3 (2√2 −√6) ; c) C = √7− 4√ 3 + √7+4 √ 3 d) D = √5− 2√7 −2√6
Gi¶i:
a) A =
√3 −1¿2
¿
¿
√3− 2√3+1= √ ¿
b) B = √14+8√3 (2√2 −√6) = √14+2√48(2√2−√6) =
√8+2√8 √6+6 (√8 −√6)
= √
8+ √ 6 ¿2
¿
¿
√ ¿
c) C = √7− 4√3 + √7+4√3 =
2−√ 3 ¿2
¿
2+√3 ¿2
¿
¿
√7− 2 2√3+√7 − 2 2√3= √ ¿
= 2- √3 + 2 + √3 = 4
d) D = √5− 2√7 −2√6
2
= √6 −1
¿2
¿
¿
√ ¿
Gi¶i:
Trang 5C¸ch1: 2A = 4 2 3 4 2 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 2 3 1 2
3 1 3 1 3 1 3 1 2 3
Suy ra A = √6
C¸ch 2: Ta cã: A2 = 2−√3+2√4 −3+2+√3=6
Do A > 0 nªn A = √6
*)Bµi tËp:
Bµi 1: TÝnh: a) 1 32 3 b) 2 32 1 32
Bµi 2: TÝnh: a¿√8 −2√7 b¿√4 −√7 −√4 +√7 c¿√3 −√5+√3+√5
Bµi 3: Rót gän A = √√3 −√1 −√21 −12√3
B i 4: à Rót gän A = √6+2 √ 3+2 √ 2+2 √ 6
1.2/ Rót gän vËn dông c¸c quy t¾c khai ph ¬ng, nh©n chia c¸c c¨n bËc hai:
*)VÝ dô 1:TÝnh
a) √ 14 √56 b) √31
2.√33
Gi¶i:
a) √14 √56 = √14 56=√14 14 4=√142 4=√142.√4=14 2=28
b) √31
2.√33
7.√12=√7
2.√24
7 .√12=√7
2.
24
7 12=√122=12
Gi¶i:
a
b
*) Bµi tËp:
Bµi 1 : TÝnh: a) √12.√75 b) √27
9.√124
25 .√36
25 c) √0 , 04 25 ;d¿ √ 90 6,4
e) 9 17 9 17
Trang 6Bµi 2: Rót gän:
a) 12 5 3 48 b) 5 5 20 3 45
c) 2 32 4 8 5 18 d) 3 12 4 27 5 48
e) 12 75 27 f) 2 18 7 2 162
1.3/ Rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ë mÉu vËn dông trôc c¨n thøc ë mÉu b»ng ph ¬ng ph¸p nh©n liªn hîp.
*)VÝ dô 1: Trôc c¨n ë mÉu c¸c biÓu thøc sau
a) 1
√3 −√2 b) 1
2+√3 c) 1
1 −√2 d) 1
1 −√3−
1 1+√3
Gi¶i:
3 2
4 3
1 2
a
b
c
1 −√3−
1
1+√3
(1−√3)(1+√3)−
1−√3 (1+√3)(1 −√3)=
1+√3
1 −√3
1+√3−(1 −√3)
−2
= 1+√3 −1+√3
− 2 =
2√3
− 2 =−√3
*)VÝ dô 2: Trôc c¨n ë mÉu: a)
)
Gi¶i:
a)
7
5 3 2
25 18
b)
11
2 3 1
12 1
2 3 1 (2 3 1) 2 3 1
*)VÝ dô 3: Rót gän:
A = (√5 −2√3−
2
√ 5+√3− 4):2+√3
√3− 2
Trang 7*)Bµi t©p: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a)
1
3
2 3 b)
3 1 3 1 c)
3 1 1 3 1 1
d)
1.4/ Rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ë mÉu nhê ph©n tÝch
thµnh nh©n tö:
*) VÝ dô 1: Rót gän c¸c biÓu thøc:
a)
3 1
b)
c)
d)
Gi¶i:
a)
3
b)
3 2
c)
2 3 2 3 4 3 1
d)
*)Bµi t©p: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a)
5 2
b)
c)
d)
2 Rót gän c¸c biÓu thøc chøa biÕn vµ c¸c bµi to¸n phu
2.1/ CÁC BƯỚC THỰC HIÊN PHẦN RÚT GỌN:
Trang 8ớc : Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán cha cho)(Phân tích mẫu
thành nhân tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia khác 0)
B
ớc :Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc).
B
ớc : Quy đồng, gồm các bước:
+ Chọn mẫu chung : là tích củc nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số
mũ lớn nhất
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng
+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung
B
ớc : Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
B
ớc : Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
B
ớc : Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên).
B
ớc : Rút gọn.
L
thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ hơn) một số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức Do vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng loại toán.
2.2/ Các ví dụ về bài tập rút gọn tổng hợp:
*)Ví dụ 1: Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A
Bài giải: ĐKXĐ:
0
1 0
a a
0 1
a a
Ta có:
(1):(1)aa
Trang 9Vậy A =
1 1
a a
b) Tìm a để A = 5 (Dạng bài toán phụ thứ nhất).
Ph
ơng pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn đợc vào và giải phơng trình:
1 5 1
a
a
(TMĐK)
Vậy với a =
9
4 thì A = 5
c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 2 (Dạng bài toán phụ thứ hai).
