* Dạng 2: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = fx, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị cua hàm số 1 trong các trờng hợp sau: a [r]
Trang 1đề cơng ôn tập toán chơng I lớp 12 Chuyên đề 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
* Quy tắc xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x).
1) Tìm tập xác định
2) Tính đạo hàm y’ = f’(x)
3) Tìm các điểm làm cho y’ = 0 hoặc y’ không xác định (giả sử các điểm đó là x1, x2, xn )
4) Lập bảng biến thiên
Chú ý: + Sắp xếp các điểm x1, x2, xn theo thứ tự tăng dần trên bảng biến thiên
+ Xét dấu y’ và lu ý, y’ > 0 trên (a; b) thì hàm số đồng biến trên (a; b), y’< 0
trên (a; b) thì hàm số nghịch biến trên (a; b)
Bài tập 1: Lập bảng biến thiên tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số :
a) y = x3 + 3x2
b) y = x −1
x+1
c) y = x3 + x2 – x + 1
d) y = − x − 2
x +3
e) y= x4 – 2x2 - 3
f) y = - x4
2 − x
2 + 3 2 g) y = - x3 + 3x2 – 4x + 2 h) y = x3 + 3x2 – 4 i) y = -x3 + 3x2 – 4 j) y = x3
3 - x
2 + x + 1
Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số
* Quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x).
1) Tìm tập xác định
2) Tính đạo hàm y’ = f’(x)
3) Tìm các điểm làm cho y’ = 0 hoặc y’ không xác định (giả sử các điểm đó là x1, x2, xn )
4) Lập bảng biến thiên Chú ý sắp xếp các điểm x1, x2, xn theo thứ tự tăng dần trên bảng biến thiên 5) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
Chú ý: + Đạo hàm y’ đổi dấu từ (-) sang (+) khi qua x1 thì ta có x1 là điểm cực tiểu
y y(x1) + Đạo hàm y’ đổi dấu từ (+) sang (-) khi qua x1 thì ta có x1 là điểm cực đại
y’(x1)
Bài tập 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y = x(x2-3)
b) y= x4 – 2x2 + 3
c) y= x4 – 1
2 x2 + 2
d) y = -x3 + 3x2 – 5 e) y = x3
3 + 3x
2 - 7x – 2 f) y= x4 – 2x2 + 2
Chuyên đề 3: Tiệm cận
* Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số y = ax+b
cx+d .
1) Tiệm cận đứng: Ta tính giới hạn của hàm số y = f(x) khi x →
+ ¿ ( −d c )¿ và x → ( −d c )− 2) Tiệm cận ngang: Ta tính giới hạn của hàm số y = f(x) khi x →+∞ và x →− ∞
Bài tập 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các hàm số sau:
a) y = 2 x − 1
x+3
x −1
y' + 0 -
y(x1)
y
Trang 2b) y= 3 − 2 x
3 − 2 x
2 − x
Chuyên đề 4: Khảo sát hàm số
* Sơ đồ khảo sát:
1) TXĐ
2) Sự biến thiên
- Chiều biến thiên:
+ Tính đạo hàm y’
+ Tìm các điểm làm y’ = 0 và y’ không xác định
+ Xét dấu y’ và suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Cực trị
- Giới hạn
- Bảng biến thiên
3) Đồ thị
- Giao với trục ox, cho y = 0 tìm x
- Giao với trục oy, cho x = 0 tìm y
Nhận xét: Sơ đồ khảo sát tơng ứng các bớc để trình bày bài toán khảo sát hàm số.
Bài tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = x3 - 3x2 + 2
b) y = x −1
x+1
c) y = x3 + x2 – x + 3
d) y = x+3
2 x − 1
e) y = x4 – 8x2 + 4
f) y = - x4 + 3x2 + 4
g) y = x4 – 2x2 + 3 h) y = x3
3 +
x2
2 + x + 1 i) y = x −3
2 x +1
j) y = -x3 + x2 – x + 3 k) y = x4 + 3x2 + 4 l) y = -x3 + 2x2 – x - 7
Chuyên đề 5: Tìm GTLN & GTNN của hàm số
* Dạng 1: Tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [ a ;b ] .
