Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1(đơn vị diện tích)b. Câu 3.[r]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
Rút gọn các biểu thức sau:
b B =
2005.2007.2010.2011
Câu 2:
Cho hàm số: y mx – 3x + m + 1
a Xác định điểm cố định của đồ thị hàm số?
b Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1(đơn vị diện tích).
Câu 3
a Chứng minh bất đẳng thức: a2b2 c2d2 (a c )2(b d )2 .
Áp dụng giải phương trình: x22x 5 x2 6x10 = 5
b Cho Q =
16 3
x x
Tìm giá trị nhỏ nhất của Q
Câu 4
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm
N sao cho BN = BM Chứng minh: các đường thẳng AM, CN và đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đồng quy tại một điểm.
Câu 5
Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = c· 0 (a, c là hai độ dài cho trước) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG
Ghi chú: Cán bộ coi không được giải thích gì thêm
Trang 2m+1 m-3 B
m+1
O
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 - CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút)
chú
A = (3 2 2)(3 2 2) 9 (2 2) 2 1
0.5 0.5
2.0
b
B =
2005.2007.2010.2011
Đặt x = 2008, khi đó
B =
x 2 x 3 x 3 x 1 x 1
x 3 x 1 x 2 x 3
0.25 0.25 0.5
y = (m – 3)x + (m + 1)
Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số, ta có:
y0 = mx0 – 3x0 + m+ 1 thỏa mãn với mọi giá trị của m
0.25 0.25
1.5
b
Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3 0 m3
S ABO =
m m m
2
Nếu m> 3 m2 +2m +1 = 2m -6 m2 = -7 ( loại)
Nếu m < 3 m2 +2m +1 = 6 – 2m m2 + 4m – 5 =0
(m – 1)(m + +5) = 0 m = 1; m = -5
0.5
0.5
a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a2b2)(c2d2) a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2
(a2b2)(c2d2) ac + bd (1)
Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m
Nếu ac + bd 0 (1) ( a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 +2acbd
a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 +2acbd
a2d2 + b2c2 – 2abcd 0 (ad – bc)2 0 ( luôn đúng)
Dấu “=” xẩy ra ad = bc
a c
b d
Áp dụng: xét vế trái VT = (x1)222 (3 x)212 (x 1 3 x)2(2 1) 2
0.5
0.5
0.25
1.5
Trang 3Mà VP = 5, vậy dấu bằng xẩy ra
1 6 2
b.
Điều kiện: x 0
Q =
x
x
25
3
x
Vậy Qmin = 4; Dấu “=” xẩy ra
25
3
x
0.75 0.25
1.0
4
Hình vẽ chính xác
Gọi H là giao của AM và CN
Xét AMB và CNB là hai tam giác vuông có:
AB = CB (Cạnh hình vuông)
BM = BN (gt)
BAM BCN
Xét trong AMB và CMH có:
AMB CMH (đối đỉnh), kết hợp với (1)
CHM ABM 900hay ACH 900
(tức H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABCD)
Vậy AM, CN và đường tròn ngoại tiếp ABCD đồng quy tại H
0.2
0.5
0.5 0.3
1.5
5
Hình vẽ
Đặt AM = x (0 < x < c)
Ta có:
MQ = BM.sin60 =
Suy ra diện tích của MNPQ là:
+ Ta có bất đẳng thức:
2
Áp dụng, ta có:
2 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
c
2
2
Vậy: max
ac 3
8 khi
c
x =
2 hay M là trung điểm của cạnh AB
0.2 0.2 0.3
0.3 0.25 0.5 0.25 0.5
2.5
H
N
C D
M
A
P Q
0
60
x