Các chuyên đề BD HSG toán 9

Tìm các giá trị nguyên dương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.. Chứng minh rằng trong ba phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm và có ít nhất một phương trìn[r]

Tailieumontoan.com



Sưu tầm

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG

HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020

TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để làm các chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng tuyển tập chuyên đề này để giúp con

em mình học tập Hy vọng các chuyên đề số học lớp 9 này có thể giúp ích nhiều cho học sinh lớp 9 phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian để sưu tầm và tổng hợp song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

Mục Lục

Trang

Lời nói đầu

Chủ đề 1 Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan

Chủ đề 2 Tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức

CÁC D ẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

xy

=

+1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

2) Tính giá trị của M, biết rằng ( )2

1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C

2) Tìm giá trị của biểu thức C khi a= −9 4 5

Bài 10: Cho biểu thức: 3 16 7 1 3

2

x 1 2

) x 1 ( )

x 1 ( x 1 1

2 1

Bài 13: Tính giá trị biểu thức: 3

2

17

x x

+ = Tính giá trị các biểu thức

5 5

Bài 19: Cho biểu thức 2 1 : 1

Bài 27: Không dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức

trị nguyên của x để B có giá trị nguyên

Bài 32: Cho biểu thức P x x x 5 2x

a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P có giá trị bằng 7

Bài 36: Cho biểu thức:

ab

Xét biểu thức P =

bxaxa

xaxa

3

1+

−++

−++

a) Chứng minh P xác định Rút gọn P

b) Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P

x x x x A

x x x x

=

a) Tìm x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

Bài 40: Cho biểu thức x y x y x y2 2 y , (x 0;y 0,x y)

b) Tính giá trị của M khi a = 1 3 2+ , b = 10 11 8

3+

b) Tính giá trị của P tại a=(2+ 3)( 3 1− ) 2− 3

b) Tìm x để 2

7

P = c) So sánh: P2 và 2P

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b) Đặt B = A + x – 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

22

x x x x

+

23

22

+

−

−

−+

x x x

x x x x

1 Rút gọn P Với giá trị nào của x thì P > 1

2 Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất

−

−

2

2)2(:4

82

x

x x

x

x x x

Bài 57: Cho biểu thức: 3 16 7 1 7 2

3)(

1(

11

a a

a a

a

a a a a

a a p

a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6

65

23

22

3(

:)11

(

+

−

++

−

++

−

++

−

=

x x

x x

x x

x x

x M

Bài 69: Cho biểu thức: P = 2 16 6 2 3 2

b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên

P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên

−+

−

1

21

1:1

21

a a a a

a a

c) Đặt P = B:A Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

Bài 77: Cho biểu thức M=a a b b a b

Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết (1−a)(1−b)+2 ab = 1

Bài 79: Cho biểu thức

b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên

c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

223223

223

+

−

−

−+

xy

=

+1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

2) Tính giá trị của M, biết rằng ( )2

1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C

2) Tìm giá trị của biểu thức C khi a= −9 4 5

=+

Vậy MaxP=3 khi x=1

Đặt t= x (t≥0), ta có phương trình: 2

2t − − =3t 2 0

Giải phương trình ta được: 1

12

2

17

x x

+ = Tính giá trị các biểu thức

5 5

x A

+

B có giá trị nguyên khi x∈ ± ± { 1; 3}

Bài 32: Cho biểu thức P x x x 5 2x

x x

−

=+

2

1

x x

−

=+b) * ĐKXĐ: x≥0;x≠4;x≠9

Ta phải tìm m để phương trình (*) có nghiệm thoả mãn t≥0;t≠2;t≠3

TH1: Nếu m = 0 thì pt (*) có nghiệm là t = 0 (thoả mãn t≥0;t≠2;t ≠3)

m

m m

L ời giải

a)

Học sinh lập luận để tìm ra x= hoặc 4 x= 9

Bài 36: Cho biểu thức:

Xét biểu thức P =

bxaxa

xaxa

3

1+

−++

−++

2

2

≥+

−b

ba

+

b

bab

ab

1)

1

++

=+

b

ab

xa

a - x =

1

)1(1

−

b

bab

xa

⇒ P =

bb

b

bb

bb

ab

b

ab

b

ab

b

ab

3

111

11

3

111

1)

1(

1

11

)1(

2 2

2 2

+

−

−+

−++

=++

−

−++

+

−+++

• Nếu 0 < b < 1 ⇒ P =

bb

43

12

• Nếu b≥1 ⇒ P =

b

bb

b

3

133

=+

b) Xét 2 trường hợp:

• Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì P = ⇒

b3

133

b

bb

2 ≥b , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1

Vậy P

3

43

23

2+ =

≥ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1

KL: Giá trị nhỏ nhất của P =

34

x x x x A

A

− ++

Để A là số nguyên thì x nguyên và t−2 phải bằng ±1 hoặc ±3

- Nếu t− = − ⇔ =2 1 t 1( loại vì trái điều kiện (*))

- Nếu t− = − ⇔ = − <2 3 t 1 0 (loại)

- Nếu t− = ⇔ = ⇔ =2 1 t 3 x 9 và A=2

- Nếu t− = ⇔ = ⇔ =2 3 t 5 x 25 và A=1

Vậy: Để A nhận các giá trị nguyên thì x=9 và x=25

Bài 40: Cho biểu thức x y x y x y2 2 y , (x 0;y 0,x y)

x+ y

b) Do x và y là nghiệm của phương trình t2

– 4t + 1 = 0 (1) nên theo định lí Vi–ét ta có:

b) Tính giá trị của M khi a = 1 3 2+ , b = 10 11 8

3+

3 30 22 2 (30 22 2)(3 2 1) 102 68 2

17

b a

b B

Vậy: maxA = 9, đạt được khi : x = y = 1

0

0 1

1 0

a

a a

a a

: 2

1

: 2

7 1

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b) Đặt B = A + x – 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1

x x x x

+

23

22

+

−

−

−+

x x x

x x x x

1 Rút gọn P Với giá trị nào của x thì P > 1

2 Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất

2(

)1)(

1)(

2(

x x

x

+

2

)1)(

2(

)1)(

1)(

2(

−+

+

−+

x x

x x

x

=

1

1+

=

1

)1(2

−

+

x x

P > 1⇔

1

)1(2

−

+

−+

x

x x

P đạt giá trị nguyên lớn nhất ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2

−

−

2

2)2(:4

82

x

x x

x

x x x

=

++

− − − < luôn đúng, suy ra điều phải chứng minh

Bài 58: Cho biểu thức 2 4 2 1 : 3 5 2 10

x x

1(

11

a a

a a

a

a a a a

a a p

a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6

a vậy p≥8 hay p>6(đpcm)

65

23

22

3(

:)11

(

+

−

++

−

++

−

++

−

=

x x

x x

x x

x x

x M

12

)3)(

2(

2)

4(9:11

)3)(

2(

)2()2)(

2()3)(

3(:11

)3)(

2(

23

22

3:

11

−

−

−+

−

−

−+

=

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

M

Vậy

1

2+

31

11

311

2

+

−

=+

−+

+

=+

−+

=+

−

=

x x

x

x x

x x

2020.33371010

− = 1 +

21

Bài 71: (2,0 điểm ) Cho biểu thức 1 1 : 2 1 2

Giải:

−

1

21

1:1

21

a a a a

a a

−++

+

−

)1)(

1(

21

1:1

12

a a

a a

a

a a

)1)(

1(

21:1

12

a a

a a

a

a

++

−++

−

a a

a

a a

a

+

=

−+

++

−

1)

1)(

1(

)1)(

1(1

2 2

Thay x= 5 1+ vào 2 3

x A

x x x

⇒ ∈

Kết hợp ĐKXĐ: 0≤ ≠ x 1Kết luận: Vậy x={0;16} thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 77: Cho biểu thức M=a a b b a b