Quy tắc: 1) Tính đạo hàm y’ = f’(x)
2) Tìm các điểm làm cho y’ bằng 0 (giải phơng trình y’ = 0 ) hoặc y’ không xác định Giả sử các điểm đó là x1,
x2, xn
3) Tính f(a); f(x1); f(x2) … f(xn); f(b)
4) Kết luận: So sánh các số f(a); f(x1); f(x2) … f(xn); f(b) Tìm số lớn nhất là GTLN của hàm số và số nhỏ nhất
là GTNN của hàm số
Bài tập 1: Tính GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a) y = x3 + 3x2 – 4 trên đoạn [ −3 ;1 ]
b) y = x4 - 2x2 – 3 trên đoạn [ − 2; 1
2 ] c) y = − x4
2 − x
2 + 3
2 trên đoạn [ −1 ; 2 ] .
d) y = − x+2
x+1 trên đoạn [ 0 ; 3 ] .
e) y = x −2
2 x +1 trên đoạn [ 0 ;1 ] .
f) y = -x3 + 3x2 – 4x + 2 trên đoạn [ 0 ;2 ]
* Dạng 2: Tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b ) .
Quy tắc: 1) Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b).
2) Từ bảng biến thiên suy ra kết luận
Bài tập 1: Tính GTLN và GTNN của các hàm số sau:
1
Chuyên đề 6: Sự tơng giao của đồ thị hàm số
* Dạng 1: Biện luận theo m số nghiệm của ph ơng trình: f(x) = g(m) bằng đồ thị.
1) Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x); y = g(m) là đờng thẳng song song với trục ox và cắt trục oy tại điểm có toạ độ (0; g(m))
Trang 32) Số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đờng thẳng y = g(m) chính bằng số nghiệm của phơng trình f(x) = g(m)
Bài tập 1: Cho hàm số y = - x4 + 6x2 – 3 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phơng trình: - x4 + 6x2 = m
Bài tập 2: Cho hàm số y = x3 + 9x2 + 15x - 3 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phơng trình: x3 + 9x2 + 15x - 3 = 2m
Bài tập 3: Cho hàm số y = 4 x +1
x+1 (1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phơng trình: 4 x +1
x+1 = 3m + 1
Bài tập 4: Cho hàm số y = x4 - 6x2 + 5 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b) Tìm m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x4 - 6x2 + 1 = m2
Bài tập 5: Cho hàm số y = (x + 1)2(2 – x) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b) Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt: (x + 1)2(2 – x) = m2 + 3
* Dạng 2: Xác định giao điểm của hai đồ thị.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thi (c1) và đờng thẳng (d) : y = ax + b Số nghiệm của phơng trình
f(x) = ax + b chính bằng số giao điểm của đồ thị (c1) và đờng thẳng (d)
Bài tập 1: Xác định toạ độ giao điểm của hai đờng sau:
g) y = 2 x +1
x +1 và y = x +
1
x+1
2 x − 1 và y = 3x - 1
Bài tập 2: Cho hàm số y = 3 − 2 x
x −1 Tìm tất cả các giá trị của m để đờng thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số tại
hai điểm phân biệt
Bài tập 3: Cho hàm số y = 2 x +1
x +2 (1) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) luôn cắt đờng thẳng
y = - x + m với mọi giá trị của m
Chuyên đề 7: Tiếp tuyến
* Dạng 1: Viết ph ơng trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị của hàm số y = f(x)
Phơng trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0 ; y0) của đồ thị hàm số y = f(x) là: y - y0 = f’(x0)(x-x0) (*) Vậy để viết
ph-ơng trình tiếp tuyến tại điểm, ta cần xác định ba yếu tố: y0 ; x0 ; f’(x0)
Nếu đề bài cho điểm M0(x0 ; y0) là tiếp điểm thì ta tính đạo hàm f’(x), từ đó tính f’(x0) Thế y0 ; x0 ; f’(x0)vào (*) ta
đợc phơng trình tiếp tuyến
Nếu đề bài cho hoành độ tiếp điểm x0 thì ta thay x = x0 vào hàm số y = f(x) để tìm y0, y0 = f(x0) Sau đó ta tính đạo hàm f’(x), từ đó tính f’(x0) Thế y0 ; x0 ; f’(x0) vào (*) ta đợc phơng trình tiếp tuyến
Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm y0 thì ta thay y = y0 vào hàm số y = f(x) để tìm x0, y0 = f(x0) Sau đó ta tính đạo hàm f’(x), từ đó tính f’(x0) Thế y0 ; x0 ; f’(x0) vào (*) ta đợc phơng trình tiếp tuyến
Chú ý các cụm từ sau:
+ “ Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành” thì
ta có y0 = 0
+ “ Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị cua hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung” thì ta
có x0 = 0
Bài tập 1: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 (1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị cua hàm số (1):
a) Tại điểm M(1; 0)
b) Tại điểm có tung độ bằng 2
c) Tại điểm có hoành độ bằng 2
d) Tại giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục tung
Bài tập 2: Cho hàm số y = 3 x −2
x+1 (1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số (1):
a) Tại điểm M(1; 1
2 ).
b) Tại điểm có tung độ bằng 2
c) Tại điểm có hoành độ bằng 2
d) Tại giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục hoành
e) Tại giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục tung
Bài tập 3: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 1 (1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số (1):
a) Tại điểm M(0;1)
Trang 4b) Tại điểm có hoành độ bằng 2.
