Câu 6: Hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, O là tâm của mặt đáy và M là trung điểm cạnh CD a Chứng minh CD ^ SOM , từ đó tính góc giữa SCD và mặt đáy.. b Tính khoảng các[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2011 – 2012
Môn Toán lớp 11 Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Tính các giới hạn sau đây: a) 2
1 4 3 lim
2
x
x x
®
+
2
3
(2 1)
lim
3
x
x x
®- ¥
-Câu 2: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng
4
9 và số hạng
thứ hai bằng
1 3
- Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó
Câu 3: Xét tính liên tục của h.số
khi khi
( ) 1
ìï -
-ï
= í +
= –1
Câu 4: Cho hàm số
3
( )
16 4
có đồ thị ( )C a) Giải bất phương trình f x¢ <( ) 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ bằng 6
c) Chứng minh rằng phương trình
1 ( ) 3
f x =
có ba nghiệm phân biệt
Câu 5: Cho hàm số f x( )= x2+3 Tính f ¢¢-( 1)
Trang 2Câu 6: Hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, O
là tâm của mặt đáy và M là trung điểm cạnh CD
a) Chứng minh CD^(SOM), từ đó tính góc giữa (SCD) và
mặt đáy
b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD)
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SM.
Hết
Trang 3-BÀI GIẢI CHI TIẾT
1 4 3 ( 1 4 3)( 1 4 3)
=
x
2
2
(2 1)
1
x x
®- ¥ ®- ¥ ®- ¥
-Câu 2: Gọi q là công bội của cấp số nhân (u n) lùi vô hạn
(1) (2)
1
1 1
4 4
9 4 4
9
u
q
u q
ì
ï = - ï = - ïî
Thay (1) vào (2):
1
3 2
(4 4 )qq 3 4q 4q 3 0 q
q
é = -ê
- = - Û - - = Û ê =
ê
Do (u n) lùi vô hạn nên ta chỉ nhận q= - 21Þ u1=23
Vậy, số hạng đầu tiên của (u n) là
2
1 3
u =
Câu 3: Với
khi khi
( ) 1
ìï -
-ï
= í +
2 ( 1) ( 1) ( 1)
2
1
x
-+
( 1) ( 1)
lim ( ) lim (1 4 ) 1 4( 1) 3
x +f x x + x
® - = ® - + = + - = -( 1) 1 4( 1) 3
f - = + - = - Þ lim( 1) ( ) lim( 1) ( ) ( 1)
x - f x x +f x f
® - = ® - =
-Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = –1
Câu 4: a) Với
3
( )
16 4
ta có
2
( )
16 4
f x¢ = x
16 4
f x¢ < Û x - < Û x - < Û - < <x
Trang 4Vậy bất phương trình f x¢ <( ) 0 có tập nghiệm S = -( 2;2)
b) Với x0 = 6 ta có y0 = y(6) = 9 và f x¢( )0 =f¢(6)=6
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
9 6( 6) 6 27
-c) Phương trình
1 ( ) 3
f x =
0
16x 4x 3 16x 4x 3
Đặt
3
( )
là hàm số đa thức liên tục trên
¡ nên liên tục trên các đoạn [–4;–2] , [–2;0] , [0;4]
Ngoài ra
4 3 2 3 1 3 2 3
( 4)
( 4) ( 2) 0 ( 2)
( 2) (0) 0 (0)
(0) (4) 0 (4)
g
g
g
g g g
ì - =
-ïï ì -ï - <
ïî Vậy phương trình
1 ( ) 3
f x =
có 3 nghiệm phân biệt, cụ thể là
1 ( 4; 2), 2 ( 2;0), 3 (0;4)
Câu 5: Với f x( )= x2+3
2
( )
f x
¢ +
2
3
( )
x
f x
+
Vậy
2
2
2
( 1) ( 1) 3 ( 1)
3 ( 1) 3 ( )
4 ( 1) 3
f x
+
+
- +
Câu 6:a)Tam giác SCD đều có SM là trung tuyến
nên cũng là đường cao
Ta có
( )
ì ^
í ^ ïïî
Trang 5Từ đó
ì ^
ïï
í ^
ïïî
Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là
·SMO
j =
2 2 a2
1
2 a2
(do OM là trung tuyến tam giác BCD)
Trong tam giác SOM,
2 2 2
a a
SO OM
Vậy góc giữa (SCD) và (ABCD) là j =arctan 2» 54 440 ¢
b)Gọi OH là đường cao tam giác SOM, tất nhiên OH ^SM
(1)
Do
( )
( )
ì ^
ïï
í Ì
ïïî nên OH ^CD (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra OH ^(SCD) và
( ) ( )
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
( ,( ))
a a
SOOM
(do
+
) Vậy,
6 ( ,( ))
6
a
dO SCD =
c)Gọi N là trung điểm BC, I là trung điểm OC
Vẽ OK ^OI tại K (3)
Ta có MN BD€ nên MN ^(SAC)
Mà OK Ì (SAC) nên OK ^MN (4)
Từ (3) và (4) ta suy ra
( )
Ngoài ra BD SMN€ ( ) nên
Trang 6( ) ( )
2 2
2 4
2 2 2 2 2 2
2 4
( , ) ( ,( )) ( ,( ))
10
a a
×