- Rút gọn M= ab

a − b với a, b>0 và a ≠ b -Ta có

: 2

1

: 2

2 7

7 1

⇔

6 a

1

a 2 a 1=+ + ⇔ a−4 a+ =1 0

Bài 84: Cho các biểu thức: 3 1 : 3

x

=+

Vậy 0≤ ≤x 4 thỏa mãn bài toán

14( 1)

d) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên

A

x x

A

x x

1

A x

=

−

Vì x nguyên, x > 2 nên x – 1 nguyên và x – 1 > 1

A nhận giá trị nguyên nên x −1là ước lớn hơn 1 của 2 ⇒ x− = ⇔ = (nhận) 1 2 x 5Vậy với x = 5 thì A nhận giá trị nguyên

x x

Học sinh lập luận để tìm ra x= hoặc 4 x= 9

223223

223

+

−

−

−+

Lời giải

x x

13.2

132

13.4

3242

13.2

322

13.)

15(22

)15(6)15(2

−

−+

b) Ta có 0 6 3

2

N M

< = < do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1

1 2

a

a a =+ + ⇔ a−4 a+ = ⇔ 1 0

2

( a−2) =3 ⇔ a = +2 3 hay a= −2 3 (phù hợp)Vậy, N nguyên ⇔

CÁC D ẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức T =(2 3 1 3 2 1+ )( − ) 13 4 3 19 6 2− +

Bài 3: Tính giá trị biểu thức: 3 3

Chứng minh tam giác ABC đều

Bài 10: Chứng minh rằng: Nếu 2 3 4 2 2 3 2 4

− − − là bình phương của một số hữu tỉ

Bài 15: Cho a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, thỏa mãn a b c 1

Bài 27: Tính giá trị của biểu thức P

Bài 39: Tính giá trị biểu thức 3 3 ( )

2 2

y

3y

Bài 45: Cho đa thức P(x) = x4

+ax3+bx2+cx+d (a, b, c, d là các hằng số) Biết rằng P(1) = 10, P(2) =

20, P(3) = 30 Tính giá trị của biểu thức (12) ( 8) 25

2 3a a

3

− +

302455

2012

−

Bài 52: Cho các số thực a b c, , thỏa mãn a  b c 0,a2b2 c2,b2 c2 a2,

x x

+ = Tính giá trị các biểu thức

5 5

P

2 3 3

1 2

3 3

1 2

3 3

1

+ +

+ + +

+ + +

−+

−

1

21

1:1

21

a a a a

a a

a

a

, với a ≥ 0

Tính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 2009

Bài 61: Cho ba số x, y, z thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức ( 2007 2007)( 2009 2009)( 2011 2011)

x x

+ = Tính giá trị các biểu thức:

5 5

Bài 73: Cho x là số thực âm thỏa mãn 2

2

123

x x

+ = Tính giá trị của biểu thức: 3

Bài 75: Cho x = 3 + 5 + 2 3 + 3 − 5 + 2 3 Tính giá trị của biểu thức P = x ( 2 − x )

Bài 76: Cho ba số a b c , , thỏa mãn ab + bc + ca = 2019 Chứng minh

x= y- y +1+ y+ y +1 Tính giá trị của biểu thức 4 3 2 2

Bài 81: Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1

Hãy tính giá trị biểu thức: A = (1 2)(12 2) (1 2)(12 2) (1 2)(12 2)

6x + 3x− 3= 0Tính giá trị của biểu thức

2

.2

a A

a a a

+

=+ + −

B L ời giải

Bài 1: Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: 1 8 10

85 62 7 85 62 7 170

a b ab

Vậy không tồn tại bộ 3 số thỏa mãn theo yêu cầu

Bài 9: Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:

Bài 10: Chứng minh rằng: Nếu 2 3 4 2 2 3 2 4

Bài 15: Cho a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, thỏa mãn a b c 1

d + + = e f và d e f

0

a + + = b c Tính giá trị của biểu thức

Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ( 2 )

ax = = và 1 1 1

1

x + + = y z thì

3 3 3

c b a cz

z

ty

tx

tczby

z

1y

1x

1+ + = (1) Mặt khác: 3 t =x3 a =y3 b=z3 c

z

1y

1x

1tcb

=+

A = (22 – 2 – 1)2 + 2013 = 1 + 2013 = 2014

−+ − + + thì giá trị của biểu thức A là 2014

Bài 24: Cho (x + x2+2013).(y + y2+2013)=2013 Chứng minh x2013

2013

y + )=2013(x - x2+2013) -y - y2+2013=x - x2+2013

4813532

+

+

−+

là số nguyên

L ời giải

A=

26

4813532

+

+

−+

A=

26

)132(53

+

+

−+

=

26

)13(3

+

−+

=

26

322+

+

=

26

)26

+

+

=1 ∈Z

Bài 26: Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn điều kiện :

2006 2006 2007 2007 2008 2008

b a b

a b

Hãy tính tổng: S= 2009 2009

b

a +

L ời giải

Ta có: 2008+ 2008 =

b

a (a2007+b2007)(a+b)−ab(a2006+b2006) ⇔ 1=a+b−ab

13(4322432

2+ + − = + = + 2 = +

3324313263)13(2

=

x

13133133)13

=

x Với x = 1.Ta có P=3.12013 +5.12011 +2006=3+5+2006=2014 Vậy với x = 1 thì P = 2014

Bài 28: Tính giá trị biểu thức ( )( )

2020.33371010

Bài 36: Cho a= 37+ 50 ,b= 37− 50 Không dùng máy tính, chứng minh rằng các biểu thức

=   Vậy

2019

1 A 2019

( 2 2 2 2 2 2) 12

2 2

y

3y

L ời giải

2 2

2 2

y

3y

Điều phải chứng minh

Bài 45: Cho đa thức P(x) = x4

+ax3+bx2+cx+d (a, b, c, d là các hằng số) Biết rằng P(1) = 10, P(2) =

20, P(3) = 30 Tính giá trị của biểu thức (12) ( 8) 25

10

Lời giải

Bài 48: Cho x là số thực âm thỏa mãn x2

2 3a a

3

− +

302455

=++

=++

)2(3

)1(3

)(3

)(3

)(3

13

13

13

2 2

2 2

2 2

3 3

3 3

3 3 3

3 3

z xz x

z zy y

y xy x

x z x z

z y z

y

y x y

x

z z

y y

x x

z y x xz yz

Bài 56: Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện 2

2

17

x x

+ = Tính giá trị các biểu thức

5 5

y x b

y a

)2

()

()

0)( 2 − 2 2 =

+

=+

+

=

=

b a b a

y x b

y a

+

x

Tìm giá trị lớn nhất của

y x z x z y z y x

P

2 3 3

1 2

3 3

1 2

3 3

1

+ +

+ + +

+ + +

−+

−

1

21

1:1

21

a a a a

a a

−+

−

1

21

1:1

21

a a a a

a a

−++

+

−

)1)(

1(

21

1:1

12

a a

a a

a

a a

)1)(

1(

21:1

12

a a

a a

a

a

++

−++

−

a a

a a

−+

++

−

1)

1)(

1(

)1)(

1(1

2 2

Vì a2 +4ab−7b2 =0 nên ta có (a b ) (a ab b ) (a b )

Bài 67: Cho số x (x∈;x>0) thỏa mãn điều kiện: 2

2

17

x x

+ = Tính giá trị các biểu thức:

5 5

x x

⇒ +  =

3 3

118

x x

1123

x x

3 3

x x

+ = Tính giá trị của biểu thức: 3

2 2

x x

Khai triển và làm gọn biểu thức trên tử ta được kết quả là 0 nên có đpcm

Bài 77: Gọi a , b , c là ba nghiệm của phương trình 3 2

2x −9x +6x− =1 0

Không giải phương trình, hãy tính tổng:

5 5 5 5 5 5

a b b c c a S

Khi phân tích đa thức 3 2

a b c

ab bc ca abc

a b c

ab bc ca abc

Bài 80: Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn x2 yz y2 zx z2 xy

2:

)2()3(

2:

)1()3(

2

3 3 3 2 2

3 3 2 2 2 2 2 4

2

3 3 3 2 2

3 3

2 2 2 2 2 4

2

3 3 3 2 2

3 3 2 2 2 2 2

4

2 2

2 2

xyz z

y x z

ab c xyz

z y z x y x

ab y

x xyz Z

c Tuongtu

xyz z

y x y

ac b z

xy yz y x z x

ac z

x xz y y

b Tuongtu

xyz z

y x x

bc a yz

x xz xy z y

bc z

y yz x x

a xy

z

c xz

y

b yz

x a

−++

−

=+

−

−

=+

−

−++

−

=+

−

−

=+

−

−++

−

=+

−

−

=+

Bài 81: Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1

Hãy tính giá trị biểu thức: A = (1 2)(12 2) (1 2)(12 2) (1 2)(12 2)

a A

a a a

+

=+ + −

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

III Dạng 3: Số học

1 Số nguyên tố, hợp số, số chính phương, lập phương

A Bài toán

Bài 1: Tìm các số nguyênk để k48k323k226k10 là số chính phương

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn:

Bài 3: Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có

tính chất: Trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a , b sao cho

2 2

a b là số nguyên tố

Bài 4: Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy với

xxyy là số chính phương

Bài 5: Tìm tất cả các cặp số  a b; nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:

1) a b, đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a b, là 1

Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương

Bài 10: Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố

Bài 11: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng n4  4n là hợp số

Bài 12: Tìm x nguyên dương để 3 2

4x 14x 9x6 là số chính phương

Bài 13: cho dãy số n, n+1, n+2, …, 2n với n nguyên dương Chứng minh trong dãy có ít nhất một

lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên

Bài 14: Tìm nN* sao cho: n4 +n3+1 là số chính phương

Bài 15: Tìm các số tự nhiên n sao cho An2 2n 8 là số chính phương

Bài 16: Bài 1: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x y z; ; sao cho 2019

Bài 17: Cho Alà số chính phương gồm 4 chữ số thỏa mãn nếu ta cộng thêm vào mỗi chữ số của

Athêm 1 đơn vị thì ta được số chính phương Bcũng có 4chữ số.Tìm hai số A B;

Bài 18: Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p34p 9 là số chính phương

Bài 19: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9n11

là tích của k k  ,k2 số tự nhiên liên tiếp

Bài 20: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho C 2019n 2020 là số chính phương

Bài 21: Cho nN* Chứng minh rằng nếu 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương thì n chia hết

Bài 26: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số

hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn

vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương

Bài 27: Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a =

15

Bài 29 : Cho x 1 32  34 Chứng minh rằng: Px3 3x2 3x3 là một số chính phương

Bài 30:

a) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng p = 6m1, với

m là số tự nhiên

b) Tìm số nguyên tố p sao cho 8p2 1 là số nguyên tố

Bài 31: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì

n là bội số của 24

Bài 32: Tìm số tự nhiên n để n18 và n41 là hai số chính phương

Bài 33: Cho Aa2015b2015c2015d2015, với a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn ab=cd

Bài 36: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2  17 là một số chính phương

Bài 37: Tìm các số nguyên tố a b c, , và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình

Bài 40: Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất

có tính chất: Trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a , b sao cho

2 2

a b là số nguyên tố

Bài 41: Tìm số các số nguyên n sao cho Bn2 n 13 là số chính phương

Bài 42: Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn  2 2   2

2

a  b a b +(1ab)2  4ab

Chứng minh 1 ab là số hữu tỉ

Bài 43: Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính phương

Bài 44: a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 1 1 1