* Dạng 2: Viết ph ơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f(x), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.
Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm Từ giả thiết của bài toán ta có f’(x0) = k, giải phơng trình này
ta tìm đợc x0, thế x = x0 vào phơng trình hàm y = f(x) tìm y0
Thế y0 ; x0 ; f’(x0) vào (*) ta đợc phơng trình tiếp tuyến
Chú ý các cụm từ sau:
+ “ Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số, biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = ax + b” thì ta có hệ số góc k = a
+ “ Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = ax + b” thì ta có hệ số góc k = − 1
Bài tập 1: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 (1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị cua hàm số (1) trong các trờng hợp sau: a) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 3
b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 9x + 2
c) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng x + 24y = 24
Bài tập 2: Cho hàm số y = 3 x −2
x+1 (1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị cua hàm số (1) trong các trờng hợp sau:
d) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5
e) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 5
4 x + 1
f) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng 9x + 5y - 10 = 0
Chuyên đề 8: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu
1) Xét hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d
+ Tập xác đinh của hàm số là R
+ Tính đạo hàm y’ = 3ax2 + 2bx + c
⇒ Để hàm số đồng biến trên R ta cần có
2 b ¿2− 4 3 a c ≤ 0
¿
3 a
¿
¿
¿
Δ= ¿
⇒ Để hàm số nghịch biến trên R ta cần có
2 b ¿2− 4 3 a c ≤ 0
¿ 0
¿
¿ no
¿
¿
Δ= ¿ 2) Xét hàm số y = ax+b
cx+d
+ Tập xác đinh của hàm số là R\ { − d c }
+ Tính đạo hàm y’ =
cx+d ¿2
¿
ad − bc
¿
⇒ Để hàm số đồng biến trên tập xác định ta cần có ad – bc > 0
⇒ Để hàm số nghịch biến trên tập xác định ta cần có ad – bc < 0
Bài tập 1: Cho hàm số y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (m + 3)x + 2 Xác định giá trị của m để hàm số đồng biến trên tập xác
định của nó
Bài tập 2: Cho hàm số y = − 1
3 x3 + (m - 1)x2 + (12m + 5)x Xác định giá trị của m để hàm số nghịch biến trên R. Bài tập 3: Cho hàm số y = mx+4
x +m Xác định giá trị của m để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Trang 5Chuyên đề 9: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
1) Để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có cực trị, ta cần có phơng trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt, mà y’ = 3ax2 +
2bx + c nên ta cần có
2 b¿2− 4 3 a c
¿
¿
Δ=¿
2) Để tìm điều kiện cho hàm số y = f(x) có cực trị tại x0 ta làm nh sau:
+ Tính y’ = f’(x)
+ f(x) đạt cực trị tại x0 nên ta có f’(x0) = 0 Từ điều kiện này ta tìm đợc giá trị của tham số m
+ Thử lại: với m vừa tìm đợc ta đi tìm cực trị, nếu hàm số có cực trị tại x = x0 thì nhận giá trị đó của m, nếu không thì loại
3) Để tìm điều kiện cho hàm số y = f(x) có cực tiểu tại x0 ta làm nh sau:
+ Tính y’ = f’(x)
+ f(x) đạt cực tiểu tại x0 nên ta có f’(x0) = 0 Từ điều kiện này ta tìm đợc giá trị của tham số m
+ Thử lại: với m vừa tìm đợc ta đi tìm cực trị, nếu hàm số có cực tiểu tại x = x0 thì nhận giá trị đó của m, nếu không thì loại
4) Để tìm điều kiện cho hàm số y = f(x) có cực đại tại x0 ta làm nh sau:
+ Tính y’ = f’(x)
+ f(x) đạt cực đại tại x0 nên ta có f’(x0) = 0 Từ điều kiện này ta tìm đợc giá trị của tham số m
+ Thử lại: với m vừa tìm đợc ta đi tìm cực trị, nếu hàm số có cực đại tại x = x0 thì nhận giá trị đó của m, nếu không thì loại
Bài tập 1: Cho hàm số y = 1
3 x3 - (m - 1)x2 + (m2 - 3m + 2)x + 5 Xác định giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0
Bài tập 2: Cho hàm số y = mx3 + 3x2 + 12x + 2 Xác định giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x = 2
Bài tập 3: Cho hàm số y = x3 +(m – 1)x2- mx + 5 Xác định giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
Bài tập 4: Cho hàm số y = x3 - 3mx2+ 4m3 Xác định giá trị của m để hàm số có cực trị
Biờn soạn: Thầy Tuấn Anh