Ph
ơng pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn đợc rồi thực
hiện các phép tính (Lu ý: Có thể tính giá trị a rồi thay vào)
Ta có: a 2 2 2 1 ( 2) 22 2.1 1 2 ( 2 1) 2
Suy ra a 2 1 2 1 Do đó thay vào biểu thức A ta đợc:
A =
d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng bài toán phụ thứ
ba).
Ph
ơng pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ớc của phần d (một số), chú
ý điều kiện xác định
Ta có: A =
1 1
a a
= 1 +
2 1
a
Để A nguyên thì
2 1
a nguyên, suy ra a 1 là ớc của 2
0
1 1
4
a
a a
a
a
Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên
e) Tìm a để A < 1 (Dạng bài toán phụ thứ t).
Trang 10ơng pháp: Chuyển vế và thu gọn đa về dạng
M
N < 0 (hoặc
M
N > 0) trong
đó dựa vào điều kiện ban đầu ta đã biết đợc M hoặc N dơng hay âm, từ đó
dễ dàng tìm đợc điều kiện của biến
1
1
a
a
< 1
1 1
a a
- 1 < 0
1
a
< 0
2 1
a < 0 a 1 < 0 a
<1 Kết hợp điều kiện ban đầu, suy ra 0 a < 1
*)Ví dụ 2: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x1 Rút gọn
A=( √x
√x −1+
2
x −√x):
1
√x −1=(
√x
√x − 1+
2
√x(√x −1)):
1
√x −1
2
1
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A (Dạng bài toán phụ thứ năm).
Ph
ơng pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức.
Ta có A=
(BĐT Côsi cho hai số dơng)
min
2
x
(TMĐK) Vậy Amin = 2 2 x 2
*)Ví dụ 3: Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A
b)Tìm giá trị của x để A A
Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1
=
A
x 1
Trang 112
x 1
2
x 1
x 3 0
x 1 0
(vì x > 1) x 9 Vậy x > 9 thì A A
*)Ví dụ 4: Cho biểu thức
A
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của x thì A A
Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1
A
b)
x 1
x
(vì x 0 )
Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A A
*)Ví dụ 5:
Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P 5 2 6 x 1 2 x 2005 2 3.
Bài giải:
a) ĐKXĐ: x > 0; x 1:
1 P
x 1
b) P 5 2 6 x 1 2 x 2005 2 3
Trang 12
2
1
x 1
2 3 x 2005 2 3
Vậy x = 2005 thì P 5 2 6 x 1 2 x 2005 2 3
2.3/ Bài tập t ơng tự:
Bài 1: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của x thì A >
1 3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất
Bài 2 Cho biểu thức
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P =
5 4
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M
x 12 1
P
x 1
Bài 3 Cho biểu thức:
x 9
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức
b) Tìm x để D <
-1 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Bài 4 Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm a Z để P nhận giá trị nguyên
B
a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B
Trang 13b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
Bài 6 Cho biểu thức
P
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức
2 x Q
P
nhận giá trị nguyên
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0
Bài 8 Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P
b) Tìm giá trị của a để P > 0
Bài 9 (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012)
Cho
A
x 25
, với x 0 và x 25
1) Rỳt gọn biểu thức A
2) Tỡm giỏ trị của A khi x = 9
3) Tỡm x để A <
1
3
Bài 10 Cho biểu thức:
P
x 1
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm x để P <
1
2.
Bài 11 Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
Bài 12 Cho biểu thức:
với a > 0 và a1
Trang 14a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với những giá trị nào của a thì P >
1
2.
Bài 13 Cho biểu thức : A =
2 1
với ( x > 0 v x à ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của biểu thức khi x 3 2 2
Bài 14 Cho biểu thức P = (√1x+
√x
√x +1): √x
x +√x
a) Rút gọn P
b) Tính GT của P khi x= 4
c) Tìm GT của x để P = 133
(Đề thi Hà Nội năm 2008-2009)
Bài 15. Cho biểu thức : A =
1 2
1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
2) Với giá trị nào của x thì A < -1
Bài 16 Cho biểu thức : A =
(Với x0;x1) a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = - 1
Bài 17 Cho biểu thức : B = x
x x
x 2 21
1 2
2 1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của B với x = 3
c) Tính giá trị của x để 2
1
A
Bài 18 Cho biểu thức : P = x
x x
x x
x
4
5 2 2
2 2 1
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn P
b) Tìm x để P = 2
Bài 19 Cho biểu thức : Q = (
) 1
2 2
1 (
: )
1 1
1
a a
a a
a
Trang 15a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b) Tìm a để Q dơng
c) Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4 5
Bài 20 Cho biểu thức : M =
1 1
2
1
a a a
a a a a
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M
b) Tìm giá trị của a để M = - 4.
C Kết luận:
với mục đớch chớnh của chuyờn đề là nâng cao chất lợng thi vào THPT Do thời gian và kinh nghiệm cú hạn nờn lượng bài tập đa ra cũn đơn giản và chưa thật sự đa dạng, đầy đủ, do đú khụng trỏnh khỏi thiếu sút, rất mong cỏc đồng nghiệp tham gia gúp ý xõy dựng để chuyờn đề của chỳng tụi cú khả năng ỏp dụng rộng rói và cú tớnh thiết thực hơn
Xin chân thành cảm ơn!
Tiến Thịnh, ngày 09 thỏng 03 năm 2012
Ngời viết
Phùng Tuấn Đoàn