Chứng minh rằng: Số với mọi n là số nguyên dương có thể viết được thành tổng các bình phương của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp.. Gọi E là giao điểm của tia CN và tia DA.[r]
Trang 1UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG 1 Năm học: 2012-2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi này gồm 01 trang
Câu 1 ( 3.0 điểm)
1 Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a2 = b + 4024 và x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = a; x2 + y2 + z2 = b
a Tính giá trị biểu thức: P = xy + yz + zx
b Chứng minh giá trị biểu thức Q sau đây không phụ thuộc vào x, y, z :
2 Tìm giá trị của các số x, y, biết:
2
Câu 2 ( 3.0 điểm)
a Chứng minh rằng: SốA 12 ( -1) n n n 1 n2 1 23
với mọi n là số nguyên dương có thể viết được thành tổng các bình phương của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp
b Cho đa thức bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a là một số nguyên dương, biết rằng f(5) − f(4) = 2012 Chứng minh rằng: f(7) − f(2) là hợp số
c Biểu diễn số 20122012 = a1 + a2+ + an , trong đó n, ai ( i = 1; 2; ; n) là các số nguyên
dương Tìm số dư khi chia tổng S = a13a23 a n3 cho 3 ?
Câu 3 (2.5 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh là a Lấy điểm N bất kì trên cạnh AB ( N không trùng A
và B) Gọi E là giao điểm của tia CN và tia DA Kẻ tia Cx vuông góc với tia CE tại C cắt tia AB
ở F, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF
1 Chứng minh rằng khi N di chuyển trên cạnh AB thì:
CE CN không đổi.
b) Điểm M di chuyển trên một đường cố định
2 Đặt BN = x Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và x
Câu 4 ( 1.5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
S
-HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh SBD:
ĐỀ CHÍNH THỨC